単位行列

$A=(a_{ij})$ とする。積の定義から $I_mA$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_{k=1}^{m}\delta_{ik}a_{kj}$ である。和の中で $\delta_{ik}\neq0$ となるのは $k=i$ の項だけで、その項は $1\cdot a_{ij}=a_{ij}$ なので、$(I_mA)_{ij}=a_{ij}$ である。同様に $(AI_n)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\delta_{kj}=a_{ij}$ である（行列 の記事の命題「デルタ記号の計算規則」）。この計算は $R$ の可換性を使わない。$\square$

1：$G$ が右単位元なので $F=FG$、$F$ が左単位元なので $FG=G$ である。よって $F=G$ である。prop-identity-matrix-neutral により $I_n$ は左単位元でも右単位元でもあるから、左単位元 $F$ は $F=I_n$ を、右単位元 $G$ は $I_n=G$ を満たす。
2：$F$ の第 $j$ 列は $Fe_j$ であり、仮定から $Fe_j=e_j$ である。$e_j$ は $I_n$ の第 $j$ 列なので、$F$ と $I_n$ は列がすべて一致し、$F=I_n$ である。$\square$

1：$\mathrm{id}_V(v_j)=v_j=\sum_{i}\delta_{ij}v_i$ なので、$\mathrm{id}_V$ の表現行列の $(i,j)$ 成分は $\delta_{ij}$ であり、$M_v(\mathrm{id}_V)=I_n$ である。逆に $M_v(T)=I_n$ なら $T(v_j)=\sum_i\delta_{ij}v_i=v_j$ がすべての $j$ で成り立つ。線形写像は基底での値で決まる（線形代数学 の記事の定理「表現行列と基底の取り替え」の 1）ので、$T=\mathrm{id}_V$ である。
2：同定理の 2 により、合成 $S\circ T$ の表現行列は表現行列の積である。$\mathrm{id}_V=\mathrm{id}_V\circ\mathrm{id}_V$ を、基底 $u$ から $v$ へ、続けて $v$ から $u$ へと読むと $M_u(\mathrm{id}_V)=M_{v,u}(\mathrm{id}_V)M_{u,v}(\mathrm{id}_V)=QP$ であり、1 により左辺は $I_n$ である。$u$ と $v$ の役割を入れ替えれば $PQ=I_n$ も得られる。
3：$P=(p_{ij})$ とすると $u_j=\mathrm{id}_V(u_j)=\sum_ip_{ij}v_i$ である。$x=\sum_jc_ju_j$ とおくと
$$ x=\sum_{j}c_j\sum_{i}p_{ij}v_i=\sum_{i}\Bigl(\sum_{j}p_{ij}c_j\Bigr)v_i $$
であり、$v_i$ の係数 $\sum_jp_{ij}c_j$ は列ベクトル $P\varphi_u(x)$ の第 $i$ 成分である。座標は一意に定まるので $\varphi_v(x)=P\varphi_u(x)$ である。$\square$

1：${}^{t}I_n$ の $(i,j)$ 成分は $\delta_{ji}=\delta_{ij}$ である。prop-identity-matrix-neutral で $A=I_n$ とすれば $I_nI_n=I_n$ で、$k$ についての帰納法で $I_n^{\,k}=I_n$ を得る（$k=0$ は $A^0:=I_n$ の約束による）。$I_nI_n=I_n$ は $I_n$ が自分自身の逆行列であることを言っている。
2：Leibniz の公式 $\det A=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$（行列式 の記事の定義「Leibnizの公式による定義」）で $A=I_n$ とすると、積 $\delta_{1\sigma(1)}\cdots\delta_{n\sigma(n)}$ が $0$ でないのは $\sigma(i)=i$ がすべての $i$ で成り立つとき、すなわち $\sigma$ が恒等置換のときだけで、その項は $+1$ である。よって $\det I_n=1$ である。跡は対角成分の和なので $1+\dots+1=n\cdot1$ である。
3：$xI_n-I_n$ は対角成分がすべて $x-1$ の対角行列である。2 と同じく Leibniz の公式で恒等置換の項だけが残るので、$p_{I_n}(x)=(x-1)^n$ である。固有値は固有多項式の根なので $1$ だけである。また $I_nv=v=1\cdot v$ なので、$0$ でないすべての $v$ が固有値 $1$ の固有ベクトルである。
4：$P^{-1}I_nP=P^{-1}P=I_n$ である。$\square$

1 ⇒ 2 と 1 ⇒ 3 は prop-identity-matrix-values による（$I_n$ 自身が対角行列である）。
2 ⇒ 1：$A^2=A$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛けると $A=A^{-1}A^2=A^{-1}A=I_n$ である。
3 ⇒ 1：対角化可能なので、正則行列 $P$ と対角行列 $D$ で $P^{-1}AP=D$ となるものがある。$D$ の対角成分を $d_1,\dots,d_n$ とすると、$p_D(x)=\prod_i(x-d_i)$ であり（3 の証明と同じく Leibniz の公式で恒等置換の項だけが残る）、相似な行列の固有多項式は等しい（固有値 の記事の命題「固有多項式の相似不変性」）ので、$d_1,\dots,d_n$ は $A$ の固有値である。仮定からすべて $1$ なので $D=I_n$ であり、$A=PDP^{-1}=PP^{-1}=I_n$ である。$\square$

$A=cI_n$ なら、$R$ が可換なので $(cI_n)B=cB=B(cI_n)$ である。
逆に $A=(a_{ij})$ がすべての行列と交換するとする。$E_{jj}$ を $(j,j)$ 成分だけが $1$ の行列とすると、$AE_{jj}$ は $A$ の第 $j$ 列だけを残した行列、$E_{jj}A$ は $A$ の第 $j$ 行だけを残した行列である。両者の $(i,j)$ 成分を比べると、$i\ne j$ のとき $a_{ij}=0$ を得る。よって $A$ は対角行列 $\operatorname{diag}(a_{11},\dots,a_{nn})$ である。次に $i\neq j$ とし、$i$ と $j$ を入れ替える互換 $\tau$ の置換行列 $P=P_\tau$（ex-identity-matrix-special）をとる。$Pe_k=e_{\tau(k)}$ と $\tau^2=\mathrm{id}$ から $P^{-1}=P$ であり、
$$ PAP^{-1}e_{\tau(k)}=PAe_k=a_{kk}Pe_k=a_{kk}e_{\tau(k)} $$
なので、$PAP^{-1}$ は $A$ の対角成分の $i$ 番目と $j$ 番目を入れ替えた対角行列である。$AP=PA$ より $PAP^{-1}=A$ なので $a_{ii}=a_{jj}$ である。したがって対角成分はすべて等しく、$c:=a_{11}$ とおけば $A=cI_n$ である。$\square$

行列の空間 $M_n(K)$ は $K$ 上 $n^2$ 次元のベクトル空間である。線形写像 $\rho\colon M_n(K)\to M_n(K)$ を $\rho(X):=XA$ で定める。$\rho(X)=0$ なら
$$ X=XI_n=X(AB)=(XA)B=0\cdot B=0 $$
なので $\rho$ は単射である。定義域と値域の次元が等しい有限次元空間の間の線形写像なので、単射なら全射である（線形代数学 の記事の定理「次元定理」）。よって $\rho(C)=I_n$、すなわち $CA=I_n$ となる $C\in M_n(K)$ がある。すると
$$ C=CI_n=C(AB)=(CA)B=I_nB=B $$
であり、$BA=CA=I_n$ である。$\square$