空間の四角形の中点と四面体

同義語：ねじれた四角形midpoints of skew quadrilaterals and tetrahedraskew quadrilateral

概要

前提知識: Varignonの定理, 空間ベクトルと1次独立, 空間の平面と法線ベクトル, ベクトルの内積（高校数学）

高校での出発点：ねじれた四角形の中点を結ぶ

平面の四角形 $ABCD$ の 4 つの辺の中点を順に結ぶと平行四辺形になり、その辺は対角線 $AC$、$BD$ に平行で、長さは対角線の半分である（Varignonの定理）。その証明は、中点の位置ベクトルが両端の平均であることと、ベクトルの足し算・引き算だけを使っていた。成分が 2 つでも 3 つでも、同じ計算がそのまま成り立つ。そこで、4 つの頂点が同じ平面の上にない「ねじれた四角形」でも、中点を結ぶと平行四辺形になるはずである。まず座標で確かめる。

ねじれた四角形の中点

$A(0,0,0)$、$B(4,0,0)$、$C(4,2,0)$、$D(0,0,6)$ とする。辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の中点を $E$、$F$、$G$、$H$ とする。
(1) $A$、$B$、$C$ は平面 $z=0$ の上にあるが、$D$ の $z$ 座標は $6$ なので、$D$ はその上にない。$A$、$B$、$C$ は一直線上にないので、この 3 点を通る平面は $z=0$ だけである。よって 4 点は同じ平面の上にない。
(2) 中点は座標の平均なので
$$ E(2,0,0),\quad F\left(\frac{4+4}2,\frac{0+2}2,0\right)=(4,1,0),\quad G\left(\frac{4+0}2,\frac{2+0}2,\frac{0+6}2\right)=(2,1,3),\quad H(0,0,3) $$
である。
(3) 辺のベクトルを計算すると
$$ \overrightarrow{EF}=(4-2,\ 1-0,\ 0-0)=(2,1,0),\qquad \overrightarrow{HG}=(2-0,\ 1-0,\ 3-3)=(2,1,0) $$
$$ \overrightarrow{FG}=(2-4,\ 1-1,\ 3-0)=(-2,0,3),\qquad \overrightarrow{EH}=(0-2,\ 0-0,\ 3-0)=(-2,0,3) $$
である。$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$ で、対角線 $\overrightarrow{AC}=(4,2,0)$ のちょうど半分である。$\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{FG}$ は、$\overrightarrow{BD}=(-4,0,6)$ のちょうど半分である。

同じ平面の上にない 4 点 A、B、C、D を結んだねじれた四角形でも、辺の中点 E、F、G、H は 1 つの平面の上にあって平行四辺形をつくる
ex-msq-start の (3) から $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}$ なので、$G$ は $E$ を通り $\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{EH}$ の向きに広がる平面の上にあり、4 点は同じ平面の上にある。その平面の式を求めて、頂点との位置を調べる。

中点を通る平面

ex-msq-start の 4 つの中点について調べる。
(1) $\overrightarrow{EF}=(2,1,0)$ と $\overrightarrow{EH}=(-2,0,3)$ の両方に垂直なベクトル $\vec n=(p,q,r)$ を求める。内積が $0$ という条件は $2p+q=0$、$-2p+3r=0$ で、$p=3$ とすると $q=-6$、$r=2$ である。$\vec n=(3,-6,2)$ を法線ベクトルとし、$E(2,0,0)$ を通る平面は
$$ 3(x-2)-6(y-0)+2(z-0)=0,\qquad\text{つまり}\qquad 3x-6y+2z=6 $$
である（空間の平面と法線ベクトル）。
(2) 4 つの中点を左辺に代入すると、$E$ では $6-0+0=6$、$F$ では $12-6+0=6$、$G$ では $6-6+6=6$、$H$ では $0-0+6=6$ である。4 点ともこの平面の上にある。
(3) 同じ左辺 $3x-6y+2z$ に頂点を代入すると、$A$ では $0$、$C$ では $12-12+0=0$、$B$ では $12$、$D$ では $0-0+12=12$ である。直線 $AC$ の上では値が $0$、直線 $BD$ の上では値が $12$ で、中点の平面の値 $6$ はそのちょうど真ん中である。
(4) prop-msq-middle の記号では $\vec n=(3,-6,2)$、$k_1=0$、$k_2=12$ で、中点の平面は $3x-6y+2z=6$ である。$\lvert\vec n\rvert=\sqrt{9+36+4}=7$ から、平面と 2 本の直線の距離はどちらも $\dfrac{12}{2\cdot7}=\dfrac67$ である。

ex-msq-start-area の (3) では、中点の平面が、直線 $AC$ と直線 $BD$ の「ちょうど真ん中」にあった。この記事で答える問いは次の 4 つである。

ねじれた四角形の 4 つの中点は、いつも同じ平面の上にあって平行四辺形をつくるか。その平面は、対角線とどんな位置にあるか。→ thm-msq-main、prop-msq-middle
その平行四辺形の面積と周の長さは、対角線で書けるか。→ thm-msq-main
平行四辺形が長方形・ひし形・正方形になるのは、どんなときか。→ prop-msq-shape

