Taylor展開(複素解析)

同義語：テイラー展開(複素解析)Taylor expansion

概要

Taylor展開(複素解析)（Taylor expansion）とは、開集合 $U$ 上の正則関数 $f$ と点 $a\in U$ に対する冪級数 $\sum_{n\ge0}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n$ のことであり、$a$ を中心とし $U$ に含まれる任意の開円板上で $f$ に収束する。実変数と違い、複素微分可能というだけで Taylor 展開が元の関数を表すのであり、証明は Cauchy の積分公式の核を幾何級数に展開して項別に積分することによる。冪級数の収束半径は Cauchy–Hadamard の公式 $1/R=\limsup|a_n|^{1/n}$ で与えられ、収束円板の内部で絶対かつ局所一様に収束する。$1/(1+z^2)$ の展開の収束半径が $1$ なのは $\pm i$ が正則でない点だからである。正則性と解析性は同値である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 正則関数, Cauchyの積分公式, 級数, 一様収束

定義

冪級数と収束半径

$a\in\mathbb{C}$ と 複素数 の列 $(a_n)_{n\geq0}$ に対し、$z$ を変数とする形式的な 級数
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n$$
を $a$ を中心とする冪級数という。
$$R:=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}\in[0,+\infty]$$
（$\limsup=0$ のとき $R=+\infty$、$\limsup=+\infty$ のとき $R=0$ と約束する）をこの冪級数の収束半径、開円板 $B(a,R):=\{z\in\mathbb{C}\mid|z-a|< R\}$ を収束円板という（$R=+\infty$ のとき $B(a,R)=\mathbb{C}$）。この $R$ の表示を Cauchy–Hadamard の公式という。収束半径の名は prop-taylor-expansion-complex-radius で正当化される。

Taylor 展開

$U\subset\mathbb{C}$ を 開集合、$f$ を $U$ 上の 正則関数、$a\in U$ とする。$f$ は何回でも微分可能である（Cauchyの積分公式 の記事の定理（導関数の積分表示））から、冪級数
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n$$
が定まる。これを $f$ の $a$ を中心とする Taylor 展開（Taylor 級数）といい、係数 $f^{(n)}(a)/n!$ を Taylor 係数という。thm-taylor-expansion-complex-main により、この級数は $a$ を中心とし $U$ に含まれる任意の開円板上で $f$ に収束する。$a=0$ のときは Maclaurin 展開ともいう。

直感

実変数の Taylor 展開は、$C^\infty$ 級関数に対しても収束するとは限らず、収束しても元の関数に一致するとは限らない（$e^{-1/x^2}$ がその例である）。複素変数では事情が一変する。正則関数（複素微分可能な関数）は、それだけで各点のまわりで Taylor 展開が収束し、元の関数を表す。理由は Cauchyの積分公式 にある。円周上の値から内部の値を与える核 $1/(\zeta-z)$ が幾何級数に展開でき、それを項別に積分すれば冪級数が得られるからである。さらに収束円板の半径は、少なくとも $a$ から定義域の境界までの距離だけある。実関数 $1/(1+x^2)$ の $0$ での Taylor 展開の収束半径が $1$ である理由は、実軸上には見当たらない特異点 $\pm i$ が複素平面には存在することで初めて説明される。複素解析では「正則」「解析的」「局所的に冪級数で表せる」が同じ概念であり、この同値性が 一致の定理 や 零点の位数 の議論の基礎になる。

例

指数関数と三角関数

$e^z$ は 整関数 で、すべての $n$ について $(e^z)^{(n)}=e^z$ だから、$0$ を中心とする Taylor 展開は $e^z=\sum_{n\geq0}z^n/n!$ であり、thm-taylor-expansion-complex-main により $\mathbb{C}$ 全体で収束する。Cauchy–Hadamard の公式でも $(1/n!)^{1/n}\to0$ から $R=+\infty$ が確かめられる。同様に $\cos z=\sum_{n\geq0}(-1)^nz^{2n}/(2n)!$、$\sin z=\sum_{n\geq0}(-1)^nz^{2n+1}/(2n+1)!$ である。$a\neq0$ を中心とする展開は $e^z=e^a\sum_{n\geq0}(z-a)^n/n!$ である。

