Stein多様体の埋め込み定理

$\Omega$ と $\mathbb{C}^N$ は局所コンパクト Hausdorff なので、固有写像 $f$ は閉写像である（固有写像 の系「固有写像は閉写像」）。とくに $f(\Omega)$ は閉集合で、$f$ は単射な連続閉写像なので像への同相写像である。点 $z\in\Omega$ で成分の番号を付け替えて $(f_1,\dots,f_n)$ が $z$ の近くの局所座標になるとすると、$z$ の開近傍 $W$ の上で $f_j=\phi_j(f_1,\dots,f_n)$（$j>n$、$\phi_j$ は $f'(W)$ 上の正則関数、$f':=(f_1,\dots,f_n)$）と書ける。$f$ は像への同相写像なので、$f(W)=f(\Omega)\cap G$ となる開集合 $G\subset\mathbb{C}^N$ があり、$G$ を $f'(W)\times\mathbb{C}^{N-n}$ との共通部分に縮めれば、$f(\Omega)\cap G$ は $f'(W)$ 上の正則写像 $\phi$ のグラフである。よって $f(\Omega)$ は閉複素部分多様体で、逆写像は局所的に $w\mapsto(f')^{-1}(w_1,\dots,w_n)$ なので正則である。$\square$

$a_{N+1}:=1$ とおく。1。 局所座標 $(z_1,\dots,z_n)$ の中の点 $z\in K$ で $f^a$ が正則でないとすると、$\lambda\ne0$ があって $\sum_k\lambda_k\partial f^a_j/\partial z_k(z)=0$（$j\le N$）である。$\mu:=\sum_k\lambda_k\partial f_{N+1}/\partial z_k(z)$ とおくと $\sum_k\lambda_k\partial f_j/\partial z_k(z)=\mu a_j$（$j\le N+1$）である。$f$ は $z$ で正則なので左辺のベクトルは $0$ でなく、$\mu\ne0$ であり、$(a,1)=\sum_k(\lambda_k/\mu)\,\partial f/\partial z_k(z)$ となる。$W$ を可算個の座標近傍 $W_i$ で覆い、$\Phi_i\colon\mathbb{C}^n\times W_i\to\mathbb{C}^{N+1}$、$(\lambda,z)\mapsto\sum_k\lambda_k\partial f/\partial z_k(z)$ の像の和を $I$ とすると、悪い $a$ は $E:=\{a\mid(a,1)\in I\}$ に属する。定義域の実次元は $4n<2N+2$ なので、lem-se-null により $I$ は測度 $0$ である。

2。 1 により、$f^a$ が単射でない $a$ の全体が測度 $0$ であることを示せばよい。$z'\ne z''$（$\in K$）で $f^a(z')=f^a(z'')$ なら $f_j(z')-f_j(z'')=a_j\gamma$（$j\le N+1$、$\gamma:=f_{N+1}(z')-f_{N+1}(z'')$）である。$\gamma=0$ なら $f(z')=f(z'')$ となって $f$ の単射性に反するので $\gamma\ne0$ で、$(a,1)=\gamma^{-1}(f(z')-f(z''))$ である。$\Psi\colon\mathbb{C}\times W\times W\to\mathbb{C}^{N+1}$、$(c,z',z'')\mapsto c\,(f(z')-f(z''))$ の像を $I$ とすると、定義域の実次元は $4n+2<2N+2$ なので、$I$ は測度 $0$ である。

$E$ が測度 $0$ であること。 どちらの場合も $I$ は $\sigma$ コンパクトなので可測で、$0$ でない複素数倍で閉じている。$\Theta(a,c):=(ca,c)$ は $\mathbb{C}^N\times\mathbb{C}^\times$ からそれ自身への $C^1$ 級の微分同相写像（逆は $(b,c)\mapsto(b/c,c)$）で、$\Theta(E\times\mathbb{C}^\times)\subset I$ である。微分同相写像は測度 $0$ の集合を測度 $0$ の集合に写すので $E\times\mathbb{C}^\times$ は測度 $0$ であり、Fubini の定理により $E$ は測度 $0$ である。$\square$

