Julia集合

$|\psi(z)|=|\psi(w)|=1$ なので $\sigma(z,w)^2=2-2\langle\psi(z),\psi(w)\rangle$ である。

要点：Fatou 集合の性質として示す。正規性は、連続写像で引き戻しても、開写像で押し出しても保たれる。

$S:=\sum_{j< d}|a_j|$ とし、$R:=\max\bigl(1,\ 2S/|a_d|,\ (4/|a_d|)^{1/(d-1)}\bigr)$ とおく。$|z|\ge R$ なら $|z|\ge1$ なので $\sum_{j< d}|a_j||z|^j\le S|z|^{d-1}$ であり、
$$ |p(z)|\ge|z|^{d-1}\bigl(|a_d||z|-S\bigr)\ge|z|^{d-1}\cdot\frac{|a_d||z|}2=\frac{|a_d||z|^{d-1}}2\,|z|\ge2|z| $$
である（$|a_d||z|\ge2S$ と $|z|^{d-1}\ge4/|a_d|$ を使った）。
1：$|w|\ge R$ なら $|p(w)|\ge2|w|\ge R$ なので、帰納法により $n\ge k$ で $|p^n(z)|\ge2^{n-k}|p^k(z)|$ である。
2：軌道が有界なら 1 によりどの $n$ でも $|p^n(z)|\le R$ であり、逆は明らかである。したがって $K(p)=\bigcap_{n\ge0}(p^n)^{-1}\bigl(\{|w|\le R\}\bigr)$ は閉集合の共通部分で、$\{|z|\le R\}$ に含まれるのでコンパクトである。$p(z)-z$ は $d$ 次の多項式なので根 $z_*$ をもち（代数学の基本定理）、$z_*$ の軌道は定数なので $z_*\in K(p)$ である。$\square$

lem-js-escape の $R$ を使う。
$\infty$ と $\mathbb{C}\setminus K(p)$. $V:=\{|z|>R\}\cup\{\infty\}$ は $\infty$ の開近傍で、lem-js-escape の 1 により $z\in V\cap\mathbb{C}$ で $|p^n(z)|\ge2^nR$、また $p^n(\infty)=\infty$ である。prop-js-chordal-formula により $V$ 上で $\sigma(p^n(z),\infty)\le2/\sqrt{1+4^nR^2}\to0$ が一様に成り立つ。$p^n$ 自身が $V$ 上で一様に定数 $\infty$ へ収束するので、どの部分列も一様収束し、$V\subset F(p)$ である。$z\notin K(p)$ なら、lem-js-escape の 2 によりある $k$ で $|p^k(z)|>R$ であり、連続性により $z$ の開近傍 $W$ 上で $|p^k|>R$ である。$W$ 上で $|p^n|\ge2^{n-k}R$（$n\ge k$）なので、同じ理由で $W\subset F(p)$ である。
$K(p)$ の内部. $U$ を $K(p)$ の内部とすると、lem-js-escape の 2 により $U$ 上ですべての $n$ について $|p^n|\le R$ である。一様に有界な正則関数の族なので、Montel の定理により正規族であり（def-js-normal の後の注意）、$U\subset F(p)$ である。
$\partial K(p)$. $z_0\in\partial K(p)$ が $F(p)$ に属するとして矛盾を導く。$\{p^n\}$ が正規族となる $z_0$ の開近傍に含まれる閉円板 $\overline B:=\{|z-z_0|\le\delta\}$ をとると、ある部分列 $p^{n_k}$ が $\overline B$ 上で $\sigma$ について連続写像 $g$ に一様収束する。$K(p)$ は閉集合なので $z_0\in K(p)$ であり、$|p^{n_k}(z_0)|\le R$ から $\sigma(g(z_0),\infty)\ge c_0:=2/\sqrt{1+R^2}$ である。$c_1:=2/\sqrt{1+(R+1)^2}< c_0$ とおく。$g$ の連続性により、$|z-z_0|<\delta'$（$0<\delta'\le\delta$）で $\sigma(g(z),\infty)>\frac{c_0+c_1}2$ となる $\delta'$ があり、一様収束により十分大きい $k$ では $\overline B$ 上で $\sigma(p^{n_k},g)<\frac{c_0-c_1}2$ である。このとき $|z-z_0|<\delta'$ で $\sigma(p^{n_k}(z),\infty)>c_1$、すなわち $|p^{n_k}(z)|< R+1$ となる。ところが $z_0$ は $K(p)$ の境界の点なので、$|w-z_0|<\delta'$ を満たす $w\notin K(p)$ があり、lem-js-escape により $p^{n}(w)\to\infty$ である。これは矛盾である。
まとめ. $\hat{\mathbb{C}}$ は $\{\infty\}$、$\mathbb{C}\setminus K(p)$、$K(p)$ の内部、$\partial K(p)$ の 4 つに互いに交わらずに分かれる。はじめの 3 つは $F(p)$ に、最後は $J(p)$ に含まれるので、$J(p)=\partial K(p)$ である。$K(p)$ は空でなく有界なので $\mathbb{C}$ と一致せず、$\mathbb{C}$ は連結なので $\partial K(p)\ne\emptyset$ である。$\partial K(p)$ は閉集合で $K(p)$ に含まれるのでコンパクトである。$\square$

