解析的類数公式
概要
解析的類数公式（analytic class number formula）とは、代数体 $K$ の Dedekind ゼータ関数 $\zeta_K$ の $s=1$ での留数が $2^{r_1}(2\pi)^{r_2}h_KR_K/(w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert})$ に等しいという定理である。ここで $h_K$ は類数、$R_K$ は単数規準、$w_K$ は 1 の冪根の個数、$d_K$ は判別式、$(r_1,r_2)$ は符号数である。各イデアル類でノルムが $t$ 以下の整イデアルが類によらずおよそ $\kappa_Kt$ 個あることから従い、その個数は格子点を単数の作用の基本領域となる錐の中で数えて求められる。2 次体では Leibniz の級数 $1-\frac13+\frac15-\cdots=\frac\pi4$ などを含む。
前提知識: Dedekindゼータ関数, Dirichletの単数定理, イデアル類群, 判別式(代数体)
代数体 $K$ の Dedekindゼータ関数 $\zeta_K(s)=\sum_{\mathfrak{a}}N(\mathfrak{a})^{-s}$ は、$s=1$ に 1 位の極をもち、その留数は
$$
\operatorname*{Res}_{s=1}\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}\,h_K\,R_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}}
$$
である。これを 解析的類数公式（analytic class number formula）、または単に類数公式という。左辺は素イデアルの分解の仕方だけから決まる解析的な量であり、右辺には類数 $h_K$、単数規準 $R_K$、1 の冪根の個数 $w_K$、判別式 $d_K$ という、代数体の代表的な不変量がそろって現れる。
公式の中身は整イデアルの数え上げである。ノルムが $t$ 以下の整イデアルは、1 つのイデアル類の中でもおよそ $\kappa_Kt$ 個あり、$\kappa_K$ は類によらない。各類の整イデアルは格子の点を単数倍の違いを除いて数えたものに対応し、$\kappa_K$ は格子の体積（$\sqrt{\lvert d_K\rvert}$）と単数の作用の基本領域の体積（$R_K$）の比になる。この記事ではこの数え上げで公式を完全に証明し、2 次体の場合と Leibniz の級数などの例を導く。
記号と主張
以下、$K$ を次数 $n$ の 代数体、$\mathcal{O}_K$ をその整数環とし、次の記号を使う。
- $(r_1,r_2)$：符号数。$K$ の実埋め込みが $r_1$ 個、複素共役で組になる虚の埋め込みが $r_2$ 組あり、$r_1+2r_2=n$ である。
- $d_K$：判別式（判別式(代数体)）。
- $h_K$：類数、すなわちイデアル類群 $\operatorname{Cl}_K$ の位数（イデアル類群）。
- $R_K$：単数規準（Dirichletの単数定理 の記事の定義「単数規準」）。
- $w_K$：$K$ に含まれる 1 の冪根の個数。
- $N(\mathfrak{a})=\lvert\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}\rvert$：$0$ でないイデアル（整イデアル）$\mathfrak{a}$ のノルム（イデアル類群 の記事の定義「イデアルのノルム」）。
$\zeta_K$ と部分ゼータ関数 $\zeta(\mathfrak{A},s)=\sum_{\mathfrak{a}\in\mathfrak{A}}N(\mathfrak{a})^{-s}$（$\mathfrak{A}\in\operatorname{Cl}_K$、和は $\mathfrak{A}$ に属する整イデアルにわたる）は Dedekindゼータ関数 の記事の定義「Dedekindゼータ関数」のとおりで、どちらも $\operatorname{Re}s>1$ で絶対収束する（同記事の定理「収束と Euler 積」）。$\zeta_K=\sum_{\mathfrak{A}}\zeta(\mathfrak{A},\cdot)$ は $h_K$ 個の部分ゼータ関数の和である。イデアル類 $\mathfrak{A}$ について
$$ Z_{\mathfrak{A}}(t):=\#\{\mathfrak{a}\in\mathfrak{A}\mid\mathfrak{a}\text{ は整イデアル},\ N(\mathfrak{a})\le t\},\qquad\kappa_K:=\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}R_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}} $$
とおく。$Z_{\mathfrak{A}}(t)$ が有限であることは イデアル類群 の記事の補題「ノルムが有界なイデアルは有限個」による。
- 各イデアル類 $\mathfrak{A}$ について、$t\to\infty$ で
$$ Z_{\mathfrak{A}}(t)=\kappa_K\,t+O\bigl(t^{1-\frac1n}\bigr) $$
である。 - 部分ゼータ関数 $\zeta(\mathfrak{A},s)$ は $\operatorname{Re}s>1-\frac1n$ の有理型関数に延び、そこでの極は $s=1$ の 1 位の極だけで、留数は $\kappa_K$ である。
- したがって $\zeta_K$ も $\operatorname{Re}s>1-\frac1n$ に有理型に延び、極は $s=1$ の 1 位の極だけで、
$$ \operatorname*{Res}_{s=1}\zeta_K(s)=\lim_{s\to1}(s-1)\zeta_K(s)=h_K\kappa_K=\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}\,h_K\,R_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}} $$
である。
