スペクトルが表すホモロジー論とコホモロジー論
概要
スペクトルが表すホモロジー論とコホモロジー論（homology and cohomology theories represented by spectra）とは、スペクトル $E$ から安定ホモトピー圏の上に定まる関手 $E_k(X)=\pi_k(X\wedge E)$ と $E^k(X)=[X,\Sigma^kE]$（ここでの $[X,Y]$ は安定ホモトピー圏の射の集合で、写像のホモトピー類ではない）のことである。前者は完全三角形を完全列へ、任意の余積を直和へ送り、後者は完全三角形を向きの逆の完全列へ、余積を積へ送る。どちらも懸垂で次数が 1 つずれ、係数はそれぞれ $\pi_k(E)$ と $\pi_{-k}(E)$ である。懸垂スペクトルに制限すると、基点付き CW 複体の対ごとに長完全列をもつ被約ホモロジー論・被約コホモロジー論が得られる。
前提知識: 安定ホモトピー圏, スペクトルのファイバー列と余ファイバー列, 三角圏, 一般コホモロジー理論
スペクトルが表すホモロジー論とコホモロジー論（homology and cohomology theories represented by spectra）とは、スペクトル $E$ から 安定ホモトピー圏 $\mathcal{SH}$ の上に定まる 2 つの関手の列
$$
E_k(X):=\pi_k(X\wedge E),\qquad E^k(X):=\mathcal{SH}(X,\bar\Sigma^kE)\qquad(k\in\mathbb Z)
$$
のことである。前者は完全三角形を完全列へ、余積を直和へ送り、後者は完全三角形を向きの逆の完全列へ、余積を積へ送る。どちらも懸垂で次数が 1 つずれる。
空間の上の一般コホモロジー論（一般コホモロジー理論）は Ω スペクトルで表される（スペクトル(ホモトピー論) の定理「Ω スペクトルが定めるコホモロジー論」、Brownの表現可能性定理）。この記事では変数を空間からスペクトルに広げ、$\mathcal{SH}$ そのものの上の理論として扱う。コホモロジー論の側（thm-hcs-cohomology）は $\mathcal{SH}$ の三角構造だけから従い、ホモロジー論の側（thm-hcs-homology）はスペクトルどうしのスマッシュ積 $X\wedge E$ を使う。空間への制限は ex-hcs-spaces で述べる。
約束：三角構造とスマッシュ積
$\mathcal{SH}$、局所化の関手 $\gamma$、懸垂 $\bar\Sigma$ とループ $\bar\Omega$（互いに逆の自己同値）、CW スペクトル、球面スペクトル $\mathbb S=F_0S^0$ は 安定ホモトピー圏 のとおりとする。CW スペクトルの部分スペクトルと商 $B/A$ は スペクトルのファイバー列と余ファイバー列 の定義「CW スペクトルと部分スペクトル」のとおりとする。$\mathcal{SH}$ の三角構造と、スペクトルどうしのスマッシュ積・関数スペクトルは、次の形で引用して使う。これらの構成はこの記事では行わない。
- （三角構造）$\mathcal{SH}$ には三角形 $X\to Y\to Z\to\bar\Sigma X$ のクラスがあり、これを完全三角形、$\bar\Sigma$ を移動関手として、$\mathcal{SH}$ は 三角圏 の定義「三角圏」の公理 TR1〜TR4 を満たす。CW スペクトル $B$ とその部分スペクトル $A$ について、包含と商写像の像 $\gamma(i)\colon A\to B$、$\gamma(q)\colon B\to B/A$ は、ある完全三角形 $A\to B\to B/A\to\bar\Sigma A$ の最初の 2 つの射である。
- （スマッシュ積と関数スペクトル）関手 $\wedge\colon\mathcal{SH}\times\mathcal{SH}\to\mathcal{SH}$ と結合・単位・対称の自然同型があり、$(\mathcal{SH},\wedge,\mathbb S)$ は対称モノイダル圏である。さらに関手 $F\colon\mathcal{SH}^{\mathrm{op}}\times\mathcal{SH}\to\mathcal{SH}$ と、$X,Y,Z$ について自然な全単射 $\mathcal{SH}(X\wedge Y,Z)\cong\mathcal{SH}(X,F(Y,Z))$ がある。
