有限射
概要
有限射（finite morphism）とは、スキームの射で、終域の各アフィン開集合の逆像もアフィンとなり、その座標環が基底の座標環上有限生成加群になるものである。有限型射や単にファイバーの点が有限個の射より条件が強く、整な射が局所有限型なら有限射となる。有限射は合成と底変換で保たれ、閉写像かつ固有射である。閉埋め込み、有限次体拡大、曲線の正規化の一部が例になる。
何が有限なのか
スキームの射について「有限」というとき、単に各点の逆像が有限個であるという意味ではない。終域のアフィン開集合を $\operatorname{Spec}A$ と書いたとき、その逆像が $\operatorname{Spec}B$ となり、$B$ 全体を有限個の元で $A$ 加群として生成できることを要求する。ここで $B$ を $A$ 代数として有限個の元で生成できるという条件より強い。たとえば $A[x]$ は $A$ 代数としては $x$ 一つで生成されるが、通常は $A$ 加群として有限生成ではない。
この加群としての有限性は、環の各元が基底環上のモニック多項式を満たすこと、像が閉じること、任意の底変換後にも同じ性質が残ることにつながる。曲線の正規化や閉埋め込み、有限次の体拡大によるスペクトルの射を同じ枠組みで扱える。以下ではまず定義を環に下ろし、局所判定、例、基本性質を調べる。
定義と局所的な判定
スキームの射 $f\colon X\to S$ が有限射（finite morphism）であるとは、$f$ がアフィン射であり、$S$ の任意のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ について、その逆像が $f^{-1}(V)=\operatorname{Spec}B$ で、環準同型 $A\to B$ により $B$ が有限生成 $A$ 加群となることをいう。
一つのアフィン開被覆で上の条件を調べれば十分である。これはアフィン射の性質が終域上局所的であり、加群の有限生成性も基底環の主開集合で局所的に調べられるためである。逆像がアフィンであることは定義の一部であり、各ファイバーの点数が有限という条件だけからは出てこない。
$A$ を環、$B$ を $A$ 代数とし、$f_1,\dots,f_r\in A$ が単位イデアルを生成するとする。各 $B_{f_i}$ が $A_{f_i}$ 加群として有限生成なら、$B$ は $A$ 加群として有限生成である。
各 $i$ について $B_{f_i}$ の有限個の生成元を取り、分母の冪を払ってそれらを $B$ の元 $b_{ij}$ の像として表す。すべての $b_{ij}$ が生成する $A$ 部分加群を $C\subset B$ とする。局所化すると $C_{f_i}=B_{f_i}$ なので、商加群 $Q=B/C$ はすべての $i$ について $Q_{f_i}=0$ となる。
任意の $q\in Q$ に対して、各 $i$ である整数 $N_i$ が存在して $f_i^{N_i}q=0$ である。指数を共通の $N$ に大きく取れば、単位イデアルを生成する $f_i$ の十分高い冪の線形結合で $1$ を表せる。実際、$1=\sum_i a_if_i$ を十分大きい冪に上げ、各単項式にはどれか一つの $f_i^N$ が因子として入る。従って $q=0$ であり、$Q=0$、すなわち $B=C$ である。有限個の $b_{ij}$ が $B$ を生成する。
この補題をアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ の有限個の主開集合による被覆に使えば、「ある被覆で有限」と「任意のアフィン開集合で有限」は一致する。有限個の主開集合が足りるのは、アフィンスキームが準コンパクトだからである。局所的に条件を確認しても、結論には $B$ を 一つの加群として有限個で生成する という全体の主張が残る。
環の二つの有限性
$A\to B$ が有限であるとき、任意の $b\in B$ は $A$ 係数のモニック多項式を満たす。このことを $b$ が $A$ 上整であるという。逆向きには、各元が整であるだけでは有限生成とは限らず、さらに $B$ が $A$ 代数として有限生成であることが必要になる。
環準同型 $A\to B$ について、次の条件は同値である。
- $B$ は $A$ 加群として有限生成である。
- $B$ は $A$ 代数として有限生成であり、$B$ の各元は $A$ 上整である。
このため、スキームの射は、整な射であり、かつ局所有限型なら有限射である。
