余弦定理（高校数学）

方針：$\mathrm A$ を原点、$\mathrm B$ を $x$ 軸の正の部分におき、$\mathrm C$ の座標を三角比で書く。$a=\mathrm{BC}$ を 2 点間の距離の公式で計算する（図 1）。
段 1（座標をおく）。$\mathrm A(0,0)$、$\mathrm B(c,0)$ とし、$\mathrm C$ は $x$ 軸より上にあるようにおく。$\mathrm{AC}=b$ なので、$\mathrm C$ は原点を中心とする半径 $b$ の円の上半分にあり、$\angle\mathrm{BAC}=A$ である。三角比と鈍角への拡張 の注意「半径 $r$ の円で考えてもよい」により
$$ \mathrm C=(b\cos A,\ b\sin A) $$
である。$A$ が鋭角でも直角でも鈍角でも、この式は同じである。
段 2（距離を計算する）。2 点間の距離の公式（三平方の定理 から従う）により
$$ a^2=\mathrm{BC}^2=(b\cos A-c)^2+(b\sin A-0)^2 $$
である。
段 3（展開して整理する）。展開すると
$$ a^2=b^2\cos^2A-2bc\cos A+c^2+b^2\sin^2A=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A $$
である。三角比と鈍角への拡張 の定理「三角比の相互関係」により $\cos^2A+\sin^2A=1$ なので、$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ を得る。$\square$

方針：垂線の足 $\mathrm H$ をとり、直角三角形 $\mathrm{BHC}$ に三平方の定理を使う。$\mathrm{CH}$ と $\mathrm{BH}$ を $b,c,A$ で表す。$\mathrm H$ の位置は $A$ が鋭角・直角・鈍角で変わるので、場合に分ける。
段 1（$A=90^\circ$）。$\mathrm H=\mathrm A$ で、三平方の定理により $a^2=b^2+c^2$ である。$\cos90^\circ=0$ なので、これは $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ と同じである。
段 2（$A$ が鋭角）。まず $\mathrm H\ne\mathrm A$ である（$\mathrm H=\mathrm A$ なら $\mathrm{CA}\perp\mathrm{AB}$ で $A=90^\circ$ となる）。$\mathrm H$ は $\mathrm A$ から $\mathrm B$ の向きに延びる半直線の上にある（反対側にあると、直角三角形 $\mathrm{AHC}$ の $\mathrm A$ での角 $180^\circ-A$ が鈍角になってしまう）。直角三角形 $\mathrm{AHC}$ で $\mathrm{AH}=b\cos A$、$\mathrm{CH}=b\sin A$ である。$\mathrm H$ と $\mathrm B$ は同じ半直線の上にあるので $\mathrm{BH}=\lvert c-b\cos A\rvert$ である（$\mathrm H$ が $\mathrm B$ より先にあってもよい）。$\mathrm H\ne\mathrm B$ なら三角形 $\mathrm{BHC}$ は $\mathrm H$ で直角なので
$$ a^2=\mathrm{BH}^2+\mathrm{CH}^2=(c-b\cos A)^2+b^2\sin^2A $$
である。$\mathrm H=\mathrm B$ のときも $\mathrm{BH}=0$、$a=\mathrm{CH}$ なので、この式は成り立つ。
段 3（$A$ が鈍角）。同じ理由で $\mathrm H\ne\mathrm A$ であり、$\mathrm H$ は反対側の半直線の上にあり、直角三角形 $\mathrm{AHC}$ の $\mathrm A$ での角は $180^\circ-A$ である。三角比と鈍角への拡張 の定理「$180^\circ-\theta$ と $90^\circ-\theta$ の三角比」により
$$ \mathrm{AH}=b\cos(180^\circ-A)=-b\cos A,\qquad \mathrm{CH}=b\sin(180^\circ-A)=b\sin A $$
である。$\mathrm A$ は $\mathrm H$ と $\mathrm B$ の間にあるので $\mathrm{BH}=\mathrm{AH}+c=c-b\cos A$ であり
$$ a^2=\mathrm{BH}^2+\mathrm{CH}^2=(c-b\cos A)^2+b^2\sin^2A $$
である。
段 4（まとめ）。段 2 と段 3 の式は同じで、展開すると prf-lch-coord の段 3 と同じ計算で $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ になる。$\square$

方針：thm-lch-main を移項し、余弦の値から角が 1 つに決まること（三角比と鈍角への拡張 の命題「三角比の値と角の個数」の 1）を使う。
段 1。thm-lch-main の 1 つ目の式を移項すると $2bc\cos A=b^2+c^2-a^2$ で、$2bc>0$ なので両辺を $2bc$ で割って $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ を得る。
段 2。右辺は $a,b,c$ だけで決まる数である。$0^\circ< A<180^\circ$ の範囲で、$\cos A$ の値が決まると $A$ はただ 1 つに決まる。
段 3。3 辺がそれぞれ等しい 2 つの三角形では、段 1 の右辺が等しいので $\cos A$ が等しく、段 2 により $A$ も等しい。$B$、$C$ も同じである。$\square$