- （両立）自然な同型 $X\wedge\bar\Sigma\mathbb S\cong\bar\Sigma X$ がある。完全三角形 $X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\to\bar\Sigma X$ と対象 $W$ について、$u\wedge\mathrm{id}_W$ と $v\wedge\mathrm{id}_W$ はある完全三角形 $X\wedge W\to Y\wedge W\to Z\wedge W\to\bar\Sigma(X\wedge W)$ の最初の 2 つの射であり、$F(v,W)$ と $F(u,W)$ はある完全三角形 $F(Z,W)\to F(Y,W)\to F(X,W)\to\bar\Sigma F(Z,W)$ の最初の 2 つの射である。
この定理はこの記事では証明しない（所在は rem-hcs-sources）。
$X\wedge Y$ をスマッシュ積、$F(Y,Z)$ を関数スペクトルという。2 により $-\wedge Y$ は $F(Y,-)$ の左随伴なので、$\mathcal{SH}$ に存在する余積を保つ（モノイダル閉圏 の定理「テンソル積は余極限を保つ」）。とくに有限の余積を保つので、加法圏の間の関手として加法的である。
thm-hcs-structure は、MMSS01 の前スペクトルと直交スペクトル（orthogonal spectra）の安定模型圏と、Hov99 の模型圏のホモトピー圏の一般論を合わせて得られる。$\mathcal{SH}$ との比較は、$\mathcal{SH}$ と前スペクトルの安定模型圏のホモトピー圏が、どちらも CW Ω スペクトルとその写像のホモトピー類のなす圏と同値になることによる（安定ホモトピー圏 の定理「安定ホモトピー圏の構成」の 2）。
所在の内訳を開く
模型の比較．MMSS01 の前スペクトル（各段は compactly generated な弱 Hausdorff 空間）の安定模型構造（Theorem 9.2、p. 28）では、弱同値はすべての整数次数のホモトピー群の同型であり（Definition 7.2、p. 23、Proposition 8.7、p. 26）、ファイブラント対象は Ω スペクトルである（Corollary 9.7・Proposition 9.9、p. 30）。各段が CW 複体で構造写像が部分複体への同相写像である前スペクトルはコファイブラントである（Lemma 11.3、p. 34）。部分スペクトル $A\subset B$ の包含はコファイブレーションとは限らない（$F_1S^1\subset\mathbb S$ では 1 番目の写像 $A_1\cup_{\Sigma A_0}\Sigma B_0=S^1\vee S^1\to S^1$ が単射でない）。そこで各段の写像柱 $M_n:=B_n\cup_{A_n\times\{0\}}(A_n\wedge[0,1]_+)$ のなす CW スペクトル $M$ をとると、$A$ を $A_n\times\{1\}$ として含む包含 $A\to M$ は $A_{n+1}\cap\sigma_n(\Sigma M_n)=\sigma_n(\Sigma A_n)$ を満たし、Lemma 11.3 の証明と同じく胞体を段ごとに貼る押し出し（Lemma 11.1 の図式）を重ねて得られるのでコファイブレーションである。柱をつぶす写像 $M\to B$ と、それが誘導する $M/A\to B/A$ は、$(B_n,A_n)$ が CW 対なので各段でホモトピー同値であり、$A\to M\to M/A$ と $A\to B\to B/A$ はホモトピー圏で同型な図式になる。この模型圏は位相的なので、CW スペクトル $A$ から Ω スペクトル $Y$ への射は円柱 $A\wedge I_+$ によるホモトピー類で計算され（Hov99 Theorem 1.2.10 (ii)）、コファイブラント対象は CW スペクトルとホモトピー同値である（MMSS01 Lemma 11.4、p. 34）。$\mathcal{SH}$ でも、安定ホモトピー圏 の定理「安定ホモトピー圏の構成」の 2 と補題「スペクトルの CW 近似」・「Ω スペクトル化」により、射は CW Ω スペクトルの間のホモトピー類で計算され、どの対象も CW Ω スペクトルと同型である。CW 複体のループ空間の位相を compactly generated なものに取り替えても弱ホモトピー型は変わらないので、CW Ω スペクトルは両方で同じ対象である。