$B_K$ は閉。 $f_i\in B_K$、$f_i\to f$ とする。広義一様収束なので、局所座標での導関数も広義一様収束する（Cauchy の評価）。無限個の $f_i$ が点 $z_i\in K$ で正則でなければ、部分列で $z_i\to z\in K$ とでき、Jacobi 行列の $n$ 次小行列式がすべて $0$ であることは極限に移るので、$f$ は $z$ で正則でない。そうでなければ無限個の $f_i$ が $z_i'\ne z_i''$（$\in K$）で $f_i(z_i')=f_i(z_i'')$ を満たし、部分列で $z_i'\to z'$、$z_i''\to z''$ とできる。$z'\ne z''$ なら $f(z')=f(z'')$ で $f$ は単射でない。$z'=z''$ で $f$ が $z'$ で正則なら、局所座標の凸な近傍 $Q$ と成分 $f'=(f_{j_1},\dots,f_{j_n})$ で $|Df'(z')\zeta|\ge2c|\zeta|$ となるものをとり、$Q$ を縮めて $Q$ の上で $\|Df'_i-Df'(z')\|< c$（$i$ が大きいとき）とできる。すると $Q$ の 2 点について $|f'_i(x)-f'_i(y)|\ge c|x-y|$ であり、$z_i',z_i''\in Q$ で $f_i(z_i')=f_i(z_i'')$ となることに反する。どの場合も $f\in B_K$ である。

$B_K$ は内部をもたない。 $f\in A(\Omega)^N$ とその近傍を与える。lem-se-local の $g\in A(\Omega)^k$ をとると、$(f,g)$ は $K$ の上で正則かつ単射である。cor-se-mix（$W=\Omega$）により、成分がいくらでも小さい $\Lambda$ で $f+\Lambda g\notin B_K$ となるものがある。各コンパクト集合の上で $|\Lambda g|\le k\max_{j,l}|\Lambda_{jl}|\sup|g|$ なので、$\Lambda$ を小さくとれば $f+\Lambda g$ は与えた近傍に入る。

結論。 コンパクト集合 $K_1\subset K_2\subset\cdots$ で $\Omega=\bigcup_mK_m$ となるものをとる。$\Omega$ の上で正則かつ単射でない $f$ の全体は $\bigcup_mB_{K_m}$ に含まれ（正則でない点、または単射でない 2 点は、ある $K_m$ に入る）、内部をもたない閉集合の可算和である。$A(\Omega)^N$ は完備距離空間なので、Baire の定理によりその補集合は稠密である。$\square$

$K=\emptyset$ なら $P'=\emptyset$ でよい。$P$ を $f_1,\dots,f_N,g:=f_{N+1}$ で定まるとする。境界の性質。 $\partial P$ の点 $z$ では $\max_i|f_i(z)|=1$ である：$z\in\overline P$ なので $|f_i(z)|\le1$ で、すべて $1$ 未満なら $z$ は $\{|f_i|<1\}$ に属し、$P$ はその閉部分集合なので $z\in P$ となって矛盾する。$0< c_0< c_1< c_2< c_3<1$ を $\sup_K|f_i|< c_0$（$i\le N+1$）となるようにとる。

摂動。 $U:=\{g\ne0\}$、$F_j:=f_j/g$（$U$ 上）、$L_0:=\overline P\cap\{|g|\ge c_0\}$（$U$ のコンパクト集合）とする。(γ) と $L_0$ のコンパクト性から、$L_0$ の上で正則な $G\in A(\Omega)^m$ がある。$(F,G)$ は $L_0$ の上で正則なので、cor-se-mix（$W=U$）により、成分の小さい行列 $\Lambda$ で $F+\Lambda G$ が $L_0$ の上で正則となるものがある。$v:=\Lambda G\in A(\Omega)^N$、$f'_j:=f_j+g\,v_j\in A(\Omega)$ とおき、$\Lambda$ を小さくとって $\sup_{\overline P}|g\,v_j|<\eta$、$\eta:=\min(c_0-\max_{i,K}|f_i|,\ 1-c_3)$ とする。すると $\sup_K|f'_j|< c_0$、$\partial P$ の上で $\max(\max_j|f'_j|,|g|)>c_3$ であり、$F':=f'/g=F+v$ は $L_0$ の上で正則である。

