積分記号下の微分

$t_0\in J$ と上の $K$ をとる。$\varepsilon>0$ に対し、$f$ の $[a,b]\times K$ 上の一様連続性から $\delta>0$ があって、$t\in K$、$|t-t_0|<\delta$ ならすべての $x\in[a,b]$ で $|f(x,t)-f(x,t_0)|<\varepsilon$ である。このとき
$$|F(t)-F(t_0)|\le\int_a^b|f(x,t)-f(x,t_0)|\,dx\le(b-a)\varepsilon$$
である。$K$ は $t_0$ の $J$ における近傍なので、$F$ は $t_0$ で連続である。$\square$

$t_0\in J$ を固定し、上の $K$ をとる。$\varepsilon>0$ とする。$\partial_tf$ は $[a,b]\times K$ 上で一様連続なので、$\delta>0$ があって、$s\in K$、$|s-t_0|<\delta$ ならすべての $x\in[a,b]$ で
$$|\partial_tf(x,s)-\partial_tf(x,t_0)|<\varepsilon$$
である。$t\in K$、$0<|t-t_0|<\delta$ とする。$x\in[a,b]$ を固定すると、$s\mapsto f(x,s)$ は $t_0$ と $t$ を結ぶ閉区間で微分可能なので、平均値の定理 により、$t_0$ と $t$ の間の $s_x$ があって
$$\frac{f(x,t)-f(x,t_0)}{t-t_0}=\partial_tf(x,s_x)$$
となる（$s_x$ は $x$ によって変わってよい）。$|s_x-t_0|\le|t-t_0|<\delta$ だから、すべての $x$ で
$$\Bigl|\frac{f(x,t)-f(x,t_0)}{t-t_0}-\partial_tf(x,t_0)\Bigr|<\varepsilon$$
である。左辺の差の中の 2 つの関数はどちらも $x$ について連続で積分可能なので、積分の線形性と単調性から
$$\Bigl|\frac{F(t)-F(t_0)}{t-t_0}-\int_a^b\partial_tf(x,t_0)\,dx\Bigr|\le\int_a^b\Bigl|\frac{f(x,t)-f(x,t_0)}{t-t_0}-\partial_tf(x,t_0)\Bigr|\,dx\le(b-a)\varepsilon$$
である。$K$ は $t_0$ の $J$ における近傍なので、$F$ は $t_0$ で（端点なら片側の意味で）微分可能で、$F'(t_0)=\int_a^b\partial_tf(x,t_0)\,dx$ である。$F'$ の連続性は、lem-dui-continuity を連続関数 $\partial_tf$ に当てはめれば分かる。$\square$

開集合 $W:=I\times I\times J\subset\mathbb{R}^3$ の上の関数 $H(u,v,t):=\int_u^vf(x,t)\,dx$ を考えると、$G(t)=H(\alpha(t),\beta(t),t)$ である（$\int_u^v$ は $u>v$ なら $-\int_v^u$ と約束する）。
偏導関数。 微分積分学の基本定理（微分積分学の基本定理 の定理「積分の上端についての微分」）により $\partial_vH(u,v,t)=f(v,t)$、$\partial_uH(u,v,t)=-f(u,t)$ である。$u,v$ を固定すると、$u,v$ を端点とする有界閉区間の上で thm-dui-main が使えるので、$\partial_tH(u,v,t)=\int_u^v\partial_tf(x,t)\,dx$ である。
偏導関数の連続性。 $\partial_uH,\partial_vH$ は $f$ が連続なので連続である。$g:=\partial_tf$ とおき、$\partial_tH(u,v,t)=\int_u^vg(x,t)\,dx$ が点 $(u_0,v_0,t_0)\in W$ で連続であることを示す。$I$ に含まれる有界閉区間 $L$ と $J$ に含まれる有界閉区間 $K$ を、内部にそれぞれ $u_0,v_0$ と $t_0$ を含むようにとり、$M:=\max_{L\times K}|g|$ とおく。$u,v\in L$、$t\in K$ なら
$$\Bigl|\int_u^vg(x,t)\,dx-\int_{u_0}^{v_0}g(x,t_0)\,dx\Bigr|\le\Bigl|\int_u^v\bigl(g(x,t)-g(x,t_0)\bigr)dx\Bigr|+\Bigl|\int_{v_0}^{v}g(x,t_0)\,dx\Bigr|+\Bigl|\int_{u_0}^{u}g(x,t_0)\,dx\Bigr|$$
であり、右辺は $|L|\sup_{x\in L}|g(x,t)-g(x,t_0)|+M|v-v_0|+M|u-u_0|$ 以下である（$|L|$ は $L$ の長さ）。第 1 項は $g$ の $L\times K$ 上の一様連続性により $t\to t_0$ で $0$ に近づくので、$\partial_tH$ は $(u_0,v_0,t_0)$ で連続である。
結論。 偏導関数がすべて連続なので、$H$ は $W$ の各点で全微分可能である（偏微分 の定理「偏導関数が連続なら全微分可能」）。$t\mapsto(\alpha(t),\beta(t),t)$ は微分可能なので、多変数の連鎖律（連鎖律 の定理「多変数の連鎖律」）により
$$G'(t)=\partial_uH\cdot\alpha'(t)+\partial_vH\cdot\beta'(t)+\partial_tH=-f(\alpha(t),t)\alpha'(t)+f(\beta(t),t)\beta'(t)+\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}\partial_tf(x,t)\,dx$$
である（偏導関数は点 $(\alpha(t),\beta(t),t)$ での値）。$\square$

$t_0\in J$ をとり、$\delta,g$ を仮定のとおりにとる。開区間 $J_0:=(t_0-\delta,t_0+\delta)$ の上では、$f$ は 優収束定理 の定理「積分記号の下での微分」（$t$ によらない零集合 $N$ と可積分な優関数 $g$ をもつ形）の仮定をすべて満たす。したがって $F$ は $J_0$ 上で微分可能で、$F'(t)=\int_X\partial_tf(x,t)\,d\mu(x)$（$t\in J_0$）である。特に $t_0$ で微分可能で公式が成り立つ。$t_0$ は任意だった。
連続性：$x\notin N$ で $t\mapsto\partial_tf(x,t)$ が連続なら、$J_0$ 上の関数 $(t,x)\mapsto\partial_tf(x,t)$（$N$ の上で $0$）は $|\cdot|\le g$ を満たし、各 $t$ で可測である（差分商の極限なので）。優収束定理 の定理「パラメータを含む積分の連続性」により $F'$ は $J_0$ 上で連続である。$\square$