一様分布と指数分布

方針：$U(0,1)$ に従う $U$ を使って $X$ と同じ分布の $Y=(b-a)U+a$ を作り、1 次式の変換の公式を使う。
段 1（$Y$ の密度）。$U$ の密度を $f_0$（$0\le u\le1$ で $1$、それ以外で $0$）とする。確率密度関数と連続型確率変数 の命題「1 次式で変換した確率変数の密度・期待値・分散」を、係数 $b-a>0$、定数項 $a$ で使うと、$Y=(b-a)U+a$ の密度は
$$ g(y)=\frac1{b-a}f_0\Bigl(\frac{y-a}{b-a}\Bigr) $$
である。$\dfrac{y-a}{b-a}$ が $0$ 以上 $1$ 以下になるのは $a\le y\le b$ のときなので、$g(y)$ は $a\le y\le b$ で $\dfrac1{b-a}$、それ以外で $0$ である。つまり $Y$ は $U(a,b)$ に従い、$X$ と同じ密度をもつ。
段 2（平均と分散）。同じ命題により
$$ E(Y)=(b-a)E(U)+a=\frac{b-a}2+a=\frac{a+b}2,\qquad V(Y)=(b-a)^2V(U)=\frac{(b-a)^2}{12} $$
である。平均と分散は密度だけで決まるので、$X$ についても同じ値である。
段 3（中央値）。$m=\dfrac{a+b}2$ とおくと $P(X\le m)=\dfrac{m-a}{b-a}=\dfrac{(b-a)/2}{b-a}=\dfrac12$ である。$1$ 点の確率は $0$ なので $P(X< m)=\frac12$、$P(X>m)=1-P(X\le m)=\frac12$ で、どちらも $\frac12$ 以下である。よって $m$ は中央値の定義（確率分布の中央値）を満たす。$\square$

方針：まず $\lambda=1$ の場合を部分積分で計算する。一般の $\lambda$ は、$\lambda=1$ の指数分布に従う $Y$ を $\frac1\lambda$ 倍すれば得られることを示す。
段 1（$\lambda=1$ の平均）。$Y$ が $\lambda=1$ の指数分布（密度 $e^{-y}$、$y\ge0$）に従うとする。$R>0$ について、部分積分により
$$ \int_0^Rye^{-y}\,dy=\Bigl[-ye^{-y}\Bigr]_0^R+\int_0^Re^{-y}\,dy=-Re^{-R}+1-e^{-R} $$
である。$R\to\infty$ で $Re^{-R}=\dfrac R{e^R}\to0$、$e^{-R}\to0$ なので、$E(Y)=1$ である。
段 2（$\lambda=1$ の 2 乗の期待値と分散）。同じく部分積分により
$$ \int_0^Ry^2e^{-y}\,dy=\Bigl[-y^2e^{-y}\Bigr]_0^R+2\int_0^Rye^{-y}\,dy=-R^2e^{-R}+2\bigl(-Re^{-R}+1-e^{-R}\bigr) $$
である。$R^2e^{-R}=4\Bigl(\dfrac{R/2}{e^{R/2}}\Bigr)^2$ で、$\dfrac{R/2}{e^{R/2}}\to0$ なので $R^2e^{-R}\to0$ である。よって $E(Y^2)=2$ で、分散の公式により $V(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2=2-1=1$ である。
段 3（一般の $\lambda$）。確率密度関数と連続型確率変数 の命題「1 次式で変換した確率変数の密度・期待値・分散」を、係数 $\frac1\lambda$、定数項 $0$ で使うと、$\frac Y\lambda$ の密度は $\lambda\cdot f_1(\lambda x)$ である（$f_1$ は $Y$ の密度）。これは $x\ge0$ で $\lambda e^{-\lambda x}$、$x<0$ で $0$ で、パラメータ $\lambda$ の指数分布の密度そのものである。平均と分散は密度だけで決まるので、同じ命題により
$$ E(X)=\frac1\lambda E(Y)=\frac1\lambda,\qquad V(X)=\frac1{\lambda^2}V(Y)=\frac1{\lambda^2} $$
である。
段 4（中央値）。$m\ge0$ について $P(X\le m)=1-e^{-\lambda m}=\frac12$ となるのは $e^{-\lambda m}=\frac12$、つまり $m=\dfrac{\log2}\lambda$ のときである。このとき $P(X< m)=P(X>m)=\frac12$ で、$m$ は中央値である。$\square$