幾何級数と有理関数

$f(z)=1/(1-z)$ は $U=\mathbb{C}\setminus\{1\}$ 上で正則で、$f^{(n)}(z)=n!/(1-z)^{n+1}$ だから、$0$ を中心とする Taylor 展開は幾何級数 $\sum_{n\geq0}z^n$ で、収束半径は $1$ である。これは $0$ から $U$ の境界点 $1$ までの距離に等しく、prop-taylor-expansion-complex-radius-and-domain の下限が達成されている。中心を $a=-1$ にとると $\dfrac{1}{1-z}=\dfrac{1}{2-(z+1)}=\sum_{n\geq0}\dfrac{(z+1)^n}{2^{n+1}}$ で収束半径は $2=|{-1}-1|$ である。実関数 $1/(1+x^2)$ については、$1/(1+z^2)$ が $\pm i$ で正則でないので $0$ を中心とする展開 $\sum_{n\geq0}(-1)^nz^{2n}$ の収束半径は $1$ であり、実軸上で関数がいくら滑らかでも収束半径は $1$ を超えない（prop-taylor-expansion-complex-radius-and-domain と、収束円板の境界に正則でない点があることの両方から）。

対数の主値の展開

$\operatorname{Log}(1+z)$ は $\mathbb{C}\setminus(-\infty,-1]$ 上で正則で、導関数は $1/(1+z)$ である（Cauchyの積分定理 の記事の命題（対数の主値の正則性））。$\dfrac{d^n}{dz^n}\operatorname{Log}(1+z)=(-1)^{n-1}(n-1)!/(1+z)^n$（$n\geq1$）より、$0$ を中心とする Taylor 展開は
$$\operatorname{Log}(1+z)=\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\cdots\qquad(|z|<1)$$
であり、収束半径は $1$（$=|0-(-1)|$）である。実数 $x\in(-1,1)$ に制限すれば実対数の展開になる。

反例：実の滑らかな関数と収束円板の境界
  1. 実変数では Taylor 展開は元の関数を表すとは限らない。$\varphi(x)=e^{-1/x^2}$（$x\neq0$）、$\varphi(0)=0$ は $\mathbb{R}$ 上 $C^\infty$ 級で、$0$ でのすべての階数の導関数が $0$ である。したがって $0$ を中心とする Taylor 展開は恒等的に $0$ で、$\varphi$ と一致しない。破られている仮定は複素微分可能性である。実際、$e^{-1/z^2}$ は $z=it$（$t\to0$）に沿って $e^{1/t^2}\to\infty$ となるので、$0$ の近傍で正則な関数には拡張できない。
  2. 収束円板の境界上での挙動は一様でない。$\sum z^n$（$1/(1-z)$）は $|z|=1$ 上のどの点でも発散するが、$\sum z^n/n^2$ は $|z|=1$ 上のすべての点で絶対収束し、$\sum z^n/n$（$-\operatorname{Log}(1-z)$）は $z=1$ で発散し $|z|=1$ 上の他の点では収束する。収束半径は $|z-a|< R$ での収束と $|z-a|>R$ での発散だけを述べ、境界上については何も述べない。
  3. 収束半径が定義域の境界までの距離より大きいこともある。$\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ 上の $\operatorname{Log}z$ を $a=-1+i$ を中心に展開すると、収束半径は $|a-0|=\sqrt2$ であって、$a$ から負の実軸までの距離 $1$ より大きい。級数の和は $|z-a|<\sqrt2$ 上の正則関数で、$\operatorname{Log}$ とは $\operatorname{Re}z>0$ または $\operatorname{Im}z>0$ の部分で一致するが、負の実軸を越えた先の第 3 象限の部分では $\operatorname{Log}z+2\pi i$ に一致し、$\operatorname{Log}z$ とは一致しない。Taylor 展開の和は「$a$ を含む連結成分」の上でだけ元の関数と一致する（prop-taylor-expansion-complex-radius-and-domain）。

