絡み数

入れ替え $\tau\colon L\times K\to K\times L$、$\tau(y,x)=(x,y)$ と、対蹠写像 $a\colon S^2\to S^2$、$a(w)=-w$ を使うと、
$$ \lambda_{L,K}(y,x)=\frac{x-y}{\lvert x-y\rvert}=a\bigl(\lambda_{K,L}(x,y)\bigr),\qquad\text{すなわち}\quad\lambda_{L,K}=a\circ\lambda_{K,L}\circ\tau $$
である。$w\in S^2$ を $\lambda_{K,L}$ の正則値とする。$a$ と $\tau$ は微分同相なので、$-w$ は $\lambda_{L,K}$ の正則値で、$\lambda_{L,K}^{-1}(-w)=\tau^{-1}\bigl(\lambda_{K,L}^{-1}(w)\bigr)$ である。各点での微分の符号は
$$ \operatorname{sign}d(\lambda_{L,K})=\operatorname{sign}da\cdot\operatorname{sign}d\lambda_{K,L}\cdot\operatorname{sign}d\tau $$
と積になる。
$d\tau$ の符号：$L\times K$ の接空間の正の基底は $(e_L,e_K)$（$e_L,e_K$ はそれぞれの向きの単位接ベクトル）で、$d\tau$ はこれを $K\times L$ の接空間の組 $(e_L,e_K)$、すなわち $K\times L$ の正の基底 $(e_K,e_L)$ を並べ替えたものに移す。$2$ つのベクトルの入れ替えなので符号は $-1$ である。
$da$ の符号：$a$ は $\mathbb{R}^3$ の線形写像 $-I$ の制限で、点 $w$ での外向きの法ベクトル $w$ を点 $-w$ での外向きの法ベクトル $-w$ に移す。$-I$ の行列式は $-1$ なので、接平面の向きを逆にし、符号は $-1$ である。
よって各点の符号は $\lambda_{K,L}$ の対応する点の符号と等しく、$\deg\lambda_{L,K}=\deg\lambda_{K,L}$ である。$\square$

$\lambda=\lambda_{K,L}$ とおく。$\lambda(x,y)=e_3$ となるのは $y-x$ が $e_3$ の正の倍数のとき、すなわち $(x,y)$ が「$L$ が上」の交差のときであり、$\lambda(x,y)=-e_3$ となるのは「$K$ が上」の交差のときである。
微分の計算。 $N(w)=w/\lvert w\rvert$ の $w=he_3$（$h\ne0$）での方向 $\delta$ への微分は $(\delta-\langle\delta,e_3\rangle e_3)/\lvert h\rvert$、すなわち $\pi(\delta)/\lvert h\rvert$ を水平面のベクトルと見たものである。$\lambda(x,y)=N(y-x)$ なので、交差 $(x,y)$ で $K$ の向きの接ベクトルを $u$、$L$ の向きの接ベクトルを $v$ とし、$h$ を $y$ と $x$ の高さの差とすると
$$ d\lambda(u,0)=-\frac{\pi(u)}{\lvert h\rvert},\qquad d\lambda(0,v)=\frac{\pi(v)}{\lvert h\rvert} $$
である。$\pi(u),\pi(v)$ は $1$ 次独立なので $d\lambda$ は同型であり、$\pm e_3$ は $\lambda$ の正則値である。正則値の逆像はコンパクト多様体の離散部分集合なので有限であり、したがって交差は有限個である。
符号。 $e_3$ での接平面は水平面で、外向きの法ベクトルは $e_3$ なので、水平なベクトルの組 $(a,b)$ が正の基底であるのは $\det(e_3,a,b)=\det_2(a,b)>0$ のときである。「$L$ が上」の交差では上を通るのが $L$ で、$d\lambda$ の符号は
$$ \operatorname{sign}\det_2\bigl(-\pi(u),\pi(v)\bigr)=\operatorname{sign}\det_2\bigl(\pi(v),\pi(u)\bigr)=\varepsilon(c) $$
である。$-e_3$ では外向きの法ベクトルが $-e_3$ なので、$(a,b)$ が正の基底であるのは $\det_2(a,b)<0$ のときである。「$K$ が上」の交差では、符号は
$$ -\operatorname{sign}\det_2\bigl(-\pi(u),\pi(v)\bigr)=\operatorname{sign}\det_2\bigl(\pi(u),\pi(v)\bigr)=\varepsilon(c) $$
である。
写像度は正則値によらないので、$e_3$ で数えても $-e_3$ で数えても $\operatorname{lk}(K,L)$ になる。これが最初の $2$ つの等式で、両者の平均が最後の等式である。$\square$

