Δ-システム

(選択公理により)一般性を失わず、非可算正則基数$\kappa$に対して$\mathcal{A}\subseteq\restrictedpower{\kappa}{<\omega}$として良い。$\cof{\kappa}>\omega$により、$n\in\omega$と$\mathcal{A}'\subseteq\mathcal{A}$で$\card{\mathcal{A}'}=\kappa$であり、かつ$\mathcal{A}'\subseteq\restrictedpower{\kappa}{n}$となるようなものが存在する。よって以下の主張を示せば十分である。

主張　任意の正整数$n\in\omega$、非可算正則基数$\kappa$、$\mathcal{A}\subseteq\restrictedpower{\kappa}{n}$で$\card{\mathcal{A}}=\kappa$となるようなものに対して、$\mathcal{D}\subseteq\mathcal{A}$と順序数$\delta<\kappa$で$\card{\mathcal{D}}=\kappa$であり、任意の$a,b\in\mathcal{D}$に対して$a\neq b$ならば$a\cap \delta=a\cap b=b\cap\delta$となるようなものが存在する。

主張の証明　正整数$n\in\omega$に対する数学的帰納法で示す。
$n=1$の場合：$\mathcal{A}\subseteq\restrictedpower{\kappa}{1}$より任意の$a,b\in\mathcal{A}$に対して$a\neq b$ならば$a\cap b=\emptyset$である。よって$\mathcal{D}:=\mathcal{A}$、$\delta:=0$とすれば良い。
$n+1$の場合：$n$の場合を仮定し、以下の通り場合分けをして構成する。

• ある$\tau<\kappa$が存在し、$\mathcal{A}_\tau:=\{a\in\mathcal{A}\mid\tau=\min{a}\}$の濃度が$\kappa$であるとする。この場合、帰納法の仮定を用いれば、$\mathcal{D}_\tau\subseteq\{a\setminus\{\tau\}\mid a\in\mathcal{A}_\tau\}$と順序数$\delta_\tau<\kappa$で$\card{\mathcal{D}_\tau}=\kappa$であり、かつ任意の$a,b\in\mathcal{D}_\tau$に対して$a\cap \delta_\tau=a\cap b=b\cap\delta_\tau$となるようなものが存在する。
  \begin{align*} \mathcal{D}:&=\{a\cup\{\tau\}\mid a\in\mathcal{D}_\tau\}\\ \delta:&=\delta_\tau\cup(\tau+1) \end{align*}
  と定めると、$\card{\mathcal{D}}=\card{\mathcal{D}_\tau}=\kappa$であり、また$\delta_\tau<\kappa$と$\tau<\kappa$より$\delta<\kappa$となる。また任意の$a,b\in\mathcal{D}$に対して、$\mathcal{D}$の定義から$a_\tau,b_\tau\in\mathcal{D}_\tau$が存在して$a=a_\tau\cup\{\tau\}$、$b=b_\tau\cup\{\tau\}$と表せる。よって$\mathcal{D}_\tau$の定義から$(a_\tau\cap(\tau+1))=\{\tau\}$であることを用いれば
  \begin{align*} a\cap\delta&=(a_\tau\cup\{\tau\})\cap(\delta_\tau\cup(\tau+1))\\ &=(a_\tau\cap(\delta_\tau\cup(\tau+1)))\cup(\{\tau\}\cap(\tau+1))\\ &=(a_\tau\cap\delta_\tau)\cup (a_\tau\cap(\tau+1))\cup\{\tau\}\\ &=(a_\tau\cap\delta_\tau)\cup \{\tau\} \end{align*}
  となり、同様に
  \begin{align*} b\cap\delta&=(b_\tau\cap\delta_\tau)\cup \{\tau\} \end{align*}
  となる。また
  \begin{align*} a\cap b &=(a_\tau\cup\{\tau\})\cap(b_\tau\cup\{\tau\})\\ &=(a_\tau\cap b_\tau) \cup\{\tau\} \end{align*}
  となる。今$a_\tau\cap \delta_\tau=a_\tau\cap b_\tau=b_\tau\cap\delta_\tau$を思い出すと$a\cap\delta=a\cap b=b\cap\delta$を得る。
• 任意の$\tau<\kappa$に対して、$\mathcal{A}_\tau:=\{a\in\mathcal{A}\mid\tau=\min{a}\}$の濃度が$\kappa$未満であるとする。$\kappa$の正則性を用いて超限帰納法により$f\colon\kappa\to\mathcal{A}$を任意の順序数$\xi<\kappa$に対して
  $$\bigcup f[\xi]\subseteq\min{f(\xi)}$$
  が成り立つように構成する。
  後続順序数の場合：$\xi+1$未満に対して$f$が定義されているとすると、任意の$\zeta<\xi+1$に対して$\bigcup f[\zeta]\subseteq\min{f(\zeta)}$である。$\bigcup f[\xi]=f(\xi)\cup \bigcup f[\zeta]$であり、$\kappa$の正則性から仮定を用いれば$\sup{\bigcup f[\xi]}$は$\kappa$未満である。$\kappa$の正則性から$\mathcal{A}\setminus\bigcup_{\eta\leq\sup{\bigcup f[\xi]}}\mathcal{A}_\eta$は非空となるため、$f(\xi+1)\in\mathcal{A}\setminus\bigcup_{\eta\leq\sup{\bigcup f[\xi]}}\mathcal{A}_\eta$となるように選択すれば良い。
  極限順序数の場合：$\lambda$未満に対して$f$が定義されているとすると、任意の$\xi<\lambda$に対して$\bigcup f[\xi]\subseteq\min{f(\xi)}$である。$\bigcup f[\lambda]=\bigcup_{\xi<\lambda}\bigcup f[\xi]$であり、$\kappa$の正則性から仮定を用いれば$\sup{\bigcup f[\lambda]}$は$\kappa$未満である。以下は後続順序数の場合を同じ議論を行えば良い。
  今、
  \begin{align*} \mathcal{D}&:=f[\kappa]\\ \delta&:=0 \end{align*}
  と定めれば、$f$が明らかに単射なので$f[\kappa]$の濃度は$\kappa$であり、また任意の$a,b\in\mathcal{D}$に対して順序数$\xi,\zeta$で$a=f(\xi)$、$b=f(\zeta)$が成り立つものが存在し、単射性から$a\neq b$とすれば$\xi\neq\zeta$となる。$\xi<\zeta$としても一般性を失わず、$f$の満たす性質から$f(\xi)\subseteq\min{f(\zeta)}$である。よって$a\cap b=\emptyset$となるため$a\cap 0=a\cap b=b\cap 0$となる。

