外微分

条件 1 は定義そのものである。
(1) 添字に重複があれば $dx^{m_1}\wedge\cdots\wedge dx^{m_k}=0$ なので両辺とも $0$ である。重複がなければ、添字を昇順に並べ替えて $dx^{m_1}\wedge\cdots\wedge dx^{m_k}=\varepsilon\,dx^I$（$\varepsilon=\pm1$、$I$ は増加列）と書け、$d_U$ の $\mathbb{R}$-線型性により $d_U(\varepsilon f\,dx^I)=\varepsilon\,df\wedge dx^I=df\wedge dx^{m_1}\wedge\cdots\wedge dx^{m_k}$ である。
(2) 定義式の右辺は各点でその点における係数 $\omega_I$ の偏微分だけで決まるので、$V$ 上では $\omega|_V$ だけから計算できる。
条件 2（Leibniz 則）。両辺は $(\omega,\eta)$ について $\mathbb{R}$-双線型なので、$\omega=f\,dx^I$、$\eta=g\,dx^J$（$I$ は長さ $p$、$J$ は長さ $q$ の増加列）の場合に示せばよい。関数の微分の Leibniz 則 $d(fg)=g\,df+f\,dg$ と (1) により
$$d_U(\omega\wedge\eta)=d_U(fg\,dx^I\wedge dx^J)=(g\,df+f\,dg)\wedge dx^I\wedge dx^J=(df\wedge dx^I)\wedge(g\,dx^J)+f\,dg\wedge dx^I\wedge dx^J$$
である。第 1 項は $d_U\omega\wedge\eta$ である。第 2 項は、1-形式 $dg$ を $p$ 個の 1-形式の外積 $dx^I$ の後ろへ移す交換則 $dg\wedge dx^I=(-1)^p\,dx^I\wedge dg$ により $(-1)^p f\,dx^I\wedge dg\wedge dx^J=(-1)^p\,\omega\wedge d_U\eta$ である。
条件 3（$d^2=0$）。$\omega=\sum_I\omega_I\,dx^I$ に対し、定義と (1) により
$$d_U(d_U\omega)=\sum_I\sum_{m=1}^n d_U\Bigl(\frac{\partial\omega_I}{\partial x^m}\,dx^m\wedge dx^I\Bigr)=\sum_I\sum_{l,m=1}^n\frac{\partial^2\omega_I}{\partial x^l\,\partial x^m}\,dx^l\wedge dx^m\wedge dx^I$$
である。$\omega_I$ は $C^\infty$ 級なので偏微分の順序は交換でき $\partial_l\partial_m\omega_I=\partial_m\partial_l\omega_I$ である一方、$dx^l\wedge dx^m=-dx^m\wedge dx^l$ である。したがって $(l,m)$ の項と $(m,l)$ の項は打ち消し合い（$l=m$ の項は $dx^l\wedge dx^l=0$ により消える）、和は $0$ である。$\square$

$x\in W$ を任意にとる。切り落とし関数 $\psi\in C^\infty(M)$ で、台が $W$ に含まれ、$x$ のある近傍 $V\subset W$ 上で $\psi\equiv1$ となるものをとる（存在は Lee12 Ch. 2）。このとき $\psi\omega=0$ が $M$ 全体で成り立つ（$W$ 上では $\omega=0$、$W$ の外では $\psi=0$ だからである）。条件 2 を $p=0$ の $\psi$ と $\omega$ に適用し、条件 1 を使うと
$$0=D(\psi\omega)=d\psi\wedge\omega+\psi\,D\omega$$
である。点 $x$ で評価すると、$\psi$ は $x$ の近傍で定数なので $(d\psi)_x=0$、また $\psi(x)=1$ であるから $(D\omega)_x=0$ を得る。$x\in W$ は任意だったので $(D\omega)|_W=0$ である。後半は $D$ の線型性による。$\square$

一意性。$d$ を 3 条件を満たす族とする。座標近傍 $(U;x^1,\dots,x^n)$ と $\omega\in\Omega^p(M)$ に対し $(d\omega)|_U=d_U(\omega|_U)$ を示せば、座標近傍は $M$ を覆うので $d\omega$ は一意に定まる。$x\in U$ を固定し、台が $U$ に含まれ $x$ の近傍 $V\subset U$ 上で $\psi\equiv1$ となる切り落とし関数 $\psi$ をとる。$U$ 上で $\omega|_U=\sum_I\omega_I\,dx^I$ と書き、$U$ の外では $0$ として延長した関数
$$\tilde{x}^i:=\psi x^i,\qquad \tilde{\omega}_I:=\psi\omega_I\qquad(\text{いずれも }C^\infty(M)\text{ の元})$$