$K=\mathbb{Q}$（$n=1$）では、整イデアルは $m\mathbb{Z}$（$m\ge1$）で $Z(t)=\lfloor t\rfloor$、右辺の定数は $\frac{2\cdot1\cdot1}{2\cdot1}=1$ であり、主張は Riemannゼータ関数 の記事の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」にほかならない。以下、証明では $n\ge2$ とする。
証明は次の順に進む。
| 段 | 内容 | 現れる不変量 |
|---|---|---|
| 格子点の数え上げ | 有界な集合を $t$ 倍したときの格子点の個数は体積の比で近似できる | — |
| 単数の作用と錐 | 単数倍の違いを除くことを、錐 $X$ に入る元だけを数えることに言い換える | $w_K$ |
| 錐の体積 | 錐の切り口 $X_1$ の体積を計算する | $R_K$、$2^{r_1}\pi^{r_2}$ |
| 1 つの類の数え上げ | 類 $\mathfrak{A}$ の整イデアルを格子点として数える | $\sqrt{\lvert d_K\rvert}$、$2^{-r_2}$ |
| Dirichlet 級数 | 個数の漸近式から極と留数を読み取る | $h_K$ |
証明
格子点の数え上げ
$\mathbb{R}^n$ の部分集合 $D$ の境界 $\partial D$ が、有限個の Lipschitz連続 な写像 $\varphi_k\colon[0,1]^{n-1}\to\mathbb{R}^n$ の像の和集合に含まれるとき、$\partial D$ は Lipschitz 径数付け可能 であるという。
$\Lambda\subset\mathbb{R}^n$ を格子、$\operatorname{covol}(\Lambda)$ をその基本平行体の体積とし、$D\subset\mathbb{R}^n$ を有界な Borel 集合で $\partial D$ が Lipschitz 径数付け可能なものとする。$t\ge1$ について
$$
\#(\Lambda\cap tD)=\frac{\operatorname{vol}(D)}{\operatorname{covol}(\Lambda)}\,t^n+O(t^{n-1})
$$
である。
要点：格子の基本平行体を平行移動したタイルで $\mathbb{R}^n$ を敷き詰めると、格子点の個数と体積の比は、どちらも「$tD$ に含まれるタイルの数」と「$tD$ と交わるタイルの数」の間にある。両者の差は境界 $t\,\partial D$ と交わるタイルの数で、境界が Lipschitz 写像の像なので $O(t^{n-1})$ 個である。
詳しい証明を開く
$\Lambda$ の基底を列にもつ行列を $A$ とし、タイル $\Pi:=A[0,1)^n$ をとる。$\lambda+\Pi$（$\lambda\in\Lambda$）は互いに交わらずに $\mathbb{R}^n$ を覆い、$\operatorname{vol}(\Pi)=\operatorname{covol}(\Lambda)$ である。$\delta:=\operatorname{diam}\Pi$ とおく。$\lambda+\Pi\subset tD$ となる $\lambda$ の集合を $S_{\mathrm{in}}$、$(\lambda+\Pi)\cap tD\ne\emptyset$ となる $\lambda$ の集合を $S_{\mathrm{meet}}$ とする。$\lambda\in\lambda+\Pi$ なので $S_{\mathrm{in}}\subset\Lambda\cap tD\subset S_{\mathrm{meet}}$ であり、タイルが互いに交わらないことから $\lvert S_{\mathrm{in}}\rvert\operatorname{vol}(\Pi)\le\operatorname{vol}(tD)\le\lvert S_{\mathrm{meet}}\rvert\operatorname{vol}(\Pi)$ である。$\operatorname{vol}(tD)=t^n\operatorname{vol}(D)$ なので、$\#(\Lambda\cap tD)$ と $t^n\operatorname{vol}(D)/\operatorname{covol}(\Lambda)$ の差は $\lvert S_{\mathrm{meet}}\setminus S_{\mathrm{in}}\rvert$ 以下である。$\lambda\in S_{\mathrm{meet}}\setminus S_{\mathrm{in}}$ なら、タイル $\lambda+\Pi$ は凸で $tD$ とその補集合の両方と交わるので、2 点を結ぶ線分上に $\partial(tD)=t\,\partial D$ の点がある。
写像 $\varphi_k$ の個数を $q$、Lipschitz 定数の最大を $M$、$m:=\lceil t\rceil$ とする。$[0,1]^{n-1}$ を辺 $1/m$ の小立方体 $m^{n-1}$ 個に分けると、小立方体 $Q$ について $t\varphi_k(Q)$ の直径は $tM\sqrt{n-1}/m\le c:=M\sqrt{n-1}$ 以下である。$t\varphi_k(Q)$ の 1 点 $z$ をとると、$t\varphi_k(Q)$ と交わるタイル $\lambda+\Pi$ は $z$ を中心とする半径 $c+\delta$ の球と交わり、したがって半径 $c+2\delta$ の球に含まれる。これらのタイルは互いに交わらないので、その個数は $C:=\operatorname{vol}(\text{半径 }c+2\delta\text{ の球})/\operatorname{covol}(\Lambda)$ 以下である。よって $\lvert S_{\mathrm{meet}}\setminus S_{\mathrm{in}}\rvert\le q\,m^{n-1}C\le qC(2t)^{n-1}$ である。$\square$
単数の作用と錐
