実解析関数

$d:=|x_1-c|$ とし、$|x-x_1|< R-d$ とする。$x-c=(x-x_1)+(x_1-c)$ を二項展開すると
$$ f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}a_k\binom kj(x_1-c)^{k-j}(x-x_1)^j $$
である。$j\le k$ のとき $u_{kj}:=a_k\binom kj(x_1-c)^{k-j}(x-x_1)^j$、$j>k$ のとき $u_{kj}:=0$ とおく。絶対値を足すと
$$ \sum_{k}\sum_{j}|u_{kj}|=\sum_{k}|a_k|\bigl(d+|x-x_1|\bigr)^k $$
であり、$d+|x-x_1|< R$ なので右辺は有限である（収束半径の内側では冪級数は絶対収束する。冪級数 の定理「収束する範囲と収束半径」）。二重級数 の定理「絶対収束する二重級数」により和の順序を入れ替えてよく、
$$ f(x)=\sum_{j=0}^{\infty}b_j(x-x_1)^j,\qquad b_j:=\sum_{k=j}^{\infty}a_k\binom kj(x_1-c)^{k-j} $$
となる。$b_j$ を定める級数は $x$ によらず、$x\ne x_1$ をとれば上の絶対収束から収束が分かる。よって $f$ は $|x-x_1|< R-d$ で $x_1$ を中心とする 1 つの冪級数の和に等しく、$x_1$ で実解析的である。表す冪級数は Taylor 級数に限るので、これが $x_1$ での Taylor 級数である。$x_1$ は $(c-R,c+R)$ の任意の点なので、$f\in C^\omega((c-R,c+R))$ である。

$p\in I$ を固定する。$r>0$ を十分小さくとると、$|x-p|< r$ で $f(x)=\sum_ka_k(x-p)^k$、$g(x)=\sum_kb_k(x-p)^k$ と同時に表せる（2 つの半径の小さい方をとる）。2 つの級数は $|x-p|< r$ の各点で収束するので、収束半径はどちらも $r$ 以上である。
和・定数倍・積：冪級数 の命題「冪級数の和・定数倍・積」により、$|x-p|< r$ で $f+g$、$\lambda f$、$fg$ はそれぞれ $p$ を中心とする冪級数の和に等しい。
導関数：冪級数 の定理「項別微分」により、$|x-p|< r$ で $f'(x)=\sum_{k\ge1}ka_k(x-p)^{k-1}$ である。
積分：$F(x)=F(p)+\int_p^xf(t)\,dt$ であり、冪級数 の定理「項別積分」により、$|x-p|< r$ で $\int_p^xf(t)\,dt=\sum_{k\ge0}\frac{a_k}{k+1}(x-p)^{k+1}$ である。定数 $F(p)$ を足しても冪級数の和である。
どの場合も $p$ を中心とする冪級数で $p$ の近くを表せたので、$p$ で実解析的である。$p$ は任意である。

