中心極限定理（高校数学）

さいころを 2 個振ったときの目の和 $S_2$ は $2$ から $12$ までの値をとる。$6\times6=36$ 通りの出方のうち、和が $s$ になるものの数は次のとおりである。

1 個のときは $1$ から $6$ がどれも $\frac16$ の平らな分布だったが、2 個の和は $7$ を頂上とする三角形の形になる。

3 個の和 $S_3$ は $3$ から $18$ までの値をとる。$6^3=216$ 通りのうち、和が $s$ になるものの数は、$s=3,4,\dots,18$ の順に
$$ 1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ 25,\ 27,\ 27,\ 25,\ 21,\ 15,\ 10,\ 6,\ 3,\ 1 $$
である（計算は prop-clt-convolution の方法による）。たとえば和が $10$ になるのは $27$ 通りで、確率は $\frac{27}{216}=0.125$ である。三角形の角がとれて、なめらかな山の形に近づいている。

さいころ 1 個の目は $\mu=\frac72$、$\sigma^2=\frac{35}{12}$ である（確率変数の期待値と分散）。$n$ 個の和は平均 $\frac72n$、標準偏差 $\sqrt{\frac{35}{12}n}$ で

となる。最後の行は、和が「平均 $\pm$ 標準偏差」の範囲に入る確率を、すべての出方を数えて求めたものである（計算機による）。正規分布ならこの確率は $0.6827$ である（正規分布（高校数学））。$n=30$ ではかなり近いが、ぴったり同じにはならない。和がとびとびの値しかとらないので、範囲の端にどの値が入るかで確率が少し上下するからである。

さいころを $30$ 個振った和 $S_{30}$ は、平均 $105$、標準偏差 $\sqrt{87.5}=9.354$ である（ex-clt-dice-mean-var）。$6^{30}$ 通りすべてを数えた正確な確率（prop-clt-convolution の方法、計算機による）と、正規分布による近似を比べる。和は整数の値しかとらないので、区間の端を $0.5$ ずつ広げる 連続補正 をした近似も並べる（二項分布から正規分布へ）。

連続補正の近似は、たとえば $P(S_{30}\ge120)\approx P\bigl(Z\ge\frac{119.5-105}{9.354}\bigr)=P(Z\ge1.550)$ として求めた。$n=30$ でも、連続補正の近似と正確な値の差は $0.002$ 未満である。

ex-clt-dice2 の通り数 $N_2(2),\dots,N_2(12)=1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$ から、prop-clt-convolution で $N_3$ を求める。

1. $N_3(5)=N_2(4)+N_2(3)+N_2(2)+N_2(1)+N_2(0)+N_2(-1)=3+2+1+0+0+0=6$。
2. $N_3(10)=N_2(9)+N_2(8)+N_2(7)+N_2(6)+N_2(5)+N_2(4)=4+5+6+5+4+3=\boxed{27}$。
   $N_3(s)$ は、$N_2$ の表の上で「連続する 6 個」を足したものになっている。6 個ずつ足す操作をくり返すたびに、角がならされて山がなめらかになる。これが ex-clt-dice3 の数の列の出どころである。

$S=U_1+U_2+U_3$ は平均 $\frac32$、分散 $3\times\frac1{12}=\frac14$、標準偏差 $\frac12$ である（prop-clt-mean-var）。

1. 平均 $\pm$ 標準偏差の範囲に入る確率は、prop-clt-uniform3 から $P(1\le S\le2)=F_3(2)-F_3(1)=\bigl(\frac86-\frac36\bigr)-\frac16=\frac46=\frac23=0.6667$ である。正規分布の $0.6827$ に近い。
2. 密度の最大値は $f_3\bigl(\frac32\bigr)=\frac{-2\cdot\frac94+9-3}{2}=\frac{-\frac92+6}{2}=\frac34=0.75$ で、平均 $\frac32$、標準偏差 $\frac12$ の正規分布の密度の最大値 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\frac12}=0.798$ に近い。
3. ただし $S$ は $0$ から $3$ の外の値をとらない。平均から標準偏差の $3$ 倍より遠い値（$S<0$ または $S>3$）の確率は $0$ で、正規分布の $0.0027$ とは違う。裾まで一致するわけではない。