$n,m\in\mathcal{A}$に対して$n\cap m=\min\{n,m\}$となるため明らか。

$\kappa$が特異基数であるため$\cof{\kappa}<\kappa$となる。いま、$f\colon\cof{\kappa}\to\kappa$を狭義単調増加かつ共終な関数とする。すなわち、$f[\cof{\kappa}]$は$\kappa$にて非有界であるとする。すると$\kappa=\bigcup_{\xi<\cof{\kappa}}[f(\xi),f(\xi+1))$であり、また$\card{[f(\xi),f(\xi+1))}<\kappa$であり。
$$\mathcal{A}:=\bigcup_{\xi<\cof{\kappa}}\restrictedpower{[f(\xi),f(\xi+1))}{2}$$
とすると、$\card{\mathcal{A}}=\kappa$であり、$\mathcal{D}\subseteq\mathcal{A}$を$\Delta$-システムとすると、ある$r$が存在し、$a,b\in\mathcal{D}$に対して、$a\neq b$に対して$a\cap b=r$となる。今$\mathcal{D}\subseteq\mathcal{A}$なので、$\eta\in\kappa$に対して$r=\{\eta\}$とすると、ある$\xi<\cof{\kappa}$が存在して、$\eta\in [f(\xi),f(\xi+1))$となる。今、$\zeta\in\kappa$で$\zeta\neq\xi$に対して$\eta\notin[f(\zeta),f(\zeta+1))$であるから、$\mathcal{D}\subseteq \restrictedpower{[f(\xi),f(\xi+1))}{2}$となる。よって
$$\card{\mathcal{D}}\leq\card{\restrictedpower{[f(\xi),f(\xi+1))}{2}}<\kappa$$
となる。

