Faltingsの定理
概要
Faltingsの定理（Faltings's theorem）とは、代数体 $K$ 上の種数 $2$ 以上の滑らかで射影的で幾何学的に整な曲線 $X$ について、$K$ 有理点の集合 $X(K)$ は有限であるという定理で、Mordell が 1922 年に予想し、Faltings が 1983 年に証明した。帰結として、各 $n\ge4$ について $x^n+y^n=z^n$ の互いに素な整数解は符号を除いて有限個であり、重根のない次数 $5$ 以上の $f$ について $y^2=f(x)$ の有理数解も有限個である。体 $K$ を固定しないと点は無限にありえ、$\mathbb{F}_q(t)$ や $\mathbb{C}(t)$ のような関数体の上では素朴な類似は成り立たない。
方程式で定まる曲線の上に有理数の点がいくつあるかは、曲線の 種数 でおおまかに決まる。種数 $0$ の曲線（たとえば円 $x^2+y^2=1$）は有理点を 1 つもてば無限にもち、種数 $1$ の曲線（楕円曲線）の有理点は有限生成アーベル群をなす（Mordell–Weilの定理）。種数 $2$ 以上の曲線については、L. J. Mordell が 1922 年に、有理点は有限個しかないと予想した。G. Faltings は 1983 年にこれを証明した。これを Faltings の定理（Faltings's theorem）、または Mordell 予想 という。
Faltings の定理の証明は長く、この記事では証明しない。代わりに、定理の正確な主張と証明の筋の所在を述べ、定理から従う帰結（Fermat の方程式の原始的な解の有限性、$y^2=f(x)$ の有理数解の有限性、2 次の点の体の無限性）を証明する。また、仮定の「種数 $2$ 以上」「数体」「体 $K$ を固定する」のどれを外しても結論が成り立たなくなることを、例で確かめる。
主張
以下、体 $K$ 上の 曲線 とは、$K$ 上の 1 次元の代数多様体をいい（代数曲線）、$K$ 上で滑らかで射影的で幾何学的に整なものを 良い曲線（nice curve）とよぶ（Poo17 §9.5 の用語）。$K\subset\mathbb{C}$ のとき、良い曲線 $X$ の 種数 は、コンパクト Riemann 面 $X(\mathbb{C})$ の種数（種数）に等しい（Mil21 Chapter I §2、p. 19）。
$K$ を代数体（$\mathbb{Q}$ の有限次拡大体、代数体）とし、$X$ を $K$ 上の種数 $2$ 以上の良い曲線とする。このとき $X(K)$ は有限集合である。
主張と文献は Poo17 Theorem 9.5.1（p. 286）による。この記事では証明しない。 Faltings の証明は、A. N. Parshin の考えによって、Shafarevich の予想（代数体 $K$、有限個の素点の集合 $S$、次元 $d$ を固定すると、$S$ の外で良い還元をもつ $d$ 次元の アーベル多様体 の同型類は有限個）に問題を帰着し、その予想を証明するものである（Poo17 p. 286、Sil09 §IX.6 の注意、p. 296）。その後 P. Vojta が Diophantus 近似による別証明を与え、E. Bombieri がそれをより初等的にした（Poo17 p. 286）。知られている証明はどれも有効でなく、与えられた曲線の有理点をすべて求める手順は知られていない（Poo17 Remark 9.5.2、p. 286）。
種数と有理点の関係をまとめると次のようになる（Diophantus幾何学 も参照）。
| 種数 | 典型例 | $X(K)$ について知られていること |
|---|---|---|
| $0$ | 2 次曲線、$\mathbb{P}^1$ | 空でなければ $\mathbb{P}^1$ と同型で、無限集合（ピタゴラス数と円の有理点） |
| $1$ | 楕円曲線 | 空でなければ有限生成アーベル群（Mordell–Weilの定理）。無限にも有限にもなる |
| $2$ 以上 | 次数 $4$ 以上の滑らかな平面曲線、重根のない次数 $5$ 以上の $f$ による $y^2=f(x)$ | 有限集合（thm-faltings-main） |
アフィンの方程式で与えられた曲線については、それを開集合として含む良い曲線をとればよい。アフィン部分の有理点は良い曲線の有理点の一部なので、良い曲線の種数が $2$ 以上ならアフィン部分の有理点も有限個である。
帰結
$n\ge4$ とする。$x^n+y^n=z^n$ を満たす互いに素な整数の組 $(x,y,z)$ で $xyz\ne0$ のものは、全体の符号 $(x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z)$ を同一視すると有限個しかない。
