Koszulホモロジーによる完全交叉の判定

別の最小生成系 $\boldsymbol y$ は $y_i=\sum_jc_{ij}x_j$ と書ける。$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ の二つの基底の変換行列が $(c_{ij}\bmod\mathfrak m)$ なので $\det(c_{ij})$ は単元であり、行列 $C=(c_{ij})$ は $A$ 上可逆である。次数 $1$ の基底を $e'_i\mapsto\sum_jc_{ij}e_j$ と送る写像の外積は、微分 $d(e'_i)=y_i=\sum_jc_{ij}x_j=d(\sum_jc_{ij}e_j)$ と両立する（微分は外積代数の次数付き導分なので、次数 $1$ で一致すれば全次数で一致する）。逆行列の外積が逆写像を与えるので、$K(\boldsymbol y;A)\cong K(\boldsymbol x;A)$ である。
完備化について。

$d=\dim Q$、$r=\dim_k\bigl((J+\mathfrak n^2)/\mathfrak n^2\bigr)$ と置き、$r$ に関する帰納法で示す。
$r=0$、すなわち $J\subset\mathfrak n^2$ の場合。 $\mathfrak m=\mathfrak n/J$ なので
$$ \mathfrak m/\mathfrak m^2=\mathfrak n/(\mathfrak n^2+J)=\mathfrak n/\mathfrak n^2 $$
であり、$\operatorname{edim}A=d$ である。正則パラメータ系 $\boldsymbol z=z_1,\ldots,z_d$ の像 $\boldsymbol x$ は $\mathfrak m$ の最小生成系になる。$\boldsymbol z$ は $Q$ 正則列なので（正則局所環 の命題「正則パラメータ系は正則列で、正則局所環は Cohen–Macaulay」）、$K(\boldsymbol z;Q)$ は $k$ の自由分解である（Koszul複体 の定理「正則列のKoszulホモロジー」）。これに $A$ をテンソルすると $K(\boldsymbol x;A)$ なので
$$ H_1(\boldsymbol x;A)\cong\operatorname{Tor}_1^Q(k,A) $$
である。短完全列 $0\to J\to Q\to A\to0$ の Tor の長完全列（Tor関手 の命題「長完全列」）
$$ 0=\operatorname{Tor}_1^Q(k,Q)\to\operatorname{Tor}_1^Q(k,A)\to k\otimes_QJ\to k\otimes_QQ $$
で、右端の写像は $J\subset\mathfrak n$ により零である。従って $\operatorname{Tor}_1^Q(k,A)\cong J/\mathfrak nJ$、$\varepsilon_1(A)=\mu(J)$ であり、公式が成り立つ。
$r>0$ の場合。 $g\in J\setminus\mathfrak n^2$ を取る。$Q'=Q/gQ$ は次元 $d-1$ の正則局所環である（正則局所環 の補題「正則パラメータ系の一部による商」）。$A$ は $Q'$ の商で、核は $J'=J/gQ$、$r$ は一つ減る。自然な全射 $J/\mathfrak nJ\to J'/\mathfrak n'J'=J/(\mathfrak nJ+gQ)$ の核は $g$ の類で張られ、$\mathfrak nJ\subset\mathfrak n^2$ と $g\notin\mathfrak n^2$ よりその類は零でない。従って $\mu(J')=\mu(J)-1$ である。$\dim Q$ と $\mu(J)$ がともに $1$ ずつ減り、$\operatorname{edim}A$ と $\varepsilon_1(A)$ は変わらないので、帰納法の仮定から公式が従う。$\square$

$J$ の最小生成系 $f_1,\ldots,f_u$（$u=\mu(J)$）による商について、$\dim Q/(f_1,\ldots,f_u)\ge\dim Q-u$ である（Cohen–Macaulay環 の補題「有限加群の次元降下」）。$Q/(f)=A$ なので第一の不等式を得て、thm-kci-equation-count に代入すると第二の不等式になる。一般の $A$ では、完備化 $\widehat A$ が正則完備局所環の商であること（Cohenの構造定理 の定理「Cohenの構造定理」と補題「係数体又はCohen環上の級数源の正則性」）を使って $\widehat A$ に当て、lem-kci-epsilon-independent で $A$ に戻す。$\square$

$d=\dim Q$、$u=\mu(J)$ とする。$Q$ は Cohen–Macaulay である（正則局所環 の命題「正則パラメータ系は正則列で、正則局所環は Cohen–Macaulay」）。
2 ⇒ 1：$J$ の最小生成系 $f_1,\ldots,f_u$ を任意の順で取る。$\dim Q/(f_1,\ldots,f_u)=d-u$ であり、$Q$ が Cohen–Macaulay なので、Cohen–Macaulay環 の定理「パラメータ系による判定」の後半により $f_1,\ldots,f_u$ は $Q$ 正則列である。
1 ⇒ 2：$J$ が長さ $t$ の正則列で生成されるなら、正則列の元で一つずつ割るたびに次元がちょうど $1$ 下がるので $\dim Q/J=d-t$ である（Cohen–Macaulay環 の補題「有限加群の次元降下」を各段の商に当てる）。$u\le t$ は明らか。cor-kci-lower-bound の第一の不等式から $u\ge d-\dim Q/J=t$。従って $u=t=d-\dim Q/J$ である。$\square$

1 と 3 は定義そのものであり、4 ⇒ 3 は正則な提示の存在（cor-kci-lower-bound の証明で使った Cohenの構造定理）から従う。
正則な提示 $Q\twoheadrightarrow B$（$B$ は $A$ または $\widehat A$）の核を $J$ とする。lem-kci-kernel-test により、$J$ が正則列で生成されることは $\mu(J)=\dim Q-\dim B$ と同値である。thm-kci-equation-count を代入すると、これは
$$ \varepsilon_1(B)=\operatorname{edim}B-\dim B $$
と同値になる。lem-kci-epsilon-independent によりこの等式は $B=A$ でも $B=\widehat A$ でも同じ条件 2 である。
従って、どの正則な提示についても「核が正則列で生成される」ことは 2 と同値である。3 ⇒ 2 ⇒ 4 と最後の主張がこれで示された。$\square$