(選択公理により)一般性を失わず、$\mathcal{A}\subseteq\restrictedpower{\kappa}{<\lambda}$として仮定して良い。また整列可能定理により$\mathcal{A}$を整列させて$\mathcal{A}=\{a_\xi\mid\xi\in\kappa\}$と置く。今、$\lambda<\kappa$が正則基数なので
$$ \mathbf{E}^\kappa_\lambda:=\{\xi\in\kappa\mid\cof{\xi}=\lambda\}$$
は$\kappa$の定常集合である。$f\colon\mathbf{E}^\kappa_\lambda\to\kappa$を以下のように定義する。
$$ f(\xi):=\sup{(\xi\cap a_\xi)}$$
今、任意の$\xi\in\mathbf{E}^\kappa_\lambda$に対して$\card{a_\xi}<\lambda=\cof{\xi}$となることから任意の$\xi\in\mathbf{E}^\kappa_\lambda$に対して
$$ f(\xi):=\sup{(\xi\cap a_\xi)}<\xi$$
が成り立つ。よって$f$は退行的であり、Fodorの押し下げ補題により、定常集合$S\subseteq\mathbf{E}^\kappa_\lambda$と$\nu<\kappa$で、任意の$\xi\in S$に対して$\sup{(\xi\cap a_\xi)}<\nu$となるものが存在する。また$C\subseteq\kappa$を
$$ C:=\{\xi\in\kappa\mid(\forall\zeta<\xi)[\sup{a_\zeta}<\xi]\}$$
と定める。

主張　$C$は$\kappa$上の閉非有界集合である。

主張の証明　$\zeta\in\kappa$に対して
$$ C_\zeta:=\{\xi\in\kappa\mid \sup{a_\zeta}<\xi\}$$は明らかに閉非有界であり、また$C=\bigtriangleup_{\xi\in\kappa}C_\xi$となるため閉非有界性が対角共通部分に閉じていることから分かる。

定常集合$S$と閉非有界集合$C$の共通部分$S\cap C$は定常集合である。よって$\alpha,\beta\in S\cap C$を任意に取り、$\alpha<\beta$と仮定すると、$\sup{(\beta\cap a_\beta)}<\nu$と$\sup{a_\alpha}<\beta$であることから$a_\alpha\cap a_\beta\subseteq\nu$となる。
今、$S$は定常であり、非定常イデアル$\mathrm{NS}_\kappa$の加法数$\mathrm{add}(\mathrm{NS}_\kappa)$が$\kappa$である、言い換えれば閉非有界フィルターが$\kappa$-完備であることを用いれば、仮定$\card{\restrictedpower{\nu}{<\lambda}}<\kappa$により、定常集合$T\subseteq S$で任意の$\alpha,\beta\in T$に対して$a_\alpha\cap\nu=a_\beta\cap\nu$となるようなものが存在する。$T$は定常集合なので$\card{T}=\kappa$であり、$\{a_\xi\mid\xi\in T\}$が$\Delta$-システムとなる。

(選択公理により)一般性を失わず、$\mathcal{A}\subseteq\restrictedpower{\kappa}{<\lambda}$として仮定して良い。$N\in\omega$を以下の議論が通るくらい十分に大きく取り、任意の基数$\theta<\kappa$に対して$\theta^{<\lambda}<\kappa$であることと、反映原理とLöwenheim–Skolem– Tarskiの定理を用いて$M$を$V$の部分集合で

• $\struc{M;{\in}{\restriction}M}\preceq_{\Sigma_N}\struc{V;\in}$。
• $\card{M}<\kappa$。
• $\lambda\subseteq\kappa\cap M\in \mathrm{On}\cap M$。
• $\mathcal{A}\in M$。
• $\restrictedpower{M}{<\lambda}\subseteq M$。

を満たすように取る。$\card{M}<\kappa$により$\mathcal{A}\setminus\mathcal{M}\neq\emptyset$なので$a\in\mathcal{A}\setminus\mathcal{M}$を取り、$r:=a\cap M$とする。$\card{r}<\lambda$であり、また$\restrictedpower{M}{<\lambda}\subseteq M$なので、$r\in M$となる。$\mathbb{P}:=\struc{P;\leq}$を以下のように定義する。

