終対象

概要

前提知識: 圏、射、同型射

定義

終対象

圏 $\mathcal C$ の対象 $1$ が終対象（terminal object）であるとは、任意の対象 $X$ に対して射 $X\to1$ がただ一つ存在することをいう。局所小圏では、これは
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,1)\cong\{*\} $$
がすべての $X$ で成り立つという条件である。局所小とは各対象対の射全体が集合であることをいう。

記号 $1$ は対象の名前であり、一点集合そのものを指すとは限らない。射の向きを逆転した反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ では終対象は始対象になる。標準的な定義と例は Rie16 §1.6による。

直感

終対象は、任意の対象から情報を受け取る方法が一つだけの対象である。集合の一点集合へ送ると、どの元も同じ一点へ送るほかない。この「すべてを忘れる写像」が必ず定まるという普遍性が、圏によらない内容である。
すべての $X$ から少なくとも一本射があるだけなら弱終対象という。一意性を落とすと別概念になる。

例と反例

集合の一点集合

$\mathbf{Set}$ では任意の一点集合が終対象である。$X$ の各元の像をその一点とする関数が唯一の候補となる。$X=\emptyset$ でも空関数が一つ存在する。同様に、位相空間の圏 $\mathbf{Top}$ では一点空間が終対象である（一意な連続写像は定値写像である）。

群の自明群

群と群準同型の圏では、一元群が終対象である。任意の群からすべての元を単位元へ送る準同型がただ一つある。同じ一元群は始対象でもあり、このように両条件を満たす対象を零対象という。同様に、単位的環の圏 $\mathbf{Ring}$ では零環が終対象である。

半順序集合の最大元

半順序集合を $x\leq y$ のとき射が一つある圏とみなすと、終対象は最大元である。例えば集合 $S$ の部分集合を包含で並べた圏では $S$ が終対象。互いに比較不能な極大元が2つ以上あれば、いずれも最大元ではない。

反例：非空なら終対象とは限らない

$\mathbf{Set}$ では二点集合への関数は任意の $X$ について少なくとも一つ存在するが、一点集合から二点集合への関数は二つある。従って二点集合は弱終対象ではあっても終対象ではない。また空集合には一点集合からの射がないので、弱終対象ですらない。

性質と証明

終対象の一意性

二つの終対象の間にはただ一つの同型射がある。

唯一の自己射

$1,1'$ を終対象とする。射 $u:1\to1'$、$v:1'\to1$ がただ一つずつ存在し、自己射の一意性から $vu=\operatorname{id}_1$、$uv=\operatorname{id}_{1'}$。従って両者は逆同型である。唯一性も終対象の定義から従う。

積の単位

$1$ が終対象なら、任意の $X$ に対する積 $X\times1$ は $X$ で表せる。二対象の積とは、二対象への射を持ち、任意の対象からその二対象への射の組を一意に受け取る対象である。

二本の射の組を受け取る

候補を $X$、射影を $\operatorname{id}_X:X\to X$ と唯一の射 $X\to1$ とする。任意の $a:Y\to X$ と $b:Y\to1$ に対し、候補への射は $a$。終対象への合成は必ず $b$ と一致し、第1射影との条件が候補への射を一意に決める。

空図式の極限(圏論)も終対象である。脚のない錐は頂点だけのデータなので、錐の圏はもとの圏となる。

豊穣圏・∞圏との接続

豊穣圏では射集合をHom対象へ替え、豊穣的な終対象には各 $\mathcal A(X,1)$ が基礎圏 $\mathcal V$ の終対象であることを要求する。基礎圏のモノイダル単位と終対象は一般には同じでない。単位からの要素だけを数えることと、Hom対象全体の普遍性を混同しない（Kel82 §3.1）。
∞-圏の終対象は、全 $X$ について $\operatorname{Map}(X,1)$ が可縮となる対象である。離散的な写像空間では通常の一意性へ戻るが、一般には射の選択だけでなく高次の比較も必要になる。専用稿は「終対象(∞圏)」（HTT09 §1.2.12）。