を用いて、$M$ 全体で定義された $p$-形式
$$\tilde{\omega}:=\sum_I\tilde{\omega}_I\,d\tilde{x}^{i_1}\wedge\cdots\wedge d\tilde{x}^{i_p}\in\Omega^p(M)$$
をつくる。$V$ 上では $\tilde{x}^i=x^i$、$\tilde{\omega}_I=\omega_I$ であり、関数の微分は局所的なので $V$ 上で $d\tilde{x}^i=dx^i$ である。よって $\tilde{\omega}|_V=\omega|_V$ であり、lem-exterior-derivative-locality により $(d\omega)|_V=(d\tilde{\omega})|_V$ である。一方、条件 2 と条件 3（$d(d\tilde{x}^i)=0$）により、閉じた 1-形式 $\alpha_1,\dots,\alpha_p$ に対して $d(\alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_p)=\sum_{j}(-1)^{j-1}\alpha_1\wedge\cdots\wedge d\alpha_j\wedge\cdots\wedge\alpha_p=0$ であり、したがって
$$d\tilde{\omega}=\sum_I\bigl(d\tilde{\omega}_I\wedge d\tilde{x}^{i_1}\wedge\cdots\wedge d\tilde{x}^{i_p}+\tilde{\omega}_I\,d(d\tilde{x}^{i_1}\wedge\cdots\wedge d\tilde{x}^{i_p})\bigr)=\sum_I d\tilde{\omega}_I\wedge d\tilde{x}^{i_1}\wedge\cdots\wedge d\tilde{x}^{i_p}$$
である。$V$ に制限すればこれは $\sum_I d\omega_I\wedge dx^I=d_U(\omega|_U)$ の $V$ への制限に等しい。$x\in U$ は任意だったので $(d\omega)|_U=d_U(\omega|_U)$ である。
存在。$\omega\in\Omega^p(M)$ に対し、各座標近傍 $U$ 上で $(d\omega)|_U:=d_U(\omega|_U)$ と定める。2 つの座標近傍 $(U;x)$、$(U';x')$ の交わり $W=U\cap U'$ が空でないとき、lem-exterior-derivative-local-properties の (2) により $d_U(\omega|_U)|_W=d_{W,x}(\omega|_W)$、$d_{U'}(\omega|_{U'})|_W=d_{W,x'}(\omega|_W)$ である（$d_{W,x}$ は $W$ 上で座標 $x$ を用いた局所定義）。$d_{W,x}$ と $d_{W,x'}$ はいずれも多様体 $W$ 上で 3 条件を満たす（lem-exterior-derivative-local-properties）ので、いま示した一意性を多様体 $W$ と座標近傍 $(W;x)$ に適用すると $d_{W,x'}=d_{W,x}$ である。よって各座標近傍での定義は交わりの上で一致し、$d\omega\in\Omega^{p+1}(M)$ が定まる。$d$ の $\mathbb{R}$-線型性と 3 条件は、いずれも各座標近傍上で確かめれば十分な等式であり、そこでは $d$ は $d_U$ に一致するので、lem-exterior-derivative-local-properties から従う。$\square$

両辺とも $(X_1,\dots,X_{p+1})$ について $\mathbb{R}$-多重線型であり、点 $x$ での値は $\omega$ と各 $X_i$ の $x$ の近傍での値だけで決まる（右辺の $X_i(\cdot)$ と Lie 括弧は局所的な作用素である）。したがって座標近傍 $(U;x^1,\dots,x^n)$ 上で示せばよい。$U$ 上で $X_i=\sum_aX_i^a\partial_a$ と書き、任意の添字の並びに対して $\omega_{a_1\cdots a_p}:=\omega(\partial_{a_1},\dots,\partial_{a_p})$ とおく。$\omega$ の多重線型性により、ベクトル場 $Y_1,\dots,Y_p$ に対して
$$\omega(Y_1,\dots,Y_p)=\sum_{a_1,\dots,a_p}\omega_{a_1\cdots a_p}\,Y_1^{a_1}\cdots Y_p^{a_p}$$
であり、def-exterior-derivative-local の（任意の並びに対する）成分公式により
$$d\omega(X_1,\dots,X_{p+1})=\sum_{a_1,\dots,a_{p+1}}\Bigl(\sum_{i=1}^{p+1}(-1)^{i-1}\,\partial_{a_i}\omega_{a_1\cdots\widehat{a_i}\cdots a_{p+1}}\Bigr)X_1^{a_1}\cdots X_{p+1}^{a_{p+1}}$$