1 回引くと、確率 $0.7$ で $0$ 円、$0.2$ で $100$ 円、$0.1$ で $1000$ 円が当たるくじを考える。1 回の賞金 $X$ は
$$ \mu=0\times0.7+100\times0.2+1000\times0.1=120,\qquad E(X^2)=100^2\times0.2+1000^2\times0.1=102000 $$
なので、分散 $\sigma^2=102000-120^2=87600$、標準偏差 $\sigma=295.97\ldots$ である。平均 $120$ 円に比べて、ときどき $1000$ 円が当たるので、右に長く偏った分布である。
このくじを $n$ 回引いた合計を標準化した $Z_n$ を、計算機の乱数で $10000$ 回作り、ヒストグラムにした（図 3。乱数の種を固定して作った）。$Z_n$ が区間に入った割合は次のとおりである。

$n=10$ や $n=50$ のヒストグラムには、$1000$ 円が何回当たったかで分かれた小さな山が並んでいて、形はまだ正規分布の曲線からずれている。$n=500$ では曲線にほぼ重なる。偏った分布では、さいころよりずっと大きな $n$ が必要になる。

ex-clt-simulation のくじを $n$ 回引いた賞金の平均 $\bar X$ が、$120\pm20$ 円に入る確率を約 $0.95$ にしたい。cor-clt-mean で $c=1.96$ とすると、$1.96\times\frac{295.97}{\sqrt n}\le20$ となればよく、$\sqrt n\ge\frac{1.96\times295.97}{20}=29.005\ldots$ から $n\ge841.3\ldots$、つまり $n=842$ 回程度である。Chebyshev の不等式で同じ確率 $0.95$ を保証しようとすると、$\frac{\sigma^2}{n\cdot20^2}\le0.05$ から $n\ge4380$ 回が必要になる。
ただし ex-clt-simulation で見たとおり、偏った分布では $n$ が小さいと近似が悪い。$842$ 回は $500$ 回より多いので、ここでは近似が使える範囲と考えてよいが、これは定理が保証する誤差ではなく、シミュレーションから得た目安である。

さいころを 1 個だけ振り、出た目 $X_1$ を $n$ 回足す。つまり $X_2=X_3=\cdots=X_n=X_1$ とする。どの $X_i$ もさいころの目の分布に従う（(i) は満たす）が、独立ではない。

1. $S_n=nX_1$ なので $V(S_n)=n^2V(X_1)=\frac{35}{12}n^2$ で、prop-clt-mean-var の $n\sigma^2$ ではない。
2. def-clt-iid の $Z_n=\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}=\sqrt n\,\frac{X_1-3.5}{\sigma}$ で、$X_1-3.5$ は $\pm0.5$、$\pm1.5$、$\pm2.5$ のどれかである。$n\ge12$ なら $\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{1.708\ldots}{\sqrt n}<0.5$ なので、$\lvert Z_n\rvert\le1$ となるのは $\lvert X_1-3.5\rvert<0.5$ のときだけで、そのような目はない。よって $P(-1\le Z_n\le1)=0$ で、$0.6827$ に近づかない。
3. 本当の標準偏差 $n\sigma$ で割って標準化しても、$\frac{S_n-n\mu}{n\sigma}=\frac{X_1-\mu}{\sigma}$ は $n$ によらず 6 つの値を等しい確率でとる分布のままで、正規分布には近づかない。
   崩れている条件は「独立」である。同じ情報を何度足しても、新しい偶然が加わらないので、分布の形は変わらない。

密度関数が
$$ f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)} $$
の分布を Cauchy 分布 という。$\tan^{-1}$ を、$-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2$ の範囲で $\tan\theta=x$ となる $\theta$ を返す関数とすると、$x=\tan\theta$ と置換して $\int_{-R}^{R}\frac{dx}{1+x^2}=2\tan^{-1}R\to\pi$ となるので、全体の積分は $1$ である。