$p$ は Chebyshev多項式 の定義「正規化した Chebyshev 多項式」の $C_2(x)=x^2-2$ であり、同じ記事の命題「$x=z+\frac{1}{z}$ での値」により、$0$ でない $u$ について $p(u+u^{-1})=u^2+u^{-2}$ である。
$[-2,2]$ の外. $z\in\mathbb{C}\setminus[-2,2]$ とする。2 次方程式 $u^2-zu+1=0$ の 2 つの根 $u,u^{-1}$ は積が $1$ である。根の絶対値が $1$ なら $u^{-1}=\overline u$ で $z=u+\overline u=2\operatorname{Re}u\in[-2,2]$ となるので、$|u|\ne1$ であり、$|u|>1$ となる根 $u$ がとれる。$z=u+u^{-1}$ なので、$p^n(z)=u^{2^n}+u^{-2^n}$ であり、$|p^n(z)|\ge|u|^{2^n}-1\to\infty$ である。よって $z\notin K(p)$ である。
$[-2,2]$ の上. $z=2\cos\theta$ なら $p(z)=4\cos^2\theta-2=2\cos2\theta$ なので、軌道は $[-2,2]$ に留まる。
よって $K(p)=[-2,2]$ で、その内部は空なので、thm-js-polynomial により $J(p)=\partial K(p)=[-2,2]$ である。$\square$

$M(z):=\dfrac{z-1}{z+1}$ とおくと
$$ M(N(z))=\frac{z^2+1-2z}{z^2+1+2z}=\Bigl(\frac{z-1}{z+1}\Bigr)^2=M(z)^2 $$
であり、有理関数として等しいので $\hat{\mathbb{C}}$ 上の写像として $N=M^{-1}\circ s\circ M$（$s(w)=w^2$）である。prop-js-invariance の 2 と ex-js-square により、$J(N)=M^{-1}(\{|w|=1\})$ である。$z\in\mathbb{C}\setminus\{-1\}$ について $|M(z)|=1$ は $|z-1|=|z+1|$、すなわち $\operatorname{Re}z=0$ と同値であり、$M(\infty)=1$、$M(-1)=\infty$ なので、$J(N)=i\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ である。$\operatorname{Re}z>0$ なら $|M(z)|<1$ なので $M(N^n(z))=M(z)^{2^n}\to0$、すなわち $N^n(z)\to M^{-1}(0)=1$ である。$\operatorname{Re}z<0$ なら $|M(z)|>1$ で、同様に $N^n(z)\to M^{-1}(\infty)=-1$ である。$\square$

吸引的な場合. $|\lambda|< c< 1$ となる $c$ をとる。$(f(z)-z_0)/(z-z_0)\to\lambda$（$z\to z_0$）なので、ある $\delta>0$ について $|z-z_0|\le\delta$ なら $|f(z)-z_0|\le c|z-z_0|$ である。この円板は $f$ で自分自身に移り、$|f^n(z)-z_0|\le c^n\delta$ である。$f^n$ は円板 $|z-z_0|<\delta$ 上で定数 $z_0$ に一様収束し（$\sigma\le2|z-w|$ による）、どの部分列も一様収束するので、$z_0\in F(f)$ である。
反発的な場合. $z_0\in F(f)$ と仮定すると、閉円板 $\overline B:=\{|z-z_0|\le\delta\}$ と部分列 $f^{n_k}$ で、$\overline B$ 上 $\sigma$ について連続写像 $g$ に一様収束するものがとれる。$g(z_0)=z_0$ は有限なので、prf-js-polynomial の段「$\partial K(p)$」と同じ議論により、小さい円板 $B':=\{|z-z_0|<\delta'\}$ と $L>0$ があって、十分大きい $k$ で $B'$ 上 $|f^{n_k}|\le L$、$|g|\le L$ となる。prop-js-chordal-formula により $|f^{n_k}-g|\le\frac{1+L^2}2\sigma(f^{n_k},g)$ なので、$f^{n_k}$ は $B'$ 上で通常の意味で $g$ に一様収束する。Cauchyの積分公式 の系「Weierstrass の定理」により $g$ は $B'$ で正則で、$(f^{n_k})'(z_0)\to g'(z_0)$ である。ところが連鎖律と $f(z_0)=z_0$ により $(f^{n})'(z_0)=\lambda^n$ で、$|\lambda|^{n_k}\to\infty$ となり矛盾する。$\square$