方向の選択。 $v$ を $p$ での $L$ の接ベクトルとする。方向 $w\in S^2$ で、(i) $w\notin T_pF$、(ii) $w$ は $\pm v/\lvert v\rvert$ でない、(iii) 直線 $p+\mathbb{R}w$ と $L$ の交わりは $\{p\}$ だけ、の $3$ つをみたすものを選ぶ。(i) を破る $w$ は大円、(ii) を破るのは $2$ 点、(iii) を破るのは滑らかな写像 $L\setminus\{p\}\to S^2$、$y\mapsto\pm(y-p)/\lvert y-p\rvert$ の像で、$1$ 次元の多様体からの滑らかな写像の像は $S^2$ の測度 $0$ の集合である（Sardの定理）。よってそのような $w$ がある。向きを保つ回転と平行移動で $p=0$、$w=e_3$ としてよい。これは prop-lk-basic の 1 により絡み数を変えず、$\varepsilon_p$ も変えない。
曲面をグラフで書く。 (i) により $\pi|_{T_pF}$ は同型なので、$p$ の近くで $F$ は滑らかな関数 $f$（$f(0)=0$）のグラフ $\{(z,f(z)):\lvert z\rvert<\delta\}$ である。$T_pF$ の正の基底 $(a,b)$ について $\sigma:=\operatorname{sign}\det_2(\pi a,\pi b)$ とおく。$r<\delta$ に対し $D_r:=\{(z,f(z)):\lvert z\rvert\le r\}$、$C_r:=\partial D_r$ とすると、$\pi$ は $C_r$ を円周 $\lvert z\rvert=r$ に移し、$D_r$ の境界の向きは、$\sigma=1$ なら反時計回り、$\sigma=-1$ なら時計回りに移る（外向きの法ベクトルが外向きの動径方向に移るから）。
交点の符号。 $T_pF\oplus\mathbb{R}e_3=\mathbb{R}^3$ なので $v=v_F+\gamma e_3$（$v_F\in T_pF$）と書ける。横断性から $\gamma\ne0$、(ii) から $v_F\ne0$、したがって $\pi(v)=\pi(v_F)\ne0$ である。$\det(a,b,e_3)=\det_2(\pi a,\pi b)$ なので
$$ \varepsilon_p=\operatorname{sign}\det(a,b,v)=\operatorname{sign}\bigl(\gamma\det(a,b,e_3)\bigr)=\sigma\operatorname{sign}\gamma $$
である。
$L$ の近くの様子。 $L$ を $p$ の近くで $t\mapsto L(t)$（$L(0)=0$、$L'(0)=v$）と径数づけ、
$$ h(t):=L(t)_3-f\bigl(\pi L(t)\bigr),\qquad \rho(t):=\lvert\pi L(t)\rvert^2 $$
とおく。$v_F=(\pi v,df_0(\pi v))$ なので $h'(0)=v_3-df_0(\pi v)=\gamma$ であり、$\rho(0)=\rho'(0)=0$、$\rho''(0)=2\lvert\pi v\rvert^2>0$ である。よってある $\eta>0$ があって、$0<\lvert t\rvert<\eta$ で $\operatorname{sign}h(t)=\operatorname{sign}(\gamma t)$、$\operatorname{sign}\rho'(t)=\operatorname{sign}t$ である。(iii) とコンパクト性から、$L$ の弧 $L((-\eta,\eta))$ の外の点は $\lvert\pi(\cdot)\rvert\ge\delta'$ をみたす $\delta'>0$ がある。
$r<\min(\delta,\delta')$ を $\rho$ が $(-\eta,\eta)$ の両端で $r^2$ を超えるほど小さくとる。$\rho$ は $t<0$ で狭義減少、$t>0$ で狭義増加なので、$\pi L(t)$ が円周 $\lvert z\rvert=r$ にのるのはちょうど $2$ つの値 $t_-< 0< t_+$ である。また $D_r\cap L$ の点は $h(t)=0$ かつ $\lvert\pi L(t)\rvert\le r$ をみたすので $t=0$、すなわち $D_r\cap L=\{p\}$ である。
交差の数え上げ。 $C_r$ と $L$ の交差は $t_\pm$ の $2$ つで、$L$ が上になるのは $h(t)>0$、すなわち $\operatorname{sign}t=\operatorname{sign}\gamma$ となる方だけである。$z=\pi L(t)$ での $C_r$ の向きの接ベクトルは $\sigma Jz/r$（$J$ は $+90^\circ$ の回転）で、$\det_2(x,Jy)=\langle x,y\rangle$ なので
$$ \det_2\Bigl(\pi L'(t),\ \sigma\frac{Jz}{r}\Bigr)=\frac{\sigma}{r}\bigl\langle\pi L'(t),\pi L(t)\bigr\rangle=\frac{\sigma\rho'(t)}{2r} $$
の符号は $\sigma\operatorname{sign}t\ne0$ である。よって $2$ つの交差はともに横断的で、$L$ が上の交差の符号は $\sigma\operatorname{sign}\gamma=\varepsilon_p$ である。thm-lk-crossing の最初の等式により $\operatorname{lk}(C_r,L)=\varepsilon_p$ である。$\square$