条件 1 から条件 2 を示す。加群の生成元 $e_1,\dots,e_m$ は代数の生成元にもなる。$b\in B$ を一つ固定する。掛け算 $e_i\mapsto be_i$ は $A$ 線形なので、$be_i=\sum_j a_{ij}e_j$ と書ける。行列 $(T\delta_{ij}-a_{ij})$ の行列式 $P(T)\in A[T]$ はモニックであり、随伴行列を掛けると $P(b)e_i=0$ がすべての $i$ で成り立つ。$1\in B$ も $e_i$ の $A$ 線形結合だから $P(b)=0$ となる。よって $b$ は整である。
条件 2 から条件 1 を示す。$B=A[b_1,\dots,b_n]$ と書く。各 $b_i$ はあるモニック方程式 $b_i^{d_i}+c_{i,d_i-1}b_i^{d_i-1}+\cdots+c_{i,0}=0$ を満たす。この式によって $b_i^{d_i}$ 以上の冪を低い冪に置き換えられる。各変数に順に適用すれば、$B$ のすべての元は
$$b_1^{j_1}\cdots b_n^{j_n}\qquad(0\le j_i< d_i)$$
の $A$ 線形結合で表せる。これらは有限個だから条件 1 が従う。
射への主張では、終域の各アフィン開集合上でこの環の同値を使う。整な射はアフィン射であり、局所有限型性から対応する環は局所的に有限個の代数生成元を持つ。前の補題で局所的な有限生成性を貼り合わせれば有限射となる。
有限射なら有限型射であるが、その逆は成り立たない。また有限射は整な射だが、整な射が有限射になるには局所有限型性が要る。これらは射の終域の開集合で調べる条件であり、底が Noether スキームかどうかは上の同値には必要ない。
基本例と境界例
有限次の体拡大 $L/K$ について、$\operatorname{Spec}L\to\operatorname{Spec}K$ は有限射である。両方の位相空間は一点だが、有限性の理由は点数でなく $L$ が有限次元 $K$ ベクトル空間であることにある。逆に、$K$ の代数閉包 $\overline K$ が $K$ 上無限次なら、$\operatorname{Spec}\overline K\to\operatorname{Spec}K$ は各ファイバーが一点で整な射であるにもかかわらず、有限射でない。$\overline K$ が $K$ 加群として有限生成でないからである。
環 $A$ のイデアル $I$ に対して $\operatorname{Spec}(A/I)\to\operatorname{Spec}A$ は有限射である。$A/I$ は $A$ 加群として $1$ の類で生成される。一般の閉埋め込みも終域のアフィン開集合ごとにこの形になるので有限射である。この例は有限射が全射である必要がないことを示す。像は $V(I)$ であり、$I$ が単位イデアルなら像は空である。
体 $k$ と整数 $n\ge2$ について $k[s]\to k[t]$、$s\mapsto t^n$ を考える。$k[t]$ は $k[s]$ 上 $1,t,\dots,t^{n-1}$ を基底とする自由加群だから、対応する $\mathbb{A}^1_k\to\mathbb{A}^1_k$ は有限射である。$s=0$ の上のスキーム論的なファイバーは
$$\operatorname{Spec}\bigl(k[t]/(t^n)\bigr)$$
であり、位相空間としては一点だが $n>1$ なら被約ではない。有限射のファイバーの「有限」は点の個数だけでなく、剰余体上の有限次元代数として現れる。
$k$ を体とし、$\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]\to\operatorname{Spec}k[t]$ を主開集合 $D(t)$ の包含とする。これは有限型のアフィン射で、各ファイバーの点数は $0$ または $1$ である。しかし像 $D(t)$ は閉集合でなく、有限射ではない。環で見ても $k[t,t^{-1}]$ は $k[t]$ 加群として有限生成ではない。仮に有限生成なら $t^{-1}$ は $k[t]$ 上整となるが、$t^{-1}$ のモニック方程式に十分な $t$ の冪を掛けて $t=0$ を代入すれば $1=0$ となり矛盾する。
操作に対する安定性
有限射が合成や底変換で保たれることは、環の有限加群を生成元で追えば確認できる。これは大域的なスキームの議論を、アフィン開集合上の計算に落とす基本例でもある。