$V:=\mathbb{R}^{r_1}\times\mathbb{C}^{r_2}$ を、複素成分を実部と虚部に分けて $\mathbb{R}^n$ と同一視し、Lebesgue 測度と成分ごとの積を入れる。$K$ の無限素点を $v_1,\dots,v_s$（$s=r_1+r_2$、最初の $r_1$ 個が実）とし、$j\colon K\to V$ を 判別式(代数体) の記事の Minkowski 埋め込みとする。各成分が体の埋め込みなので、$j$ は環準同型である。$e_i:=1$（$v_i$ が実）、$e_i:=2$（$v_i$ が虚）とおき、$y\in V$ について
$$
N(y):=\prod_{i=1}^s\lvert y_i\rvert^{e_i}
$$
と定める。$\alpha\in K$ について $N(j(\alpha))=\lvert N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)\rvert$ であり、$N(yy')=N(y)N(y')$ である。$V^\times:=\{y\in V\mid N(y)\ne0\}$ の上で
$$
L(y):=(e_1\log\lvert y_1\rvert,\dots,e_s\log\lvert y_s\rvert)\in\mathbb{R}^s,\qquad\mathbf{e}:=(e_1,\dots,e_s),\qquad p(y):=L(y)-\frac{\log N(y)}{n}\,\mathbf{e}
$$
とおく。$L(y)$ の成分の和は $\log N(y)$、$\mathbf{e}$ の成分の和は $n$ なので、$p(y)$ は超平面 $H:=\{x\in\mathbb{R}^s\mid x_1+\cdots+x_s=0\}$ に属する。単数 $u$ について $L(j(u))$ は Dirichletの単数定理 の記事の対数写像の像であり、同記事の定理「Dirichletの単数定理」により、基本単数系 $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_r$（$r=s-1$）をとると $\ell_k:=L(j(\varepsilon_k))$ は $H$ の基底で、$L\circ j$ の単数群上の核は 1 の冪根の群 $\mu_K$ である。
$$
P_0:=\Bigl\{\sum_{k=1}^rc_k\ell_k\Bigm|0\le c_k<1\Bigr\},\qquad X:=\{y\in V^\times\mid p(y)\in P_0\},\qquad X_1:=\{y\in X\mid N(y)\le1\}
$$
とおく。$X$ が「単数の作用の基本領域となる錐」であり、$X_1$ はその切り口である。
- $y\in X$、$t>0$ なら $ty\in X$ である。
- 各 $y\in V^\times$ について、$j(u)y\in X$ となる単数 $u$ はちょうど $w_K$ 個ある。
要点：$p(y)$ は正の実数倍で変わらず、単数を掛けると格子 $L(j(\mathcal{O}_K^\times))$ の点だけ平行移動する。$P_0$ はこの格子の基本平行体なので、移動先が $P_0$ に入る格子点はただ 1 つである。
詳しい証明を開く
1：$L(ty)=L(y)+(\log t)\mathbf{e}$ で $\log N(ty)=\log N(y)+n\log t$ なので、$p(ty)=p(y)$ である。
2：単数 $u$ について $N(j(u))=\lvert N_{K/\mathbb{Q}}(u)\rvert=1$ なので、$p(j(u)y)=L(j(u))+p(y)$ である。$\ell_1,\dots,\ell_r$ は $H$ の基底なので、$p(y)=\sum_kt_k\ell_k$（$t_k\in\mathbb{R}$）と書ける。$\lambda=\sum_km_k\ell_k$（$m_k\in\mathbb{Z}$）について $\lambda+p(y)\in P_0$ となるのは、各 $k$ で $0\le m_k+t_k<1$、すなわち $m_k=-\lfloor t_k\rfloor$ のときだけである。$L(j(u))=\lambda$ となる単数 $u$ の全体は、$L\circ j$ の核 $\mu_K$ の 1 つの剰余類なので、ちょうど $w_K$ 個ある。$\square$
$X_1$ は有界な Borel 集合で、$\partial X_1$ は Lipschitz 径数付け可能であり、
$$
\operatorname{vol}(X_1)=2^{r_1}\pi^{r_2}R_K
$$
である。
要点：極座標で $x_i=e_i\log\lvert y_i\rvert$ とおき、$x$ を「$\mathbf{e}$ 方向の成分 $u=\log N(y)$」と「$H$ の中の成分 $\sum_kc_k\ell_k$」に分けると、$X_1$ は $u\le0$、$0\le c_k<1$ と符号・偏角が任意の集合になる。この座標の取り替えの行列式が単数規準 $R_K$ になる。
詳しい証明を開く
座標の取り替え．$y\in V^\times$ の実成分を $y_i=\pm\rho_i$、虚成分を $y_i=\rho_ie^{\sqrt{-1}\,\theta_i}$（$\rho_i>0$）と表し、$x_i:=e_i\log\rho_i$ とおく。すると $x=L(y)$、$x_1+\cdots+x_s=\log N(y)$ である。$\mathbf{e}$ は $H$ に入らず、$\ell_1,\dots,\ell_r$ は $H$ の基底なので、$x=\frac{u}{n}\mathbf{e}+\sum_{k=1}^rc_k\ell_k$ は $\mathbb{R}^s$ の線形な座標の取り替えであり、成分の和から $u=\log N(y)$、また $p(y)=\sum_kc_k\ell_k$ である。よって $y\in X_1$ は、符号と偏角が任意のまま $u\le0$ かつ $0\le c_k<1$ であることと同値である。
有界性．$\tau:=e^{u/n}\in(0,1]$、$\ell_k$ の第 $i$ 成分を $\ell_{k,i}$ とすると $\rho_i=\tau\exp\bigl(e_i^{-1}\sum_kc_k\ell_{k,i}\bigr)\le\exp\bigl(\sum_k\lvert\ell_{k,i}\rvert\bigr)$ なので $X_1$ は有界である。$X_1$ は連続関数についての等式・不等式で定まるので Borel 集合である。