こうして $\mathcal{SH}$ は、CW スペクトルの上の $\gamma$ を保って、前スペクトルの安定模型圏のホモトピー圏と同値になる。Hov99 の懸垂は、コファイブラントな $X$ では円柱 $X\wedge I_+$ の両端をつぶした余核で計算され（Definition 6.1.1 の後の説明）、CW スペクトル $X$ では各段 $X_n\wedge S^1$ に構造写像 $(x\wedge s)\wedge t\mapsto\sigma_n(x\wedge t)\wedge s$ を入れたスペクトル $X\wedge S^1$ である。安定ホモトピー圏 の $\Sigma X$ は同じ空間に構造写像 $(x\wedge s)\wedge t\mapsto\sigma_n(x\wedge s)\wedge t$ を入れたもので、$S^1$ の鏡映を $r$ とすると、各段の同相写像 $\phi_n:=\mathrm{id}\wedge r^n\colon X_n\wedge S^1\to X_n\wedge S^1$ は両者の構造写像と、$X$ について自然な基点付きホモトピー $h_n$ を除いて可換である（両辺は $\sigma_n\wedge\mathrm{id}$ と写像度の等しい $S^1\wedge S^1$ の自己写像との合成）。$X\wedge S^1$ の構造写像を $\phi_{n+1}^{-1}$ を通して $\Sigma X$ のものに取り替えたスペクトルを $P'$ とすると $\phi\colon P'\cong\Sigma X$ であり、各段 $X_n\wedge S^1\wedge[0,1]_+$ に $h_n$ を使った構造写像を入れたスペクトルへの両端の包含は、$X\wedge S^1$ と $P'$ からの水準ごとの弱同値である。よって $\mathcal{SH}$ で $X$ について自然な同型 $X\wedge S^1\cong\bar\Sigma X$ があり、この同値は懸垂を保つ。
モノイダル構造．前スペクトルと直交スペクトルの安定模型圏は Quillen 同値である（MMSS01 Theorem 10.4、p. 33）。直交スペクトルの圏はスマッシュ積と内部 Hom により閉対称モノイダル圏であり（Theorem 1.7、p. 8、Theorem 1.11、p. 9）、押し出し積公理を満たし（Theorem 12.1 (iii)、p. 37、Proposition 12.6、p. 39）、単位はコファイブラントである（p. 39）。よって対称モノイダル模型圏であり（Hov99 Definition 4.2.6）、ホモトピー圏は閉対称モノイダル圏になる（Hov99 Theorem 4.3.2）。前スペクトルの側では、CW スペクトルの導来スマッシュ積は段ごとの素朴なスマッシュ積（MMSS01 Definition 11.6、p. 35）で計算され（Proposition 11.7、p. 35、Theorem 0.3、p. 4、その証明 p. 36）、空間 $K$ とのスマッシュ積 $X\wedge K$ は、$F_0K\cong\mathbb S\wedge K$ と単位の同型により $X\wedge F_0K$ と自然に同型である（$X$ が自由スペクトルのときが Lemma 1.8、p. 8）。$\bar\Sigma\mathbb S\cong F_0S^1$ と上の懸垂の比較を合わせると、3 の $X\wedge\bar\Sigma\mathbb S\cong\bar\Sigma X$ を得る。
三角構造との両立．点付き模型圏のホモトピー圏では、コファイブラント対象の間のコファイブレーションとその余核が余ファイバー列をなし（Hov99 Definition 6.2.6）、左 Quillen 関手は余ファイバー列を保つ（Proposition 6.4.1）。懸垂がホモトピー圏の自己同値なので、余ファイバー列を完全三角形として古典的な意味の三角圏（八面体公理を含む）になり（Definition 7.1.1・7.1.5、Proposition 7.1.6）、ファイバー列は回転した完全三角形である（Theorem 7.1.11）。モノイダル模型圏では、導来スマッシュ積は各変数で余ファイバー列を保ち、内部 Hom は第 1 変数の余ファイバー列をファイバー列へ写す（Definition 6.6.1、Theorem 6.6.3）。これらを Quillen 同値と上の同値で $\mathcal{SH}$ に移したものが 1 と 3 である。