要点：$x<0$ で $g(x)=-g(-x)$ と定めて実数全体に広げると、広げた関数も連続で、実数全体で $g(x+y)=g(x)+g(y)$ を満たす。そこで 指数関数と対数関数はどう定義するか の系を使えば $g(x)=g(1)x$ となる。

1. の証明。$s\ge0$、$t\ge0$ とする。事象「$X>s+t$」は事象「$X>s$」に含まれるので、「$X>s+t$ かつ $X>s$」は「$X>s+t$」と同じである。条件付き確率の定義から
   $$ P(X>s+t\mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t) $$
   である。
2. の証明。方針：$G(x)=P(X>x)$（$x\ge0$）が $G(s+t)=G(s)G(t)$ を満たすことを示し、対数をとって lem-uex-halfline に帰着させる。
   段 1（積の形の関係）。$s,t\ge0$ とする。(1) の証明と同じく「$X>s+t$ かつ $X>s$」は「$X>s+t$」なので、仮定の等式は $\dfrac{G(s+t)}{G(s)}=G(t)$、つまり
   $$ G(s+t)=G(s)\,G(t) $$
   である。
   段 2（$G$ の連続性と $x\to\infty$ での値）。$X$ の密度を $f$ とすると、分布関数は $F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^xf(u)\,du$ で、$G(x)=1-F(x)$ である。$F$ は積分で定まる関数なので連続であり、$G$ も連続である。また $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du=1$ なので $x\to\infty$ で $F(x)\to1$、つまり $G(x)\to0$ である。
   段 3（対数をとる）。仮定から $G(x)>0$ なので、$g(x)=\log G(x)$（$x\ge0$）が定まり、$g$ は連続である。段 1 の両辺の対数をとると
   $$ g(s+t)=g(s)+g(t)\qquad(s,t\ge0) $$
   である。lem-uex-halfline により $g(x)=g(1)x$ である。$\lambda=-g(1)$ とおくと
   $$ G(x)=e^{g(x)}=e^{-\lambda x}\qquad(x\ge0) $$
   である。
   段 4（$\lambda>0$）。もし $\lambda\le0$ なら、$x\ge0$ で $G(x)=e^{-\lambda x}\ge1$ となり、段 2 の $G(x)\to0$ に反する。よって $\lambda>0$ である。
   段 5（分布の決定）。段 3 で $x=0$ とおくと $P(X>0)=G(0)=1$ なので、$P(X\le0)=0$ である。したがって負の値をとる確率は $0$ で、$c\le d\le0$ のとき $P(c\le X\le d)\le P(X\le0)=0$ である。$0\le c\le d$ なら、1 点の確率は $0$ なので
   $$ P(c\le X\le d)=G(c)-G(d)=e^{-\lambda c}-e^{-\lambda d}=\int_c^d\lambda e^{-\lambda x}\,dx $$
   である。$c<0\le d$ の区間は $[c,0]$ と $[0,d]$ に分ければよい。どの区間の確率も、パラメータ $\lambda$ の指数分布の密度の積分に等しいので、$X$ はこの指数分布に従う。$\square$

方針：「$c\le X\le d$」を $U$ の不等式に直し、一様分布の確率（区間の長さ）で計算する。
段 1（不等式の書き換え）。$0\le c\le d$ とする。$y=-\frac1\lambda\log u$ は $0< u\le1$ で減少する関数で、$u=e^{-\lambda y}$ と解ける。したがって
$$ c\le X\le d\iff e^{-\lambda d}\le U\le e^{-\lambda c} $$
である（減少する関数なので、不等式の向きが入れかわる）。
段 2（確率）。$0< e^{-\lambda d}\le e^{-\lambda c}\le1$ で、$U$ は $U(0,1)$ に従うので、確率は区間の長さである。
$$ P(c\le X\le d)=e^{-\lambda c}-e^{-\lambda d}=\int_c^d\lambda e^{-\lambda x}\,dx $$
である。最後の等号は、def-uex-exp の後で求めた分布関数の計算と同じである。
段 3（負の値）。$X\ge0$ なので、$d<0$ なら $P(c\le X\le d)=0$ で、これは指数分布の密度（$x<0$ で $0$）の積分と一致する。$c<0\le d$ なら区間を $[c,0]$ と $[0,d]$ に分ければよい。どの区間でも確率が指数分布の密度の積分に等しいので、$X$ はパラメータ $\lambda$ の指数分布に従う。$\square$