体積．極座標で Lebesgue 測度は、実成分（符号ごと）で $d\rho_i$、虚成分で $\rho_i\,d\rho_i\,d\theta_i$ であり、$x_i=e_i\log\rho_i$ と置換すると実成分で $d\rho_i=e^{x_i}dx_i$、虚成分で $\rho_i\,d\rho_i=\frac12e^{x_i}dx_i$ となる。符号の $2^{r_1}$ 通りと偏角の積分 $(2\pi)^{r_2}$ をまとめて
$$\operatorname{vol}(X_1)=2^{r_1}(2\pi)^{r_2}2^{-r_2}\int_Te^{x_1+\cdots+x_s}\,dx,\qquad T:=\{x\mid u\le0,\ 0\le c_k<1\}$$
である。座標の取り替え $(u,c)\mapsto x$ の行列式は、列 $\frac1n\mathbf{e},\ell_1,\dots,\ell_r$ を並べた $s$ 次の行列 $B$ の行列式である。最後の行に他のすべての行を足すと、各列の成分の和は $\frac1n\mathbf{e}$ で $1$、$\ell_k$ で $0$ なので、最後の行は $(1,0,\dots,0)$ になる。この行で展開すると、$\lvert\det B\rvert$ は $\ell_1,\dots,\ell_r$ の最初の $r$ 成分を並べた $r$ 次の行列式の絶対値で、これは単数規準の定義の「最後の列を除いた」行列式の絶対値 $R_K$ である（$\ell_{k,i}=e_i\log\lvert\rho_i(\varepsilon_k)\rvert$）。よって $\int_Te^{x_1+\cdots+x_s}dx=R_K\int_{-\infty}^0e^u\,du=R_K$ で、$\operatorname{vol}(X_1)=2^{r_1}\pi^{r_2}R_K$ である。
境界．符号の組 $\epsilon\in\{\pm1\}^{r_1}$ ごとに、上の式で $y$ を $(\tau,c,\theta)\in[0,1]\times[0,1]^r\times[0,2\pi]^{r_2}$ の関数として書いた写像を $\Phi_\epsilon$ とする（$\tau=0$ では $y=0$）。$1+r+r_2=r_1+2r_2=n$ なので定義域は $n$ 次元の閉直方体 $Q$ で、$\Phi_\epsilon$ は $C^1$ 級の式で与えられるので $Q$ 上で Lipschitz 連続である。$X_1\subset\bigcup_\epsilon\Phi_\epsilon(Q)$ で右辺はコンパクトなので $\overline{X_1}$ も含む。$\Phi_\epsilon$ を $Q$ の内部に制限したものは単射でヤコビ行列式が $0$ でないので、逆関数定理 によりその像は $X_1$ に含まれる開集合である。よって $\partial X_1=\overline{X_1}\setminus X_1^\circ$ は $\bigcup_\epsilon\Phi_\epsilon(\partial Q)$ に含まれ、$\partial Q$ は $[0,1]^{n-1}$ からのアフィン写像の像である $2n$ 個の面の和なので、$\partial X_1$ は Lipschitz 径数付け可能である。$\square$
1 つの類の整イデアルの数え上げ
各イデアル類 $\mathfrak{A}$ について $Z_{\mathfrak{A}}(t)=\kappa_Kt+O\bigl(t^{1-\frac1n}\bigr)$ である。
単項イデアルへの言い換え．逆元の類 $\mathfrak{A}^{-1}$ に属する整イデアル $\mathfrak{b}$ を 1 つ固定する（どの類も整イデアルを含む。分数イデアル $I$ に $dI\subset\mathcal{O}_K$ となる $0$ でない整数 $d$ を掛ければ、同じ類の整イデアルになる）。$\mathfrak{a}\in\mathfrak{A}$ なら $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ は単項で、$\mathfrak{a}\mathfrak{b}=\alpha\mathcal{O}_K$ と書ける。$\mathfrak{a}=\alpha\mathfrak{b}^{-1}$ が整イデアルであることは $\alpha\in\mathfrak{a}\mathfrak{b}\subset\mathfrak{b}$ と同値である（逆に $\alpha\in\mathfrak{b}$ なら $\alpha\mathfrak{b}^{-1}\subset\mathfrak{b}\mathfrak{b}^{-1}=\mathcal{O}_K$）。$\alpha\mathcal{O}_K=\alpha'\mathcal{O}_K$ は $\alpha'/\alpha$ が単数であることと同値なので、
$$
\{\mathfrak{A}\text{ の整イデアル}\}\ \longleftrightarrow\ (\mathfrak{b}\setminus\{0\})/\mathcal{O}_K^\times,\qquad\mathfrak{a}=\alpha\mathfrak{b}^{-1}
$$
は全単射である。ノルムの乗法性（イデアル類群 の記事の定理「イデアルのノルムの乗法性」と命題「単項イデアルのノルム」）により $N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b})=N(\alpha\mathcal{O}_K)=\lvert N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)\rvert$ である。
錐の中の格子点へ．lem-acnf-cone の 2 により、各単数倍の類 $\alpha\mathcal{O}_K^\times$ には $j(\alpha u)\in X$ となる元がちょうど $w_K$ 個ある。$T:=(tN(\mathfrak{b}))^{1/n}$ とおくと、lem-acnf-cone の 1 により、$y\in X$ かつ $N(y)\le T^n$ であることは $y\in TX_1$ と同値である（$y=T\cdot(y/T)$ で $N(y/T)=N(y)/T^n$）。また $0\notin X$ である。よって