内側の集合。 $\omega:=\{z\in P\mid|f'_j(z)|< c_3\ (j\le N),\ |g(z)|< c_3\}$ とおくと $K\subset\omega$ で、$\overline\omega$ は $\overline P$ の閉集合で $\partial P$ と交わらないので $\overline\omega\subset P$、コンパクトである。境界の性質と同じ理由で、$\partial\omega$ の上で $\max(\max_j|f'_j|,|g|)=c_3$ である。$\nu\ge1$ について$$\Delta_\nu:=\{z\in\Omega\mid|f'_j(z)^\nu-g(z)^\nu|< c_1^\nu\ (j=1,\dots,N)\}$$とし、その連結成分のうち $K$ と交わるものの和を $P'_\nu$ とする。$2c_0^\nu< c_1^\nu$ なら $K\subset\Delta_\nu$ である。

障壁。 $L:=\{z\in\partial\omega\mid|g(z)|\ge c_2\}$ はコンパクトで $L\subset L_0$、$L\cap K=\emptyset$ である。有限個の座標近傍 $V_a$（閉包は $U\setminus K$ に含まれる）とコンパクト集合 $L_a\subset V_a$ で $L=\bigcup_aL_a$ となるものと、$\delta>0$ を、$z\in L_a$ なら座標の閉球 $\overline B(z,\delta)$ が $V_a$ に入るようにとる。これらの閉球の和（コンパクト）の上で $F'_j$ の 1 階・2 階の導関数と $g$ の 1 階導関数は定数 $C$ で抑えられ、$F'$ の正則性から $c>0$ があって $\max_j|DF'_j(z)\zeta|\ge c|\zeta|$（$z\in L$）である。$z\in L\cap\Delta_\nu$ とすると $|F'_j(z)^\nu-1|<\varepsilon_\nu:=(c_1/c_2)^\nu$ で、$\nu$ が大きければ $\varepsilon_\nu\le1/2$、$1/2\le|F'_j(z)|\le2$ である。$|\zeta|=\nu^{-2}$ について $F'_j(z+\zeta)/F'_j(z)=1+u_j$、$u_j=\ell_j+r_j$、$\ell_j:=DF'_j(z)\zeta/F'_j(z)$、$|r_j|\le C_1\nu^{-4}$、$|u_j|\le C_1\nu^{-2}$ と書け（$C_1$ は $z,\nu$ によらない）、$|(1+u)^\nu-1-\nu u|\le\sum_{k\ge2}(\nu|u|)^k/k!\le(\nu|u|)^2e^{\nu|u|}$ から $(1+u_j)^\nu=1+\nu\ell_j+O(\nu^{-2})$ である。$|\ell_j|\ge(c/2)\nu^{-2}$ となる $j$ を選ぶと$$|F'_j(z+\zeta)^\nu-1|\ge|F'_j(z)|^\nu\bigl|(1+u_j)^\nu-1\bigr|-|F'_j(z)^\nu-1|\ge\tfrac12\Bigl(\frac{c}{2\nu}-\frac{C_2}{\nu^2}\Bigr)-\varepsilon_\nu\ge\frac{c}{8\nu}$$（$\nu$ が大きいとき）であり、$|g(z+\zeta)|^\nu\ge c_2^\nu(1-C\nu^{-2}/c_2)^\nu\ge c_2^\nu(1-C/(c_2\nu))\ge c_2^\nu/2$ である。$U$ の上で $f'_j=gF'_j$ なので $|f'_j(z+\zeta)^\nu-g(z+\zeta)^\nu|\ge c\,c_2^\nu/(16\nu)>c_1^\nu$ である（$\nu(c_1/c_2)^\nu\to0$）。よって $\nu$ が大きければ、すべての $z\in L\cap\Delta_\nu$ について球面 $\{|\zeta|=\nu^{-2}\}$ の像は $\Delta_\nu$ と交わらない。

