混合群

1. $n\ge2$ について $G=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は有限生成の混合群で、$T(G)=0\oplus\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である。補部分群は $C_0=\mathbb{Z}(1,0)$ でも $C_1=\mathbb{Z}(1,\bar1)$ でもよい。$C_1\neq C_0$ なので、補部分群は部分群としては一意でない。
2. $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の捩れ部分群は $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ で、これは可除なので、thm-mixed-group-split-sufficient の 2 により $\mathbb{R}/\mathbb{Z}=\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\oplus C$ と分裂する。補部分群 $C\cong\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ は捩れのない可除群なので、$\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間とみなせる（可除群 の記事の命題「捩れのない可除群と有理数体上のベクトル空間」）。
3. 複素数の乗法群 $\mathbb{C}^\times$ の捩れ部分群は 1 の冪根（1の冪根）の全体 $\mu_\infty$ である。$\zeta=e^{2\pi ia/b}$ と $n\ge1$ について $e^{2\pi ia/(bn)}$ も 1 の冪根で、その $n$ 乗が $\zeta$ なので、$\mu_\infty$ は可除であり、$\mathbb{C}^\times$ は分裂する。
4. 有理数の乗法群 $\mathbb{Q}^\times$ の捩れ部分群は $\{\pm1\}$ で、$\pm1$ 以外の有理数は無限位数をもつ。素因数分解の一意性により、正の有理数の乗法群 $\mathbb{Q}_{>0}$ は素数の全体を基底とする自由アーベル群であり、$\mathbb{Q}^\times=\{\pm1\}\times\mathbb{Q}_{>0}$（乗法で書いた直積）と分裂する。$\mathbb{Q}^\times/\{\pm1\}\cong\mathbb{Q}_{>0}$ は自由なので、これは thm-mixed-group-split-sufficient の 1 の場合でもある。
5. 数体 $K$ 上の楕円曲線 $E$ の有理点の群 $E(K)$ は、Mordell–Weilの定理により有限生成なので、$E(K)\cong E(K)_{\mathrm{tors}}\oplus\mathbb{Z}^r$ と分裂する（$E(K)_{\mathrm{tors}}$ は $E(K)$ の捩れ部分群。$E(K)$ が混合群になるのは $E(K)_{\mathrm{tors}}\neq0$ かつ $r\ge1$ のとき）。

素数 $p$ を固定し、$G:=\prod_{k\ge1}\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ とする。$G$ の第 $k$ 成分だけが $1$ の元は位数 $p^k$ なので、$T(G)$ は有界でない $p$ 群である。$G$ は分裂しない。
まず、$G$ の $0$ でない元 $y$ は、すべての $p^j$（$j\ge1$）で割り切れることはない。実際 $y_k\ne0$ となる $k$ をとると、$y=p^kz$ なら $y_k=p^kz_k=0$（$\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ で）となって矛盾する。
次に、$x\in G$ を $x_k:=p^{\lfloor k/2\rfloor}\bmod p^k$ で定める。$x_k$ の位数は $p^{k-\lfloor k/2\rfloor}$ で、$k\to\infty$ で限りなく大きくなるので、$x$ は捩れ元でない。$j\ge1$ について、$\lfloor k/2\rfloor\ge j$ となる $k$ では $y^{(j)}_k:=p^{\lfloor k/2\rfloor-j}$、それ以外の $k$ では $y^{(j)}_k:=0$ とおくと、$x-p^jy^{(j)}$ の第 $k$ 成分は $k\ge2j$ で $0$ になる。$0$ でない成分が有限個しかない元は、その成分の位数の最小公倍数で消えるので捩れ元であり、$x-p^jy^{(j)}\in T(G)$ である。
$G=T(G)\oplus C$ と仮定し、$T(G)$ を核とする射影 $\pi_C\colon G\to C$ を考える。$c:=\pi_C(x)$ は $x\notin T(G)$ より $0$ でない。一方、各 $j\ge1$ について $c=\pi_C(p^jy^{(j)})=p^j\pi_C(y^{(j)})$ であり、$c$ は $G$ の中ですべての $p^j$ で割り切れる。これは最初に示したことに反する。

$M:=\prod_p\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$（$p$ はすべての素数を動く）、$T:=T(M)$、$\mathbf{1}:=(1,1,1,\dots)\in M$ とする。$M/T$ は可除で（捩れ(加群) の記事の例「反例：捩れ部分群が直和因子にならない」の証明の前半）、prop-mixed-group-basic の 1 により捩れのない群なので、$\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間である。$\mathbf 1$ は無限位数なので、その像 $\bar{\mathbf 1}$ は $0$ でない。直線 $L:=\mathbb{Q}\bar{\mathbf 1}\subset M/T$ の $M$ での逆像を $G$ とする。
$T\subset G\subset M$ なので $T(G)=G\cap T=T$ であり、$G/T\cong L\cong\mathbb{Q}$ である。$G$ が分裂して $G=T\oplus C$ なら、$C\cong\mathbb{Q}$ は $0$ でない可除群である。$0$ でない $c\in C$ と $c_p\ne0$ となる素数 $p$ をとると、$c=pz$（$z\in C\subset M$）から $c_p=pz_p=0$ となり矛盾する。よって $G$ は分裂しない。$T$ と $\mathbb{Q}$ は可算なので、$G$ は可算な混合群である。