Borsuk–Ulamの定理

(1)⇒(2)：$f$ が奇写像なら、(1) の $x$ について $f(x)=f(-x)=-f(x)$ なので $f(x)=0$ である。
(2)⇒(3)：連続な奇写像 $g\colon S^n\to S^{n-1}$ があれば、$S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$ とみなして $g$ は $\mathbb{R}^n$ への連続な奇写像であり、$\lvert g(x)\rvert=1$ なので零点をもたず、(2) に反する。
(3)⇒(1)：(1) が成り立たない連続写像 $f$ があるとする。すべての $x$ で $f(x)-f(-x)\neq0$ なので
$$ g(x):=\frac{f(x)-f(-x)}{\lvert f(x)-f(-x)\rvert} $$
は $S^n$ から $S^{n-1}$ への連続写像であり、$g(-x)=\dfrac{f(-x)-f(x)}{\lvert f(-x)-f(x)\rvert}=-g(x)$ なので奇写像である。これは (3) に反する。$\square$

$\varphi(\theta):=f(\cos\theta,\sin\theta)-f(-\cos\theta,-\sin\theta)$ とおくと、$\varphi$ は $[0,\pi]$ 上の連続関数で、$(-\cos\theta,-\sin\theta)=(\cos(\theta+\pi),\sin(\theta+\pi))$ から $\varphi(\pi)=f(-1,0)-f(1,0)=-\varphi(0)$ である。$\varphi(0)=0$ なら $x=(1,0)$ が求める点である。そうでなければ $\varphi(0)$ と $\varphi(\pi)$ は符号が違うので、中間値の定理の記事の定理「中間値の定理」により $\varphi(\theta_0)=0$ となる $\theta_0\in(0,\pi)$ があり、$x=(\cos\theta_0,\sin\theta_0)$ が求める点である。$\square$

$\tilde H$ を $H$ の持ち上げとする。$t\in[0,\frac12]$ について、点 $(\cos2\pi(t+\frac12),\sin2\pi(t+\frac12))$ は $(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$ の対蹠点なので、奇写像の性質から $H(t+\frac12)=-H(t)$ である。$-p(s)=p(s+\frac12)$ なので
$$ p\Bigl(\tilde H\bigl(t+\tfrac12\bigr)\Bigr)=-p\bigl(\tilde H(t)\bigr)=p\Bigl(\tilde H(t)+\tfrac12\Bigr) $$
であり、$k(t):=\tilde H(t+\frac12)-\tilde H(t)-\frac12$ は整数値の連続関数である。$[0,\frac12]$ は連結なので $k$ は定数 $k$ である（整数値の連続関数は、中間値の定理により、中間の整数でない値をとれない）。よって
$$ \tilde H(1)-\tilde H(0)=\Bigl(\tilde H(1)-\tilde H\bigl(\tfrac12\bigr)\Bigr)+\Bigl(\tilde H\bigl(\tfrac12\bigr)-\tilde H(0)\Bigr)=\Bigl(k+\frac12\Bigr)+\Bigl(k+\frac12\Bigr)=2k+1 $$
は奇数である。
後半：延長 $G$ があるとする。$F(t,s):=G\bigl((1-s)(\cos2\pi t,\sin2\pi t)+s(1,0)\bigr)$ とおく。$D^2$ は凸なので括弧の中は $D^2$ に入り、$F$ は連続で、$F(t,0)=H(t)$、$F(t,1)=G(1,0)$（定数）、$F(0,s)=F(1,s)=G(1,0)$ である。つまり $F$ は閉じた道 $H$ と定値の道を、端点を止めたまま結ぶホモトピーである。被覆空間の記事の系「道のホモトピー類と持ち上げの終点」により、同じ始点からの持ち上げの終点は一致する。定値の道の持ち上げは定値なので $\tilde H(1)=\tilde H(0)$、すなわち巻き数は $0$ である。これは巻き数が奇数であることに反する。$\square$

prop-bu-equivalent により、連続な奇写像 $g\colon S^2\to S^1$ が存在しないことを示せばよい。$g$ があるとする。赤道 $\{(u,0)\mid u\in S^1\}$ への制限 $h(u):=g(u,0)$ は $S^1$ から $S^1$ への連続な奇写像である。一方、北半球を $D^2$ でパラメータ表示して
$$ G(u):=g\Bigl(u,\sqrt{1-\lvert u\rvert^2}\Bigr)\qquad(u\in D^2) $$
とおくと、$G\colon D^2\to S^1$ は連続で、$\lvert u\rvert=1$ なら $G(u)=g(u,0)=h(u)$ である。つまり $h$ は $D^2$ 上に延長でき、lem-bu-odd-winding に反する。$\square$

連続写像 $f\colon S^2\to\mathbb{R}^2$ には thm-bu-dim-two により $f(x)=f(-x)$ となる $x$ があり、$x\neq-x$ なので $f$ は単射でない。$S^2$ が $A\subset\mathbb{R}^2$ と同相なら、同相写像と包含の合成が連続な単射 $S^2\to\mathbb{R}^2$ になる。$\square$