方針：$\cos A$ の符号と $A$ の大きさの関係を、単位円の上の点の $x$ 座標で読む。
段 1（余弦の符号）。三角比と鈍角への拡張 の定義により、$\cos A$ は単位円の上半分の点の $x$ 座標である。$0^\circ< A<90^\circ$ の点は第 1 象限にあって $x>0$、$A=90^\circ$ の点は $(0,1)$ で $x=0$、$90^\circ< A<180^\circ$ の点は第 2 象限にあって $x<0$ である。3 つの場合は重ならず、すべての $A$ をおおうので、「$A<90^\circ\iff\cos A>0$」「$A=90^\circ\iff\cos A=0$」「$A>90^\circ\iff\cos A<0$」が成り立つ。
段 2（1〜3）。cor-lch-angle により $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ で、$2bc>0$ なので、$\cos A$ と $b^2+c^2-a^2$ の符号は同じである。段 1 と合わせて 1〜3 を得る。
段 3（最も長い辺）。$a$ が最も長い辺なら、$b\le a$ なので、$c^2+a^2-b^2\ge c^2>0$ である。段 2 の 1 を $B$ に使うと $B<90^\circ$ である。同じく $C<90^\circ$ である。したがって三角形が鋭角三角形であることは $A<90^\circ$、つまり $b^2+c^2>a^2$ と同値である。$\square$

方針：$S=\dfrac12bc\sin A$ を 2 乗し、$\sin^2A=1-\cos^2A$ で余弦に直してから、余弦定理で $\cos A$ を消す。最後に 2 乗の差の因数分解を 2 回使う。
段 1（2 乗する）。$S=\dfrac12bc\sin A$ の両辺を 2 乗して $16$ 倍すると $16S^2=4b^2c^2\sin^2A$ である。
段 2（余弦に直す）。$\sin^2A=1-\cos^2A$ なので
$$ 16S^2=4b^2c^2-4b^2c^2\cos^2A=4b^2c^2-(2bc\cos A)^2 $$
である。
段 3（余弦定理で消す）。thm-lch-main により $2bc\cos A=b^2+c^2-a^2$ なので、$16S^2=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2$ である。
段 4（因数分解 1 回目）。$X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)$ を $X=2bc$、$Y=b^2+c^2-a^2$ に使うと
$$ 16S^2=(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)=\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)\bigl(a^2-(b-c)^2\bigr) $$
である。
段 5（因数分解 2 回目）。もう一度 2 乗の差を使うと
$$ (b+c)^2-a^2=(b+c+a)(b+c-a),\qquad a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c) $$
なので、$16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$ を得る。$\square$

方針：$a^2$ を余弦定理で、$T$ を $\dfrac12bc\sin A$ で書き換えると、左辺 − 右辺は $b,c$ と $A$ の式になる。$\cos A+\sqrt3\sin A\le2$ を示せば、$2(b-c)^2\ge0$ に帰着する。
段 1（書き換える）。thm-lch-main により $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$、面積の公式（正弦定理（高校数学） の系「面積と外接円の半径」）により $T=\dfrac12bc\sin A$ なので
$$ a^2+b^2+c^2-4\sqrt3\,T=(b^2+c^2-2bc\cos A)+b^2+c^2-2\sqrt3\,bc\sin A=2b^2+2c^2-2bc\,(\cos A+\sqrt3\sin A) $$
である。
段 2（$\cos A+\sqrt3\sin A\le2$）。展開して $\cos^2A+\sin^2A=1$ を使うと
$$ (\cos A+\sqrt3\sin A)^2+(\sqrt3\cos A-\sin A)^2=4\cos^2A+4\sin^2A=4 $$
である（$2\sqrt3\sin A\cos A$ の項は打ち消し合う）。第 2 項は $0$ 以上なので $(\cos A+\sqrt3\sin A)^2\le4$、よって $\cos A+\sqrt3\sin A\le2$ である。
段 3（不等式）。$bc>0$ なので、段 1・段 2 から
$$ a^2+b^2+c^2-4\sqrt3\,T\ge2b^2+2c^2-4bc=2(b-c)^2\ge0 $$
である。
段 4（等号）。等号が成り立つのは、段 3 の 2 つの不等号がどちらも等号のとき、つまり $\cos A+\sqrt3\sin A=2$ かつ $b=c$ のときである。前者は、段 2 により $\sqrt3\cos A-\sin A=0$、つまり $\tan A=\sqrt3$ と同じで（このとき $\cos A+\sqrt3\sin A=\dfrac12+\dfrac32=2$ となる）、$0^\circ< A<180^\circ$ では $A=60^\circ$ である。$b=c$ かつ $A=60^\circ$ の三角形は、残りの 2 つの角が等しく和が $120^\circ$ なので、正三角形である。逆に 1 辺 $a$ の正三角形では $T=\dfrac{\sqrt3}4a^2$ で、$3a^2=4\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}4a^2$ と等号が成り立つ。
よって $a^2+b^2+c^2\ge4\sqrt3\,T$ で、等号は正三角形のときに限る。$\square$