$$
Z_{\mathfrak{A}}(t)=\frac1{w_K}\#\bigl\{\alpha\in\mathfrak{b}\setminus\{0\}\bigm|j(\alpha)\in X,\ \lvert N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)\rvert\le tN(\mathfrak{b})\bigr\}=\frac1{w_K}\#\bigl(j(\mathfrak{b})\cap TX_1\bigr)
$$
である。
格子点の個数．$j(\mathfrak{b})$ は基本領域の体積 $2^{-r_2}\sqrt{\lvert d_K\rvert}\,N(\mathfrak{b})$ の格子である（判別式(代数体) の記事の系「イデアルの格子の体積」）。lem-acnf-lattice を $D=X_1$ に当て、lem-acnf-volume を使うと
$$
Z_{\mathfrak{A}}(t)=\frac1{w_K}\cdot\frac{2^{r_1}\pi^{r_2}R_K}{2^{-r_2}\sqrt{\lvert d_K\rvert}\,N(\mathfrak{b})}\,T^n+O(T^{n-1})=\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}R_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}}\,t+O\bigl(t^{\frac{n-1}n}\bigr)
$$
である（$T^n=tN(\mathfrak{b})$、$T^{n-1}=O(t^{(n-1)/n})$）。$\square$
$\kappa_K$ は類 $\mathfrak{A}$ によらない。どのイデアル類にも、整イデアルは同じ密度で含まれている。
Dirichlet 級数の延長
複素数列 $(b_k)_{k\ge1}$ の部分和 $B(x):=\sum_{k\le x}b_k$ が、ある $0\le\theta<1$ と定数 $C$ について $\lvert B(x)\rvert\le Cx^\theta$（$x\ge1$）を満たすとする。このとき $\sum_kb_kk^{-s}$ は $\operatorname{Re}s>\theta$ で収束し、その和は $\operatorname{Re}s>\theta$ 上の正則関数で、$s\int_1^\infty B(x)x^{-s-1}\,dx$ に等しい。
要点：Abel の級数変形で部分和を $B(y)y^{-s}+s\int_1^yB(x)x^{-s-1}dx$ と書き直し、積分が広義一様に収束することを使う。
詳しい証明を開く
Abelの級数変形法とその応用 の記事の定理「総和関数による積分公式」を $f(x)=x^{-s}$ と区間 $[1,y]$ に当てると
$$\sum_{k\le y}\frac{b_k}{k^s}=B(y)y^{-s}+s\int_1^yB(x)x^{-s-1}\,dx$$
である。$\sigma=\operatorname{Re}s>\theta$ なら $\lvert B(y)y^{-s}\rvert\le Cy^{\theta-\sigma}\to0$ である。$E$ を $\operatorname{Re}s>\theta$ のコンパクト集合とし、$E$ 上で $\operatorname{Re}s\ge\sigma_0>\theta$ とすると、$\lvert B(x)x^{-s-1}\rvert\le Cx^{\theta-\sigma_0-1}$ は $[1,\infty)$ で可積分なので、$F_N(s):=\int_1^NB(x)x^{-s-1}dx$ は $E$ 上で一様に $\int_1^\infty$ に収束する。$B$ は区間 $[m,m+1)$ で定数なので $F_N$ は $\frac{B(m)}{s}(m^{-s}-(m+1)^{-s})$ の有限和で正則であり、Riemannゼータ関数 の記事の補題「正則関数の一様極限」により極限は正則である。$\square$
定理の証明
1 は prop-acnf-counting である。
2 を示す。類 $\mathfrak{A}$ の整イデアルでノルムが $k$ のものの個数を $a_k(\mathfrak{A})$ とし、$b_k:=a_k(\mathfrak{A})-\kappa_K$ とおく。$\lfloor x\rfloor=x+O(1)$ なので、1 から
$$
\sum_{k\le x}b_k=Z_{\mathfrak{A}}(x)-\kappa_K\lfloor x\rfloor=O\bigl(x^{1-\frac1n}\bigr)
$$
であり、lem-acnf-dirichlet-series を $\theta=1-\frac1n$ で当てると、$G_{\mathfrak{A}}(s):=\sum_kb_kk^{-s}$ は $\operatorname{Re}s>1-\frac1n$ で正則である。$\operatorname{Re}s>1$ では $\sum_ka_k(\mathfrak{A})k^{-s}$ と $\sum_kk^{-s}$ がどちらも絶対収束するので
$$
\zeta(\mathfrak{A},s)=\kappa_K\,\zeta(s)+G_{\mathfrak{A}}(s)\qquad(\operatorname{Re}s>1)
$$
である。Riemannゼータ関数 の記事の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」により $\zeta(s)-\frac1{s-1}$ は $\operatorname{Re}s>0$ で正則なので、右辺は $\operatorname{Re}s>1-\frac1n$ で $\frac{\kappa_K}{s-1}$ と正則関数の和である。よって $\zeta(\mathfrak{A},s)$ はそこへ有理型に延び、極は $s=1$ の留数 $\kappa_K$ の 1 位の極だけである。
3 は、$\zeta_K$ が $h_K$ 個の部分ゼータ関数の和であることから、2 を足し合わせて得られる。留数は $h_K\kappa_K$ である。$\square$