空でない $A_i$ について $d_i(x):=\inf_{y\in A_i}\lvert x-y\rvert$ とおくと、$d_i$ は連続で（$\lvert d_i(x)-d_i(x')\rvert\leq\lvert x-x'\rvert$）、$A_i$ は閉集合なので $d_i(x)=0\iff x\in A_i$ である。$A_1$ か $A_2$ が空なら、残りの 2 つについての議論は下と同じで易しい（空な $A_i$ の $d_i$ を定数 $1$ に替えればよい）。$f:=(d_1,d_2)\colon S^2\to\mathbb{R}^2$ に thm-bu-dim-two を当てると、$d_1(x)=d_1(-x)$、$d_2(x)=d_2(-x)$ となる $x$ がある。$d_1(x)=0$ なら $x,-x\in A_1$、$d_2(x)=0$ なら $x,-x\in A_2$ である。どちらでもなければ $x,-x$ はともに $A_1\cup A_2$ に入らないので、$A_3$ に入る。$\square$

$\lambda$ を $\mathbb{R}^2$ の Lebesgue 測度とする。$u=(u_0,u_1,u_2)\in S^2$ に対し閉集合
$$ H(u):=\{x\in\mathbb{R}^2\mid u_1x_1+u_2x_2\leq u_0\} $$
を対応させ、$f_i(u):=\lambda(A_i\cap H(u))$（$i=1,2$）とおく。$(u_1,u_2)\neq(0,0)$ なら $H(u)$ は直線 $L(u):=\{u_1x_1+u_2x_2=u_0\}$ を境界とする閉半平面であり、$u=(1,0,0)$ なら $H(u)=\mathbb{R}^2$、$u=(-1,0,0)$ なら $H(u)=\emptyset$ である。
段 1（$f_i(u)+f_i(-u)=\lambda(A_i)$）．$H(-u)=\{u_1x_1+u_2x_2\geq u_0\}$ なので、$H(u)\cup H(-u)=\mathbb{R}^2$、$H(u)\cap H(-u)$ は $(u_1,u_2)\neq0$ なら直線 $L(u)$、そうでなければ空集合である。直線の面積は $0$ なので、どちらの場合も $f_i(u)+f_i(-u)=\lambda(A_i)$ である。
段 2（連続性）．$u^{(k)}\to u$ とする。$(u_1,u_2)\neq0$ のとき、$x\notin L(u)$ なら、$k$ が大きいと $x\in H(u^{(k)})\iff x\in H(u)$ となる（$u_1x_1+u_2x_2-u_0$ の符号は $u$ について連続に変わる）。よって特性関数 $\mathbf{1}_{A_i\cap H(u^{(k)})}$ は面積 $0$ の $L(u)$ の外で $\mathbf{1}_{A_i\cap H(u)}$ に各点収束し、可積分な $\mathbf{1}_{A_i}$ で抑えられるので、優収束定理により $f_i(u^{(k)})\to f_i(u)$ である。$u=(1,0,0)$ のとき、$A_i\subset\{\lvert x\rvert\leq R\}$ とすると、$x\in A_i$ について $\lvert u^{(k)}_1x_1+u^{(k)}_2x_2\rvert\leq\lvert(u^{(k)}_1,u^{(k)}_2)\rvert R$ は $k$ が大きいと $u^{(k)}_0$ より小さいので、$A_i\subset H(u^{(k)})$、$f_i(u^{(k)})=\lambda(A_i)=f_i(u)$ である。$u=(-1,0,0)$ のときも同様に、$k$ が大きいと $A_i\cap H(u^{(k)})=\emptyset$ である。
段 3（結論）．$f:=(f_1,f_2)\colon S^2\to\mathbb{R}^2$ は連続なので、thm-bu-dim-two により $f(u)=f(-u)$ となる $u$ があり、段 1 から $f_i(u)=\frac12\lambda(A_i)$（$i=1,2$）である。$\lambda(A_1)=\lambda(A_2)=0$ ならどの直線でもよい。そうでなければ、$u=\pm(1,0,0)$ では $f_i(u)\in\{0,\lambda(A_i)\}$ なので $u\neq\pm(1,0,0)$ であり、直線 $L(u)$ が求めるものである（$H(-u)$ 側も段 1 により半分を含む）。$\square$

一般の $n$ で、$S^n$ から $S^{n-1}$ への奇写像を作る。レトラクション $r\colon D^n\to S^{n-1}$ があるとし、$x=(x',x_{n+1})\in S^n$（$x'\in D^n$）に対して
$$ g(x):=\begin{cases}r(x')&(x_{n+1}\geq0)\\-r(-x')&(x_{n+1}\leq0)\end{cases} $$
とおく。赤道 $x_{n+1}=0$ では $\lvert x'\rvert=1$ なので $r(x')=x'$、$-r(-x')=-(-x')=x'$ であり、2 つの式は一致する。上下の閉半球はそれぞれ閉集合で、$g$ はそれぞれの上で連続なので、$g$ は $S^n$ 上で連続である（連続写像の記事の命題「有限閉被覆の貼り合わせ補題」）。$x_{n+1}>0$ なら $-x$ は下半球にあり $g(-x)=-r(x')=-g(x)$、赤道では $g(-x)=-x'=-g(x)$ なので、$g$ は奇写像 $S^n\to S^{n-1}$ である。$n=2$ ではこれは thm-bu-dim-two に反する。$\square$