定義と準備
$k\in\mathbb Z$ について $\mathbb S^k:=\bar\Sigma^k\mathbb S$ とおく（$k<0$ では $\bar\Sigma^k:=\bar\Omega^{-k}$）。安定ホモトピー圏 と同じく、ホモトピー群 $\pi_k$ を $\mathcal{SH}$ 上の関手と見る。
自然な群の同型 $\pi_k(X)\cong\mathcal{SH}(\mathbb S^k,X)$（$k\in\mathbb Z$）がある。
要点：$\pi_0$ が $\mathbb S$ で表されることと、懸垂で次数がずれることを組み合わせる。
詳しい証明を開く
安定ホモトピー圏 の命題「球面スペクトルによる表現」（$a=m=0$）により、自然な全単射 $\pi_0(Y)\cong\mathcal{SH}(\mathbb S,Y)$ がある。同記事の定理「懸垂とループは逆同値」の 1 により自然な同型 $\pi_k(\bar\Sigma Y)\cong\pi_{k-1}(Y)$、$\pi_k(\bar\Omega Y)\cong\pi_{k+1}(Y)$ があるので、$k\ge0$ なら $\pi_k(X)\cong\pi_0(\bar\Omega^kX)$、$k<0$ なら $\pi_k(X)\cong\pi_0(\bar\Sigma^{-k}X)$ である。$\bar\Sigma$ と $\bar\Omega$ は互いに準逆な圏同値なので $\bar\Sigma\dashv\bar\Omega$ かつ $\bar\Omega\dashv\bar\Sigma$ であり、$\mathcal{SH}(\mathbb S,\bar\Omega^kX)\cong\mathcal{SH}(\bar\Sigma^k\mathbb S,X)$、$\mathcal{SH}(\mathbb S,\bar\Sigma^{-k}X)\cong\mathcal{SH}(\bar\Omega^{-k}\mathbb S,X)$ となる。合成した全単射は $X$ について自然である。両辺は $\mathcal{SH}$ の有限積を有限積へ写す関手で（左辺は同記事の命題「一点和と積」の 2、右辺は積の普遍性）、どちらの和も、有限積の同一視 $G(X\times X)\cong G(X)\times G(X)$ と、$X\times X$ を余積と見た和の射 $\nabla=(\mathrm{id},\mathrm{id})\colon X\times X\to X$ の像 $G(\nabla)$ で与えられるので、自然な全単射は和を保つ。$\square$
$\mathcal{SH}$ の対象の任意の族 $(X_i)_{i\in I}$ は余積 $\coprod_iX_i$ をもつ。$X_i\cong\gamma(A_i)$ となる CW スペクトル $A_i$ を選べば、水準ごとの一点和 $\bigvee_iA_i$ と包含の像が余積を与える。標準の写像 $\bigoplus_i\pi_k(X_i)\to\pi_k(\coprod_iX_i)$ は同型である。
$\bigvee_iA_i$ の各段は基点で貼り合わせた CW 複体で、構造写像の一点和は部分複体への同相写像なので、$\bigvee_iA_i$ は CW スペクトルである。Ω スペクトル $Y$ への写像 $\bigvee_iA_i\to Y$ とそのホモトピー（$(\bigvee_iA_i)\wedge I_+=\bigvee_i(A_i\wedge I_+)$ からの写像）は、各 $A_i$ への制限の族と一対一に対応するので、$[\bigvee_iA_i,Y]\to\prod_i[A_i,Y]$ は全単射である。安定ホモトピー圏 の定理「安定ホモトピー圏の構成」の 2 により、これは $\mathcal{SH}(\bigvee_iA_i,Y)\to\prod_i\mathcal{SH}(A_i,Y)$ の全単射を与える。$\mathcal{SH}$ のどの対象も CW Ω スペクトルと同型なので、$\bigvee_iA_i$ は余積である。最後の主張は同記事の命題「一点和と積」の 1 による。$\square$