4 点を四面体の頂点と見ると、向かい合う辺の中点を結ぶ 3 本の線分はどこで交わるか。→ thm-msq-center

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
中点の位置ベクトルは両端の平均	ねじれた四角形の中点の平行四辺形（thm-msq-main）	中点をとる操作は 1 次の式
2 つのベクトルに垂直な法線ベクトル	中点の平面は 2 本の対角線の真ん中（prop-msq-middle）	1 次式の値の平均
内積と長さ	長方形・ひし形・正方形の判定（prop-msq-shape）	内積で決まる性質
4 点の座標の平均	四面体の重心（thm-msq-center）	重心・アフィン結合

言葉の準備：ねじれた四角形と四面体の向かい合う辺

ねじれた四角形と向かい合う辺

空間の 4 点 $A$、$B$、$C$、$D$ が同じ平面の上にないとき、線分 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ をこの順につないだ閉じた折れ線を ねじれた四角形 $ABCD$ といい、4 本の線分を辺、線分 $AC$、$BD$ を対角線という。
4 点 $A$、$B$、$C$、$D$ は四面体 $ABCD$ の頂点である。四面体の 6 本の辺のうち、共通の頂点をもたない 2 本を 向かい合う辺 という。向かい合う辺の組は $AB$ と $CD$、$BC$ と $DA$、$AC$ と $BD$ の 3 組である。

ねじれた四角形 $ABCD$ の 4 辺と 2 本の対角線は、合わせて四面体 $ABCD$ の 6 本の辺である。2 本の対角線 $AC$、$BD$ は、四面体の向かい合う辺の 1 組になっている。

1 つの四面体から 3 つのねじれた四角形

四面体 $ABCD$ の頂点を、たどる順を変えて結ぶと、次の 3 つのねじれた四角形ができる。
(1) $ABCD$：辺は $AB$、$BC$、$CD$、$DA$、対角線は $AC$ と $BD$。
(2) $ABDC$：辺は $AB$、$BD$、$DC$、$CA$、対角線は $AD$ と $BC$。
(3) $ACBD$：辺は $AC$、$CB$、$BD$、$DA$、対角線は $AB$ と $CD$。
どれも、向かい合う辺の 1 組を対角線にし、残りの 2 組を辺にしている。向かい合う辺の組は 3 つなので、ねじれた四角形も（たどる向きと出発点の違いを除いて）この 3 つである。

平面の四角形では、対角線 $AC$ と $BD$ が平行になると中点の平行四辺形がつぶれた（Varignonの定理の蝶ネクタイの形の例）。ねじれた四角形では、そのことは起こらない。

対角線はねじれの位置にある

ねじれた四角形 $ABCD$ の対角線を含む直線 $AC$ と直線 $BD$ は、平行でなく、交わらない。とくに $\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BD}$ は平行でない。

直線 $AC$ と直線 $BD$ が平行なとき（一致するときも含む）も、1 点で交わるときも、2 本の直線を含む平面がある。すると 4 点 $A$、$B$、$C$、$D$ はその平面の上にあることになり、仮定に反する。$\square$

平行でもなく交わりもしない 2 直線は ねじれの位置 にあるという（ねじれの位置）。lem-msq-skewlines は、ねじれた四角形の 2 本の対角線がねじれの位置にあることを言っている。

主定理：中点は 2 本の対角線の真ん中の平面の上の平行四辺形

ねじれた四角形の中点の平行四辺形

ねじれた四角形 $ABCD$ の辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の中点を $E$、$F$、$G$、$H$ とする。
(1) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EH}=\dfrac12\overrightarrow{BD}$ である。4 点 $E$、$F$、$G$、$H$ は同じ平面の上にあり、四角形 $EFGH$ は平行四辺形である。
(2) $EFGH$ の周の長さは $AC+BD$ である。
(3) $\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BD}$ のなす角を $\theta$ とすると、$EFGH$ の面積は $\dfrac14AC\cdot BD\sin\theta$ である。

方針：平面の四角形のときと同じ位置ベクトルの計算である。空間で新しく確かめることは、4 つの中点を含む平面がただ 1 つ決まり、平行四辺形がつぶれないことで、それは lem-msq-skewlines から出る。
段 1（辺のベクトル）。点 $A$、$B$、$C$、$D$ の位置ベクトルを $\vec a$、$\vec b$、$\vec c$、$\vec d$ とする。空間でも、中点の位置ベクトルは両端の平均なので
$$ \vec e=\frac{\vec a+\vec b}2,\qquad \vec f=\frac{\vec b+\vec c}2,\qquad \vec g=\frac{\vec c+\vec d}2,\qquad \vec h=\frac{\vec d+\vec a}2 $$
である。引き算すると
$$ \overrightarrow{EF}=\vec f-\vec e=\frac{\vec b+\vec c-\vec a-\vec b}2=\frac{\vec c-\vec a}2=\frac12\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{HG}=\vec g-\vec h=\frac{\vec c+\vec d-\vec d-\vec a}2=\frac12\overrightarrow{AC} $$
$$ \overrightarrow{FG}=\vec g-\vec f=\frac{\vec c+\vec d-\vec b-\vec c}2=\frac12\overrightarrow{BD},\qquad \overrightarrow{EH}=\vec h-\vec e=\frac{\vec d+\vec a-\vec a-\vec b}2=\frac12\overrightarrow{BD} $$
である。
段 2（同じ平面の上の平行四辺形）。$\vec u=\dfrac12\overrightarrow{AC}$、$\vec v=\dfrac12\overrightarrow{BD}$ とおくと、段 1 から
$$ \overrightarrow{EF}=\vec u,\qquad \overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}=\vec u+\vec v,\qquad \overrightarrow{EH}=\vec v $$
である。lem-msq-skewlines より $\vec u$ と $\vec v$ は平行でないので、$E$ を通り $\vec u$、$\vec v$ の向きに広がる平面がただ 1 つ決まる（空間ベクトルと1次独立）。$F$、$G$、$H$ は $E$ から $\vec u$、$\vec u+\vec v$、$\vec v$ だけ進んだ点なので、この平面の上にある。向かい合う辺 $EF$、$HG$ が平行で長さが等しい四角形なので、$EFGH$ は平行四辺形である。これで (1) が示された。
段 3（周の長さ）。段 1 より $EF=HG=\dfrac12AC$、$FG=EH=\dfrac12BD$ なので
$$ EF+FG+GH+HE=\frac12AC+\frac12BD+\frac12AC+\frac12BD=AC+BD $$
である。
段 4（面積）。平行四辺形の面積は、隣り合う 2 辺の長さとその間の角の正弦の積である。辺 $EF$ と $EH$ のなす角は、$\overrightarrow{EF}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{EH}=\dfrac12\overrightarrow{BD}$ のなす角 $\theta$ に等しいので、面積は
$$ EF\cdot EH\sin\theta=\frac12AC\cdot\frac12BD\cdot\sin\theta=\frac14AC\cdot BD\sin\theta $$
である。$\square$

