pro-簡約群

前提知識: 簡約群, 群スキーム, 淡中圏, pro-対象

簡約群 は、標数 $0$ ではすべての有限次元表現が半単純になる線型代数群である。この性質を、有限型でないアフィン群スキームに広げたものが pro-簡約群 で、簡約群（とその有限個の成分をもつ拡張）の射影極限として定義される。淡中双対性（淡中圏）のもとで、標数 $0$ の中立淡中圏が半単純であることは、その群が pro-簡約群であることと同値になる。そのため、半単純になるように作られたモチーフの圏の群（モチーフ的Galois群）や、群の半単純な表現だけを見る完備化は、pro-簡約群として現れる。
この記事では pro-簡約群を定義し、標数 $0$ で「表現の圏が半単純であること」「すべての代数的な商の単位元成分が簡約であること」と同値であることを、代数群の場合の定理を引用して証明する。忠実平坦な商で閉じていることを示し、対角化可能群・有限群・加法群の例と、仮定を外した反例を調べる。

定義

$k$ を体とする。アフィン群スキームと代数群の言葉は 群スキーム と pro-代数的完備化 の記事に従う。代数群 $Q$ の単位元を含む連結成分は代数部分群をなし、これを $Q^\circ$ と書く（MilAG Proposition 1.14、p. 21）。$Q^\circ$ が簡約群であるとは、簡約群 の定義のとおり、$Q^\circ$ が滑らかで $(Q^\circ)_{\bar k}$ の冪単根基が自明なことをいう（標数 $0$ ではアフィン代数群はつねに滑らかである。MilAG Theorem 3.38、p. 62）。
アフィン群スキームの準同型 $f\colon G\to Q$ が忠実平坦であるとは、$f^\sharp\colon\mathcal O(Q)\to\mathcal O(G)$ が忠実平坦であることをいう。$Q$ が代数群で $f^\sharp$ が単射なら $f$ は忠実平坦である（$\mathcal O(G)$ は $f^\sharp(\mathcal O(Q))$ を含む有限生成な Hopf 部分代数 $A_j$ の有向和であり（DM22 Proposition 2.6、p. 19）、各 $A_j$ は $\mathcal O(Q)$ 上忠実平坦である（MilAG Theorem 3.47、p. 65）。平坦性は有向和で保たれ、$\mathcal O(Q)$ の極大イデアル $\mathfrak m$ について $\mathfrak m\mathcal O(G)\neq\mathcal O(G)$ も各 $A_j$ から従う）。$G$ から代数群 $Q$ への忠実平坦な準同型を $G$ の代数的な商という。

DM22 Proposition 2.23（p. 26）は連結な $G$ について「簡約群の射影極限」として pro-簡約群を定め、同 Proposition 6.22（p. 66）は連結とは限らない場合にもこの語を使っている。標数 $0$ では、推移写像を限らない射影極限 $G\cong\varprojlim_iG_i$（各 $G_i^\circ$ が簡約群）で書けるときも、各 $G_i$ を $G$ の像 $\bar G_i$ に取り替えるとこの定義の形になるので、二つの定め方は一致する（$\mathcal O(G_i)\to\mathcal O(G)$ の核は $\mathcal O(G_i)\to\mathcal O(G_j)$（$j\ge i$）の核の増大する族の和で、Noether 性から止まるので、$\bar G_i$ はある $G_j$ の像に等しい。$\mathcal O(\bar G_i)\to\mathcal O(G_j)$ は単射なので、$G_j^\circ$ は簡約群なので thm-prg-algebraic により $\bar G_i$ の表現は $G_j$ の表現として半単純であり、$G_j$ で保たれる補空間は lem-prg-subobjects により $\bar G_i$ でも保たれるので、$\operatorname{Rep}_k(\bar G_i)$ は半単純である。$\bar G_i$ は代数群なので、thm-prg-algebraic により $\bar G_i^\circ$ は簡約群である。また、$\mathcal O(G)=\bigcup_i\mathcal O(\bar G_i)$ である）。射影系の推移写像が忠実平坦なら、$\mathcal O(G)=\bigcup_i\mathcal O(G_i)$（増大する Hopf 部分代数の和）であり、各 $G\to G_i$ も忠実平坦である。