- ホモロジー論とは、関手 $h_k\colon\mathcal{SH}\to\mathbf{Ab}$（$k\in\mathbb Z$）と自然同型 $s_k\colon h_k(X)\to h_{k+1}(\bar\Sigma X)$ の組で、次の (H1)・(H2) を満たすものをいう。(H1) 完全三角形 $X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\to\bar\Sigma X$ について、$h_k(X)\xrightarrow{h_k(u)}h_k(Y)\xrightarrow{h_k(v)}h_k(Z)$ は完全である。(H2) 任意の族について、包含が誘導する $\bigoplus_ih_k(X_i)\to h_k(\coprod_iX_i)$ は同型である。
- コホモロジー論とは、反変関手 $h^k\colon\mathcal{SH}\to\mathbf{Ab}$ と自然同型 $s^k\colon h^{k+1}(\bar\Sigma X)\to h^k(X)$ の組で、次の (C1)・(C2) を満たすものをいう。(C1) 同じ完全三角形について、$h^k(Z)\xrightarrow{h^k(v)}h^k(Y)\xrightarrow{h^k(u)}h^k(X)$ は完全である。(C2) 任意の族について、包含が誘導する $h^k(\coprod_iX_i)\to\prod_ih^k(X_i)$ は同型である。
関手は $\mathcal{SH}$ の上で定まるので、安定弱同値は同型に写る。(H2)・(C2) を有限の族に当てると、$h_k$・$h^k$ は双積を保ち、加法的である。
$(h_k,s_k)$ をホモロジー論、$X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\bar\Sigma X$ を完全三角形とし、$\partial:=s_{k-1}^{-1}\circ h_k(w)\colon h_k(Z)\to h_{k-1}(X)$ とおく。このとき列
$$
\cdots\to h_k(X)\xrightarrow{h_k(u)}h_k(Y)\xrightarrow{h_k(v)}h_k(Z)\xrightarrow{\partial}h_{k-1}(X)\xrightarrow{h_{k-1}(u)}h_{k-1}(Y)\to\cdots
$$
は完全であり、完全三角形の射について自然である。コホモロジー論についても、$\delta:=h^{k+1}(w)\circ(s^k)^{-1}\colon h^k(X)\to h^{k+1}(Z)$ により、向きの逆の長完全列が同様に得られる。
三角圏 の公理 TR2 により、$Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\bar\Sigma X\xrightarrow{-\bar\Sigma u}\bar\Sigma Y$ と $Z\xrightarrow{w}\bar\Sigma X\xrightarrow{-\bar\Sigma u}\bar\Sigma Y\xrightarrow{-\bar\Sigma v}\bar\Sigma Z$ も完全三角形である。(H1) をこの 2 つに当てると、$h_k(Y)\to h_k(Z)\to h_k(\bar\Sigma X)$ は $h_k(Z)$ で完全、$h_k(Z)\to h_k(\bar\Sigma X)\xrightarrow{-h_k(\bar\Sigma u)}h_k(\bar\Sigma Y)$ は $h_k(\bar\Sigma X)$ で完全である（$h_k$ は加法的なので $h_k(-\bar\Sigma u)=-h_k(\bar\Sigma u)$）。$s$ の自然性 $h_k(\bar\Sigma u)\circ s_{k-1}=s_{k-1}\circ h_{k-1}(u)$ により、同型 $s_{k-1}$ で $h_k(\bar\Sigma X)$ を $h_{k-1}(X)$ に取り替えると、$h_k(w)$ は $\partial$ に、$-h_k(\bar\Sigma u)$ は $-h_{k-1}(u)$ になる。符号は核と像を変えないので、$\partial$ の前後で完全である。$h_k(Y)$ での完全性は (H1) そのものであり、$k$ は任意なので列は全体で完全である。自然性は $h_k$ と $s$ の自然性による。コホモロジー論も矢印を逆にして同じである。$\square$
主定理：スペクトルが表すコホモロジー論