最初の例の数値で主定理を確かめる計算を開く

ex-msq-start の四角形では $AC=\sqrt{20}=2\sqrt5$、$BD=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ で、周の長さは $2(EF+EH)=2(\sqrt5+\sqrt{13})=AC+BD$ である。

平行四辺形 $EFGH$ の面積を内積で求める。$\lvert\overrightarrow{EF}\rvert^2=4+1+0=5$、$\lvert\overrightarrow{EH}\rvert^2=4+0+9=13$、$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EH}=-4+0+0=-4$ なので、間の角を $\theta$ とすると $\cos\theta=\dfrac{-4}{\sqrt5\cdot\sqrt{13}}=\dfrac{-4}{\sqrt{65}}$、$\sin\theta=\sqrt{1-\dfrac{16}{65}}=\dfrac7{\sqrt{65}}$ で、面積は $\sqrt5\cdot\sqrt{13}\cdot\dfrac7{\sqrt{65}}=7$ である。

$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BD}$ のなす角は $\overrightarrow{EF}$ と $\overrightarrow{EH}$ のなす角と同じなので、(3) の式は $\dfrac14\cdot\sqrt{20}\cdot\sqrt{52}\cdot\dfrac7{\sqrt{65}}=\dfrac14\cdot4\sqrt{65}\cdot\dfrac7{\sqrt{65}}=7$ となり（$\sqrt{20}\cdot\sqrt{52}=\sqrt{1040}=4\sqrt{65}$）、一致する。

ex-msq-start-area の (3) で見た「真ん中」は、いつも成り立つ。

中点の平面は 2 本の対角線の真ん中にある

ねじれた四角形 $ABCD$ の中点の平行四辺形 $EFGH$ を含む平面は、直線 $AC$ とも直線 $BD$ とも交わらず、2 本の直線から等しい距離にある。

要点：$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BD}$ の両方に垂直な $\vec 0$ でないベクトル $\vec n$ をとり、点 $P$ の位置ベクトルを $\vec p$ として $k(P)=\vec n\cdot\vec p$ とおく。$k$ は直線 $AC$ の上で一定の値 $k_1$、直線 $BD$ の上で一定の値 $k_2$ をとり、$k_1\ne k_2$ である。中点での値は両端の値の平均なので、4 つの中点では $k=\dfrac{k_1+k_2}2$ となり、中点の平面は $\vec n\cdot\vec p=\dfrac{k_1+k_2}2$ である。

詳しい証明を開く

$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BD}$ は平行でないので、その両方に垂直な $\vec 0$ でないベクトル $\vec n$ がある（空間の平面と法線ベクトル。ex-msq-start-area の (1) のように、内積が $0$ という 2 つの式を解けば求まる）。点 $P$ の位置ベクトルを $\vec p$ として $k(P)=\vec n\cdot\vec p$ とおく。$\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$ より $k(C)-k(A)=\vec n\cdot(\vec c-\vec a)=0$ なので $k(A)=k(C)$ である。この値を $k_1$ とおく。同じく $\vec n\cdot\overrightarrow{BD}=0$ より $k(B)=k(D)$ で、この値を $k_2$ とおく。内積の分配法則から、中点での値は両端の値の平均で

$$k(E)=\frac{k(A)+k(B)}2=\frac{k_1+k_2}2,\qquad k(F)=\frac{k(B)+k(C)}2=\frac{k_2+k_1}2$$

であり、$k(G)$、$k(H)$ も同じく $\dfrac{k_1+k_2}2$ である。よって 4 つの中点は、法線ベクトルが $\vec n$ の平面 $\pi:\ \vec n\cdot\vec p=\dfrac{k_1+k_2}2$ の上にある。thm-msq-main の平行四辺形を含む平面は、この $\pi$ である。