$F\cap L=\{p_1,\dots,p_k\}$ とする。lem-lk-small-circle により、互いに交わらず $K$ とも交わらない $F$ の内部の閉円板 $D_i$ で、$D_i\cap L=\{p_i\}$、$\operatorname{lk}(\partial D_i,L)=\varepsilon_{p_i}$ となるものがとれる（$\partial D_i$ には $D_i$ の境界としての向きを与える）。
$F':=F\setminus\bigcup_i\operatorname{int}D_i$ はコンパクトな向き付けられた曲面で、$F'\cap L=\emptyset$ である。その境界は、境界の向きを込めて、$K$ と、向きを逆にした円周 $-\partial D_i$ たちの和である（$\partial D_i$ の上では $F'$ の外向きの法ベクトルが $D_i$ の内側を向く）。
$$ \Lambda\colon F'\times L\to S^2,\qquad \Lambda(x,y)=\frac{y-x}{\lvert y-x\rvert} $$
は滑らかで、$L$ は境界をもたないので $\partial(F'\times L)=\partial F'\times L$ であり、積の向きの境界の向きはこの積の向きに一致する。写像度の定義の数え上げを境界の各成分ごとに分けると、$\Lambda$ の境界への制限の写像度は
$$ \operatorname{lk}(K,L)-\sum_{i=1}^k\operatorname{lk}(\partial D_i,L) $$
である。コンパクトな向き付けられた多様体からの写像の境界への制限の写像度は $0$ である（Mil97 §5 Lemma 1、p. 28）。よって
$$ \operatorname{lk}(K,L)=\sum_{i=1}^k\operatorname{lk}(\partial D_i,L)=\sum_{i=1}^k\varepsilon_{p_i}=F\cdot L $$
である。$\square$

$X=\mathbb{R}^3\setminus K$ とする。Alexander 双対により $\tilde H_i(S^3\setminus K)\cong\tilde H^{2-i}(K)$ で（Hat02 Corollary 3.45、p. 255）、$K\cong S^1$ なので $S^3\setminus K$ は弧状連結で $H_1(S^3\setminus K)\cong\mathbb{Z}$ である。$X=(S^3\setminus K)\setminus\{\infty\}$ で、無限遠点を除いても基本群は変わらない（van Kampen の定理による。Hat02 Example 1.24、p. 47 の議論は任意の結び目で通用する）。よって $X$ は弧状連結で、$H_1(X)\cong\mathbb{Z}$ である。
基点 $x_0\in X$ の基本群の元は滑らかな閉曲線で代表でき、ホモトピックな滑らかな閉曲線は滑らかにホモトピックである（Lee13 Theorem 6.26、p. 141、Theorem 6.29、p. 142）。prop-lk-basic の 1 と 3 により、$[\gamma]\mapsto\operatorname{lk}(K,\gamma)$ は準同型 $\pi_1(X,x_0)\to\mathbb{Z}$ として矛盾なく定まる。$\mathbb{Z}$ は可換なので、これは可換化 $H_1(X)$ を経由する（Hat02 Theorem 2A.1、p. 166）。
$D$ を $K$ と点 $q$ で $1$ 回だけ横断的に交わる小さな円板とする（$K$ の $q$ での法平面の小さな円板をとればよい）。lem-lk-small-circle を曲面 $D$ と結び目 $K$ に使い、必要なら $D$ を小さくとり直すと $\operatorname{lk}(\partial D,K)=\pm1$ であり、thm-lk-symmetry により $\operatorname{lk}(K,\partial D)=\pm1$ である。向きを選んで $+1$ にしたものを $\mu$ とすると、準同型 $H_1(X)\cong\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ は全射で、$\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}$ への全射準同型は同型である。最後の主張は、$[\gamma]-\operatorname{lk}(K,\gamma)[\mu]$ の像が $0$ であることから従う。$\square$