表現の半単純性による特徴づけ

$G$ の有限次元表現 $V$ が半単純であるとは、$G$ で保たれる任意の部分空間 $W\subset V$ に、$G$ で保たれる補空間 $W'$（$V=W\oplus W'$）があることをいう（群の表現 の完全可約）。すべての有限次元表現が半単純なとき、$\operatorname{Rep}_k(G)$ は半単純であるという。代数群については次が知られている。

次の補題が、代数群の場合から一般の場合へ移る鍵である。

例

モチーフと完備化に現れる pro-簡約群

モチーフ的 Galois 群。 $k$ を $\mathbb C$ に埋め込める体とし、絶対 Hodge サイクルによるモチーフの圏を考える。Betti 実現をファイバー関手とする淡中圏の群 $G(\sigma)$ は $\mathbb Q$ 上の pro-簡約群（連結とは限らない）であり、$k$ が代数閉体ですべての Hodge サイクルが絶対 Hodge なら連結である（DM22 Proposition 6.22 の (a)、p. 66。この記事では証明しない）。証明の骨格は cor-prg-tannakian と同じで、有限個の対象が生成する部分圏が半単純なので、その群が簡約であることから極限をとる。詳しくは モチーフ的Galois群 の節「絶対Hodge cycleのモチーフ」を参照。偏極可能な Hodge 構造の Mumford–Tate群 が簡約であることも、同じ「半単純性から簡約性へ」の型の主張である。
pro-簡約完備化。 標数 $0$ の体 $k$ と群 $\Gamma$ について、簡約群への Zariski 稠密な像をもつ準同型について普遍的な pro-簡約群 $\Gamma^{\mathrm{red}}$ を、$\Gamma$ の pro-簡約完備化という（KPT09 §3「The case of characteristic zero」、p. 35）。pro-代数的完備化 $\Gamma^{\mathrm{alg}}$ がすべての有限次元表現を受け止めるのに対し、$\Gamma^{\mathrm{red}}$ は pro-簡約群なので、その表現は thm-prg-characterization によりすべて半単純である。位相空間の基本群に当てると、半単純な局所系を調べる道具になる。

条件を外したときの反例

thm-prg-characterization と cor-prg-quotient の仮定を一つずつ外す。

1 行目：$(\mathbb Z/p)_k$ は単位元成分が自明なので、定義により pro-簡約群である。一方、生成元を $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ に送る表現は、標数 $p$ では $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^p=\begin{pmatrix}1&p\\0&1\end{pmatrix}=1$ なので $\mathbb Z/p$ の表現になり、保たれる直線 $ke_1$ に補空間がない。正標数では、滑らかな代数群 $Q$ が線型簡約（表現がすべて半単純）であるのは $Q^\circ$ がトーラスで、指数 $(Q:Q^\circ)$ が $p$ で割れないときに限られる（永田雅宜（Masayoshi Nagata）の定理。MilAG ASIDE 14.52、p. 241。この記事では証明しない）。2 行目：自明な群 $1$ は pro-簡約群で、$f^\sharp\colon k[s]\to k$ は単射でないので $f$ は忠実平坦でなく、$H=\mathbb G_a$ は ex-prg-non-examples の 1 により pro-簡約群でない。閉部分群にも遺伝しない：$SL_2$ は簡約群（標数 $0$）だが、上三角冪単行列の閉部分群 $\mathbb G_a$ は pro-簡約群でない。

関連項目

• 前提: 簡約群, 群スキーム, 淡中圏, pro-対象
• 比較: 有限簡約群, 副有限群, pro-代数的完備化
• 例: 代数的トーラス, Mumford–Tate群, Artinモチーフ
• 応用: モチーフ的Galois群, 群の表現