Δ-システム

$\lambda:=\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa$ とし、狭義単調増加で $\kappa$ において共終な写像 $f\colon\lambda\to\kappa$ で $f(0)\ge\lambda$ を満たすものをとる（共終な狭義単調増加写像 $g$ に対し $f(\xi):=\lambda+g(\xi)$ とすればよい）。区間 $I_\xi:=[f(\xi),f(\xi+1))=\{\alpha\mid f(\xi)\le\alpha< f(\xi+1)\}$（$\xi<\lambda$）は互いに素で、$\bigcup_{\xi<\lambda}I_\xi=\kappa\setminus f(0)$ であり、各 $I_\xi$ は $|I_\xi|\le|f(\xi+1)|<\kappa$ を満たす。
$$ \mathcal{A}:=\{\{\xi,\alpha\}\mid \xi<\lambda,\ \alpha\in I_\xi\} $$
とおく。$\xi<\lambda\le f(0)\le\alpha$ なので $\xi\neq\alpha$ であり、$\{\xi,\alpha\}\in[\kappa]^2$ である。写像 $\{\xi,\alpha\}\mapsto\alpha$ は $\mathcal{A}$ から $\kappa\setminus f(0)$ への全単射（全単射。$\alpha$ から $\alpha\in I_\xi$ となる $\xi$ が一意に定まる）なので $|\mathcal{A}|=\kappa$ である。
$\mathcal{D}\subset\mathcal{A}$ を根 $r$ の $\Delta$-システムとし、$|\mathcal{D}|\ge3$ とする。$r$ は $\mathcal{D}$ の元の共通部分なので $|r|\le2$ であり、$|r|=2$ なら $\mathcal{D}$ の元はすべて $r$ に等しく $|\mathcal{D}|\le1$ となるので、$|r|\le1$ である。

• $r=\emptyset$ のとき：$\mathcal{D}$ の元は互いに素なので、$\{\xi,\alpha\}\mapsto\xi$ は $\mathcal{D}$ から $\lambda$ への単射（単射）であり、$|\mathcal{D}|\le\lambda<\kappa$。
• $r=\{\xi\}$（$\xi<\lambda$）のとき：$\mathcal{D}$ の元はすべて $\{\xi,\alpha\}$（$\alpha\in I_\xi$）の形なので $|\mathcal{D}|\le|I_\xi|<\kappa$。
• $r=\{\alpha\}$（$\alpha\ge\lambda$）のとき：$\alpha\in I_\xi$ となる $\xi$ は一意なので、$\alpha$ を含む $\mathcal{A}$ の元は $\{\xi,\alpha\}$ だけであり、$|\mathcal{D}|\le1$。
  いずれの場合も $|\mathcal{D}|<\kappa$ である。$\square$