もし $k_1=k_2$ なら、4 点 $A$、$B$、$C$、$D$ がすべて平面 $\vec n\cdot\vec p=k_1$ の上にあることになり、仮定に反する。よって $k_1\ne k_2$ である。直線 $AC$ の上の点 $P$ は $P=A+t\overrightarrow{AC}$ と書けて $k(P)=k_1+t\,\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=k_1$ なので、$k(P)\ne\dfrac{k_1+k_2}2$ となり、直線 $AC$ は $\pi$ と交わらない。直線 $BD$ も同じである。点 $P$ と平面 $\vec n\cdot\vec p=c$ の距離は $\dfrac{\lvert k(P)-c\rvert}{\lvert\vec n\rvert}$ なので（空間の平面と法線ベクトル）、直線 $AC$ の上のどの点も、直線 $BD$ の上のどの点も、$\pi$ との距離は

$$\frac{1}{\lvert\vec n\rvert}\left\lvert k_1-\frac{k_1+k_2}2\right\rvert=\frac{1}{\lvert\vec n\rvert}\left\lvert k_2-\frac{k_1+k_2}2\right\rvert=\frac{\lvert k_1-k_2\rvert}{2\lvert\vec n\rvert}$$

で、等しい。$\square$

四面体 ABCD を平行四辺形 EFGH を含む平面で切ると、赤い直線 AC と緑の直線 BD は、どちらもこの平面と平行で、平面の両側に等しい距離で離れている

直角をもつ四面体の中点

$A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(0,2,0)$、$D(0,0,2)$ のねじれた四角形 $ABCD$ を考える（$D$ は平面 $z=0$ の上にない）。
(1) 中点は $E(1,0,0)$、$F(1,1,0)$、$G(0,1,1)$、$H(0,0,1)$ で
$$ \overrightarrow{EF}=(0,1,0)=\frac12\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{EH}=(-1,0,1)=\frac12\overrightarrow{BD} $$
である（$\overrightarrow{AC}=(0,2,0)$、$\overrightarrow{BD}=(-2,0,2)$）。
(2) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0+0+0=0$ なので $\theta=90^\circ$、$\sin\theta=1$ である。$AC=2$、$BD=2\sqrt2$ なので、thm-msq-main より面積は $\dfrac14\cdot2\cdot2\sqrt2\cdot1=\sqrt2$、周の長さは $2+2\sqrt2$ である。

辺の長さと中点の平面で確かめる計算を開く

辺の長さは $EF=1$、$EH=\sqrt2$ で、$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EH}=0$ だから、面積は $1\cdot\sqrt2=\sqrt2$、周の長さは $2(1+\sqrt2)=AC+BD$ である。

$\vec n=(1,0,1)$ は $\overrightarrow{AC}\cdot\vec n=0$、$\overrightarrow{BD}\cdot\vec n=-2+0+2=0$ を満たす。$k(P)=x+z$ の値は、$A$ と $C$ で $0$、$B$ と $D$ で $2$ である。4 つの中点では $1+0=1$、$1+0=1$、$0+1=1$、$0+1=1$ で、どれも真ん中の値 $1$ になる。中点の平面は $x+z=1$ である（prop-msq-middle）。

平面の単純な四角形では、中点の平行四辺形の面積は元の四角形の面積 $\dfrac12AC\cdot BD\sin\theta$ のちょうど半分だった（Varignonの定理）。thm-msq-main の (3) も同じ形をしているが、ねじれた四角形は平面の図形ではないので「四角形 $ABCD$ の面積」は決まらない（ex-msq-cx-area）。

平行四辺形の形は対角線で決まる

thm-msq-main の (1) により、中点の平行四辺形の 2 辺は対角線 $AC$、$BD$ に平行で、長さはその半分である。そこで、平行四辺形の形は、平面の四角形のときと同じく、対角線の向きと長さだけで決まる。空間の 2 直線 $AC$、$BD$ は、ねじれの位置にあっても、方向ベクトルの内積が $0$ のとき垂直であるといい、$AC\perp BD$ と書く。

長方形・ひし形・正方形になる条件

ねじれた四角形 $ABCD$ の中点の平行四辺形 $EFGH$ について、次が成り立つ。
(R1) $EFGH$ が長方形 $\iff$ $AC\perp BD$
(R2) $EFGH$ がひし形 $\iff$ $AC=BD$
(R3) $EFGH$ が正方形 $\iff$ $AC\perp BD$ かつ $AC=BD$

thm-msq-main の (1) より、隣り合う 2 辺について
$$ \overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FG}=\frac12\overrightarrow{AC}\cdot\frac12\overrightarrow{BD}=\frac14\,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD},\qquad EF=\frac12AC,\quad FG=\frac12BD $$
なので、平行四辺形 $EFGH$ の角が直角であることは $AC\perp BD$ と、隣り合う辺の長さが等しいことは $AC=BD$ と同値である。平面の四角形のとき（Varignonの定理）と同じ証明である。

詳しい証明を開く

(i) 平行四辺形は、1 つの角が直角なら長方形である（向かい合う角は等しく、隣り合う角の和は $180^\circ$ なので、4 つの角がすべて直角になる）。逆に長方形なら角 $F$ は直角である。よって、$EFGH$ が長方形であることは、内積 $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FG}=0$ と同値である（ベクトルの内積（高校数学））。上の式より、これは $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$、つまり $AC\perp BD$ と同値である。

(ii) 平行四辺形は、隣り合う 2 辺の長さが等しければひし形である（向かい合う辺の長さは等しいので、4 辺がすべて等しくなる）。逆にひし形なら $EF=FG$ である。$EF=\dfrac12AC$、$FG=\dfrac12BD$ なので、$EF=FG$ は $AC=BD$ と同値である。