$F_n\subset\mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}$ を $x^n+y^n=z^n$ で定まる曲線とする。$x^n+y^n-z^n$ の偏微分 $nx^{n-1},ny^{n-1},-nz^{n-1}$ は $\mathbb{P}^2$ のどの点でも同時には $0$ にならないので、$F_n$ は滑らかである。滑らかな射影平面曲線は既約である。実際、定義式が次数正の 2 つの斉次多項式の積 $GH$ に分解すれば、Bézout の定理により $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ に $G=H=0$ となる点があり、そこでは $GH$ の偏微分 $G\,\partial_iH+H\,\partial_iG$ がすべて $0$ になるので、曲線はその点で特異である。このことは $\mathbb{C}$ 上でも成り立つので、$F_n$ は幾何学的に整で、良い曲線である。その種数は $\frac{(n-1)(n-2)}2$ であり（Riemann–Hurwitzの公式 の例「Fermat 曲線の種数」）、$n\ge4$ では $3$ 以上である。thm-faltings-main により $F_n(\mathbb{Q})$ は有限集合である。
一方、$\mathbb{P}^2(\mathbb{Q})$ の点 $(x:y:z)$ は、分母を払い公約数で割ることで、互いに素な整数の組 $(x,y,z)$ で表せ、その表し方は全体の符号を除いて一意である。実際、互いに素な整数の組 $(x,y,z)$、$(x',y',z')$ が同じ点を表せば $(x',y',z')=\lambda(x,y,z)$（$\lambda\in\mathbb{Q}^\times$）で、$\lambda=r/s$（既約分数）と書くと $s(x',y',z')=r(x,y,z)$ から $s$ は $\gcd(x,y,z)=1$ を割り、$r$ は $\gcd(x',y',z')=1$ を割るので、$\lambda=\pm1$ である。この対応で、問題の組（符号を同一視したもの）は $F_n(\mathbb{Q})$ のうち $xyz\ne0$ の点と 1 対 1 に対応する。後者は有限集合の部分集合なので有限である。$\square$
指数 $n\ge3$ について原始的な解が 1 つもないことは Fermatの最終定理 であり、Faltings の定理はそれより弱い有限性だけを与える。一方で Faltings の定理は、Fermat の方程式に限らず、種数 $2$ 以上のすべての曲線に当てはまる（Oes88 p. 165）。
$f\in\mathbb{Q}[x]$ を重根をもたない次数 $d\ge5$ の多項式とする。$y^2=f(x)$ を満たす有理数の組 $(x,y)$ は有限個である。
$f$ は重根をもたないので、$\mathbb{Q}[x]$ で $f$ と $f'$ は互いに素であり、超楕円曲線 の定理「$y^2=f(x)$ の滑らかなモデル」により、アフィン曲線 $y^2=f(x)$ を開集合として含む $\mathbb{Q}$ 上の滑らかで固有で幾何学的に整な曲線 $X_f$ があり、その種数は $\lceil d/2\rceil-1\ge2$ である。体上の固有な曲線は射影的なので（Stacks Tag 0A26） $X_f$ は良い曲線で、thm-faltings-main により $X_f(\mathbb{Q})$ は有限である。問題の組はアフィン部分の有理点なので、有限個である。$\square$
媒介変数で点を作れないこと
種数 $0$ の円 $x^2+y^2=1$ では、有理数 $s$ を入れると有理点が出てくる式 $\bigl(\frac{1-s^2}{1+s^2},\frac{2s}{1+s^2}\bigr)$ があり、これが有理点が無限にある理由だった。種数が $1$ 以上になると、このような式は存在しない。したがって種数 $2$ 以上の曲線で有理点の有限性を示すには、式で点を作る方法とはまったく別の議論が要る。
$K\subset\mathbb{C}$ を体、$X\subset\mathbb{P}^n_K$ を $K$ 上の種数 $1$ 以上の良い曲線とし、$U\subset\mathbb{P}^1_K$ を空でない開集合とする。このとき $K$ 射 $\varphi\colon U\to X$ はすべて定数（像が 1 点）である。
$\varphi$ を $\mathbb{P}^n_K$ への射とみると、$\mathbb{P}^1_K$ は非特異な曲線なので、代数曲線 の系「非特異な曲線からの射の延長」により $\mathbb{P}^1_K$ 全体の射 $\bar\varphi$ にただ 1 通りに延びる。$U$ は $\mathbb{P}^1_K$ で稠密で、$X$ は閉集合なので、$\bar\varphi^{-1}(X)$ は $U$ を含む閉集合、すなわち $\mathbb{P}^1_K$ 全体であり、$\bar\varphi$ の像は $X$ に入る。$\mathbb{C}$ 上の点をとると、$\bar\varphi$ はコンパクトで連結な Riemann 面の間の正則写像 $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\to X(\mathbb{C})$ を定める。これが定数でないとすると、Riemann–Hurwitzの公式 の系「種数は下がらない」により $0=g_{\mathbb{P}^1}\ge g_X\ge1$ となり矛盾する。よって $\bar\varphi$ の像は 1 点で、$\varphi$ も定数である。$\square$
