同型

二点以上をもつ集合 $X$ に、すべての部分集合を開集合とする離散位相 $\mathcal O_{\mathrm d}$ と、$\emptyset$ と $X$ だけを開集合とする密着位相 $\mathcal O_{\mathrm i}$ を入れる。恒等写像
$$ f=\mathrm{id}_X\colon(X,\mathcal O_{\mathrm d})\to(X,\mathcal O_{\mathrm i}) $$
は連続な全単射であるが、位相空間の圏の同型射ではない。
連続性：$\mathcal O_{\mathrm i}$ の元 $\emptyset$、$X$ の $f$ による逆像はそれぞれ $\emptyset$、$X$ であり、どちらも $\mathcal O_{\mathrm d}$ に属する。全単射であることは恒等写像だから明らかである。逆写像 $f^{-1}=\mathrm{id}_X\colon(X,\mathcal O_{\mathrm i})\to(X,\mathcal O_{\mathrm d})$ は連続でない。実際、一点 $x\in X$ をとると $\{x\}$ は $\mathcal O_{\mathrm d}$ に属する開集合だが、その $f^{-1}$ による逆像 $\{x\}$ は、$X$ が二点以上をもつので $\emptyset$ でも $X$ でもなく、$\mathcal O_{\mathrm i}$ に属さない。よって lem-isomorphism-concrete の条件 2 が成り立たず、$f$ は同型射でない。
この例は「連続な全単射である」という性質を満たし「逆写像が連続である」という性質を満たさず、「連続な全単射ならば同相写像である」という含意を破る。すなわち prop-isomorphism-bijective-hom の類似は位相空間では成り立たない。半開区間 $[0,1)$ から円周への連続全単射など、より幾何的な反例は 同相写像 の記事にある。順序集合でも同様に、順序を保つ全単射で逆写像が順序を保たないものが存在する（順序同型 の記事の反例）。

実数の加法群 $(\mathbb{R},+)$ と正の実数の乗法群 $(\mathbb{R}_{>0},\times)$ は群として同型である。実際、指数関数 $\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{>0}$ は $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ を満たす群準同型であり、$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}_{>0}$ への全単射である（逆写像は対数関数 $\log$。DF04 §1.6）。よって prop-isomorphism-bijective-hom により $\exp$ は群同型であり、$\log$ がその逆射である。等式 $\log(ab)=\log a+\log b$ は、逆写像が自動的に準同型になることの具体例である。

整数の加法群 $(\mathbb{Z},+)$ と有理数の加法群 $(\mathbb{Q},+)$ は、集合の圏では同型である。どちらも可算集合なので、$\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Q}$ の間に全単射が存在するからである。しかし群の圏では同型でない。群同型 $f\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ があったとすると、全射性から $f(q)=1$ となる $q\in\mathbb{Q}$ があり、
$$ 1=f(q)=f\!\left(\tfrac q2+\tfrac q2\right)=2f\!\left(\tfrac q2\right) $$
となるが、$1$ は偶数でないので矛盾する。この例は、同じ二つの集合でも、載せる構造（どの圏で見るか）によって同型かどうかが変わることを示す。

体 $k$ 上の $n$ 次元ベクトル空間 $V$ は $k^n$ と同型である。基底（基底と次元） $v_1,\dots,v_n$ を選ぶと、$(a_1,\dots,a_n)\mapsto\sum_{i=1}^n a_iv_i$ は全単射な線形写像であり、prop-isomorphism-bijective-hom（加群の場合）により線形同型である。この同型は基底の選択に依存し、別の基底を選べば別の同型が得られる（rem-isomorphism-canonical）。逆に、線形同型は基底を基底に写すので、$V\cong k^n$ ならば $\dim V=n$ である。すなわち次元は同型不変量（def-isomorphism-invariant）である。

集合の圏で、包含写像 $i\colon\{0\}\to\{0,1\}$ を考える。唯一の写像 $r\colon\{0,1\}\to\{0\}$ は $r\circ i=\mathrm{id}_{\{0\}}$ を満たすので、$i$ の左逆射である。しかし $i$ は全射でないので同型射ではなく、実際 $i(r(1))=0\ne1$ なので $i\circ r\ne\mathrm{id}_{\{0,1\}}$ である。同様に $r$ は右逆射 $i$ をもつが同型射でない。この例は「左逆射をもつ」という性質を満たし「右逆射をもつ」という性質を満たさず、「片側の逆射をもてば同型射である」という含意を破る。prop-isomorphism-basic の 1 は、左逆射と右逆射の両方が存在すれば一致することを述べており、片側の存在から他方の存在を導けるとは述べていない。