方針：有限集合の大きさについて帰納し、最小元が同じ集合を大量に選べるかどうかで二場合に分ける。
この形の主張は N. A. Shanin による（Sha46。Kun80 Chapter II, Theorem 1.6 も参照）。
帰着。$|\mathcal{A}|$ が非可算なら、$\mathcal{A}$ は濃度 $\omega_1$（最小の非可算基数。正則である）の部分族を含むので、前半は後半から従う。そこで $|\mathcal{A}|=\kappa$ を非可算な正則基数とする。$\bigcup\mathcal{A}$ は $\kappa$ 個の有限集合の和なので $|\bigcup\mathcal{A}|\le\kappa$ であり、$\bigcup\mathcal{A}$ を整列（整列順序）して $\kappa$ の部分集合と同一視すれば、$\mathcal{A}\subset[\kappa]^{<\omega}$ としてよい。$\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\omega}(\mathcal{A}\cap[\kappa]^n)$ であり、$\operatorname{cf}(\kappa)=\kappa>\omega$ なので、ある $n\in\omega$ について $|\mathcal{A}\cap[\kappa]^n|=\kappa$ である。$[\kappa]^0=\{\emptyset\}$ なので $n\ge1$ である。よって次の主張を示せば十分である。
主張。$n\ge1$、$\kappa$ を非可算正則基数、$\mathcal{A}\subset[\kappa]^n$、$|\mathcal{A}|=\kappa$ とする。このとき $\mathcal{D}\subset\mathcal{A}$ と順序数 $\delta<\kappa$ で、$|\mathcal{D}|=\kappa$ であり、任意の相異なる $a,b\in\mathcal{D}$ に対して $a\cap\delta=a\cap b=b\cap\delta$ となるものが存在する。（このとき $\mathcal{D}$ は根 $r:=a\cap\delta$（$a\in\mathcal{D}$ によらない）の $\Delta$-システムである。）
主張を $n$ についての数学的帰納法で示す。
$n=1$ のとき：$\mathcal{A}$ の元は相異なる 1 点集合なので互いに素であり、$\mathcal{D}:=\mathcal{A}$、$\delta:=0$ とすればよい。
$n+1$ のとき：$n$ について主張が成り立つとする。$\tau<\kappa$ に対し $\mathcal{A}_\tau:=\{a\in\mathcal{A}\mid\min a=\tau\}$ とおく。
場合 1：ある $\tau<\kappa$ について $|\mathcal{A}_\tau|=\kappa$ であるとき。$\mathcal{A}'_\tau:=\{a\setminus\{\tau\}\mid a\in\mathcal{A}_\tau\}\subset[\kappa]^n$ とおくと、$a\mapsto a\setminus\{\tau\}$ は $\mathcal{A}_\tau$ 上単射なので $|\mathcal{A}'_\tau|=\kappa$ である。帰納法の仮定により $\mathcal{D}_\tau\subset\mathcal{A}'_\tau$ と $\delta_\tau<\kappa$ で、$|\mathcal{D}_\tau|=\kappa$ かつ相異なる $a',b'\in\mathcal{D}_\tau$ に対して $a'\cap\delta_\tau=a'\cap b'=b'\cap\delta_\tau$ となるものがとれる。
$$ \mathcal{D}:=\{a'\cup\{\tau\}\mid a'\in\mathcal{D}_\tau\},\qquad \delta:=\max(\delta_\tau,\tau+1) $$
とおくと、$\mathcal{D}\subset\mathcal{A}_\tau\subset\mathcal{A}$、$|\mathcal{D}|=\kappa$、$\delta<\kappa$ である。相異なる $a=a'\cup\{\tau\}$、$b=b'\cup\{\tau\}\in\mathcal{D}$ をとる。$a'$ の元はすべて $\tau$ より大きい（$\min a=\tau$ による）ので $a'\cap(\tau+1)=\emptyset$ であり、$\tau<\delta$ に注意すると
$$ a\cap\delta=(a'\cap\delta)\cup\{\tau\}=(a'\cap\delta_\tau)\cup(a'\cap(\tau+1))\cup\{\tau\}=(a'\cap\delta_\tau)\cup\{\tau\} $$
となる（$\delta=\delta_\tau\cup(\tau+1)$ による）。同様に $b\cap\delta=(b'\cap\delta_\tau)\cup\{\tau\}$ であり、$a\cap b=(a'\cap b')\cup\{\tau\}$ である。$a'\cap\delta_\tau=a'\cap b'=b'\cap\delta_\tau$ なので $a\cap\delta=a\cap b=b\cap\delta$ を得る。
場合 2：すべての $\tau<\kappa$ について $|\mathcal{A}_\tau|<\kappa$ であるとき。超限再帰により単射 $g\colon\kappa\to\mathcal{A}$ を、すべての $\xi<\kappa$ について
$$ \bigcup_{\zeta<\xi}g(\zeta)\subset\min g(\xi) $$
（すなわち $\zeta<\xi$ なら $g(\zeta)$ のすべての元が $\min g(\xi)$ より小さい）が成り立つように構成する。$\xi<\kappa$ とし、$g$ が $\xi$ 未満で定義されているとする。$S_\xi:=\bigcup_{\zeta<\xi}g(\zeta)$ は $|\xi|<\kappa$ 個の有限集合の和なので $|S_\xi|<\kappa$ であり、$\kappa$ の正則性から $S_\xi$ は $\kappa$ で有界、すなわち $\sigma:=\sup S_\xi<\kappa$ である（$S_\xi=\emptyset$ なら $\sigma:=0$）。$\bigcup_{\tau\le\sigma}\mathcal{A}_\tau$ は $|\sigma|+1<\kappa$ 個の、それぞれ濃度 $<\kappa$ の族の和なので、再び正則性により濃度 $<\kappa$ である。$|\mathcal{A}|=\kappa$ なので $\mathcal{A}\setminus\bigcup_{\tau\le\sigma}\mathcal{A}_\tau\neq\emptyset$ であり、その元を1つ選んで $g(\xi)$ とする。このとき $\min g(\xi)>\sigma$ なので、$S_\xi$ のすべての元は $\min g(\xi)$ より小さい。
$\mathcal{D}:=g[\kappa]=\{g(\xi)\mid\xi<\kappa\}$、$\delta:=0$ とおく。$\zeta<\xi$ なら $g(\zeta)$ の元はすべて $\min g(\xi)$ より小さいので $g(\zeta)\cap g(\xi)=\emptyset$ であり、$g(\zeta)\neq\emptyset$ なので $g(\zeta)\neq g(\xi)$ である。よって $g$ は単射で $|\mathcal{D}|=\kappa$、$\mathcal{D}$ の元は互いに素であり、相異なる $a,b\in\mathcal{D}$ に対して $a\cap0=\emptyset=a\cap b=b\cap0$ が成り立つ。$\square$