有限射 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ の合成 $g\circ f$ は有限射である。また有限射 $f\colon X\to S$ と任意の射 $S'\to S$ に対し、底変換 $X\times_SS'\to S'$ は有限射である。
合成について、$Z$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ を取る。$g$ と $f$ が有限だから、その逆像は順に $\operatorname{Spec}B$、$\operatorname{Spec}C$ であり、$B$ は有限生成 $A$ 加群、$C$ は有限生成 $B$ 加群である。$B$ の $A$ 加群としての生成元を $b_1,\dots,b_r$、$C$ の $B$ 加群としての生成元を $c_1,\dots,c_s$ とすれば、積 $b_ic_j$ が $C$ を $A$ 加群として生成する。従って合成は有限である。
底変換について、$S'$ の点のまわりに、その像が $S$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ に含まれるアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A'$ を取る。$f^{-1}(\operatorname{Spec}A)=\operatorname{Spec}B$ とすると、底変換後の逆像は
$$\operatorname{Spec}(B\otimes_AA')$$
である。$B$ を $A$ 加群として生成する $b_1,\dots,b_r$ の像 $b_i\otimes1$ は、$B\otimes_AA'$ を $A'$ 加群として生成する。従ってこの近傍で有限であり、終域上の局所性から底変換全体が有限射である。
この二つの安定性により、有限射を別のスキーム上に移したり、有限射を続けて施したりしても有限性を保てる。たとえば有限次体拡大 $L/K$ と $K$ スキーム $S$ に対する $S\times_{\operatorname{Spec}K}\operatorname{Spec}L\to S$ は有限射である。$S$ の各アフィン開集合の座標環 $A$ に対し、逆像の環 $A\otimes_KL$ が有限生成 $A$ 加群であることからも直接確認できる。
像とファイバー
有限射は閉写像である。この事実の環論的な核は、整拡大において素イデアルが上に延びる lying over の定理である。有限射は整な射であり、さらに底変換後も有限なので、閉写像という性質はあらゆる底変換の後でも残る。以下で閉集合の像とファイバーの構造をそれぞれ見る。
有限な環準同型 $\varphi\colon A\to B$ に対応する $f\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ と、$B$ のイデアル $J$ に対し、$J^c:=\varphi^{-1}(J)$ と置くと
$$f(V(J))=V(J^c)$$
である。したがって任意の有限射は閉写像であり、普遍閉である。
左辺の素イデアル $\mathfrak q\supset J$ の縮約 $\mathfrak p=\varphi^{-1}(\mathfrak q)$ は $J^c$ を含むので、左辺は右辺に含まれる。逆に $\mathfrak p\supset J^c$ を取ると、$A/J^c\to B/J$ は単射な整拡大である。整拡大に対する lying over の定理によって、$\mathfrak p/J^c$ の上にある $B/J$ の素イデアルが存在する。その $B$ への逆像は $J$ を含み、$A$ への縮約が $\mathfrak p$ である。これで等号が成り立つ。
一般の有限射については、閉集合の像が閉じることを終域のアフィン開集合ごとに上式で確認できる。底変換は前の命題で有限射だから、底変換後も閉写像であり、普遍閉性が従う。
ここでは lying over を環論の既知の定理として用いた。$\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ が全射になるのは、一般には $A\to B$ が単射である場合など追加の条件があるときであり、有限射そのものから全射性は出ない。閉埋め込みの例を見れば、有限射と全射を同一視できないことが分かる。
