複素射影空間の接束

代表によらないこと．$v$ を $cv$（$c\ne0$）に替えると曲線は $[cv+tc\tilde\phi(v)]=[v+t\tilde\phi(v)]$ で変わらない。代表を $\tilde\phi(v)+av$（$a\in\mathbb C$）に替えると、$t$ が小さければ $1+ta\ne0$ で
$$ [v+t(\tilde\phi(v)+av)]=\Bigl[v+\frac{t}{1+ta}\tilde\phi(v)\Bigr] $$
であり、$t\mapsto t/(1+ta)$ の $t=0$ での微分は $1$ なので、2 つの曲線の $t=0$ での微分は等しい。
座標での形．$\ell\in U_0$ を $\ell=[1:w_1:\dots:w_n]$ と書き、$v(w):=(1,w_1,\dots,w_n)$ を $\gamma|_{U_0}$ の正則な枠とする。$e_0,\dots,e_n$ を $\mathbb C^{n+1}$ の標準基底とすると、$v(w),e_1,\dots,e_n$ は $\mathbb C^{n+1}$ の基底なので、$e_1,\dots,e_n$ の類は $Q_\ell$ の基底であり、$\phi_j(v(w)):=e_j\bmod\ell$ で定まる $\phi_1,\dots,\phi_n$ は $\operatorname{Hom}(\gamma,Q)|_{U_0}$ の正則な枠である。$\phi=\sum_ja_j\phi_j$ について代表 $\sum_ja_je_j$ をとると、曲線は
$$ t\longmapsto[v(w)+t\textstyle\sum_ja_je_j]=[1:w_1+ta_1:\dots:w_n+ta_n] $$
で、座標では $w+ta$ である。よって $\Phi_\ell(\phi)=\sum_ja_j\,\partial/\partial w_j$ であり、$\Phi$ は枠 $(\phi_j)$ を座標の枠 $(\partial/\partial w_j)$ に写す。
結論．$U_0$ の上で $\Phi$ は正則な枠を正則な枠に写すので、正則ベクトル束の同型である。$\Phi$ は座標を使わずに定義されているので、ほかの座標近傍 $U_i=\{z_i\ne0\}$ でも（$e_0,\dots,e_n$ の番号を入れ替えて）同じ議論が使え、$\Phi$ は $\mathbb{CP}^n$ 全体で同型である。最後の主張は同型 $\gamma^\perp\cong Q$ による。$\square$

1．$0\to\gamma\to\underline{\mathbb C}^{n+1}\to Q\to0$ は正則ベクトル束の完全列で、$\gamma^\vee\otimes(\,\cdot\,)$ はファイバーごとに完全性を保つので、
$$ 0\to\operatorname{Hom}(\gamma,\gamma)\to\operatorname{Hom}(\gamma,\underline{\mathbb C}^{n+1})\to\operatorname{Hom}(\gamma,Q)\to0 $$
は完全である。$\operatorname{Hom}(\gamma,\gamma)$ は各ファイバーが $\mathbb C\cdot\mathrm{id}_\ell$ で、$\ell\mapsto\mathrm{id}_\ell$ はどこでも $0$ にならない正則な切断なので $\mathcal O$ と同型である。$\operatorname{Hom}(\gamma,\underline{\mathbb C}^{n+1})=(\gamma^\vee)^{\oplus(n+1)}=\mathcal O(1)^{\oplus(n+1)}$ であり、thm-cpt-hom により $\operatorname{Hom}(\gamma,Q)\cong T\mathbb{CP}^n$ である。
2．$\operatorname{Hom}(\gamma,\,\cdot\,)$ は直和を保つので、$\gamma\oplus\gamma^\perp=\underline{\mathbb C}^{n+1}$ から $\operatorname{Hom}(\gamma,\gamma)\oplus\operatorname{Hom}(\gamma,\gamma^\perp)\cong\mathcal O(1)^{\oplus(n+1)}$ であり、1 と同じく左辺は $\underline{\mathbb C}\oplus T\mathbb{CP}^n$ に同型である。$\square$

自明束の全 Chern 類は $1$ であり（Chern類 の例「自明束と自明な直和因子」）、正規化により $c(\mathcal O(1))=1+h$ である（Chern類 の定義「Chern類の公理的定義」の 3）。cor-cpt-euler-sequence の 2 と Whitney の和公式から
$$ c(T\mathbb{CP}^n)=c(\underline{\mathbb C})\,c(T\mathbb{CP}^n)=c\bigl(\underline{\mathbb C}\oplus T\mathbb{CP}^n\bigr)=c(\mathcal O(1))^{n+1}=(1+h)^{n+1} $$
である。二項展開すると $c_i=\binom{n+1}{i}h^i$ で、$i=n+1$ の項 $h^{n+1}$ は $H^*(\mathbb{CP}^n)$ で $0$ なので、階数 $n$ の束の $c_{n+1}$ が $0$ であることと整合している。$\square$