1. 平均が定まらない。$\int_0^R\frac{x}{\pi(1+x^2)}\,dx=\frac{1}{2\pi}\log(1+R^2)$ は $R\to\infty$ で限りなく大きくなるので、$\int_0^\infty x f(x)\,dx$ は収束しない。したがって平均も分散も存在せず、thm-clt-main の仮定を満たさない。
2. 独立な $n$ 個の Cauchy 分布の平均 $\bar X$ は、ふたたび同じ Cauchy 分布に従うことが知られている（GS06 Example 7.6、Example 8.8。本記事では証明しない）。たとえば $P(-1\le\bar X\le1)=\int_{-1}^1f(x)\,dx=\frac2\pi\tan^{-1}1=\frac12$ は、$n$ をいくら大きくしても $\frac12$ のままである。
3. 図 4 は、計算機で Cauchy 分布の乱数を作り、$1$ 個の値と $100$ 個の平均をそれぞれ $10000$ 回作ったヒストグラムである（乱数の種を固定した）。$-1\le\bar X\le1$ に入った割合は $n=1$ で $0.503$、$n=100$ で $0.499$ で、平均をとっても散らばりはまったく小さくならない。
   崩れている条件は「分散が有限」である。ときどき非常に大きな値が出て、その 1 つが平均全体を動かしてしまう。大数の法則とさいころの平均 の Cauchy 分布の反例も同じ現象である。

$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots$ を、それぞれ確率 $\frac12$ で $1$ か $-1$ をとる独立な確率変数（公平な硬貨の表裏）とし、$X_k=2^k\varepsilon_k$ とする。$X_k$ は独立で、平均 $0$、分散 $4^k$ だが、同じ分布ではない。$S_n=X_1+\cdots+X_n$ とする。
段 1（分散）。独立なので $V(S_n)=4+4^2+\cdots+4^n=\frac{4^{n+1}-4}{3}$ である（等比数列の和）。最後の項の分散 $4^n$ は、全体の $\frac{3\cdot4^n}{4^{n+1}-4}$ で、$n$ が大きいと約 $\frac34$ を占める。
段 2（和の分布）。$b_k=\frac{\varepsilon_k+1}2$ とおくと $b_k$ は $0$ か $1$ で、$\varepsilon_k=2b_k-1$ なので
$$ S_n=\sum_{k=1}^n2^k(2b_k-1)=4\sum_{k=1}^nb_k2^{k-1}-(2^{n+1}-2) $$
である。$m=\sum_{k=1}^nb_k2^{k-1}$ は、$b_n\cdots b_2b_1$ を 2 進法で読んだ数で、$2^n$ 通りの $(b_1,\dots,b_n)$ に $0,1,\dots,2^n-1$ がちょうど 1 つずつ対応する（2 進法の表し方はただ 1 通り）。どの $(b_1,\dots,b_n)$ も確率 $\frac1{2^n}$ なので、$S_n$ は $4m-(2^{n+1}-2)$（$m=0,1,\dots,2^n-1$）を等しい確率 $\frac1{2^n}$ でとる。等間隔の値を等しい確率でとる、平らな分布である。
段 3（正規分布に近づかない）。$\lvert S_n\rvert$ の最大値は $2^{n+1}-2$ なので、標準化した和 $\frac{S_n}{\sqrt{V(S_n)}}$ の絶対値は
$$ \frac{2^{n+1}-2}{\sqrt{(4^{n+1}-4)/3}}=\sqrt3\cdot\frac{2^{n+1}-2}{\sqrt{(2^{n+1}-2)(2^{n+1}+2)}}=\sqrt3\sqrt{\frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}+2}}<\sqrt3 $$
以下である。よって、どの $n$ でも標準化した和が $-2$ 以上 $2$ 以下に入る確率は $1$ で、標準正規分布の $2u(2)=0.9544$ に近づかない。実際、標準化した和の分布は区間 $[-\sqrt3,\sqrt3]$ 上の一様分布に近づく（図 5）。
崩れている条件は、「どの項も全体に比べて小さい」ことである。同じ分布なら各項の分散は全体の $\frac1n$ で、$n$ とともに小さくなるが、この例では最後の項が全体の約 $\frac34$ を占め続ける。