有限射 $f\colon X\to S$ と $s\in S$ に対し、スキーム論的ファイバー $X_s=X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s)$ の座標環は有限次元 $\kappa(s)$ 代数である。したがって $X_s$ の位相空間は有限個の点からなる。
$s$ を含むアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A\subset S$ を取ると、その逆像は $\operatorname{Spec}B$ で $B$ は有限生成 $A$ 加群である。ファイバーは
$$X_s=\operatorname{Spec}\bigl(B\otimes_A\kappa(s)\bigr)$$
であり、$C=B\otimes_A\kappa(s)$ は有限次元の $\kappa(s)$ ベクトル空間になる。
$C$ の素イデアル $\mathfrak p$ について $C/\mathfrak p$ は有限次元の整域だから体である。実際、零でない元による掛け算は単射な有限次元ベクトル空間の自己写像なので全射となり、逆元がある。よってすべての素イデアルは極大である。異なる極大イデアルを $r$ 個選ぶと、中国剰余定理によって $C$ は $r$ 個の非零な体の直積へ全射する。各因子の $\kappa(s)$ 次元は少なくとも $1$ なので $r\le\dim_{\kappa(s)}C$。従って極大イデアル、すなわち $X_s$ の点は有限個である。
上の証明は点の個数の有限性を示すが、ファイバーの長さや点数が底のすべての点で同じだとはいっていない。閉埋め込み $\operatorname{Spec}(k[t]/(t))\to\operatorname{Spec}k[t]$ なら、原点の上に一点あり、それ以外の点の上には一点もない。冪写像では、特別な点の上で点が合流し、非被約な構造として重なりを記録する。
近い概念との区別
| 条件 | 環で見ると | 有限射との関係 |
|---|---|---|
| 有限型射 | 座標環が基底環上有限生成の代数 | 有限射なら有限型。逆は一般に偽 |
| 整な射 | 座標環の各元がモニック方程式を満たす | 有限射なら整。整かつ局所有限型なら有限 |
| 準有限射 | 有限型でファイバーの点が有限 | 有限射なら準有限。逆は一般に偽 |
| 有限局所自由射 | 座標環が局所的に有限階数の自由加群 | 有限射より強く、階数を定義できる |
表の第一行の逆向きは $\mathbb A^1_k\to\operatorname{Spec}k$、第三行の逆向きは主開集合 $D(t)\hookrightarrow\mathbb A^1_k$ が反例になる。整な射と有限射の差は無限次の代数的体拡大で分かる。前者は各元ごとのモニック方程式を要求するが、有限個の加群生成元を要求しない。
有限射 $f\colon X\to S$ が有限局所自由であるとは、$f_*\mathcal O_X$ が $S$ 上有限階数の局所自由 $\mathcal O_S$ 加群であることをいう。ある開集合上でその階数が $d$ なら、その開集合上の射を次数 $d$ の有限局所自由射という。
冪写像 $s=t^n$ は $1,t,\dots,t^{n-1}$ を基底とするので次数 $n$ の有限局所自由射である。一方、原点の閉埋め込み $\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}k[t]$ は有限だが、対応する $k[t]$ 加群 $k[t]/(t)$ は $t$ に殺される元を持つので原点の近くで自由ではない。有限射から一律の「点数としての次数」を定義できない理由の一つである。曲線間の有限射について用いる次数は、適切な整性などの条件のもとで関数体の拡大次数として定義する。
スキームの射 $f\colon X\to S$ について、次は同値である。
- $f$ は有限射である。
- $f$ はアフィンかつ固有射である。
- $f$ は固有で、すべてのファイバーの点が有限個である。
とくに有限射は固有であり、固有かつ準有限な射は有限である。
有限射は、基底の上で無限に広がるアフィン空間を作る射とは異なり、加群の有限性を通して各ファイバーを有限次元の代数に制限する。その一方で、閉埋め込み、冪写像、特異曲線の正規化のように幾何学的な姿はさまざまである。正規化射は一般には整な射であり、有限射と呼ぶには座標環の整閉包が元の環の有限加群になるという追加の有限性が必要である。
関連項目
参考文献
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