証明の中で、$R_K$ は錐の切り口 $X_1$ の体積から、$\sqrt{\lvert d_K\rvert}$ は格子 $j(\mathfrak{b})$ の体積から、$w_K$ は単数の作用の重なりから、$h_K$ は類ごとの和から現れた。$2^{r_1}(2\pi)^{r_2}$ は、実成分の符号の $2^{r_1}$、虚成分の偏角の積分の $(2\pi)^{r_2}$、面積要素 $\rho\,d\rho\,d\theta$ の $\frac12$ と格子の体積の $2^{-r_2}$（この 2 つは打ち消し合う）から出てくる。
2 次体の場合
2 次体 $K$ では、$\zeta_K$ を Riemann ゼータ関数で割ると、素数ごとの符号 $\chi_K(p)$ だけで書ける関数が残り、類数公式はその $s=1$ での値の公式になる。
素数 $p$ について、$p$ が $K$ で完全分解・惰性・分岐するのに応じて $\chi_K(p):=1,-1,0$ と定める（代数体における素イデアルの分解 の記事の定義「分解の型」）。2次体 の記事の定理「2 次体における素数の分解法則」により、$\chi_K(p)$ は同記事の定義「2 次体の判別式に対する平方剰余記号」の $\left(\frac{d_K}p\right)$ に等しい。Dedekindゼータ関数 の記事の命題「2 次体のゼータ関数の分解」により、$\operatorname{Re}s>1$ で
$$
\zeta_K(s)=\zeta(s)\,L_K(s),\qquad L_K(s):=\prod_p\frac1{1-\chi_K(p)p^{-s}}
$$
であり、右の積は $\operatorname{Re}s>1$ で絶対収束する。
$K$ を判別式 $d_K$ の 2 次体とする。$L_K$ は $s=1$ のある近傍の正則関数に延び、
$$
L_K(1)=\begin{cases}\dfrac{2\pi\,h_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}}&(d_K<0),\\[3mm]\dfrac{2\,h_K\log\varepsilon_K}{\sqrt{d_K}}&(d_K>0)\end{cases}
$$
である。ここで $\varepsilon_K>1$ は実 2 次体の基本単数である。
thm-acnf-main の 3（$n=2$）により $\zeta_K$ は $\operatorname{Re}s>\frac12$ で有理型で、$(s-1)\zeta_K(s)$ は $s=1$ の近くで正則に延び、$s=1$ での値は留数 $h_K\kappa_K$ である。一方、$\zeta(s)-\frac1{s-1}$ は $\operatorname{Re}s>0$ で正則なので、$(s-1)\zeta(s)$ は $s=1$ の近くで正則で、$s=1$ での値は $1$ である。とくに $s=1$ のある近傍 $U$ で $(s-1)\zeta(s)\ne0$ である。$U\cap\{\operatorname{Re}s>1\}$ で
$$
L_K(s)=\frac{(s-1)\zeta_K(s)}{(s-1)\zeta(s)}
$$
であり、右辺は $U$ 全体で正則なので、$L_K$ は $\{\operatorname{Re}s>1\}\cup U$ の正則関数に延び、$L_K(1)=h_K\kappa_K$ である。
$h_K\kappa_K$ の書き下しを開く
虚 2 次体（$d_K<0$）では $(r_1,r_2)=(0,1)$ で、単数規準は $R_K=1$（$r=0$）なので $h_K\kappa_K=\frac{2\pi h_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}}$ である。実 2 次体（$d_K>0$）では $(r_1,r_2)=(2,0)$、$K\subset\mathbb{R}$ なので $w_K=2$ であり、$r=1$ で基本単数 $\varepsilon_K$ の行列 $(\log\lvert\rho_1(\varepsilon_K)\rvert,\log\lvert\rho_2(\varepsilon_K)\rvert)$ から 1 列を除いた行列式の絶対値は $\log\varepsilon_K$ である。よって $h_K\kappa_K=\frac{2^2h_K\log\varepsilon_K}{2\sqrt{d_K}}=\frac{2h_K\log\varepsilon_K}{\sqrt{d_K}}$ である。$\square$
$\chi_K$ は判別式の絶対値 $\lvert d_K\rvert$ を法とする Dirichlet指標 に延び、$L_K(s)$ はその Dirichlet L関数 に等しいことが知られている。そのとき $L_K(1)$ は級数 $\sum_m\chi_K(m)/m$ の和でもあり、上の系は類数をこの級数で表す公式になる（この記事では一般には証明しない。Was82 Theorem 3.7（p. 24）、Theorem 3.11（p. 27）、Theorem 4.3（p. 33）と p. 37 の式。下の例 $d_K=-4,8$ では記事の中で確かめる）。
例
単数と類数の値は Dirichletの単数定理 の例「実 2 次体の基本単数」「虚 2 次体の単数」と 代数体 の例「小さい 2 次体」による。
| $K$ | $(r_1,r_2)$ | $d_K$ | $h_K$ | $R_K$ | $w_K$ | $\operatorname{Res}_{s=1}\zeta_K$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\mathbb{Q}$ | $(1,0)$ | $1$ | $1$ | $1$ | $2$ | $1$ |
| $\mathbb{Q}(i)$ | $(0,1)$ | $-4$ | $1$ | $1$ | $4$ | $\frac{\pi}{4}=0.7853\cdots$ |
| $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ | $(2,0)$ | $8$ | $1$ | $\log(1+\sqrt2)$ | $2$ | $\frac{\log(1+\sqrt2)}{\sqrt2}=0.6232\cdots$ |