(iii) 正方形は、長方形でありひし形でもある平行四辺形である。(i) と (ii) を合わせればよい。$\square$

ex-msq-corner では $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$ で、$AC=2$、$BD=2\sqrt2$ なので、(i) により $EFGH$ は長方形で、正方形ではない。実際、辺の長さは $1$ と $\sqrt2$ である。次は正方形になる例である。

正四面体の 4 辺の中点

$A(0,0,0)$、$B(2,2,0)$、$C(2,0,2)$、$D(0,2,2)$ は、6 本の辺の長さがどれも $\sqrt{4+4}=2\sqrt2$ の正四面体の頂点である。
(1) 向かい合う辺 $\overrightarrow{AC}=(2,0,2)$、$\overrightarrow{BD}=(-2,0,2)$ は、内積が $-4+0+4=0$ で直交し、長さはどちらも $2\sqrt2$ で等しい。prop-msq-shape の (iii) により、$EFGH$ は正方形である。
(2) $k(P)=y$ の値は、直線 $AC$ の上で $0$、直線 $BD$ の上で $2$ で、中点の平面 $y=1$ はその真ん中である（prop-msq-middle。$\vec n=(0,1,0)$）。

中点の座標で確かめる計算を開く

辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の中点は $E(1,1,0)$、$F(2,1,1)$、$G(1,1,2)$、$H(0,1,1)$ で、どれも $y$ 座標が $1$ なので、平面 $y=1$ の上にある。$\overrightarrow{EF}=(1,0,1)$、$\overrightarrow{FG}=(-1,0,1)$ で、内積は $-1+0+1=0$、長さはどちらも $\sqrt2$ である。$EFGH$ は 1 辺 $\sqrt2$ の正方形である。

ほかの 2 つのねじれた四角形も正方形になることを開く

ex-msq-three の (2) のねじれた四角形 $ABDC$ の対角線は $\overrightarrow{AD}=(0,2,2)$ と $\overrightarrow{BC}=(0,-2,2)$ で、内積は $0-4+4=0$、長さはどちらも $2\sqrt2$ である。(3) の $ACBD$ の対角線は $\overrightarrow{AB}=(2,2,0)$ と $\overrightarrow{CD}=(-2,2,0)$ で、内積は $-4+4+0=0$、長さはどちらも $2\sqrt2$ である。prop-msq-shape の (iii) により、どちらの中点の平行四辺形も 1 辺 $\sqrt2$ の正方形である。

四面体の重心：向かい合う辺の中点を結ぶ 3 本の線分

平面の四角形では、中点の平行四辺形の中心は 4 頂点の平均の点だった（Varignonの定理）。空間でも同じ計算ができ、四面体の言葉で言いかえられる。

四面体の重心

四面体 $ABCD$ の頂点の位置ベクトルを $\vec a$、$\vec b$、$\vec c$、$\vec d$ とするとき
$$ \vec k=\frac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}4 $$
を位置ベクトルとする点 $K$ を、四面体 $ABCD$ の重心という。座標では、4 つの頂点の座標の平均である。

向かい合う辺の中点を結ぶ線分と重心

四面体 $ABCD$ の重心を $K$ とする。
(1) 向かい合う辺の中点を結ぶ 3 本の線分（$AB$ と $CD$ の中点を結ぶ線分、$BC$ と $DA$ の中点を結ぶ線分、$AC$ と $BD$ の中点を結ぶ線分）は、どれも $K$ を中点とする。とくに、3 本は $K$ で交わり、互いに 2 等分し合う。
(2) $K$ は、ex-msq-three の 3 つのねじれた四角形の、どの中点の平行四辺形の中心でもある。
(3) 頂点 $A$ と、向かいの面 $BCD$ の重心 $K_A$ を結ぶ線分を、$K$ は $3:1$ に内分する。ほかの頂点についても同じである。

段 1（(1) の 3 本の中点）。辺 $AB$、$CD$ の中点の位置ベクトルは $\dfrac{\vec a+\vec b}2$、$\dfrac{\vec c+\vec d}2$ なので、それらを結ぶ線分の中点は
$$ \frac12\left(\frac{\vec a+\vec b}2+\frac{\vec c+\vec d}2\right)=\frac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}4=\vec k $$
である。$BC$ と $DA$ では $\dfrac12\left(\dfrac{\vec b+\vec c}2+\dfrac{\vec d+\vec a}2\right)$、$AC$ と $BD$ では $\dfrac12\left(\dfrac{\vec a+\vec c}2+\dfrac{\vec b+\vec d}2\right)$ で、どちらも 4 つのベクトルを 1 回ずつ足して $4$ で割ったものなので、$\vec k$ に等しい。3 本の線分はどれも $K$ を中点とするので、$K$ で交わり、互いに 2 等分し合う。
段 2（(2) 平行四辺形の中心）。ねじれた四角形 $ABCD$ の中点の平行四辺形 $EFGH$ の対角線 $EG$ は、辺 $AB$ の中点 $E$ と辺 $CD$ の中点 $G$ を結ぶ線分で、(1) の 1 本目である。対角線 $FH$ は (1) の 2 本目である。平行四辺形の中心は対角線の中点なので、段 1 より $K$ である。$ABDC$、$ACBD$ でも、中点の平行四辺形の 2 本の対角線は (1) の 3 本のうちの 2 本なので、中心は $K$ である。
段 3（(3) 頂点と面の重心）。三角形 $BCD$ の重心は $\vec k_A=\dfrac{\vec b+\vec c+\vec d}3$ である（三角形の重心（高校数学））。線分 $AK_A$ を $3:1$ に内分する点の位置ベクトルは、内分点の公式（位置ベクトルと内分点）から
$$ \frac{1\cdot\vec a+3\cdot\vec k_A}{3+1}=\frac{\vec a+(\vec b+\vec c+\vec d)}4=\vec k $$
である。ほかの頂点でも、同じ計算で $\vec k$ になる。$\square$