性質

収束半径の性質

冪級数 $\sum_{n\geq0}a_n(z-a)^n$ の収束半径を $R$ とする。

  1. $|z-a|< R$ ならば級数は絶対収束する。さらに $0<\rho< R$ に対し、閉円板 $|z-a|\leq\rho$ 上で級数は一様収束（一様収束）する。
  2. $|z-a|>R$ ならば級数は発散する。より強く、項 $a_n(z-a)^n$ は有界でない。
  3. $R=\sup\{r\geq0\mid\text{列 }(a_nr^n)_n\text{ が有界}\}$ である。特に、ある $r>0$ について $(a_nr^n)$ が有界なら $R\geq r$ である。

$\Lambda:=\limsup|a_n|^{1/n}=1/R$ とおく。

  1. $0<\rho< R$ とし、$\rho<\rho'< R$ をとる。$1/\rho'>\Lambda$ だから、上極限の定義により、ある $N$ 以上のすべての $n$ で $|a_n|^{1/n}<1/\rho'$、すなわち $|a_n|\rho'^n<1$ である。$|z-a|\leq\rho$ のとき $n\geq N$ で $|a_n(z-a)^n|\leq|a_n|\rho^n<(\rho/\rho')^n$ であり、右辺は公比 $\rho/\rho'<1$ の幾何級数の項だから、各項を収束する正項級数 $(\rho/\rho')^n$ で一様に抑える Weierstrass の $M$ 判定法により級数は $|z-a|\leq\rho$ 上で絶対かつ一様に収束する。$|z-a|< R$ なる各点はある $\rho< R$ について $|z-a|\leq\rho$ を満たすので、絶対収束が従う。
  2. $|z-a|>R$ とすると $1/|z-a|<\Lambda$ である。$1/|z-a|< q<\Lambda$ をとると、上極限の定義により無限個の $n$ で $|a_n|^{1/n}>q$ である。その部分列では $|a_n(z-a)^n|>(q|z-a|)^n$ であり、$q|z-a|>1$ だから右辺は無限大へ発散する。したがって項は非有界であり、とくに $0$ に収束しないので級数は発散する。
  3. $r< R$ なら 1 により $\sum|a_n|r^n$ が収束するので $(a_nr^n)$ は有界である。$r>R$ なら 2 により $(a_nr^n)$ は有界でない。したがって有界となる $r$ の上限は $R$ である。
正則関数の冪級数展開

$U\subset\mathbb{C}$ を開集合、$f$ を $U$ 上の正則関数、$a\in U$ とし、$R>0$ を $B(a,R)\subset U$ となる任意の半径（$R=+\infty$ を含む）とする。このとき $f$ の $a$ を中心とする Taylor 展開は $B(a,R)$ 上で $f$ に収束する：
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\qquad(|z-a|< R).$$
また、$0< r< R$ なる任意の $r$ に対し、係数は
$$\frac{f^{(n)}(a)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\,d\zeta$$
と表され、収束は $B(a,R)$ の任意のコンパクト（コンパクト空間）な部分集合上で一様である。特に、この Taylor 展開の収束半径は $R$ 以上である。