• $P$は$r$を根とする、$\Delta$-システム$\mathcal{D}\subseteq\mathcal{A}$からなる集合とする。
• $\mathcal{D}_0,\mathcal{D}_1\in P$に対して$\mathcal{D}_0\leq\mathcal{D}_1:\Leftrightarrow\mathcal{D}_0\subseteq\mathcal{D}_1$で定める。

主張　$\mathbb{P}$は帰納的半順序である。

主張の証明　半順序であることは明らかである。よって帰納的であることを確かめる。鎖$C\subseteq P$に対して$\bigcup C$も$r$を根とする$\Delta$-システムであることを確認すれば良い。$a,b\in\bigcup C$を任意に取る。今、ある$\mathcal{D}\in C$に対して$a,b\in\mathcal{D}$であり、$\mathcal{D}$は$r$を根とする$\Delta$-システムなので$a\cap b=r$となる。

Zornの補題により$\mathbb{P}$は極大元を持つ。また$\mathcal{A},r\in M$により$\mathbb{P}$は$\struc{M;{\in}{\restriction}M}$上で定義可能なので$\mathbb{P}\in M$となる。$\Sigma_N$-初等性により、
$$ \struc{M;{\in}{\restriction}M}\models \text{`` $\mathbb{P}$ は極大元を持つ"}$$
が成り立つ。よって$\mathcal{D}\in M$を
$$ \struc{M;{\in}{\restriction}M}\models \text{`` $\mathcal{D}$ は $\mathbb{P}$ の極大元である"}$$
が成り立つように取る。

主張　$\card{\mathcal{D}}=\kappa$である。

主張の証明　$\card{\mathcal{D}}<\kappa$と仮定すると$\mathcal{D}\in M$により$\card{\mathcal{D}}\in\kappa\cap M\in\mathrm{On}\cap M$であり、$\card{\mathcal{D}}\subseteq M$と仮定して良い。特に$\struc{M;{\in}{\restriction}M}\preceq_{\Sigma_1}\struc{V;\in}$により$\mathcal{D}\subseteq M$として良い。今$\mathcal{D}':=\mathcal{D}\cup\{a\}$とする。$b\in\mathcal{D}$を任意に取ると、$b\in M$となり、$\card{b}<\lambda\subseteq\kappa\cap M$により$b\subseteq M$となる。また$\Sigma_N$-初等性により$\struc{V;\in}$にて$r\subseteq b$となる。よって$a\cap b=a\cap M=r$となり、$\mathcal{D}'$は$\Delta$-システムとなるため、$\mathcal{D}$の極大性に矛盾する。

明らか。

$\card{{}^{<\kappa}2}<{\mathopen{}\left(2^{<\kappa}\right)\mathclose{}}^+$となるため明らかである。

$A\subseteq\mathbb{P}_0\times\mathbb{P}_1$を$\card{A}=\kappa$となる集合とする。以下の通り場合分けを行う。

• ある$i\in 2$、$p_i\in\mathbb{P}_i$に対して$p_i$による射影$A_{1-i}:=\{p_{1-i}\in\mathbb{P}_{1-i}\mid \seq{p_0,p_1}\in A\}$の濃度が$\kappa$となる場合：$\mathbb{P}_{1-i}$が$\kappa$-Knaster なので$B_{1-i}\subseteq A_{1-i}$で$B_{1-i}$の任意の二元は互いに(広義)比較可能となるようなものが存在する。よって$B:=\{p_i\}\times B_{1-i}\subseteq A$とすれば、$\card{B}=\kappa$であり、また任意の二元は互いに(広義)比較可能である。