方針：定常集合上で根の候補を固定し、閉非有界集合で先の集合が後の添字より下に入るようにする。
$|\bigcup\mathcal{A}|\le\kappa\cdot\lambda=\kappa$ なので、thm-delta-system-lemma の証明の帰着と同様に $\mathcal{A}\subset[\kappa]^{<\lambda}$ としてよい。$\mathcal{A}$ を $\mathcal{A}=\{a_\xi\mid\xi<\kappa\}$（$\xi\neq\zeta$ なら $a_\xi\neq a_\zeta$）と番号づける。
以下、定常集合（stationary set）と閉非有界集合（club）についての次の標準的事実を用いる（Jec03 Chapter 8、Kun80 Chapter II §6）。(i) $\lambda<\kappa$ が正則基数のとき $E^\kappa_\lambda:=\{\xi<\kappa\mid\operatorname{cf}(\xi)=\lambda\}$ は $\kappa$ の定常集合である。(ii) Fodor の押し下げ補題（Fodorの補題）：定常集合 $S\subset\kappa$ 上の退行的関数（退行的関数）$f$（$f(\xi)<\xi$）はある定常集合 $S'\subset S$ の上で定数である。(iii) 閉非有界集合の族 $\{C_\zeta\}_{\zeta<\kappa}$ の対角共通部分（対角共通部分）$\bigtriangleup_{\zeta<\kappa}C_\zeta:=\{\xi<\kappa\mid\forall\zeta<\xi\ (\xi\in C_\zeta)\}$ は閉非有界である。(iv) 定常集合と閉非有界集合の共通部分は定常であり、$\kappa$ 未満個の非定常集合の和は非定常である（閉非有界フィルター（閉非有界フィルター）の $\kappa$-完備性（κ-完備））。(v) 定常集合は $\kappa$ において非有界であり、$\kappa$ の正則性からその濃度は $\kappa$ である。
(i) により $E^\kappa_\lambda$ は定常である。$\xi\in E^\kappa_\lambda$ に対し $f(\xi):=\sup(\xi\cap a_\xi)$ とおく（$\xi\cap a_\xi=\emptyset$ なら $f(\xi):=0$）。$|\xi\cap a_\xi|\le|a_\xi|<\lambda=\operatorname{cf}(\xi)$ なので $\xi\cap a_\xi$ は $\xi$ で有界であり、$f(\xi)<\xi$ である（$\xi\ge\lambda>0$）。よって $f$ は退行的であり、(ii) により定常集合 $S\subset E^\kappa_\lambda$ と $\nu_0<\kappa$ で、任意の $\xi\in S$ について $f(\xi)=\nu_0$ となるものが存在する。$\nu:=\nu_0+1$ とおくと、$\xi\in S$ について $\xi\cap a_\xi\subset\nu$ である。
次に
$$ C:=\{\xi<\kappa\mid\forall\zeta<\xi\ (\sup a_\zeta<\xi)\} $$
とおく。各 $\zeta<\kappa$ について $|a_\zeta|<\lambda<\kappa$ と $\kappa$ の正則性から $\sup a_\zeta<\kappa$ であり、$C_\zeta:=\{\xi<\kappa\mid\sup a_\zeta<\xi\}$ は $\kappa$ の末尾区間なので閉非有界である。$C=\bigtriangleup_{\zeta<\kappa}C_\zeta$ なので、(iii) により $C$ は閉非有界である。
$\alpha<\beta$ を $S\cap C$ の元とする。$\beta\in C$ より $\sup a_\alpha<\beta$、すなわち $a_\alpha\subset\beta$ であるから、$a_\alpha\cap a_\beta\subset\beta\cap a_\beta\subset\nu$ である（$\beta\in S$ による）。
写像 $\xi\mapsto a_\xi\cap\nu$ は $S\cap C$ から $[\nu]^{<\lambda}$ への写像であり、仮定 2 により $|[\nu]^{<\lambda}|\le\max(|\nu|,\aleph_0)^{<\lambda}<\kappa$ である。(iv) により $S\cap C$ は定常であり、$\kappa$ 未満個の集合 $T_r:=\{\xi\in S\cap C\mid a_\xi\cap\nu=r\}$（$r\in[\nu]^{<\lambda}$）の和なので、ある $r$ について $T:=T_r$ は定常である。(v) により $|T|=\kappa$ である。$\mathcal{D}:=\{a_\xi\mid\xi\in T\}$ とおくと、番号づけの単射性から $|\mathcal{D}|=\kappa$ であり、相異なる $\alpha,\beta\in T$（$\alpha<\beta$ としてよい）について $a_\alpha\cap a_\beta\subset\nu$ より
$$ a_\alpha\cap a_\beta=(a_\alpha\cap\nu)\cap(a_\beta\cap\nu)=r\cap r=r $$
である。よって $\mathcal{D}$ は根 $r$ の $\Delta$-システムである。$\square$

