算術曲面

$p$ を奇素数、$c\in\mathbb Z$ を $p$ を法とする平方非剰余とする。$S=\operatorname{Spec}\mathbb Z_{(p)}$ 上の
$$ X=\operatorname{Proj}\mathbb Z_{(p)}[x,y,z]/(x^2-cy^2-pz^2) $$
は算術曲面である。閉ファイバー $x^2=cy^2$ の $\mathbb F_p$ 有理点は $(0:0:1)$ だけで、そこは閉ファイバーの特異点である。よって生成ファイバーの円錐曲線は $\mathbb Q$ 有理点をもたない。

$X\to S$ が滑らかな算術曲面で $\pi_*\mathcal O_X=\mathcal O_S$ なら、閉ファイバーは連結で滑らかなので既約で、曲線束 の定理「交叉行列の負半定値性」の 3 により自己交叉数は $0$ である。よって例外因子はなく、$X$ は相対極小である。$p_a(X_\eta)\ge1$ なら極小である（Liu06 Example 9.3.15, p. 418）。たとえば $p\ge5$ で、$\mathbb Z_{(p)}$ 上の $y^2=x^3+1$ は滑らかな Weierstrass モデルである。

$p\ge5$ を素数、$S=\operatorname{Spec}\mathbb Z_{(p)}$ とし、$X$ を $y^2=x^3+p$ の定める Weierstrass方程式 の射影閉包とする。閉ファイバーは尖点をもつ 3 次曲線 $y^2=x^3$ で既約、重複度は $1$ である。ファイバーの特異点は $Q=(0,0)$ だけで、$Q$ で $y^2-x^3-p\notin\mathfrak m^2$ なので $X$ は正則である。自己交叉数は $0$ だから例外因子はなく、$p_a(X_\eta)=1$ なので $X$ は極小である。これは小平邦彦（Kunihiko Kodaira）の記号で型 $\mathrm{II}$ の閉ファイバーである（Tateのアルゴリズム）。還元が滑らかでなくても、Weierstrass モデルがそのまま極小正則モデルになることがある。

$p\ge5$ を素数とし、$\mathbb Z_{(p)}$ 上で $y^2=x^3+p^2$ の射影閉包 $W$ を考える。点 $Q=(p,x,y)$ で方程式は $\mathfrak m^2$ に属するので $W$ は正則でない。$Q$ で爆発した $X$ は算術曲面で、閉ファイバーは次の 3 本の射影直線 $\Gamma_0,\Gamma_+,\Gamma_-$ からなる（どれも $\mathbb F_p$ 上、重複度 $1$）。

• $\Gamma_0$：尖点曲線 $y^2=x^3$ の狭義変換（正規化）。
• $\Gamma_\pm$：例外因子 $\{y=\pm p\}\subset\mathbb P^2_{(x:y:p)}$ の 2 本の直線。
  3 本は 1 点で互いに横断的に交わり、$\Gamma_i\cdot\Gamma_j=1$（$i\ne j$）、$\Gamma_i^2=-2$ である。$\Gamma_i\cong\mathbb P^1_{\mathbb F_p}$ だが自己交叉数が $-1$ でないので、Castelnuovo の判定法により例外因子はなく、$X$ は $y^2=x^3+p^2$ の極小正則モデルである。これは型 $\mathrm{IV}$ の閉ファイバーである。
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  チャート。$x$ で割る開集合で $p=xu$、$y=xv$ とおくと、$x^2v^2=x^3+x^2u^2$ から $x=v^2-u^2$ である。よってこの開集合は $\operatorname{Spec}\mathbb Z_{(p)}[u,v]/(u(v^2-u^2)-p)$ である。$p=0$ のファイバーは $u(v-u)(v+u)=0$ で、$p\ne2$ なので被約な 3 直線である。原点以外ではファイバーが滑らかで、原点 $(p,u,v)$ では方程式が $\mathfrak m^2$ に属さないので、この開集合は正則である。

  $y$ で割る開集合（$x=ya$、$p=yb$）は $1=ya^3+b^2$、$p$ で割る開集合（$x=pa$、$y=pb$）は $b^2=pa^3+1$ で、$p=0$ の点は $b=\pm1$ または $b=0$ である。方程式の $b$ についての偏微分 $2b$ は $b=\pm1$ で単元なので、そこは $a$ と $p$（または $y$）を座標とする正則な点で、ファイバーは滑らかである。$b=0$ の点は $ya^3=1$ で $y$ が単元で、狭義変換の滑らかな部分である。$W$ の無限遠点と $Q$ 以外の点はもとから滑らかである。

  交叉数。原点の局所環は $\mathfrak m=(u,v)$ の 2 次元正則局所環で（$p=u(v^2-u^2)\in\mathfrak m$）、3 成分の局所方程式は $u,v-u,v+u$ である。$p\ne2$ なのでどの 2 つも $\mathfrak m$ を生成し、局所交叉数は $1$、剰余体は $\mathbb F_p$ である。曲線束 の補題「ファイバーとの交叉と成分どうしの交叉」の 3 から $\Gamma_i^2=-2$ である。thm-as-adjunction の 1 から $K\cdot\Gamma_i=0$ で、2 の $K\cdot X_s=0$ と合う。

1 行目。 $X_1=\mathbb P^1_S$、$x\in(X_1)_s$ を $k(s)$ 有理な閉点とし、$\rho\colon X\to X_1$ を $x$ での爆発とする。$X_s=E+F$（$E$ は例外因子、$F$ は $(X_1)_s$ の狭義変換）で、$E\cdot F=1$、$E^2=F^2=-1$ である。$F\cong\mathbb P^1_{k(s)}$ なので Castelnuovo の判定法により $F$ も縮約でき、$X\to X_2$ を得る。$X_1,X_2$ は既約な閉ファイバーをもつので相対極小だが、生成ファイバーの恒等写像は $X_1\dashrightarrow X_2$ の射に延びない。閉ファイバーの生成点が $K(X)$ に定める付値が異なるからである（Liu06 Remark 9.3.23, p. 422）。よって極小なモデルはない。
2 行目と 3 行目。 $X=\operatorname{Proj}\mathbb Z_{(p)}[x,y,z]/(xy-p^2z^2)$ はファイバー曲面である。閉ファイバーは 2 直線 $\Gamma_1=V(x)$、$\Gamma_2=V(y)$ で、点 $Q=(0:0:1)$ で交わる。$Q$ の局所環で $\mathfrak m=(p,x,y)$、方程式は $\mathfrak m^2$ に属するので $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は 3 次元で、$X$ は $Q$ で正則でない。$\Gamma_1$ のイデアル $(p,x)$ は $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ で 2 次元の像をもつので単項でなく、$\Gamma_1$ は Cartier でない（$2\Gamma_1$ は局所的に $\operatorname{div}(x)$ である）。曲線束 の例「円錐曲線の退化」は $xy=nz^2$ で $n$ が平方因子をもたない場合で、$n=p^2$ はこの条件だけを破る。
$(p:p:1)$ は $X$ の $\mathbb Q$ 有理点で、その閉包は $Q$ を通る。閉ファイバーは $Q$ で正則でなく、2 成分に属する。