閉じ込め。 $\nu$ を上の条件と $c_1^\nu+c_2^\nu< c_3^\nu$、$2c_0^\nu< c_1^\nu$ を満たすようにとる。$\Delta_\nu$ の成分 $C$ が $K$ と交わり $\omega$ に含まれないとすると、$C$ は連結で $\omega$ と交わるので $\partial\omega$ の点 $z$ を含む。$|g(z)|< c_2$ なら $|f'_j(z)|^\nu< c_1^\nu+c_2^\nu< c_3^\nu$ なので $\max(\max_j|f'_j(z)|,|g(z)|)< c_3$ となり、$\partial\omega$ の性質に反する。よって $z\in L\cap\Delta_\nu$ で、$C$ は連結で $z$ を含み球面と交わらないので、$z$ を中心とする半径 $\nu^{-2}$ の開球に含まれる。この球は $K$ と交わらないので矛盾する。したがって $P'_\nu\subset\omega$ である。$P'_\nu$ は開集合で、$\Delta_\nu$ の成分の和なので $\Delta_\nu$ の閉集合でもあり、$\overline{P'_\nu}\subset\overline\omega\subset P$ はコンパクトである。$P'_\nu$ は $N$ 個の関数 $(f'^\nu_j-g^\nu)/c_1^\nu$ で定まる解析多面体で、$K$ を含む。$\square$

境界の性質。 $\partial P_j$ の上で $\max_l|h_{j,l}|=1$ である（prf-se-bishop の最初の段落と同じ理由）。

1 段目。 順に $a_k>1$ と整数 $m_k\ge1$ を選ぶ。$r_k:=\max_l\sup_{\overline{P_{k-1}}}|h_{k,l}|$（$r_1:=0$）は、$\overline{P_{k-1}}\subset P_k$ がコンパクトなので $1$ 未満であり、$a_kr_k<1$ となる $a_k>1$ をとる。$B_{k-1,l}:=\sum_{r< k}(a_rh_{r,l})^{m_r}$ を固定し、$m_k$ を$$(a_kr_k)^{m_k}<2^{-k},\qquad a_k^{m_k}>\mu_k+1+\sup_{\partial P_k}\max_l|B_{k-1,l}|$$となるようにとる。$F_l:=\sum_k(a_kh_{k,l})^{m_k}$ とおく。第 $k$ 項は $\overline{P_{k-1}}$ の上で $2^{-k}$ 未満で、任意のコンパクト集合はある $P_J$ に入り $k\ge J+1$ なら $\overline{P_{k-1}}$ に含まれるので、級数は広義一様収束し $F_l\in A(\Omega)$ である。$z\in\partial P_k$ で $|h_{k,l}(z)|=1$ となる $l$ を選ぶと、$r>k$ の項は $z\in\overline{P_k}\subset\overline{P_{r-1}}$ の上で $2^{-r}$ 未満なので、$|F_l(z)|>a_k^{m_k}-|B_{k-1,l}(z)|-2^{-k}>\mu_k$ である。よって $\partial P_k$ の上で $|F|>\mu_k$ である。

凸包。 $G_k:=\{z\in\overline{P_{k+1}}\setminus P_k\mid|F(z)|\le\mu_k\}$、$H_k:=\{z\in\overline{P_k}\mid|F(z)|\le\mu_k\}$ とおく。$\partial P_k$、$\partial P_{k+1}$ の上では $|F|>\mu_k$（$\mu_{k+1}>\mu_k$）なので、$H_k\subset P_k$、$G_k\subset P_{k+1}\setminus\overline{P_k}$ はどちらもコンパクトで交わらず、$S_k:=G_k\cup H_k=\{z\in P_{k+1}\mid|F(z)|\le\mu_k\}$ である。$\widehat{(S_k)}_\Omega=S_k$ を示す。$Q:=\widehat{(S_k)}_\Omega$ は (α) によりコンパクトで、$\widehat Q_\Omega=Q$ である。$S_k\subset K_{k+2}$ なので $Q\subset K_{k+2}$、また $F$ の成分は大域正則なので $Q\subset\{|F|\le\mu_k\}$ であり、$Q$ は $\partial P_{k+1}$ と交わらない。よって $Q_{\rm in}:=Q\cap P_{k+1}$ と $Q_{\rm out}:=Q\setminus\overline{P_{k+1}}$ は $Q$ を分ける交わらないコンパクト集合で、それぞれの近傍で $0$、$1$ をとる関数は $Q$ の近傍で正則である。岡–Weilの近似定理 の定理「Stein 多様体の上の近似定理」により、$Q$ の上でこの関数との差が $1/4$ 未満の $\tilde v\in A(\Omega)$ がある。$S_k\subset Q_{\rm in}$ なので $\sup_{S_k}|\tilde v|<1/4$ であり、$Q_{\rm out}$ の点 $q$ では $|\tilde v(q)|>3/4$ となって $q\in Q$ に反する。よって $Q_{\rm out}=\emptyset$、$Q\subset P_{k+1}\cap\{|F|\le\mu_k\}=S_k$ である。