• そうでない場合：$F\subseteq A$で$\card{F}=\kappa$であり、$F$は全単射な関数のグラフとなるようなものが存在する。
  \begin{align*} \pi_0[F]&:=\{p_0\in\mathbb{P}_0\mid (\exists p_1\in\mathbb{P}_1)[\seq{p_0,p_1}\in F]\}\\ \pi_1[F]&:=\{p_1\in\mathbb{P}_1\mid (\exists p_0\in\mathbb{P}_0)[\seq{p_0,p_1}\in F]\} \end{align*}
  の濃度は互いに$\kappa$であり、$\mathbb{P}_0,\mathbb{P}_1$の$\kappa$-Knaster 性から$B_0\subseteq\pi_0[F]$と$B_1\subseteq\pi_1[F]$で濃度が$\kappa$であり、各二元が互いに(広義)比較可能となるようなものを取ってこれる。$B=B_0\times B_1\subseteq A$とし、$\seq{p_0,p_1},\seq{q_0,q_1}\in B$を任意に取る。今、$r_0\leq_{\mathbb{P}_0}p_0,q_0$と$r_1\leq_{\mathbb{P}_1}p_1,q_1$が存在する。よって$\seq{r_0,r_1}\leq_{\mathbb{P}_0\times\mathbb{P}_1}\seq{p_0,p_1},\seq{q_0,q_1}$となるため(広義)比較可能である。任意の有限集合に対して保存されることは二項直積の場合を用いて添字集合に対する数学的帰納法に従う。

任意の有限集合に対して保存されることは二項直積の場合を用いて添字集合に対する数学的帰納法に従う。

$A\subseteq\prod_{i\in I}^{<\lambda}\mathbb{P}_i$を$\card{A}=\kappa$となる集合とし、$S:=\{\supp{p}\mid p\in A\}$とする。

• $\card{S}<\kappa$の場合：鳩の巣原理により$J\subseteq I$で$\card{J}<\lambda$で$\card{\{p\in A\mid \supp{p}=J\}}=\kappa$となるものが存在する。仮定から$\prod^{<\lambda}_{j\in J}\mathbb{P}_j$は$\kappa$-Knaster であり、よって$\{p\in A\mid \supp{p}=J\}$の部分集合$B$で$\card{B}=\kappa$であり、かつ任意の元が互いに(広義)比較可能となるものが存在する。
• $\card{S}=\kappa$の場合：一般$\Delta$-システム補題により$D\subseteq A$と$J\subseteq I$で$\card{J}<\lambda$かつ任意の$p,q\in D$に対して$p\neq q$ならば$\supp{p}\cap\supp{q}=J$となるようなものが存在する。仮定から$\prod^{<\lambda}_{j\in J}\mathbb{P}_j$は$\kappa$-Knaster であり、よって$B\subseteq D$で$\card{B}=\kappa$かつ、任意の$p,q\in B$に対して$p{\restriction} J$と$q{\restriction}J$が互いに(広義)比較可能となるものが存在する。$p=q$の場合は明らかに(広義)比較可能であり、$p\neq q$の場合$\supp{p}\cap\supp{q}=J$より、台上で比較可能なため$p,q$は明らかに(広義)比較可能である。

$s$に関する数学的帰納法で示す。
$s=1$の場合：$\card{F}$の元は対ごとに素な一元集合であり、$\card{\mathcal{F}}>k-1$となるため任意の$\mathcal{F}$の部分集合$\mathcal{S}$で$\card{\mathcal{S}}=k$となるものが求めるものとなる。
$s+1$の場合：$\mathcal{A}:=\{A_0,\ldots,A_{t-1}\}\subseteq\mathcal{F}$を$\mathcal{F}$の元からなる対ごとに素な集合族の中で包含関係に関して極大なものとする。
$t-1\geq k$の場合：$\mathcal{A}$が芯が$\emptyset$となる求める向日葵である。
$t-1< k$の場合：$B:=\bigcup\mathcal{A}$とする。$\card{B}=st\leq s(k-1)$であり、$\mathcal{A}$の極大性から任意の$\mathcal{F}$の元と$B$は交わる。よって鳩の巣原理により$x\in B$で少なくとも$s!(k-1)^s$個の$\mathcal{F}$の元に含まれるようなものが存在することが以下の式により分かる。
$$ s!(k-1)^s=\frac{(s+1)!(k-1)^{s+1}}{(s+1)(k-1)}<\frac{\card{\mathcal{F}}}{\card{B}}$$
よって、そのような$x$に対して
$$ \mathcal{F}_x:=\{S\setminus\{x\}\mid S\in\mathcal{F}\land x\in S\}$$
とすれば、帰納法の仮定から向日葵$\mathcal{S}_x\subseteq\mathcal{F}_x$で$\card{\mathcal{S}_x}=k$となるようなものが存在する。今
$$\mathcal{S}:=\{S\cup\{x\}\mid S\in\mathcal{S}_x\}$$
が求める向日葵である。