| $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ | $(0,1)$ | $-20$ | $2$ | $1$ | $2$ | $\frac{\pi}{\sqrt5}=1.4049\cdots$ |
$K=\mathbb{Q}(i)$、$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[i]$ では $h_K=1$ で、整イデアルは $(a+bi)$ と書け、生成元は単数 $\pm1,\pm i$ の分だけ 4 つずつある。$N((a+bi))=a^2+b^2$ なので、prop-acnf-counting は
$$
\#\{(a,b)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}\mid a^2+b^2\le t\}=4Z(t)=\pi t+O(\sqrt t)
$$
という、円の中の格子点の個数の評価（Gaussの円問題）になる。$\kappa_K=\frac{2\pi}{4\cdot2}=\frac\pi4$ である。
$$
1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\sum_{m\ge1}\frac{\chi_4(m)}{m}=\frac\pi4
$$
である。ここで $\chi_4(m)$ は、$m$ が偶数なら $0$、$m\equiv1\pmod4$ なら $1$、$m\equiv3\pmod4$ なら $-1$ である。
要点：$\chi_K$ が素数で $\chi_4$ と一致することを補充法則で確かめ、$L_K$ と級数 $\sum\chi_4(m)m^{-s}$ を一致の定理で結ぶ。値は cor-acnf-quadratic による。
詳しい証明を開く
$d_K=-4\equiv0\pmod4$ なので $\chi_K(2)=0$ であり、奇素数 $p$ では $\chi_K(p)=\left(\frac{-4}p\right)=\left(\frac{-1}p\right)$ は、平方剰余の相互法則 の定理「補充法則」の 1 により $p\equiv1\pmod4$ なら $1$、$p\equiv3\pmod4$ なら $-1$ である。よってすべての素数で $\chi_K(p)=\chi_4(p)$ である。$\chi_4$ は法 $4$ の Dirichlet 指標なので、Dirichlet L関数 の命題「Euler 積」により $\operatorname{Re}s>1$ で $L_K(s)=\sum_m\chi_4(m)m^{-s}$ である。$\chi_4$ の部分和は $0$ か $1$ なので、lem-acnf-dirichlet-series（$\theta=0$）により右辺の級数は $\operatorname{Re}s>0$ で収束して正則な関数 $G(s)$ を定める。prf-acnf-quadratic の近傍 $U$（円板にとる）について $\{\operatorname{Re}s>1\}\cup U$ は連結な開集合で、その上で $L_K$ と $G$ はともに正則であり、$\operatorname{Re}s>1$ で一致するので、一致の定理によりそこで等しい。よって $G(1)=L_K(1)=\frac{2\pi\cdot1}{4\sqrt4}=\frac\pi4$ である。$\square$
$K=\mathbb{Q}(\sqrt2)$ では、基本単数 $\varepsilon_K=1+\sqrt2$ と $h_K=1$ から
$$
1-\frac13-\frac15+\frac17+\frac19-\frac1{11}-\frac1{13}+\frac1{15}+\cdots=\frac{\log(1+\sqrt2)}{\sqrt2}
$$
を得る。右辺の $\log(1+\sqrt2)$ は単数規準、すなわち基本単数の対数である。
導き方を開く
$d_K=8$ で、$\chi_K(2)=0$、奇素数 $p$ では $\chi_K(p)=\left(\frac8p\right)=\left(\frac2p\right)$ であり、補充法則の 2 により $p\equiv\pm1\pmod8$ なら $1$、$p\equiv\pm3\pmod8$ なら $-1$ である。$\chi_8(m)$ を $m$ 偶数で $0$、$m\equiv\pm1\pmod8$ で $1$、$m\equiv\pm3\pmod8$ で $-1$ と定めると法 $8$ の Dirichlet 指標で、すべての素数で $\chi_K(p)=\chi_8(p)$ であり、部分和の絶対値は $1$ 以下である。cor-acnf-leibniz の証明と同じ議論で、級数 $\sum_m\chi_8(m)/m$ の和は $L_K(1)=\frac{2h_K\log\varepsilon_K}{\sqrt{d_K}}=\frac{2\log(1+\sqrt2)}{\sqrt8}$ に等しい。
$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$、$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の類群は位数 $2$ で、単項イデアルの類 $\mathfrak{A}_0$ と、$\mathfrak{p}_2:=(2,1+\sqrt{-5})$ の類 $\mathfrak{A}_1$ からなる。prop-acnf-counting の証明の対応で、$\mathfrak{A}_0$ の整イデアル $(x+y\sqrt{-5})$ のノルムは $x^2+5y^2$、$\mathfrak{A}_1$ の整イデアル $\alpha\mathfrak{p}_2^{-1}$（$\alpha=2x+(1+\sqrt{-5})y\in\mathfrak{p}_2$）のノルムは $N(\alpha)/2=2x^2+2xy+3y^2$ であり、単数は $\pm1$ だけなので
$$
Z_{\mathfrak{A}_0}(t)=\tfrac12\#\{(x,y)\ne(0,0)\mid x^2+5y^2\le t\},\qquad Z_{\mathfrak{A}_1}(t)=\tfrac12\#\{(x,y)\ne(0,0)\mid 2x^2+2xy+3y^2\le t\}
