三角不等式

任意の $z,w\in\mathbb{C}$ について $|z+w|\le|z|+|w|$ である（複素数 の記事の命題「絶対値の積と三角不等式」）。実数 $a,b$ に限れば、これは 不等式 の記事の例「絶対値の三角不等式」であり、等号は $ab\ge0$ のときに限る。
複素数の場合の等号条件は「$w=0$ であるか、実数 $c\ge0$ があって $z=cw$ となる」ことである。実際、複素数 の記事の証明では $|z+w|^2=|z|^2+2\operatorname{Re}(z\overline w)+|w|^2$ と $\operatorname{Re}(z\overline w)\le|z\overline w|=|z|\,|w|$ を使っているので、等号は $\operatorname{Re}(z\overline w)=|z\overline w|$、すなわち $t:=z\overline w$ が $0$ 以上の実数であるときに限る。$w\ne0$ なら $z=t w/|w|^2$ で $c:=t/|w|^2\ge0$ である。逆に $z=cw$（$c\ge0$）なら $|z+w|=(c+1)|w|=|z|+|w|$ である。複素平面では、等号は $0,z,z+w$ が一直線上にあり $z,w$ が同じ向きを向くときに起こる。

$F^n$ 上の $\|x\|_2:=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2}$ は三角不等式 $\|x+y\|_2\le\|x\|_2+\|y\|_2$ を満たす。$F=\mathbb{R}$ の場合は 不等式 の記事の系「Euclidノルムの三角不等式」が Cauchy–Schwarzの不等式 から導いている。一般の内積空間のノルム $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ についても三角不等式が成り立ち、等号は一方が他方の $0$ 以上の実数倍であるときに限る（内積空間 の記事の定理「三角不等式と平行四辺形の等式」）。$n=1$ ではこれは ex-triangle-inequality-complex の等号条件と一致する。

$F^n$ 上で
$$ \|x\|_1:=\sum_{i=1}^{n}|x_i|,\qquad \|x\|_\infty:=\max_{1\le i\le n}|x_i| $$
とおくと、どちらも三角不等式を満たすノルムである（$n\ge1$ とする）。
実際、各 $i$ で $|x_i+y_i|\le|x_i|+|y_i|$（ex-triangle-inequality-complex）であり、$i$ について和をとれば $\|x+y\|_1\le\|x\|_1+\|y\|_1$ を得る。また各 $i$ で $|x_i+y_i|\le|x_i|+|y_i|\le\|x\|_\infty+\|y\|_\infty$ なので、左辺の最大値をとれば $\|x+y\|_\infty\le\|x\|_\infty+\|y\|_\infty$ を得る。$\|x\|=0\Leftrightarrow x=0$ と $\|ax\|=|a|\,\|x\|$ は、各成分の絶対値の性質から直ちに従う。
これらのノルムでは、等号が平行でないベクトルでも起こる。$\mathbb{R}^2$ で $x=(1,0)$、$y=(0,1)$ とすると $\|x+y\|_1=2=\|x\|_1+\|y\|_1$ であり、$x=(1,0)$、$y=(1,1)$ とすると $\|x+y\|_\infty=2=\|x\|_\infty+\|y\|_\infty$ である。したがって ex-triangle-inequality-euclid の等号条件はノルム一般には成り立たない。等号が非負実数倍の場合に限るのは狭義凸なノルムの性質であり、内積から来るノルムはその一例にすぎない（$1< p<\infty$ の $\|\cdot\|_p$ も狭義凸である。rem-triangle-inequality-equality）。

無向のグラフ $G$ の頂点 $u,v$ について、$u$ と $v$ を結ぶ道の長さの最小値 $d_G(u,v)$ を距離(グラフ)という（結ぶ道がなければ $\infty$）。$d_G$ は三角不等式 $d_G(u,w)\le d_G(u,v)+d_G(v,w)$ を満たす（距離(グラフ) の記事の命題「距離空間の公理」）。要点は、$u$ から $v$ への最短路と $v$ から $w$ への最短路を継ぎ足すと、長さ $d_G(u,v)+d_G(v,w)$ の歩道になり、歩道から繰り返しの部分を取り除くと長さがそれ以下の道が得られることである。連結グラフでは $d_G$ は値が有限の距離になり、頂点集合は距離空間になる。