2 段目。 $\psi_k\in A(\Omega)$ を帰納的に選ぶ。$b_{k-1}:=\sum_{r< k}\psi_r$、$C_k:=\mu_k+3+\sup_{G_k}|b_{k-1}|$ とし、$H_k$ の近傍で $0$、$G_k$ の近傍で $C_k$ をとる関数（$S_k$ の近傍で正則）を、$\widehat{(S_k)}_\Omega=S_k$ と同じ近似定理により $S_k$ の上で誤差 $\min(2^{-k},1/4)$ 未満で近似する $\psi_k$ をとる。すると $H_k$ の上で $|\psi_k|<2^{-k}$、$G_k$ の上で $|\psi_k|>C_k-1/4>1+\mu_k+|b_{k-1}|$ である。$H_k\subset H_{k+1}$ であり（$P_k\subset P_{k+1}$、$\mu_k<\mu_{k+1}$）、任意のコンパクト集合 $L$ は $L\subset P_J$、$\sup_L|F|<\mu_k$（$k\ge J$ が大きいとき）なので、$k$ が大きければ $L\subset H_k$ である。よって $\psi:=\sum_k\psi_k$ は広義一様収束し $\psi\in A(\Omega)$ である。$z\in G_k$ なら $z\in P_{k+1}$、$|F(z)|\le\mu_k<\mu_{k+1}$ なので $z\in H_{k+1}\subset H_{k+2}\subset\cdots$ であり、$|\psi(z)|\ge|\psi_k(z)|-|b_{k-1}(z)|-\sum_{r>k}2^{-r}>\mu_k$ である。$f:=(F,\psi)\in A(\Omega)^{2n+1}$ とおくと、$P_{k+1}\setminus P_k$ の点では $|F|>\mu_k$ か、そうでなければ $z\in G_k$ で $|\psi|>\mu_k$ なので、$|f|>\mu_k=k+M_{k+1}$ である。

3 段目。 $E_k:=\{z\mid|f(z)|\le k+|g(z)|\}$ は $P_k$ に含まれる：$z\notin P_k$ なら $z\in P_{j+1}\setminus P_j$ となる $j\ge k$ があり、$|g(z)|\le M_{j+1}$、$|f(z)|>j+M_{j+1}\ge k+|g(z)|$ である。$E_k$ は閉集合なので、コンパクトな $\overline{P_k}$ の閉集合としてコンパクトである。$(f,g)$ は $\Omega$ の上で正則かつ単射なので（$g$ がそうである）、cor-se-mix（$W=K=\Omega$、$N=2n+1$）により、成分の絶対値が $1/(2n+1)$ 未満の $\Lambda$ で $f':=f+\Lambda g$ が $\Omega$ の上で正則かつ単射なものがある。行の絶対値の和は $1$ 以下なので $|\Lambda g|\le|g|$ で、$|f'(z)|\le R$ なら $|f(z)|\le R+|g(z)|$、すなわち $z\in E_k$（$k\ge R$）である。よって閉多重円板の逆像はコンパクト集合 $E_k$ の閉集合でコンパクトであり、$f'$ は固有である。prop-se-embedding により $f'$ は埋め込みである。$\square$