スペクトル $E$ について、$E^k(X):=\mathcal{SH}(X,\bar\Sigma^kE)$ と、$\bar\Sigma$ が誘導する全単射 $s^k\colon\mathcal{SH}(\bar\Sigma X,\bar\Sigma^{k+1}E)\to\mathcal{SH}(X,\bar\Sigma^kE)$ は、$\mathcal{SH}$ の上のコホモロジー論である。さらに次が成り立つ。
- 自然な同型 $E^k(\mathbb S)\cong\pi_{-k}(E)$ がある。
- $E$ が CW Ω スペクトル、$K$ が基点を $0$ 胞体とする CW 複体、$k\ge0$ なら、$K$ について自然な全単射 $E^k(\Sigma^\infty K)\cong[K,E_k]_*$（基点付きホモトピー類）がある。ここで $\Sigma^\infty K=F_0K$ は懸垂スペクトルである。
関手と懸垂同型． $\mathcal{SH}$ は加法圏で合成は双線形なので（安定ホモトピー圏 の定理「射の集合は可換群」）、$E^k$ は反変関手 $\mathcal{SH}\to\mathbf{Ab}$ である。$\bar\Sigma$ は圏同値なので充満忠実であり、$\bar\Sigma^{k+1}E=\bar\Sigma(\bar\Sigma^kE)$ だから、$f\mapsto\bar\Sigma f$ は全単射 $\mathcal{SH}(X,\bar\Sigma^kE)\to\mathcal{SH}(\bar\Sigma X,\bar\Sigma^{k+1}E)$ を与える。その逆が $s^k$ であり、$X$ について自然で、加法的な関手 $\bar\Sigma$ が誘導するので群の同型である（$k<0$ でも $\bar\Sigma\bar\Omega^{-k}E$ と $\bar\Omega^{-k-1}E$ を余単位の同型で同一視して同じ）。
完全性 (C1)． 完全三角形 $X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\to\bar\Sigma X$ と対象 $W=\bar\Sigma^kE$ に 三角圏 の命題「反変な $\operatorname{Hom}$ の完全性」を当てると、$\mathcal{SH}(Z,W)\xrightarrow{v^*}\mathcal{SH}(Y,W)\xrightarrow{u^*}\mathcal{SH}(X,W)$ は完全である。これが (C1) である。
余積と積 (C2)． lem-hcs-coproduct の余積の普遍性により、包含との合成 $\mathcal{SH}(\coprod_iX_i,W)\to\prod_i\mathcal{SH}(X_i,W)$ は全単射であり、合成が双線形なので群の同型である。
1． lem-hcs-pi を $k=0$ で使い、安定ホモトピー圏 の定理「懸垂とループは逆同値」の 1 を $k$ 回使うと、$E^k(\mathbb S)=\mathcal{SH}(\mathbb S,\bar\Sigma^kE)\cong\pi_0(\bar\Sigma^kE)\cong\pi_{-k}(E)$ である。
2． 安定ホモトピー圏 の節「懸垂とループ」の写像 $\sigma\colon\bar\Sigma E\to\mathrm{sh}E$ は安定弱同値なので、$\gamma(\sigma)$ を $k$ 回使って $\bar\Sigma^kE\cong\mathrm{sh}^kE$ である。$\mathrm{sh}^kE$（$n$ 番目が $E_{n+k}$）は CW Ω スペクトル、$F_0K$ は CW スペクトルなので、同記事の定理「安定ホモトピー圏の構成」の 2 により $E^k(F_0K)\cong[F_0K,\mathrm{sh}^kE]$ である。$F_0K$ の構造写像は恒等写像なので、写像 $F_0K\to Y$ は $0$ 番目の基点付き写像 $K\to Y_0$ で決まり、任意の基点付き写像 $g\colon K\to Y_0$ は $g_n:=\sigma\circ\Sigma g_{n-1}$ で延びる。ホモトピーも同じなので $[F_0K,Y]\cong[K,Y_0]_*$ であり、$Y=\mathrm{sh}^kE$ とすれば主張を得る。$\square$