重心を座標で確かめる

ex-msq-start の四面体 $A(0,0,0)$、$B(4,0,0)$、$C(4,2,0)$、$D(0,0,6)$ では、重心は
$$ K\left(\frac{0+4+4+0}4,\ \frac{0+0+2+0}4,\ \frac{0+0+0+6}4\right)=\left(2,\ \frac12,\ \frac32\right) $$
である。
(1) $AB$ と $CD$ の中点 $(2,0,0)$、$(2,1,3)$ の中点は $\left(2,\dfrac12,\dfrac32\right)$、$BC$ と $DA$ の中点 $(4,1,0)$、$(0,0,3)$ の中点も $\left(2,\dfrac12,\dfrac32\right)$、$AC$ と $BD$ の中点 $(2,1,0)$、$(2,0,3)$ の中点も $\left(2,\dfrac12,\dfrac32\right)$ である。
(2) 面 $BCD$ の重心は $K_A\left(\dfrac{4+4+0}3,\dfrac{0+2+0}3,\dfrac{0+0+6}3\right)=\left(\dfrac83,\dfrac23,2\right)$ で、線分 $AK_A$ を $3:1$ に内分する点は $\dfrac34K_A=\left(2,\dfrac12,\dfrac32\right)$ である（$A$ が原点なので）。

正四面体と立方体

ex-msq-regular の正四面体 $A(0,0,0)$、$B(2,2,0)$、$C(2,0,2)$、$D(0,2,2)$ の頂点は、立方体 $0\le x,y,z\le2$ の頂点のうち 1 つおきの 4 つである。重心は $K(1,1,1)$ で、立方体の中心である。
向かい合う辺の中点を結ぶ 3 本の線分は、$x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸に 1 本ずつ平行な長さ $2$ の線分で、中点はどれも $(1,1,1)$ である。3 本は互いに直交し、立方体の向かい合う面の中心を結んでいる。

3 本の線分の端の座標を開く

$AB$ の中点 $(1,1,0)$ と $CD$ の中点 $(1,1,2)$ を結ぶ、$z$ 軸に平行な線分
$BC$ の中点 $(2,1,1)$ と $DA$ の中点 $(0,1,1)$ を結ぶ、$x$ 軸に平行な線分
$AC$ の中点 $(1,0,1)$ と $BD$ の中点 $(1,2,1)$ を結ぶ、$y$ 軸に平行な線分

立方体の 1 つおきの頂点を結んだ正四面体では、向かい合う辺の中点を結ぶ 3 本の線分が、立方体の中心である重心で直交して交わる
4 頂点の平均の点は、4 つの頂点に同じ重さのおもりを置いたときの重心である（三角形の重心（高校数学）で、3 頂点の平均が三角形の重心だったのと同じ考え方）。thm-msq-center の (3) は、三角形の重心が中線を $2:1$ に内分することの、空間での形である。

大学数学で見る：外積と体積、アフィン変換

平面の四角形では、符号つき面積が 2 本の対角線の行列式 $\dfrac12\det(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})$ で書けた（Varignonの定理）。空間では、この行列式が外積 $\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}$ というベクトルに置きかわる（外積の定義と性質は空間の平面と法線ベクトルで扱う）。外積は $\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BD}$ の両方に垂直で、長さは $AC\cdot BD\sin\theta$ である。したがって thm-msq-main の (3) の面積は $\dfrac14\lvert\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\rvert$ で、prop-msq-middle の $\vec n$ には $\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}$ を選べる。

2 本の対角線から四面体の体積を求める式を開く

ex-msq-start-area の $(3,-6,2)$ は $\overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{EH}=\dfrac14\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}$ で、その長さ $\sqrt{9+36+4}=7$ が平行四辺形の面積に等しい。

$\vec n=\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}$ とすると、prop-msq-middle の $k_1$、$k_2$ の差は $k_2-k_1=\vec n\cdot\overrightarrow{AB}$ である。外積と内積を組み合わせた $(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w$ は 3 つのベクトルの行列式 $\det(\vec u,\vec v,\vec w)$ に等しく、行列式は 1 つの列に別の列の定数倍を足しても変わらず、列を巡回させても変わらないので

$$k_2-k_1=\det\bigl(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{AB}\bigr)=\det\bigl(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AB}\bigr)=\det\bigl(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD}\bigr)$$