$0< r< R$ を固定すると、閉円板 $\{|\zeta-a|\leq r\}$ は $B(a,R)\subset U$ に含まれる。$|z-a|< r$ なる $z$ をとる。Cauchyの積分公式 の記事の定理（円板に対する Cauchy の積分公式）により
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=r}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta$$
である。円周上の $\zeta$ に対し $|z-a|/|\zeta-a|=|z-a|/r=:q<1$ だから、幾何級数の公式により
$$\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{(\zeta-a)\bigl(1-\frac{z-a}{\zeta-a}\bigr)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}}$$
であり、$n$ 番目の項の絶対値は $q^n/r$ 以下なので、この級数は $\zeta$ について円周上で一様収束する（Weierstrass の $M$ 判定法）。$f$ は円周上で有界（連続関数のコンパクト集合上の値）だから、$f(\zeta)$ を掛けても一様収束は保たれる。したがって Cauchyの積分定理 の記事の命題（複素線積分の基本性質）の一様収束との交換により、項別に積分して
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n,\qquad c_n:=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\,d\zeta$$
を得る。Cauchyの積分公式 の記事の定理（導関数の積分表示）により $c_n=f^{(n)}(a)/n!$ であり、これは $r$ によらない。ゆえに $r< R$ を任意にとれることから、Taylor 展開は $B(a,R)$ の各点で $f$ に収束する。
一様収束について。$B(a,R)$ のコンパクト部分集合 $K$ は、ある $\rho< R$ について閉円板 $|z-a|\leq\rho$ に含まれる（$K$ 上の連続関数 $|z-a|$ の最大値は $R$ 未満）。Taylor 展開の収束半径は、いま示したことと prop-taylor-expansion-complex-radius の 2 により $R$ 以上であり、同じ命題の 1 により閉円板 $|z-a|\leq\rho$ 上で一様収束する。

冪級数展開の一意性

$a$ を中心とする冪級数 $\sum a_n(z-a)^n$ と $\sum b_n(z-a)^n$ がともにある $r>0$ について $B(a,r)$ 上で収束し、和が $B(a,r)$ 上で一致すれば、すべての $n$ で $a_n=b_n$ である。したがって、正則関数 $f$ を $a$ の近傍で表す $a$ を中心とする冪級数は Taylor 展開に限る。特に、正則関数 $f$ を $a$ の近傍で表す冪級数の係数は $a_n=f^{(n)}(a)/n!$ である。

$c_n:=a_n-b_n$ とおくと $g(z):=\sum c_n(z-a)^n$ は $B(a,r)$ 上で収束して恒等的に $0$ である。正則関数 の記事の定理（冪級数の正則性）により $g$ は $B(a,r)$ 上で正則で $g^{(k)}(a)=k!\,c_k$ である。$g\equiv0$ だからすべての導関数も $0$ であり、$c_k=0$ である。後半は、$f=\sum a_n(z-a)^n$ が $a$ の近傍で成り立てば同じ定理により $a_n=f^{(n)}(a)/n!$ となることによる。

正則性と解析性の同値

$U\subset\mathbb{C}$ を開集合、$f\colon U\to\mathbb{C}$ とする。次は同値である。

  1. $f$ は $U$ 上で正則である。
  2. $f$ は $U$ 上で解析的である。すなわち各 $a\in U$ に対し $r>0$ と冪級数 $\sum a_n(z-a)^n$ があって、$B(a,r)\subset U$ 上で $f(z)=\sum a_n(z-a)^n$ が成り立つ。

1 ⇒ 2 は thm-taylor-expansion-complex-main である。2 ⇒ 1：各 $a\in U$ の近傍 $B(a,r)$ で $f$ は収束冪級数の和だから、正則関数 の記事の定理（冪級数の正則性）により $B(a,r)$ 上で正則である。正則性は各点での条件なので $f$ は $U$ 上で正則である。

収束半径と定義域の関係

$U\subset\mathbb{C}$ を開集合、$f$ を $U$ 上の正則関数、$a\in U$ とし、$f$ の $a$ を中心とする Taylor 展開の収束半径を $R_0$ とする。