である。この右辺を $(\ast)$ とおく。
右辺の第 1 の和を展開する。$X_i(g)=\sum_bX_i^b\,\partial_bg$ であるから、積の微分により
$$X_i\bigl(\omega(X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots,X_{p+1})\bigr)=\sum_{b}\sum_{a}X_i^b\,(\partial_b\omega_{a_1\cdots\widehat{a_i}\cdots a_{p+1}})\prod_{k\neq i}X_k^{a_k}+\sum_{k\neq i}\sum_{b}\sum_{a}\omega_{a_1\cdots\widehat{a_i}\cdots a_{p+1}}\,X_i^b(\partial_bX_k^{a_k})\prod_{l\neq i,k}X_l^{a_l}$$
である（$a$ は $a_i$ を除く添字の並びを走る）。第 1 群で $b$ を $a_i$ と改名すると、$\sum_i(-1)^{i-1}\times$（第 1 群）はちょうど $(\ast)$、すなわち $d\omega(X_1,\dots,X_{p+1})$ になる。したがって、残る
$$\sum_{i=1}^{p+1}(-1)^{i-1}\times(\text{第 2 群})+\sum_{i< j}(-1)^{i+j}\,\omega([X_i,X_j],X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots,\widehat{X_j},\dots,X_{p+1})$$
が $0$ であることを示せばよい。
$U$ 上の 2 つのベクトル場 $X,Y$ に対し、成分ごとの方向微分 $X(Y):=\sum_aX(Y^a)\,\partial_a=\sum_a\bigl(\sum_bX^b\partial_bY^a\bigr)\partial_a$ とおく。Lie 括弧の座標表示は $[X,Y]=X(Y)-Y(X)$ である。第 2 群の $k$ に対応する項は、$\omega$ の多重線型性により、$X_k$ の位置に $X_i(X_k)$ を入れた
$$\omega\bigl(X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots,\underset{k\text{ の位置}}{X_i(X_k)},\dots,X_{p+1}\bigr)$$
に等しい。$X_i$ を除いた並びの中で $X_k$ の位置は、$k< i$ なら $k$ 番目、$k>i$ なら $k-1$ 番目であり、$X_i(X_k)$ を先頭へ移す互換の回数はそれぞれ $k-1$ 回、$k-2$ 回である。よって $(-1)^{i-1}\times$（第 2 群の $k$ の項）は、$\omega_{i,k}:=\omega\bigl(X_i(X_k),X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots,\widehat{X_k},\dots,X_{p+1}\bigr)$ とおくと、
$$k< i\text{ のとき }(-1)^{i-1}(-1)^{k-1}\omega_{i,k}=(-1)^{i+k}\,\omega_{i,k},\qquad k>i\text{ のとき }(-1)^{i-1}(-1)^{k}\omega_{i,k}=-(-1)^{i+k}\,\omega_{i,k}$$
である。$i< j$ なる組ごとに、$(i,k)=(i,j)$ の項と $(i,k)=(j,i)$ の項を合わせると
$$-(-1)^{i+j}\,\omega_{i,j}+(-1)^{i+j}\,\omega_{j,i}=-(-1)^{i+j}\,\omega\bigl(X_i(X_j)-X_j(X_i),X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots,\widehat{X_j},\dots\bigr)=-(-1)^{i+j}\,\omega\bigl([X_i,X_j],X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots,\widehat{X_j},\dots\bigr)$$
となり、これは Lie 括弧を含む和の $(i,j)$ の項とちょうど打ち消し合う。$\square$

$D:=F^\ast\circ d-d\circ F^\ast\colon\Omega^p(M)\to\Omega^{p+1}(N)$ とおき、$D=0$ を示す。$D$ は $\mathbb{R}$-線型である。次の 4 つを確かめる。
(a) 関数上で $D=0$。$f\in C^\infty(M)$、$y\in N$、$v\in T_yN$ に対し、$dF_y(v)$ は $F(y)$ での接ベクトルで $dF_y(v)(f)=v(f\circ F)$ を満たす（連鎖律。導分としての $dF_y$ の定義そのもの）ので、$(F^\ast df)_y(v)=df_{F(y)}(dF_y(v))=v(f\circ F)=d(f\circ F)_y(v)$、すなわち $F^\ast(df)=d(F^\ast f)$ である。