$$
である。どちらも $\kappa_Kt=\frac{\pi}{2\sqrt5}t=0.7024\cdots t$ に近づく。整数の組を数えた値は次のとおりである。
| $t$ | $Z_{\mathfrak{A}_0}(t)$ | $Z_{\mathfrak{A}_1}(t)$ | $\kappa_Kt$ |
|---|---|---|---|
| $10$ | $8$ | $7$ | $7.02$ |
| $100$ | $70$ | $70$ | $70.25$ |
| $1000$ | $703$ | $700$ | $702.48$ |
| $10000$ | $7018$ | $7029$ | $7024.81$ |
ノルムの小さいところでは 2 つの類は大きく違う。ノルム $2,3,7$ の整イデアルはすべて $\mathfrak{A}_1$ にあり（$x^2+5y^2$ は $2,3,7$ をとらない）、ノルム $4,5,6,9$ の整イデアルはすべて $\mathfrak{A}_0$ にある。それでも個数の比は $1$ に近づく。全体の留数は $2\kappa_K=\frac{\pi}{\sqrt5}$ である。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 境界が Lipschitz 径数付け可能 | $D=\mathbb{Q}^n\cap[0,1]^n$、$\Lambda=\mathbb{Z}^n$ | 格子点の個数の漸近式 lem-acnf-lattice |
| 単数倍の違いを除いて数えること | $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ の $0$ でない元 $\alpha$ で $\lvert N(\alpha)\rvert\le t$ のもの | 個数の有限性 |
| 類全体で和をとること | $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の部分ゼータ関数 $\zeta(\mathfrak{A}_0,s)$ | 留数が $\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}h_KR_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}}$ に等しいこと |
各行は、表の条件だけを外すと結論が破れることを示す。
各行の確認を開く
1 行目：$D$ は可算集合なので Borel 集合で、有界で、$\operatorname{vol}(D)=0$ である。一方、正の整数 $t$ について $\mathbb{Z}^n\cap tD=\{0,1,\dots,t\}^n$ は $(t+1)^n$ 個の点からなり、$O(t^{n-1})$ の誤差では $0\cdot t^n$ に一致しない。$D$ の閉包は $[0,1]^n$ で内部は空なので $\partial D=[0,1]^n$ であり、これは測度が正なので、Lipschitz 写像による $[0,1]^{n-1}$ の有限個の像（どれも測度 $0$）では覆えない。外した条件はこれだけである。
2 行目：$\mathbb{Z}[\sqrt2]$ の単数 $(1+\sqrt2)^k$（$k\in\mathbb{Z}$）はどれも $\lvert N\rvert=1$ で、互いに異なる（Dirichletの単数定理 の例「実 2 次体の基本単数」）。よって $\lvert N(\alpha)\rvert\le1$ の元だけで無限個あり、元そのものを数えると個数は有限にならない。単数倍の違いを除けば、これらはすべて同じイデアル $\mathcal{O}_K$ を与える。
3 行目：thm-acnf-main の 2 により $\zeta(\mathfrak{A}_0,s)$ の $s=1$ での留数は $\kappa_K=\frac{\pi}{2\sqrt5}$ で、右辺の $\frac{\pi}{\sqrt5}$ の半分である。類数公式の右辺の $h_K$ は、$h_K$ 個の類の部分ゼータ関数を足すことから現れる。
補足
類数公式は Neu99 Chapter VII, Corollary (5.11)(ii)（p. 467）にあり、そこでは部分ゼータ関数をテータ級数の Mellin 変換で表して関数等式と同時に導いている。Tate は $\zeta_K$ をイデール群上の積分として表し、留数を、ノルム $1$ のイデールの群を $K^\times$ で割ったもの（イデールとイデール類群 の $C_K^1$）の基本領域の体積 $\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}h_KR_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}}$ として求めた（Tat67 Lemma 4.3.1（p. 336）、Theorem 4.3.2（pp. 337–338）、Main Theorem 4.4.1（p. 339））。この商のコンパクト性（同 Corollary 4.3.1, p. 338）が類数の有限性と単数定理をまとめていたのと同じく、その体積が $h_K$ と $R_K$ をまとめている。この記事の証明は、イデアルを格子点として数える方法によるもので、どちらとも異なる。
円分体 $K=\mathbb{Q}(\zeta_m)$ では、$\zeta_K(s)$ は法 $m$ の Dirichlet 指標 $\chi$ のすべての $L(s,\chi)$ の積と、$m$ を割る素数についての有限個の因子の積に等しい（Neu99 Chapter VII, Proposition (5.12), p. 468）。左辺と $\zeta(s)$ はどちらも $s=1$ に 1 位の極をもつので、自明でない $\chi$ について $L(1,\chi)\ne0$ が従う（同 Proposition (5.13), p. 469）。これが Dirichletの算術級数定理 の鍵である。この記事では証明しない。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