2 は、CW 複体の上では スペクトル(ホモトピー論) の定理「Ω スペクトルが定めるコホモロジー論」と同じ群を与える。$E=HG$（Eilenberg–MacLane スペクトル）なら $\tilde H^k(K;G)$ である（安定ホモトピー圏 の例「Eilenberg–MacLane スペクトルとコホモロジー」）。
主定理：スペクトルが表すホモロジー論
スペクトル $E$ について、$E_k(X):=\pi_k(X\wedge E)$ は、次の $s_k$ とともに $\mathcal{SH}$ の上のホモロジー論である。$s_k$ は、安定ホモトピー圏 の定理「懸垂とループは逆同値」の 1 の同型 $\pi_k(X\wedge E)\cong\pi_{k+1}(\bar\Sigma(X\wedge E))$ と、thm-hcs-structure から得られる自然な同型 $\bar\Sigma(X\wedge E)\cong(\bar\Sigma X)\wedge E$ の合成である。さらに $E_k(\mathbb S)\cong\pi_k(E)$ であり、$E=\mathbb S$ のとき $E_k(X)\cong\pi_k(X)$ である。
懸垂同型． thm-hcs-structure の 3 と、結合・対称の同型から、自然な同型
$$
\bar\Sigma(X\wedge E)\cong(X\wedge E)\wedge\bar\Sigma\mathbb S\cong X\wedge(\bar\Sigma\mathbb S\wedge E)\cong(X\wedge\bar\Sigma\mathbb S)\wedge E\cong(\bar\Sigma X)\wedge E
$$
がある。これと $\pi_k(Y)\cong\pi_{k+1}(\bar\Sigma Y)$ の合成 $s_k$ は $X$ について自然な群の同型である。
完全性 (H1)． 完全三角形 $X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\to\bar\Sigma X$ について、thm-hcs-structure の 3 により $u\wedge\mathrm{id}_E$、$v\wedge\mathrm{id}_E$ はある完全三角形の最初の 2 つの射である。三角圏 の命題「$\operatorname{Hom}$ のコホモロジー的関手性」を対象 $\mathbb S^k$ で当てると、$\mathcal{SH}(\mathbb S^k,X\wedge E)\to\mathcal{SH}(\mathbb S^k,Y\wedge E)\to\mathcal{SH}(\mathbb S^k,Z\wedge E)$ は完全であり、lem-hcs-pi によりこれは $E_k(X)\to E_k(Y)\to E_k(Z)$ と同じ列である。
余積 (H2)． $-\wedge E$ は $F(E,-)$ の左随伴（thm-hcs-structure の 2 と対称の同型）なので、標準の射 $\coprod_i(X_i\wedge E)\to(\coprod_iX_i)\wedge E$ は同型である。lem-hcs-coproduct により $\bigoplus_i\pi_k(X_i\wedge E)\to\pi_k(\coprod_i(X_i\wedge E))$ は同型であり、合成が (H2) の写像である。
係数． 単位の同型 $\mathbb S\wedge E\cong E$ から $E_k(\mathbb S)\cong\pi_k(E)$、$X\wedge\mathbb S\cong X$ から $\mathbb S_k(X)\cong\pi_k(X)$ である。$\square$
$E=\mathbb S$ のホモロジー論は安定ホモトピー群そのものであり、$\mathbb S^k(X)=\mathcal{SH}(X,\mathbb S^k)$ は安定コホモトピー群と呼ばれる。
例
TR1 (c) により、$2\cdot\mathrm{id}\colon\mathbb S\to\mathbb S$ を延長する完全三角形 $\mathbb S\xrightarrow{2}\mathbb S\to M\to\bar\Sigma\mathbb S$ がある（$M$ を mod 2 の Moore スペクトルという）。$E_k$ は加法的なので $E_k(2\cdot\mathrm{id})$ は $\pi_k(E)$ の 2 倍写像であり、lem-hcs-les から短完全列
$$