$p$ を素数とし、$0$ でない有理数 $x=p^ea/b$（$a,b\in\mathbb{Z}$、$p\nmid ab$）について $|x|_p:=p^{-e}$、$|0|_p:=0$ とおく。$|\cdot|_p$ は $\mathbb{Q}$ 上の絶対値で、強三角不等式 $|x+y|_p\le\max\{|x|_p,|y|_p\}$ を満たす（p進数 の記事の系「p進絶対値の強三角不等式」）。たとえば $p=5$ では $|25|_5=1/25$、$|10|_5=1/5$ で、$|25+10|_5=|35|_5=1/5=\max\{1/25,1/5\}$ である。$\mathbb{Q}$ を $d(x,y)=|x-y|_p$ について完備化したものが p進数 体 $\mathbb{Q}_p$ である。

任意の体 $K$ 上で $|0|:=0$、$x\ne0$ なら $|x|:=1$ と定めると、非アルキメデス的な絶対値になる。乗法性は $K$ が整域であること（$x,y\ne0$ なら $xy\ne0$）から従う。強三角不等式は、$x+y=0$ なら左辺が $0$、$x+y\ne0$ なら $x,y$ の少なくとも一方が $0$ でなく右辺が $1$ になることから従う。この絶対値から得られる距離 $|x-y|$ は 距離空間 の記事の例「離散距離」である。

$d$ を集合 $X$ 上の距離、$0<\alpha\le1$ とすると、$d^\alpha(x,y):=d(x,y)^\alpha$ も距離である。
非負性・分離性・対称性は明らかなので、三角不等式を示す。そのためには $a,b\ge0$ について $(a+b)^\alpha\le a^\alpha+b^\alpha$ を示せばよい。実際そうすれば、$u\mapsto u^\alpha$ が $[0,\infty)$ で単調増加であることから
$$ d(x,z)^\alpha\le\bigl(d(x,y)+d(y,z)\bigr)^\alpha\le d(x,y)^\alpha+d(y,z)^\alpha $$
となる。$a+b=0$ なら両辺とも $0$ である。$a+b>0$ なら $t:=a/(a+b)\in[0,1]$ とおくと、$0\le t\le1$ と $\alpha\le1$ から $t^\alpha\ge t$、$(1-t)^\alpha\ge1-t$ なので $t^\alpha+(1-t)^\alpha\ge1$ であり、両辺に $(a+b)^\alpha$ を掛けると $a^\alpha+b^\alpha\ge(a+b)^\alpha$ を得る。
$\alpha>1$ では結論は一般には成り立たない（離散距離のように $\alpha>1$ でも $d^\alpha$ が距離になる場合はある）。$\mathbb{R}$ の通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ と $\alpha=2$ では、$d^2(0,2)=4>2=d^2(0,1)+d^2(1,2)$ である（距離空間 の記事の注意「反例：距離の二乗」）。この例は「距離の冪はいつも距離である」という含意を破り、破れているのは三角不等式だけである。

$0< p<1$ とし、$\mathbb{R}^2$ 上で $N_p(x):=\bigl(|x_1|^p+|x_2|^p\bigr)^{1/p}$ とおく。$N_p$ は $N_p(x)\ge0$、$N_p(x)=0\Leftrightarrow x=0$、$N_p(ax)=|a|N_p(x)$ を満たすが、三角不等式を満たさない。実際 $x=(1,0)$、$y=(0,1)$ とすると
$$ N_p(x+y)=2^{1/p}>2=N_p(x)+N_p(y) $$
である（$1/p>1$ なので $2^{1/p}>2$）。この例はノルムの公理のうち三角不等式だけを破り、含意「$p>0$ ならば $(\sum|x_i|^p)^{1/p}$ はノルムである」を破る。$p\ge1$ では三角不等式が成り立つ（Minkowskiの不等式、不等式 の記事の定理「Hölderの不等式とMinkowskiの不等式の言明」）。三角不等式が破れる理由は、単位球 $\{N_p\le1\}$ が凸でないことにある（prop-triangle-inequality-convex）。

$\mathbb{R}^2$ 上の $\rho((x_1,x_2),(y_1,y_2)):=|x_1-y_1|$ は非負性・対称性・三角不等式を満たすが、$(0,0)\ne(0,1)$ で $\rho=0$ となるので分離性を破り、距離ではない（距離空間 の記事の定義の直後の例。このような関数を擬距離という）。三角不等式は距離の公理の 1 つにすぎず、それだけでは距離にならない。この例は含意「非負で対称で三角不等式を満たす関数は距離である」を破る。