  1. $R_0\geq d(a,\mathbb{C}\setminus U):=\inf\{|a-w|\mid w\notin U\}$ である（$U=\mathbb{C}$ なら $R_0=+\infty$）。
  2. Taylor 展開の和 $g$ は $B(a,R_0)$ 上の正則関数であり、$U\cap B(a,R_0)$ の $a$ を含む連結成分（連結空間）上で $f$ と一致する。
  3. $U$ が開円板 $B(a,R)$ で、$f$ が $a$ を中心とするどんな大きい開円板上の正則関数にも拡張できないならば、$R_0=R$ である。
  1. $d:=d(a,\mathbb{C}\setminus U)$ とおくと $B(a,d)\subset U$ だから、thm-taylor-expansion-complex-main により $R_0\geq d$ である。
  2. $g$ が正則であることは 正則関数 の記事の定理（冪級数の正則性）による。$f$ と $g$ は $B(a,d)$ 上で一致する（thm-taylor-expansion-complex-main）。$V$ を $U\cap B(a,R_0)$ の $a$ を含む連結成分とすると、$V$ は連結な開集合（平面の開集合の連結成分は開）で、$f,g$ はともに $V$ 上で正則、空でない開集合 $B(a,d)\subset V$ 上で一致するので、一致の定理 により $V$ 上で $f=g$ である。
  3. 1 により $R_0\geq R$ である。$R_0>R$ なら、2 の $g$ は $B(a,R_0)$ 上の正則関数で、$U\cap B(a,R_0)=B(a,R)$ は連結だから $g|_{B(a,R)}=f$ となり、$f$ が $B(a,R_0)$ に拡張されて仮定に反する。
Taylor 係数の評価

$f$ を閉円板 $\{|z-a|\leq r\}$ を含む開集合上の正則関数、$M(r):=\max_{|z-a|=r}|f(z)|$ とすると、Taylor 係数 $a_n=f^{(n)}(a)/n!$ は
$$|a_n|\leq\frac{M(r)}{r^n}\qquad(n=0,1,2,\dots)$$
を満たす。さらに Parseval の等式 $\displaystyle\sum_{n\geq0}|a_n|^2r^{2n}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(a+re^{i\theta})|^2\,d\theta\leq M(r)^2$ が成り立つ。

不等式は Cauchyの積分公式 の記事の命題（Cauchy の評価式）を $n!$ で割ったものである。Parseval の等式について、$z=a+re^{i\theta}$ とおくと thm-taylor-expansion-complex-main により $f(a+re^{i\theta})=\sum_na_nr^ne^{in\theta}$ であり、この級数は円周 $|z-a|=r$ 上で一様収束する（閉円板 $|z-a|\leq r$ は $f$ の定義域に含まれる開円板 $B(a,R)$（$R>r$）のコンパクト部分集合である）。$|f|^2=f\bar f=\sum_{m,n}a_m\overline{a_n}r^{m+n}e^{i(m-n)\theta}$ も一様収束するので項別に積分でき、$\int_0^{2\pi}e^{i(m-n)\theta}d\theta$ は $m=n$ のとき $2\pi$、$m\neq n$ のとき $0$ だから等式を得る。不等式は右辺の被積分関数が $M(r)^2$ 以下であることによる。

補足

Taylor 展開の直接の帰結として、恒等的に $0$ でない正則関数の各零点で「最初に $0$ でない Taylor 係数の番号」が定まり、これが 零点の位数 である。零点が孤立すること、したがって 一致の定理 が成り立つことは、その記事に譲る。円板の代わりに環状領域 $r<|z-a|< R$ で同じ議論を行うと、負の冪も含む Laurent展開 が得られ、孤立特異点の分類と 留数 の定義に至る。Taylor 係数の評価で $r\to\infty$ とすれば Liouvilleの定理(複素解析) であり、Parseval の等式は Koebeの1/4定理 の証明に現れる面積定理の原型である。冪級数の和・積（Cauchy 積）・合成・逆数もまた収束冪級数であり、これは cor-taylor-expansion-complex-analytic と 正則関数 の記事の命題（正則関数の四則と合成）から従う。実解析関数（各点で収束冪級数に展開できる実関数）は、その Taylor 展開を複素変数に読み替えることで、実軸を含む開集合上の正則関数に一意に拡張される。標準的な記述は Ahlfors Ahl79 にある。

関連項目

参考文献

[1]
Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1979, 冪級数、収束半径、Taylor の定理
[2]

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