(b) 関数の微分の上で $D=0$。(a) と $d^2=0$ により $D(df)=F^\ast(d\,df)-d(F^\ast df)=0-d(d(f\circ F))=0$ である。
(c) ねじれた Leibniz 則。$F^\ast$ が外積を保つこと（$F^\ast(\omega\wedge\eta)=F^\ast\omega\wedge F^\ast\eta$）と $M$、$N$ 上の Leibniz 則により、$\omega\in\Omega^p(M)$、$\eta\in\Omega^q(M)$ に対して
$$D(\omega\wedge\eta)=F^\ast(d\omega)\wedge F^\ast\eta+(-1)^pF^\ast\omega\wedge F^\ast(d\eta)-d(F^\ast\omega)\wedge F^\ast\eta-(-1)^pF^\ast\omega\wedge d(F^\ast\eta)=D\omega\wedge F^\ast\eta+(-1)^p\,F^\ast\omega\wedge D\eta$$
である。
(d) 局所性。$M$ の開集合 $W$ 上で $\omega|_W=0$ ならば、lem-exterior-derivative-locality により $(d\omega)|_W=0$、引き戻しは各点で定まるので $F^\ast\omega$ と $F^\ast(d\omega)$ は $F^{-1}(W)$ 上で $0$、再び局所性により $d(F^\ast\omega)$ も $F^{-1}(W)$ 上で $0$ である。よって $(D\omega)|_{F^{-1}(W)}=0$ である。
さて $y\in N$ を任意にとり、$F(y)$ を含む $M$ の座標近傍 $(U;x^1,\dots,x^n)$ をとる。prf-exterior-derivative-axioms の一意性の証明と同じく、切り落とし関数を使って $M$ 全体で定義された $\tilde{\omega}=\sum_I\tilde{\omega}_I\,d\tilde{x}^{i_1}\wedge\cdots\wedge d\tilde{x}^{i_p}$ で、$F(y)$ のある近傍 $V$ 上で $\tilde{\omega}|_V=\omega|_V$ となるものをつくる。(d) により $D\omega$ と $D\tilde{\omega}$ は $F^{-1}(V)\ni y$ 上で一致する。一方、(c) を繰り返し使うと $D\tilde{\omega}$ は、$D\tilde{\omega}_I\wedge F^\ast(\cdots)$ の形の項と $F^\ast(\cdots)\wedge D(d\tilde{x}^{i_j})\wedge F^\ast(\cdots)$ の形の項の符号付きの和であり、(a)(b) によりすべての項が $0$ である。よって $(D\omega)_y=0$ であり、$y$ は任意だったので $D=0$ である。$\square$

$p=0$ のときは $\iota_Xf=0$、$\iota_X(df)=df(X)=X(f)=\mathcal{L}_Xf$ である。$p\ge1$ とし、$X_0:=X$ とおいてベクトル場 $X_1,\dots,X_p$ での値を比べる。thm-exterior-derivative-invariant-formula を $p+1$ 個の引数 $X_0,X_1,\dots,X_p$ に適用する（添字を $0$ から始めるので、$X_i$ を除く項の符号は $(-1)^i$、$[X_i,X_j]$ の項の符号は $(-1)^{i+j}$ になる）と
$$\iota_X(d\omega)(X_1,\dots,X_p)=d\omega(X_0,X_1,\dots,X_p)=\sum_{i=0}^{p}(-1)^iX_i\bigl(\omega(X_0,\dots,\widehat{X_i},\dots,X_p)\bigr)+\sum_{0\le i< j\le p}(-1)^{i+j}\omega\bigl([X_i,X_j],X_0,\dots,\widehat{X_i},\dots,\widehat{X_j},\dots,X_p\bigr)$$
である。一方、$(p-1)$-形式 $\iota_X\omega$ に同じ公式を $X_1,\dots,X_p$ について適用し、$\iota_X\omega(\cdots)=\omega(X_0,\cdots)$ を代入すると
$$d(\iota_X\omega)(X_1,\dots,X_p)=\sum_{i=1}^{p}(-1)^{i-1}X_i\bigl(\omega(X_0,X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots,X_p)\bigr)+\sum_{1\le i< j\le p}(-1)^{i+j}\omega\bigl(X_0,[X_i,X_j],X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots,\widehat{X_j},\dots,X_p\bigr)$$