となる（$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）。四面体 $ABCD$ の体積を $V$ とすると、この行列式の絶対値は $6V$ である（四面体の体積と行列式）。一方、直線 $AC$ を含む平面 $\vec n\cdot\vec p=k_1$ と、直線 $BD$ を含む平面 $\vec n\cdot\vec p=k_2$ は平行で、その距離 $\delta=\dfrac{\lvert k_1-k_2\rvert}{\lvert\vec n\rvert}$ は 2 本の直線の距離に等しい（空間の直線の方程式）。$\lvert\vec n\rvert=AC\cdot BD\sin\theta$ だから

$$V=\frac16\,AC\cdot BD\cdot\delta\cdot\sin\theta$$

が得られる。四面体の体積は、向かい合う 2 辺の長さ、その 2 辺の距離、2 辺のなす角で決まる。同じ式は空間の直線の方程式でも、2 直線の距離の公式から導いている。ex-msq-start では $\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}=(12,-24,8)$、$k_2-k_1=\vec n\cdot(4,0,0)=48$、$\delta=\dfrac{48}{28}=\dfrac{12}7$ で、$V=\dfrac16\cdot28\cdot\dfrac{12}7=8$ である。底面 $ABC$ の面積 $4$ と高さ $6$ から求めた $\dfrac13\cdot4\cdot6=8$ と一致する。

空間のアフィン変換で保たれる性質と保たれない性質の区別も、平面の四角形のとき（Varignonの定理）と同じである。

空間のアフィン変換で保たれる部分と保たれない部分を開く

空間の点 $\vec x$ を $P\vec x+\vec q$（$P$ は行列式が $0$ でない $3\times3$ 行列）に移す変換を、空間の アフィン変換 という。アフィン変換は中点を中点に、平面を平面に、平行な直線と平面を平行なまま移し、4 点の平均を 4 点の平均に移す。どの四面体も、アフィン変換で正四面体に移せる。したがって thm-msq-main の (1)（平行四辺形になること）、prop-msq-middle のうち「交わらないこと」、thm-msq-center は、アフィン変換で保たれる性質だけで述べられており、1 つの四面体で確かめれば十分である。これに対して、周の長さ、面積の式、prop-msq-shape の直交・長さの条件は、長さと角を使うので、アフィン変換で保たれない。

例と反例

thm-msq-main と prop-msq-shape、および平面の Varignonの定理の仮定を外すと、何が崩れるかを並べる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
頂点が 4 つ	空間の五角形（ex-msq-cx-pentagon）	辺の中点が同じ平面の上にある
4 点が同じ平面の上にある	ex-msq-start のねじれた四角形（ex-msq-cx-area）	中点の平行四辺形の面積が、元の四角形の面積の半分（元の四角形の面積が決まらない）
$AC\perp BD$（$AC=BD$ は保つ）	ex-msq-cx-rhombus	中点の平行四辺形が正方形

反例：空間の五角形の中点

5 点 $(0,0,0)$、$(2,0,0)$、$(2,2,0)$、$(0,2,0)$、$(0,0,2)$ をこの順に結んだ、空間の閉じた折れ線（五角形）を考える。
(1) 5 つの辺の中点は $(1,0,0)$、$(2,1,0)$、$(1,2,0)$、$(0,1,1)$、$(0,0,1)$ である。
(2) 初めの 3 点は平面 $z=0$ の上にあり、一直線上にないので、この 3 点を通る平面は $z=0$ だけである。4 つ目の点 $(0,1,1)$ の $z$ 座標は $1$ なので、この平面の上にない。よって 5 つの中点は同じ平面の上にない。
四角形では、中点を結んだ辺が $\dfrac12\overrightarrow{AC}$、$\dfrac12\overrightarrow{BD}$ の 2 種類だけで、2 つのベクトルの向きに広がる平面に収まった。五角形では、中点を結んだ辺のベクトルが 5 種類あり、1 つの平面に収まるとは限らない。

反例：ねじれた四角形の面積は決まらない

ex-msq-start のねじれた四角形 $A(0,0,0)$、$B(4,0,0)$、$C(4,2,0)$、$D(0,0,6)$ を、対角線で 2 つの三角形に分けて「面積」を測ってみる。対角線 $AC$ で分けると、三角形 $ABC$ と $ACD$ の面積の和は $4+6\sqrt5$（約 $17.42$）である。対角線 $BD$ で分けると、三角形 $ABD$ と $BCD$ の面積の和は $12+2\sqrt{13}$（約 $19.21$）である。

4 つの三角形の面積の計算を開く

4 つの三角形はどれも直角三角形である。三角形 $ABC$ は $B$ が直角（$\overrightarrow{BA}=(-4,0,0)$、$\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$）で面積 $\dfrac12\cdot4\cdot2=4$、三角形 $ACD$ は $A$ が直角（$\overrightarrow{AC}=(4,2,0)$、$\overrightarrow{AD}=(0,0,6)$）で面積 $\dfrac12\cdot2\sqrt5\cdot6=6\sqrt5$ である。三角形 $ABD$ は $A$ が直角で面積 $\dfrac12\cdot4\cdot6=12$、三角形 $BCD$ は $B$ が直角（$\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$、$\overrightarrow{BD}=(-4,0,6)$ の内積が $0$）で面積 $\dfrac12\cdot2\cdot2\sqrt{13}=2\sqrt{13}$ である。

2 つの和は違うので、「ねじれた四角形 $ABCD$ の面積」は 1 つに決まらない。中点の平行四辺形の面積 $7$ は、どちらの和の半分（約 $8.71$、約 $9.61$）とも等しくない。thm-msq-main の (3) は、四角形の面積ではなく、$AC\cdot BD\sin\theta$ という量で述べてある。

