二重級数

2。部分和 $\sum_{k\le K}a_{\sigma(k)}$ は有限集合 $\sigma(\{1,\ldots,K\})$ の上の和なので $T$ 以下であり、$K$ について増加する。一方、有限集合 $F$ を任意にとると、$\sigma$ は全射なので、十分大きい $K$ で $F\subset\sigma(\{1,\ldots,K\})$ となり、項が $0$ 以上なので部分和は $\sum_Fa_{mn}$ 以上になる。よって部分和の極限は $T$ 以上かつ $T$ 以下で、$T$ に等しい。
3。$S_{M,N}$ は長方形の上の有限和なので $T$ 以下で、$M$ についても $N$ についても増加する。$T< \infty$ とし、$\varepsilon>0$ をとる。上限の定義から $\sum_Fa_{mn}>T-\varepsilon$ となる有限集合 $F$ があり、$F\subset\{1,\ldots,K\}^2$ となる $K$ がある。$M,N\ge K$ なら $T-\varepsilon< \sum_Fa_{mn}\le S_{M,N}\le T$ である。$T=\infty$ のときも、$L$ に対して $\sum_Fa_{mn}>L$ となる $F$ をとれば同じである。
1（行ごと）。$r_m:=\sum_na_{mn}\in[0,\infty]$ とおく。まず $T\le\sum_mr_m$ を示す。有限集合 $F$ が $\{1,\ldots,M\}\times\{1,\ldots,N\}$ に含まれるとすると、項が $0$ 以上なので
$$ \sum_{(m,n)\in F}a_{mn}\le\sum_{m=1}^{M}\sum_{n=1}^{N}a_{mn}\le\sum_{m=1}^{M}r_m\le\sum_{m=1}^{\infty}r_m $$
である。$F$ について上限をとればよい。次に $\sum_mr_m\le T$ を示す。$M$ を固定すると、すべての $N$ で $\sum_{m\le M}\sum_{n\le N}a_{mn}=S_{M,N}\le T$ である。$N\to\infty$ とすると、各 $m$ で $\sum_{n\le N}a_{mn}\to r_m$ であり、有限個の和なので左辺は $\sum_{m\le M}r_m$ に近づく（ある $r_m$ が $\infty$ なら左辺も $\infty$ に近づき、$T=\infty$ となって不等式は自明である）。よって $\sum_{m\le M}r_m\le T$ であり、$M\to\infty$ として $\sum_mr_m\le T$ を得る。列ごとの累次和も、行と列の役割を入れ替えて同じである。

実数の場合。$a^+_{mn}:=\max(a_{mn},0)$、$a^-_{mn}:=\max(-a_{mn},0)$ とおくと、$a_{mn}=a^+_{mn}-a^-_{mn}$、$0\le a^\pm_{mn}\le|a_{mn}|$ である。thm-dser-nonnegative を $|a_{mn}|$、$a^+_{mn}$、$a^-_{mn}$ に使い、それぞれの「表全体の和」を $T_{|a|}$、$T^+$、$T^-$ とする。仮定から $T_{|a|}< \infty$ であり、有限集合の上の和を比べて $T^\pm\le T_{|a|}< \infty$ である。
1：$\sum_m\sum_n|a_{mn}|< \infty$ なので、各行で $\sum_n|a_{mn}|< \infty$ であり、$r_m$ は絶対収束する。$r^\pm_m:=\sum_na^\pm_{mn}$ とおくと、級数 の記事の命題「級数の線形性」により $r_m=r^+_m-r^-_m$ である。thm-dser-nonnegative により $\sum_mr^\pm_m=T^\pm$ は有限なので、再び線形性により $\sum_mr_m$ は収束して $T^+-T^-$ に等しい。$|r_m|\le\sum_n|a_{mn}|$ なので $\sum_m|r_m|\le T_{|a|}$ であり、絶対収束する。列も同じで、$\sum_nc_n=T^+-T^-$ である。
2：$\sum_k|a_{\sigma(k)}|=T_{|a|}< \infty$ なので絶対収束する。$\sum_ka^\pm_{\sigma(k)}=T^\pm$ と線形性から、和は $T^+-T^-$ である。
3：thm-dser-nonnegative の 3 により、長方形の部分和 $S^\pm_{M,N}$ は $T^\pm$ に収束する。$\varepsilon>0$ に対し、$M,N\ge K$ で $|S^+_{M,N}-T^+|< \varepsilon/2$、$|S^-_{M,N}-T^-|< \varepsilon/2$ となる $K$ をとると、$S_{M,N}=S^+_{M,N}-S^-_{M,N}$ から $|S_{M,N}-(T^+-T^-)|< \varepsilon$ である。
4：以上で、どの値も $T^+-T^-$ に等しい。
複素数の場合。$\operatorname{Re}a_{mn}$ と $\operatorname{Im}a_{mn}$ の絶対値は $|a_{mn}|$ 以下なので、どちらも仮定を満たす。実数の場合を実部と虚部に使い、$a_{mn}=\operatorname{Re}a_{mn}+i\operatorname{Im}a_{mn}$ と線形性で組み合わせればよい。絶対収束は $|r_m|\le\sum_n|a_{mn}|$ などから、実数の場合と同じく分かる。

$B_1$ の元を任意の順に並べ、続けて $B_2$ の元を、と並べていくと、各 $B_j$ は有限で、全体は $\mathbb{N}_+\times\mathbb{N}_+$ なので、全単射 $\sigma\colon\mathbb{N}_+\to\mathbb{N}_+\times\mathbb{N}_+$ が得られる。問題の級数は、$\sum_ka_{\sigma(k)}$ の連続する項を順序を変えずに括弧でまとめたものである。$\sum_ka_{\sigma(k)}$ は共通の値に収束するので（thm-dser-nonnegative の 2、thm-dser-absolute の 2）、級数 の記事の命題「項をまとめても和は変わらない」により、まとめた級数も同じ値に収束する。値が $\infty$ の場合は、まとめた級数の部分和が元の部分和の部分列であることから同じく従う。

$\varepsilon>0$ をとり、$M,N\ge K$ ならば $|S_{M,N}-S|< \varepsilon$ となる $K$ をとる。$M\ge K$ を固定する。$N\to\infty$ とすると、各 $m\le M$ で $\sum_{n\le N}a_{mn}\to r_m$ なので、有限個の和 $S_{M,N}=\sum_{m\le M}\sum_{n\le N}a_{mn}$ は $\sum_{m\le M}r_m$ に近づく（数列の極限 の記事の命題「極限の四則演算」）。$N\ge K$ ではいつも $|S_{M,N}-S|< \varepsilon$ なので、極限で $\bigl|\sum_{m\le M}r_m-S\bigr|\le\varepsilon$ である。これがすべての $M\ge K$ で成り立つので、$\sum_mr_m=S$ である。