要点：小さな初等部分モデル $M$ を選び、$a\notin M$ の $r=a\cap M$ を根とする極大 Δ-システムをとる。その濃度が $\kappa$ 未満なら $a$ を加えられて極大性に反する。

この定理は Erdős–Rado ER60 による。$\mathcal{F}$ が無限なら濃度 $s!(k-1)^s+1$ の部分族に置き換えてよいので、$\mathcal{F}$ は有限としてよい。$s$ についての数学的帰納法で示す。
$s=1$ のとき：$\mathcal{F}$ の元は相異なる 1 点集合なので互いに素であり、$|\mathcal{F}|>k-1$ なので $\mathcal{F}$ から $k$ 個の元を選べば根 $\emptyset$ の $k$-向日葵になる。
$s+1$ のとき（$s\ge1$）：$s$ について定理が成り立つとし、$\mathcal{F}$ を濃度 $s+1$ の集合からなる族で $|\mathcal{F}|>(s+1)!\,(k-1)^{s+1}$ とする。$\mathcal{F}$ は有限なので、$\mathcal{F}$ の互いに素な元からなる部分族のうち包含関係について極大なもの $\mathcal{A}=\{A_1,\dots,A_t\}$ がとれる（$\mathcal{F}\ne\emptyset$ なので $t\ge1$）。
$t\ge k$ のとき：$\mathcal{A}$ から $k$ 個の元を選べば根 $\emptyset$ の $k$-向日葵である。
$t\le k-1$ のとき（このとき $k\ge2$）：$B:=\bigcup\mathcal{A}$ とおくと $|B|=(s+1)t\le(s+1)(k-1)$ である。$\mathcal{A}$ の極大性から、$\mathcal{F}$ の任意の元は $B$ と交わる（交わらない元 $S$ があれば $\mathcal{A}\cup\{S\}$ が互いに素な、より大きい部分族になる）。したがって鳩の巣原理により、ある $x\in B$ は $\mathcal{F}$ の少なくとも $|\mathcal{F}|/|B|$ 個の元に属し、
$$ \frac{|\mathcal{F}|}{|B|}>\frac{(s+1)!\,(k-1)^{s+1}}{(s+1)(k-1)}=s!\,(k-1)^s $$
である。$\mathcal{F}_x:=\{S\setminus\{x\}\mid S\in\mathcal{F},\ x\in S\}$ とおくと、$S\mapsto S\setminus\{x\}$ は $x$ を含む $S$ の上で単射なので $|\mathcal{F}_x|>s!\,(k-1)^s$ であり、$\mathcal{F}_x$ の各元は濃度 $s$ である。帰納法の仮定により $k$-向日葵 $\mathcal{S}_x\subset\mathcal{F}_x$ があり、その根を $r$ とする。$\mathcal{S}:=\{S\cup\{x\}\mid S\in\mathcal{S}_x\}\subset\mathcal{F}$ とおくと、$|\mathcal{S}|=k$ であり、相異なる $S,T\in\mathcal{S}_x$ について $x\notin S\cup T$ なので
$$ (S\cup\{x\})\cap(T\cup\{x\})=(S\cap T)\cup\{x\}=r\cup\{x\} $$
である。よって $\mathcal{S}$ は根 $r\cup\{x\}$ の $k$-向日葵である。$\square$

上からの評価は thm-delta-sunflower-lemma そのものである。下からの評価には、濃度 $s$ の集合 $(k-1)^s$ 個からなり $k$-向日葵を含まない族を作ればよい。互いに素な集合 $X_1,\dots,X_s$ で各 $|X_i|=k-1$ となるものをとり、
$$ \mathcal{F}:=\{\{x_1,\dots,x_s\}\mid x_1\in X_1,\dots,x_s\in X_s\} $$
とおく。$X_i$ が互いに素なので $\{x_1,\dots,x_s\}$ から $(x_1,\dots,x_s)$ が復元され、$|\mathcal{F}|=(k-1)^s$ であり、各元の濃度は $s$ である。$\mathcal{S}\subset\mathcal{F}$ を根 $r$ の $k$-向日葵と仮定する。各 $i$ について、$\mathcal{S}$ の $k$ 個の元はそれぞれ $X_i$ の元をちょうど 1 つ含み、$|X_i|=k-1< k$ なので、$\mathcal{S}$ の相異なる 2 元 $S,T$ で $X_i$ の同じ元 $x$ を含むものがある。$x\in S\cap T=r$ なので $r\cap X_i\ne\emptyset$ である。$i$ は任意なので $|r|\ge s$ であり、$r\subset S$、$|S|=s$ から $r=S$ となる。同様に $r=T$ となり $S=T$ で、$S,T$ が相異なることに反する。$\square$