種数 $1$ の楕円曲線では、有理点が無限にあっても、それらは 1 つの式から出てくるのではなく、群の演算（弦と接線による作図）で次々に作られる（Mordell–Weilの定理）。種数 $2$ 以上ではその群構造もなく、thm-faltings-main はどんな方法でも無限には作れないことを主張している。
体を固定することの意味
thm-faltings-main は 1 つの代数体 $K$ を固定したときの主張であり、$K$ を動かすと点は無限にありうる。$\overline{\mathbb{Q}}$ の点はどの曲線でも無限にある（$x$ 座標を決めて方程式を解けばよい）ので、問題は「点を定義する体の次数を抑えたとき」の振る舞いである。
$f\in\mathbb{Q}[x]$ を重根をもたない次数 $d\ge5$ の多項式とし、$X_f$ を前の命題の良い曲線とする。
- 各 $x_0\in\mathbb{Q}$ について、$L=\mathbb{Q}(\sqrt{f(x_0)})$ とおくと $[L:\mathbb{Q}]\le2$ で、$(x_0,\sqrt{f(x_0)})\in X_f(L)$ である。とくに、次数 $2$ 以下の体 $L$ 全体にわたる $X_f(L)$ の和集合（$X_f(\overline{\mathbb{Q}})$ の部分集合として）は無限集合である。
- $x_0$ が $\mathbb{Q}$ 全体を動くとき、体 $\mathbb{Q}(\sqrt{f(x_0)})$ は無限に多くの異なる体を動く。
1：$\sqrt{f(x_0)}$ は $t^2-f(x_0)$ の根なので $[L:\mathbb{Q}]\le2$ で、$(x_0,\sqrt{f(x_0)})$ は $y^2=f(x)$ の $L$ 点である。$x_0$ が異なれば点も異なり、$\mathbb{Q}$ は無限集合なので、和集合は無限である。
2：異なる体が有限個 $L_1,\dots,L_m$ しか現れないとすると、1 の点はすべて $X_f(L_1)\cup\dots\cup X_f(L_m)$ に入る。各 $L_i$ は代数体で、$X_f$ を $L_i$ 上の曲線とみても良い曲線のままであり（幾何学的に整なので）、種数も変わらない（種数は $X_f(\mathbb{C})$ の種数である）ので、thm-faltings-main により各 $X_f(L_i)$ は有限であり、和集合も有限になって 1 に反する。$\square$
たとえば $y^2=x^5-x$ は種数 $2$ の曲線である（超楕円曲線 の例「$y^2=x^5-x$」）。その有理点は有限個だが、$x_0=2$ から $\mathbb{Q}(\sqrt{30})$ の点 $(2,\sqrt{30})$、$x_0=3$ から $\mathbb{Q}(\sqrt{15})$ の点 $(3,\sqrt{240})=(3,4\sqrt{15})$ が得られ、2 の主張どおり体はいくらでも変わる。
関数体での類似
数体の代わりに関数体をとると、Faltings の定理の素朴な類似は成り立たない。
$q$ を奇数の素数冪、$K=\mathbb{F}_q(t)$ とし、$f\in\mathbb{F}_q[x]$ を重根をもたない次数 $d\ge5$ の多項式とする。$K[x]$ の多項式 $F(x):=f(t)f(x)$ について、曲線 $y^2=F(x)$ を含む $K$ 上の良い曲線 $X$ の種数は $\lceil d/2\rceil-1\ge2$ だが、$X(K)$ は無限集合である。実際、すべての $m\ge0$ について
$$
P_m:=\Bigl(t^{q^m},\ f(t)^{(q^m+1)/2}\Bigr)
$$
は $y^2=F(x)$ の $K$ 点であり、これらはどの 2 つも異なる。
$f(t)\ne0$ は $K$ の元で、$F$ の根は $f$ の根と同じなので $F$ も重根をもたず、次数は $d$ である。$K$ の標数は奇数なので、超楕円曲線 の定理「$y^2=f(x)$ の滑らかなモデル」を $k=K$ で使えば、$X$ は $K$ 上の滑らかで固有で幾何学的に整な曲線であり、体上の固有な曲線は射影的なので（Stacks Tag 0A26）良い曲線で、種数は $\lceil d/2\rceil-1\ge2$ である。