環の圏で、包含写像 $i\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ を考える。$i$ は単射な環準同型なので、$i\circ u=i\circ v$ ならば各点で $u(w)=v(w)$ となり、$i$ はモノ射である。$i$ はエピ射でもある。実際、環 $R$ への環準同型 $u,v\colon\mathbb{Q}\to R$ が $u\circ i=v\circ i$、すなわち整数上で一致するとする。$0$ でない整数 $n$ に対し $u(1/n)\,u(n)=u(1)=1$ かつ $u(n)\,u(1/n)=1$ なので $u(1/n)$ は $u(n)$ の逆元であり、同様に $v(1/n)$ は $v(n)=u(n)$ の逆元である。環の可逆元の逆元は一意なので $u(1/n)=v(1/n)$ であり、任意の整数 $m$ に対し $u(m/n)=u(m)u(1/n)=v(m)v(1/n)=v(m/n)$ となる。よって $u=v$ である。しかし $i$ は全射でない（$1/2$ は像に入らない）ので、lem-isomorphism-concrete により同型射でない。この例は「モノ射かつエピ射である」という性質を満たし「同型射である」という性質を満たさず、「モノ射かつエピ射ならば同型射である」という含意を破る。

1. 位数 $4$ の巡回群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ とKleinの四元群 $V_4=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は、どちらも位数 $4$ のアーベル群だが同型でない。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ には位数 $4$ の元 $[1]$ があるが、$V_4$ の単位元でない元 $(a,b)$ は $2(a,b)=(2a,2b)=(0,0)$ を満たすので位数 $2$ である。よって prop-isomorphism-group-invariants の 2 により両者は同型でない。位数という不変量だけでは区別できず、元の位数の分布まで見る必要がある例である。
2. 実数の加法群 $(\mathbb{R},+)$ と、$0$ でない実数の乗法群 $(\mathbb{R}^\times,\times)$ は同型でない。$\mathbb{R}^\times$ には位数 $2$ の元 $-1$（$(-1)^2=1$ かつ $-1\ne1$）があるが、$(\mathbb{R},+)$ で $2x=0$ を満たすのは $x=0$ だけであり、位数 $2$ の元がない。ex-isomorphism-exp と比べると、$\mathbb{R}^\times$ から符号を取り除いた $\mathbb{R}_{>0}$ はちょうど $(\mathbb{R},+)$ と同型になる。
3. 3 次の対称群 $S_3$ と $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ はどちらも位数 $6$ の群だが、$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ はアーベル群で、$S_3$ はアーベル群でない（置換の合成を右から先に作用させると $(1\,2)(1\,3)=(1\,3\,2)$、$(1\,3)(1\,2)=(1\,2\,3)$）。よって 3 により同型でない。

1. 集合 $X$ の自己同型群は $X$ から $X$ への全単射全体、すなわち $X$ 上の対称群 $S_X$ である。
2. 加法群 $\mathbb{Z}$ の自己同型群は $\{\mathrm{id},-\mathrm{id}\}$ であり、位数 $2$ の群である。実際、群準同型 $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ は $f(n)=nf(1)$ により $a:=f(1)$ で決まる。$f$ が全射であるためには $ma=1$ となる整数 $m$ が必要なので $a=\pm1$ である。逆に $a=\pm1$ なら $n\mapsto an$ は全単射な群準同型である。
3. 体 $k$ 上の数ベクトル空間 $k^n$ の自己同型群は、可逆な $n$ 次正方行列全体のなす一般線形群 $\mathrm{GL}_n(k)$ である（線形写像と行列の対応は 線形写像）。
4. 加法群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の自己同型は $[x]\mapsto[ax]$（$\gcd(a,n)=1$）の形の写像であり、$\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ は法 $n$ の既約剰余類群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ と同型である（DF04 §4.4）。生成元 $[a]$ の特徴づけは 巡回群 の記事にある。