1 ⇒ 2。各 $p\in I$ について、$r_p>0$ と実係数の冪級数 $\sum_ka_k^{(p)}(x-p)^k$ を、$(p-r_p,p+r_p)\subset I$ の上で $f$ を表すようにとる。この冪級数は $|x-p|< r_p$ で収束するので収束半径は $r_p$ 以上であり、同じ係数で複素数 $z$ を代入した級数は $D_p:=B(p,r_p)$ で収束する（実係数の冪級数の収束半径は、複素数の冪級数とみたときの収束半径に等しい。冪級数 の注意「複素数の冪級数」）。その和を $F_p$ とおくと、$F_p$ は $D_p$ 上で正則である（正則関数 の定理「冪級数の正則性」）。$U:=\bigcup_{p\in I}D_p$ は開集合で、$I$ を含む。
$z\in D_p\cap D_q$ なら $F_p(z)=F_q(z)$ であることを示す。$D_p\cap D_q$ は 2 つの円板の共通部分なので凸であり、中心が実数なので複素共役で閉じている。$z$ がこれに属せば $\bar z$ も属し、凸性から $\operatorname{Re}z=(z+\bar z)/2$ も属する。したがって $J:=D_p\cap D_q\cap\mathbb{R}=(p-r_p,p+r_p)\cap(q-r_q,q+r_q)$ は空でない開区間であり、$J$ の上では $F_p=f=F_q$ である。$D_p\cap D_q$ は凸なので連結な開集合で、$F_p,F_q$ はその上で正則で、集積点をもつ集合 $J$ の上で一致する。一致の定理 の定理「平面の領域上の一致の定理」により $D_p\cap D_q$ 上で $F_p=F_q$ である。
そこで $z\in D_p$ のとき $F(z):=F_p(z)$ と定めると、$F$ は $U$ 上で矛盾なく定まり、各 $D_p$ の上で正則な $F_p$ に等しいので $U$ 上で正則である。$p\in I$ では $F(p)=F_p(p)=a_0^{(p)}=f(p)$ である。
2 ⇒ 1 と後半。まず、$x\in I$ で $F^{(k)}(x)=f^{(k)}(x)$（特に実数）がすべての $k$ で成り立つことを示す。$F$ の複素微分係数 $F'(x)$ は、$h$ を実数に限って $h\to0$ とした極限 $\lim(F(x+h)-F(x))/h$ にも等しい。$I$ は開区間なので、$h$ が小さければ $x+h\in I$ で、この差分商は $(f(x+h)-f(x))/h$ である。よって $f$ は $x$ で微分でき、$F'(x)=f'(x)$ である。$F'$ も $U$ 上で正則で（正則関数 の定理「正則関数の冪級数展開」）、$I$ の上で実数値の $f'$ に等しいので、同じ議論をくり返せばよい。
$x_0\in I$、$B(x_0,\rho)\subset U$ とする（$U$ は開集合なので、そのような $\rho>0$ はある）。Taylor展開(複素解析) の定理「正則関数の冪級数展開」により、$|z-x_0|< \rho$ で
$$ F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{F^{(k)}(x_0)}{k!}(z-x_0)^k=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(z-x_0)^k $$
である。$x\in I$、$|x-x_0|< \rho$ なら $x\in B(x_0,\rho)$ なので $f(x)=F(x)$ は右辺の Taylor 級数の和に等しい。$r>0$ を $r\le\rho$ かつ $(x_0-r,x_0+r)\subset I$ ととれば、$f$ は $x_0$ で実解析的である。

1. thm-raf-complex により、$I$ を含む開集合 $U$ 上の正則関数 $G$ で $I$ 上 $G=g$ となるものがある。$V:=\{z\in U\mid G(z)\ne0\}$ は $G$ の連続性から開集合で、$I$ 上 $G=g\ne0$ なので $I\subset V$ である。$1/G$ は $V$ 上で正則であり（正則関数 の命題「正則関数の四則と合成」）、$I$ 上で $1/g$ に等しい。thm-raf-complex により $1/g\in C^\omega(I)$ である。
2. $f$、$g$ の延長 $F\colon U\to\mathbb{C}$（$I\subset U$）、$G\colon V\to\mathbb{C}$（$J\subset V$）をとる。$W:=U\cap F^{-1}(V)$ は $F$ の連続性から開集合である。$x\in I$ なら $F(x)=f(x)\in J\subset V$ なので $I\subset W$ である。$G\circ F$ は $W$ 上で正則で（同じ命題）、$I$ 上で $g\circ f$ に等しい。thm-raf-complex により $g\circ f\in C^\omega(I)$ である。
3. $f'$ は連続で $0$ にならないので、中間値の定理 により $I$ 上で符号が一定であり、$f$ は狭義単調な連続関数である。よって $f(I)$ は開区間で、$f\colon I\to f(I)$ は全単射である。$y_0\in f(I)$、$x_0:=f^{-1}(y_0)$ とする。逆関数定理 の定理「実解析的な逆関数定理」（1 変数の場合）により、$x_0$ の開近傍 $U_0\subset I$ と $y_0$ の開近傍 $V_0$ があって、$f\colon U_0\to V_0$ の逆写像 $h$ は実解析的である。$y\in V_0$ なら $f(h(y))=y$ で $f$ は単射なので $h(y)=f^{-1}(y)$ である。よって $f^{-1}$ は $y_0$ の近くで実解析的である。