である。2 つを加える。$i\ge1$ の $X_i(\cdots)$ の項は係数が $(-1)^i+(-1)^{i-1}=0$ となって消える。$1\le i< j$ の Lie 括弧の項は、$\omega$ の交代性により $\omega([X_i,X_j],X_0,\dots)=-\omega(X_0,[X_i,X_j],\dots)$ なので打ち消し合う。残るのは $i=0$ の項だけであり、
$$X_0\bigl(\omega(X_1,\dots,X_p)\bigr)+\sum_{j=1}^{p}(-1)^{j}\,\omega\bigl([X_0,X_j],X_1,\dots,\widehat{X_j},\dots,X_p\bigr)$$
である。第 2 の和で $[X_0,X_j]$ を $X_1,\dots,X_{j-1}$ の後ろ、すなわち $j$ 番目の位置へ移すには $j-1$ 回の互換が要るので、その項は $(-1)^j(-1)^{j-1}\omega(X_1,\dots,[X,X_j],\dots,X_p)=-\omega(X_1,\dots,[X,X_j],\dots,X_p)$ に等しい。よって
$$\bigl(d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega)\bigr)(X_1,\dots,X_p)=X\bigl(\omega(X_1,\dots,X_p)\bigr)-\sum_{j=1}^p\omega(X_1,\dots,[X,X_j],\dots,X_p)=(\mathcal{L}_X\omega)(X_1,\dots,X_p)$$
である。後半の主張は、Cartan の公式の両辺に $d$ を左右から施して $d^2=0$ を使えば $d\mathcal{L}_X=d\iota_Xd=\mathcal{L}_Xd$ となること、および $d\omega=0$ なら第 2 項が消えることから従う。$\square$

一意性。条件 1・2・3 により、prf-exterior-derivative-axioms と同じ計算で $d(da_1\wedge\cdots\wedge da_p)=0$、したがって $d(a_0\,da_1\wedge\cdots\wedge da_p)=da_0\wedge da_1\wedge\cdots\wedge da_p$ が強制される。$\Omega^p_{A/k}$ はこの形の元の有限和からなり $d$ は加法的なので、$d$ は一意である。
存在。$F$ を記号 $\delta a$（$a\in A$）を基底とする自由 $A$ 加群、$R\subset F$ を
$$\delta(a+b)-\delta a-\delta b,\qquad \delta(ab)-a\,\delta b-b\,\delta a,\qquad \delta\lambda\quad(a,b\in A,\ \lambda\in k\text{ の }A\text{ での像})$$
で生成される部分加群とすると、$\Omega^1_{A/k}=F/R$ であり、$da$ は $\delta a$ の類である（Kähler微分 の記事の命題「生成元と関係式による構成」、Eis95 §16.1）。集合 $A$ に全順序を 1 つ固定すると、$\bigwedge^p_AF$ は $e_B:=\delta b_1\wedge\cdots\wedge\delta b_p$（$B=(b_1<\cdots< b_p)$）を基底とする自由 $A$ 加群である（自由加群の外冪。Eis95 Appendix A2）。また $\bigwedge^p_A(F/R)=\bigwedge^p_AF\big/K$、$K:=R\wedge\bigwedge^{p-1}_AF$ である。実際、自然な全射 $\bigwedge^pF\to\bigwedge^p(F/R)$ は $K$ を $0$ に写し、逆向きの写像は、交代的な多重線形写像 $(F/R)^p\to\bigwedge^pF/K$、$(\bar{f}_1,\dots,\bar{f}_p)\mapsto[f_1\wedge\cdots\wedge f_p]$（代表元 $f_i$ を $R$ の元だけ変えても $f_1\wedge\cdots\wedge f_p$ は $K$ の元だけ変わるので定義できる）が外冪の普遍性により誘導する。
加法的な写像 $\tilde{d}\colon\bigwedge^p_AF\to\Omega^{p+1}_{A/k}$ を、基底による一意な表示 $\xi=\sum_Bc_B\,e_B$（$c_B\in A$）に対して
$$\tilde{d}(\xi):=\sum_Bdc_B\wedge db_1\wedge\cdots\wedge db_p$$
で定める。$d\colon A\to\Omega^1_{A/k}$ が加法的なので $\tilde{d}$ は加法的である（$A$-線型ではない）。まず、任意の $c,u_1,\dots,u_p\in A$ に対して
$$\tilde{d}(c\,\delta u_1\wedge\cdots\wedge\delta u_p)=dc\wedge du_1\wedge\cdots\wedge du_p$$