$q$ は奇数なので $(q^m+1)/2$ は整数である。$K$ の標数を $\ell$ とすると、$u\mapsto u^{q^m}$ は $\ell$ 乗写像 $u\mapsto u^\ell$ の繰り返しなので $K$ の環準同型で、$\mathbb{F}_q$ の元 $c$ は $c^{q}=c$ を満たすので固定する。$f(x)=\sum_ic_ix^i$（$c_i\in\mathbb{F}_q$）と書くと
$$
f(t)^{q^m}=\sum_ic_i^{q^m}t^{iq^m}=\sum_ic_i\,(t^{q^m})^i=f(t^{q^m})
$$
である。よって
$$
\Bigl(f(t)^{(q^m+1)/2}\Bigr)^2=f(t)\,f(t)^{q^m}=f(t)\,f(t^{q^m})=F(t^{q^m})
$$
となり、$P_m$ は $y^2=F(x)$ の $K$ 点である。$x$ 座標 $t^{q^m}$ は $m$ ごとに異なるので、$P_m$ はどの 2 つも異なる。$\square$
この例は Poo17 Example 9.5.4（p. 287）の曲線 $f(t)y^2=f(x)$ を $y$ の定数倍で書き直したものである。さらに $K=\mathbb{C}(t)$ のときは、$\mathbb{C}$ 上の種数 $2$ 以上の曲線 $X_0$ を $K$ 上の曲線とみると、定数の点 $X_0(\mathbb{C})$ がすべて $K$ 点になるので、$X(K)$ は無限である（Poo17 Example 9.5.5、p. 287）。これらの曲線は、有限次拡大のあとで定数体上の曲線から来る（isotrivial という）。関数体 $K$（定数体 $k$）上の種数 $2$ 以上の良い曲線で $X(K)$ が無限のものは、標数 $0$ なら定数体上の曲線から来るもの、標数 $p$ なら isotrivial なものに限られることが知られている（標数 $0$ は H. Grauert、Yu. I. Manin、標数 $p$ は P. Samuel による。Poo17 Theorem 9.5.10、pp. 287–288）。この記事では証明しない。
ほかの予想との関係
- Vojta 予想．Vojta予想 は、曲線の場合に Faltings の定理を含む（Vojta予想 の命題「種数 2 以上の曲線の場合は Faltings の定理」）。
- abc 予想．N. Elkies は abc予想 から Mordell 予想が従うことを示した（abc予想 の節「ほかの帰結」）。
- 高次元．一般型の多様体の有理点は Zariski 稠密でないという Bombieri–Lang 予想は、曲線の場合が Faltings の定理である。アーベル多様体の部分多様体の場合は、Faltings が Vojta の方法を広げて証明した（Poo17 p. 288、Diophantus幾何学 の節「高次元の予想」）。
反例
thm-faltings-main の条件を 1 つずつ外すと、結論は成り立たなくなる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 種数 $2$ 以上 | $\mathbb{Q}$ 上の円 $x^2+y^2=1$（種数 $0$） | 有理点 $\bigl(\frac{1-s^2}{1+s^2},\frac{2s}{1+s^2}\bigr)$（$s\in\mathbb{Q}$）が無限にある |
| $K$ が代数体 | $K=\mathbb{F}_q(t)$、$y^2=f(t)f(x)$（prop-faltings-function-field） | 種数 $2$ 以上だが $X(K)$ は無限 |
| $K$ が代数体 | $K=\mathbb{C}(t)$、$\mathbb{C}$ 上の種数 $2$ の曲線を $K$ 上でみたもの | 定数の点で $X(K)$ は無限 |
| 体 $K$ を 1 つ固定する | $y^2=x^5-x$ の、次数 $2$ 以下のすべての体にわたる点（prop-faltings-quadratic-points） | 点の全体は無限 |
表の 1 行目の確かめを開く
$s\in\mathbb{Q}$ について $(1-s^2)^2+(2s)^2=(1+s^2)^2$ なので、点は円の上にある。$\frac{1-s^2}{1+s^2}=\frac2{1+s^2}-1$ は $s\ge0$ で狭義に減少するので、$s\ge0$ の有理数ごとに点は異なり、無限個ある（ピタゴラス数と円の有理点 の定理「単位円の有理点の媒介変数表示」）。
関連項目
- 前提: 代数曲線, 種数, 有理点, 超楕円曲線
- 比較: Mordell–Weilの定理, ピタゴラス数と円の有理点
- 例: Fermatの最終定理, Riemann–Hurwitzの公式
- 発展: Vojta予想, abc予想, Diophantus幾何学, アーベル多様体
参考文献
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