反例：対角線の長さが等しいだけでは正方形にならない

$A(0,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(5,0,0)$、$D(3,1,4)$ とする。$A$、$B$、$C$ は平面 $z=0$ の上にあって一直線上になく、$D$ の $z$ 座標は $4$ なので、ねじれた四角形である。
(1) 対角線は $\overrightarrow{AC}=(5,0,0)$、$\overrightarrow{BD}=(3,0,4)$ で、長さはどちらも $5$ である。prop-msq-shape の (ii) により、中点の平行四辺形はひし形である。
(2) 内積は $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=15\ne0$ で直交しないので、(i) により長方形ではなく、正方形でない。

中点の座標とひし形の面積の検算を開く

中点は $E\left(0,\dfrac12,0\right)$、$F\left(\dfrac52,\dfrac12,0\right)$、$G\left(4,\dfrac12,2\right)$、$H\left(\dfrac32,\dfrac12,2\right)$ で、$\overrightarrow{EF}=\left(\dfrac52,0,0\right)$、$\overrightarrow{EH}=\left(\dfrac32,0,2\right)$ の長さはどちらも $\dfrac52$、内積は $\dfrac{15}4\ne0$ である。

$\cos\theta=\dfrac{15}{5\cdot5}=\dfrac35$ なので $\sin\theta=\dfrac45$ で、面積は $\dfrac14\cdot5\cdot5\cdot\dfrac45=5$ である。辺から求めても $\dfrac52\cdot\dfrac52\cdot\dfrac45=5$ である。4 つの中点の $y$ 座標はどれも $\dfrac12$ で、中点の平面は $y=\dfrac12$ である。直線 $AC$ の上では $y=0$、直線 $BD$ の上では $y=1$ で、$\dfrac12$ はその真ん中である。

直交する対角線をもつねじれた四角形

$A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(2,2,0)$、$D(0,2,2)$ について、次を示せ。(1) $ABCD$ はねじれた四角形で、中点の平行四辺形 $EFGH$ は長方形である。その面積を求めよ。(2) $EFGH$ を含む平面の式を求め、その平面が直線 $AC$ と直線 $BD$ の真ん中にあることを確かめよ。(3) 四面体 $ABCD$ の重心を求め、向かい合う辺の中点を結ぶ 3 本の線分の中点がどれもその点であることを確かめよ。

解答を開く

(1) $A$、$B$、$C$ は平面 $z=0$ の上にあって一直線上になく、$D$ の $z$ 座標は $2$ なので、4 点は同じ平面の上にない。$\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$、$\overrightarrow{BD}=(-2,2,2)$ の内積は $-4+4+0=0$ なので、prop-msq-shape の (i) により長方形である。$AC=2\sqrt2$、$BD=2\sqrt3$ で長さが違うので正方形ではない。面積は thm-msq-main の (3) より $\dfrac14\cdot2\sqrt2\cdot2\sqrt3\cdot1=\sqrt6$ である。中点 $E(1,0,0)$、$F(2,1,0)$、$G(1,2,1)$、$H(0,1,1)$ から $\overrightarrow{EF}=(1,1,0)$、$\overrightarrow{EH}=(-1,1,1)$ の長さ $\sqrt2$、$\sqrt3$ の積としても $\sqrt6$ である。

(2) $\vec n=(p,q,r)$ が $\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BD}$ の両方に垂直である条件は $2p+2q=0$、$-2p+2q+2r=0$ で、$p=1$ とすると $q=-1$、$r=2$ である。$k(P)=x-y+2z$ は $A$ で $0$、$C$ で $2-2+0=0$、$B$ で $2$、$D$ で $0-2+4=2$ である。中点では $E$ で $1$、$F$ で $2-1+0=1$、$G$ で $1-2+2=1$、$H$ で $0-1+2=1$ なので、平面は $x-y+2z=1$ で、値 $1$ は $0$ と $2$ の真ん中である。2 本の直線との距離はどちらも $\dfrac{1}{\sqrt6}$ である。

(3) 重心は $\left(\dfrac{0+2+2+0}4,\dfrac{0+0+2+2}4,\dfrac{0+0+0+2}4\right)=\left(1,1,\dfrac12\right)$ である。$AB$ と $CD$ の中点 $(1,0,0)$、$(1,2,1)$ の中点、$BC$ と $DA$ の中点 $(2,1,0)$、$(0,1,1)$ の中点、$AC$ と $BD$ の中点 $(1,1,0)$、$(1,1,1)$ の中点は、どれも $\left(1,1,\dfrac12\right)$ である。

さらに先へ

ねじれた四角形でも、4 辺の長さの 2 乗の和は、2 本の対角線の長さの 2 乗の和と、対角線の中点どうしの距離の 2 乗の 4 倍の和に等しい。これが Eulerの四辺形定理で、対角線の中点どうしを結ぶ線分は、thm-msq-center の 3 本の線分の 1 本である。
ex-msq-center-cube の正四面体では、6 本の辺の中点は立方体の 6 つの面の中心で、正八面体の頂点になる（正多面体の分類）。
ex-msq-corner の直角をもつ四面体では、向かい合う辺の 3 組がどれも直交するので、3 つのねじれた四角形の中点の平行四辺形はどれも長方形である。直角をもつ四面体の面の面積の関係は de Guaの定理で扱う。
四面体の体積と行列式の関係は四面体の体積と行列式で扱う。