0\to\pi_k(E)/2\pi_k(E)\to E_k(M)\to\{x\in\pi_{k-1}(E)\mid 2x=0\}\to0
$$
を得る。たとえば $\pi_0(H)=\mathbb Z$、ほかの $\pi_j(H)=0$ のスペクトル $H$（安定ホモトピー圏 の反例の表の $H$）では、$H_0(M)\cong\mathbb Z/2$、$k\ne0$ で $H_k(M)=0$ である。これは Moore空間 $M(\mathbb Z/2,n)$ の被約ホモロジーが $n$ 次だけ $\mathbb Z/2$ であることの安定版にあたる。
基点を $0$ 胞体とする CW 複体の対 $(K,L)$ について、$\Sigma^\infty L\subset\Sigma^\infty K$ は部分スペクトルで $\Sigma^\infty K/\Sigma^\infty L\cong\Sigma^\infty(K/L)$ である（スペクトルのファイバー列と余ファイバー列 の定義「CW スペクトルと部分スペクトル」の後の注意）。thm-hcs-structure の 1 と lem-hcs-les により、$K\mapsto E_k(\Sigma^\infty K)$ は CW 対ごとに長完全列
$$
\cdots\to E_k(\Sigma^\infty L)\to E_k(\Sigma^\infty K)\to E_k(\Sigma^\infty(K/L))\to E_{k-1}(\Sigma^\infty L)\to\cdots
$$
を与え、$E^k$ も同様である。$K\wedge S^1$ の懸垂スペクトルは、各段がともに $K\wedge S^{n+1}$（座標の並べ方も同じ）で構造写像も一致するので $\Sigma\Sigma^\infty K$ と等しく、$\bar\Sigma\Sigma^\infty K=\gamma(\Sigma^\infty(K\wedge S^1))$ なので、$s_k$ は空間の懸垂同型を与える。こうして $E$ は基点付き CW 複体の上の被約ホモロジー論・被約コホモロジー論を定める（一般コホモロジー理論 の定義「被約コホモロジー理論」と比べよ）。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-hcs-cohomology で射を $\mathcal{SH}$ でとる（写像のホモトピー類 $[X,E]$ に替える） | $X=E=\mathbb S$ | 1 の $E^0(\mathbb S)\cong\pi_0(E)$（$[\mathbb S,\mathbb S]$ は 2 元、$\pi_0(\mathbb S)\cong\mathbb Z$） |
| thm-hcs-cohomology の 2 の「$E$ は Ω スペクトル」 | $E=\mathbb S$、$K=S^0$、$k=0$ | $E^0(\Sigma^\infty S^0)\cong[S^0,E_0]_*$（左は $\mathbb Z$、右は 2 元） |
| (H1) の「完全三角形の一部」 | 列 $0\to\mathbb S\to0$ | $\pi_0$ の中央での完全性（$\pi_0(\mathbb S)\cong\mathbb Z$ の核は全体、像は $0$） |
1 行目は 安定ホモトピー圏 の例「球面スペクトルの自己射」による。2 行目の右辺は基点付き写像 $S^0\to S^0$ の類で 2 元であり、左辺は 1 により $\pi_0(\mathbb S)\cong\mathbb Z$ である。3 行目の列は合成が $0$ だが、$\pi_0$ を当てると $0\to\mathbb Z\to0$ で中央が完全でない。したがって $0\to\mathbb S\to0$ はどの完全三角形の最初の 2 つの射にもならない（lem-hcs-pi と 三角圏 の命題「$\operatorname{Hom}$ のコホモロジー的関手性」から、そうなら完全なはずである）。
関連項目
- 前提: 安定ホモトピー圏, スペクトルのファイバー列と余ファイバー列, 三角圏, 一般コホモロジー理論
- 次に読む: Spanier–Whitehead双対, Adamsの表現可能性定理
- 比較: スペクトル(ホモトピー論), Brownの表現可能性定理, モノイダル閉圏
- 例: Moore空間, 安定ホモトピー群
参考文献
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