$h:=f-g$ は $C^\omega(I)$ に属する（prop-raf-algebra）。$A:=\{x\in I\mid\text{すべての }k\ge0\text{ で }h^{(k)}(x)=0\}$ とおき、$A=I$ を示す。
$A$ は空でない。2 の場合は $p\in A$ である。1 の場合、$|x-p|< r$ で $h(x)=\sum_ka_k(x-p)^k$ とする。十分大きい $j$ で $|x_j-p|< r$ かつ $h(x_j)=0$ なので、冪級数 の命題「中心に近づく点列の上で0になる冪級数」により係数はすべて $0$ であり、$h^{(k)}(p)=k!\,a_k=0$ である。よって $p\in A$ である。
$A$ は開。$y\in A$ とし、$|x-y|< r$ で $h(x)=\sum_kb_k(x-y)^k$ とする。$b_k=h^{(k)}(y)/k!=0$ なので $(y-r,y+r)$ の上で $h=0$ であり、そこではすべての導関数も $0$ である。よって $(y-r,y+r)\subset A$ である。
$A$ は $I$ の中で閉。各 $h^{(k)}$ は連続なので、$A$ の点列が $y\in I$ に収束すれば $h^{(k)}(y)=0$ であり、$y\in A$ である。
区間 $I$ は連結である（連結空間）。空でなく、$I$ の中で開かつ閉な部分集合 $A$ は $I$ 全体に等しい。

1. thm-raf-identity の 2（$g=0$）により、$f^{(k)}(p)\ne0$ となる $k$ がある。その最小のものを $m$ とすると、$f(p)=0$ より $m\ge1$ である。$|x-p|< r$、$(p-r,p+r)\subset I$ で $f(x)=\sum_{k\ge m}a_k(x-p)^k$、$a_m=f^{(m)}(p)/m!\ne0$ と書ける。
   $$ g(x):=\begin{cases}\displaystyle\sum_{k\ge m}a_k(x-p)^{k-m} & (|x-p|< r)\\[1ex] f(x)/(x-p)^m & (x\in I,\ x\ne p)\end{cases} $$
   とおくと、2 つの式は $0<|x-p|< r$ で一致するので $g$ は $I$ 上で矛盾なく定まり、$f=(x-p)^mg$、$g(p)=a_m\ne0$ である。$|x-p|< r$ では $g$ は $|x-p|< r$ で収束する冪級数の和なので、thm-raf-power-series により実解析的である。$x\ne p$ の点では、$g$ は $f$ と $(x-p)^{-m}$（ex-raf-basic の $1/(x-p)$ の $m$ 乗）の積なので、prop-raf-algebra により実解析的である。
   一意性：$(x-p)^mg(x)=(x-p)^{m'}g_1(x)$、$g(p)\ne0\ne g_1(p)$、$m< m'$ とすると、$x\ne p$ で $g(x)=(x-p)^{m'-m}g_1(x)$ であり、$x\to p$ として $g(p)=0$ となって矛盾する。$m$ が決まれば $g$ も $x\ne p$ で決まり、連続性から $p$ でも決まる。
2. 零点の集合が $q\in I$ に集積すれば、thm-raf-identity の 1（$g=0$）により $f$ は恒等的に $0$ になり、仮定に反する。有界閉区間 $[a,b]\subset I$ に零点が無限個あれば、相異なる零点の列は Bolzano–Weierstrassの定理 により $[a,b]$ の点に収束する部分列をもち、その極限は零点の集合の集積点になる。