1．複素ベクトル束の最高次の Chern 類は、複素構造の向きでの実化の Euler 類に等しい（Euler類 の節「ほかの特性類との関係」の表）。thm-cpt-chern により $\langle c_n,[\mathbb{CP}^n]\rangle=(n+1)\langle h^n,[\mathbb{CP}^n]\rangle=n+1$ である。$H^k(\mathbb{CP}^n;\mathbb Z)$ は $k=0,2,\dots,2n$ で $\mathbb Z$、ほかで $0$ なので $\chi(\mathbb{CP}^n)=n+1$ である（複素射影空間 の命題「コホモロジー群と制限」の 1）。
2．位相的には、cor-cpt-euler-sequence の 2 と 行列式束 の定理「行列式束と束の構成」の 1 から $\det T\cong\det(\underline{\mathbb C}\oplus T)\cong\det(\mathcal O(1)^{\oplus(n+1)})\cong\mathcal O(n+1)$ である。正則な同型を得るには、正則ベクトル束の短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$（階数 $a,b,c$）について、$\alpha\otimes\bar\beta\mapsto\alpha\wedge\beta$（$\bar\beta\in\Lambda^cC$ の $\Lambda^cB$ への持ち上げ $\beta$ をとる）が正則な同型 $\det A\otimes\det C\cong\det B$ を与えることを使う。持ち上げの違いは $A$ の元を含む項で、$\alpha$ との外積が $0$ になるので値は持ち上げによらず、ファイバーごとに $A$ の基底と $C$ の基底の持ち上げを並べると $B$ の基底になるので同型である。これを cor-cpt-euler-sequence の 1 に使えば $\det T\cong\det\mathcal O\otimes\det T\cong\mathcal O(n+1)$ が正則に成り立ち、双対をとって $K\cong\mathcal O(-n-1)$ を得る（行列式束 の定理「行列式束と束の構成」の 2）。
3．Pontryagin類 の命題「共役と奇数番目の Chern 類」の 1 により、共役束 $\overline T$ について $c(\overline T)=(1-h)^{n+1}$ である。同記事の補題「実化の複素化」により
$$ 1-p_1(T_{\mathbb R})+p_2(T_{\mathbb R})-\cdots=c(T)\,c(\overline T)=(1+h)^{n+1}(1-h)^{n+1}=(1-h^2)^{n+1} $$
であり、$4i$ 次の成分を比べて $p_i(T_{\mathbb R})=\binom{n+1}{i}h^{2i}$ を得る。これは Pontryagin類 の定理「複素射影空間の Pontryagin 類」と同じである。
4．cor-cpt-euler-sequence の 2 を実ベクトル束とみると $\varepsilon^2\oplus T_{\mathbb R}\cong(\mathcal O(1)_{\mathbb R})^{\oplus(n+1)}$ である。$H_*(\mathbb{CP}^n;\mathbb Z)$ は偶数次だけにある自由加群なので、普遍係数定理 により $H^k(\mathbb{CP}^n;\mathbb Z/2)$ は奇数次で $0$、偶数次 $2i\le2n$ で $\bar h^i$ が生成する $\mathbb Z/2$ である。よって階数 $2$ の $\mathcal O(1)_{\mathbb R}$ について $w(\mathcal O(1)_{\mathbb R})=1+w_2$ であり、$w_2$ は Euler 類 $c_1(\mathcal O(1))=h$ の $\bmod2$ 還元 $\bar h$ である（Stiefel–Whitney類 の系「Euler 類の mod 2 還元」の 2）。同記事の命題「基本性質」の 1 と Whitney の和公式から $w(T_{\mathbb R})=w(\varepsilon^2\oplus T_{\mathbb R})=(1+\bar h)^{n+1}$ である。$\square$

同型 $T\mathbb{CP}^n\cong L_1\oplus\cdots\oplus L_n$ があったとする。$H^2(\mathbb{CP}^n;\mathbb Z)=\mathbb Zh$ なので $c_1(L_j)=a_jh$（$a_j\in\mathbb Z$）と書け、直線束では $c(L_j)=1+a_jh$ である（Chern類 の系「直線束の全Chern類と双対」の 1）。Whitney の和公式と thm-cpt-chern から、$\mathbb Z[h]/(h^{n+1})$ の中で
$$ \prod_{j=1}^n(1+a_jh)=(1+h)^{n+1} $$
である。$n\ge2$ なので $h$ と $h^2$ の係数を比べられ、$\sum_ja_j=n+1$、$\sum_{j< k}a_ja_k=\binom{n+1}{2}$ を得る。よって
$$ \sum_ja_j^2=\Bigl(\sum_ja_j\Bigr)^2-2\sum_{j< k}a_ja_k=(n+1)^2-(n+1)n=n+1 $$
である。Cauchy–Schwarz の不等式 $(\sum_ja_j)^2\le n\sum_ja_j^2$ に代入すると $(n+1)^2\le n(n+1)$、すなわち $n+1\le n$ となって矛盾する。$\square$

まず $\gamma=\mathcal O(-1)$ の正則な切断は $0$ だけであることを示す。正則な切断 $s$ は、各 $\ell$ に $s(\ell)\in\ell\subset\mathbb C^{n+1}$ を対応させる正則写像 $\mathbb{CP}^n\to\mathbb C^{n+1}$ とみなせる。$\mathbb{CP}^n$ は連結なコンパクト複素多様体なので、その各成分は定数であり（複素多様体 の命題「コンパクト複素多様体上の正則関数」）、$s$ は定数ベクトル $c$ である。$c$ はすべての直線 $\ell$ に入るので $c=0$ である。
正則な束写像 $r\colon\mathcal O(1)^{\oplus(n+1)}\to\mathcal O$ は、$\operatorname{Hom}(\mathcal O(1)^{\oplus(n+1)},\mathcal O)=\mathcal O(-1)^{\oplus(n+1)}$ の正則な切断なので $0$ である。よって $r\circ\iota=0\ne\mathrm{id}$ である。$\square$