が成り立つ。$u_i$ に重複があれば左辺は $\tilde{d}(0)=0$、右辺も $du_i$ の重複により $0$ である。重複がなければ、並べ替えて $\delta u_1\wedge\cdots\wedge\delta u_p=\varepsilon\,e_B$（$\varepsilon=\pm1$）と書け、$\tilde{d}(\varepsilon c\,e_B)=d(\varepsilon c)\wedge db_1\wedge\cdots\wedge db_p=\varepsilon\,dc\wedge db_1\wedge\cdots\wedge db_p=dc\wedge du_1\wedge\cdots\wedge du_p$ である（$\Omega^{p+1}_{A/k}$ でも同じ並べ替えが同じ符号 $\varepsilon$ を与える）。
次に $\tilde{d}(K)=0$ を示す。$K$ は $c\,r\wedge\delta u_2\wedge\cdots\wedge\delta u_p$（$c\in A$、$r$ は $R$ の上の 3 種の生成元、$u_i\in A$）の形の元の有限和からなるので、$\tilde{d}$ の加法性により、この形の元で $\tilde{d}$ が $0$ になることを示せばよい。$\xi:=du_2\wedge\cdots\wedge du_p\in\Omega^{p-1}_{A/k}$ とおく（$p=1$ のときは $\xi:=1$）。

• $r=\delta(a+b)-\delta a-\delta b$ のとき：上の公式により $\tilde{d}(c\,r\wedge\delta u_2\wedge\cdots)=dc\wedge d(a+b)\wedge\xi-dc\wedge da\wedge\xi-dc\wedge db\wedge\xi=0$。
• $r=\delta(ab)-a\,\delta b-b\,\delta a$ のとき：$c\,r\wedge\delta u_2\wedge\cdots=c\,\delta(ab)\wedge\cdots-ca\,\delta b\wedge\cdots-cb\,\delta a\wedge\cdots$ なので、$\tilde{d}$ による像は $dc\wedge d(ab)\wedge\xi-d(ca)\wedge db\wedge\xi-d(cb)\wedge da\wedge\xi$ である。$d(ab)=a\,db+b\,da$、$d(ca)=c\,da+a\,dc$、$d(cb)=c\,db+b\,dc$ を代入すると
  $$\bigl(a\,dc\wedge db+b\,dc\wedge da-c\,da\wedge db-a\,dc\wedge db-c\,db\wedge da-b\,dc\wedge da\bigr)\wedge\xi=-c\,(da\wedge db+db\wedge da)\wedge\xi=0$$
  である。
• $r=\delta\lambda$ のとき：$d\lambda=0$ なので $dc\wedge d\lambda\wedge\xi=0$。
  よって $\tilde{d}$ は加法的な写像 $d\colon\Omega^p_{A/k}=\bigwedge^pF/K\to\Omega^{p+1}_{A/k}$ を誘導し、上の公式により $d(a_0\,da_1\wedge\cdots\wedge da_p)=da_0\wedge da_1\wedge\cdots\wedge da_p$ である。$\lambda\in k$ に対して $d(\lambda a_0\,da_1\wedge\cdots)=d(\lambda a_0)\wedge da_1\wedge\cdots=\lambda\,da_0\wedge da_1\wedge\cdots$（普遍導分は $k$-線型）なので $d$ は $k$-線型である。条件 1 は $p=0$ での定義である。条件 3：$d(da_1\wedge\cdots\wedge da_p)=d(1\cdot da_1\wedge\cdots\wedge da_p)=d1\wedge da_1\wedge\cdots\wedge da_p=0$ であり、加法性により $d\circ d=0$ である。条件 2：両辺は $(\omega,\eta)$ について双加法的なので $\omega=a_0\,da_1\wedge\cdots\wedge da_p$、$\eta=b_0\,db_1\wedge\cdots\wedge db_q$ の場合に示せばよい。$\omega\wedge\eta=a_0b_0\,da_1\wedge\cdots\wedge da_p\wedge db_1\wedge\cdots\wedge db_q$ なので
  $$d(\omega\wedge\eta)=(b_0\,da_0+a_0\,db_0)\wedge da_1\wedge\cdots\wedge da_p\wedge db_1\wedge\cdots\wedge db_q=d\omega\wedge\eta+(-1)^p\,\omega\wedge d\eta$$
  である（第 2 項では 1-形式 $db_0$ を $p$ 個の 1-形式の後ろへ移した）。$\square$