空間座標と球面の方程式

同義語：球面の方程式coordinates in space and equation of a sphereequation of a sphere

概要

前提知識: 空間の直線の方程式, 空間の平面と法線ベクトル, 三平方の定理（高校数学）

高校での出発点：空間の距離と、中心から等しい距離の点

平面の円は「中心から等しい距離の点の全体」で、方程式は $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ だった。空間で同じことを考えると球面になる。まず、空間の 2 点の距離を測る。
2 点 P(1,2,3)、Q(4,6,15) の距離を、R(4,6,3) を経由して測る。PR=5 は底面の中の長さ、RQ=12 は高さで、角 PRQ は直角なので PQ=13 になる

空間の 2 点の距離

$P(1,2,3)$、$Q(4,6,15)$ の距離を求める（図 1）。$R(4,6,3)$ をとると、$P$ と $R$ は平面 $z=3$ の上にあり、その平面の中で三平方の定理を使うと $PR^2=(4-1)^2+(6-2)^2=9+16=25$ である。$R$ と $Q$ は $x,y$ 座標が同じなので、線分 $RQ$ は $z$ 軸に平行で、$RQ=15-3=12$ である。$RQ$ は平面 $z=3$ に垂直なので $\angle PRQ=90^\circ$ で、もう一度三平方の定理を使うと
$$ PQ^2=PR^2+RQ^2=25+144=169,\qquad PQ=13 $$
である。まとめると $PQ^2=(4-1)^2+(6-2)^2+(15-3)^2$ で、座標の差の 2 乗を 3 つ足している。

中心から等しい距離の点

点 $C(1,-2,3)$ からの距離が $4$ の点 $P(x,y,z)$ の条件は、ex-sph-start-distance と同じ計算で
$$ (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16 $$
である。展開して整理すると $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ になる。点 $(1,-2,7)$ や $(5,-2,3)$ はこの式を満たす（$0+0+16=16$、$16+0+0=16$）。

球面を平面で切る

$(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9$（中心 $(2,-1,3)$、半径 $3$）で $z=5$ とすると、$(x-2)^2+(y+1)^2=9-4=5$ となる。平面 $z=5$ の上の、中心 $(2,-1,5)$、半径 $\sqrt5$ の円である。$9-4$ の $4$ は、中心と平面 $z=5$ の距離 $2$ の 2 乗である。

この記事では、次の問いに答える。

空間の 2 点の距離の公式は、いつも成り立つか。→ thm-sph-distance
$x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ はいつ球面を表すか。→ prop-sph-general
球面を平面で切ると何が現れるか。ex-sph-start-cut の $9-4$ は何か。→ thm-sph-plane

2 つの球面の交わりは何か。→ thm-sph-radical

平面	空間	この記事のボックス
2 点の距離 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$	$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$	thm-sph-distance
円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	球面 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$	def-sph-sphere
円と直線：2 点・1 点・なし	球面と平面：円・1 点・なし	thm-sph-plane
2 円の根軸	2 球面の根平面	thm-sph-radical

空間座標と 2 点間の距離

空間座標

空間に点 $O$ をとり、$O$ で互いに垂直に交わる 3 本の数直線を $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸とする。点 $P$ を通り各軸に垂直な 3 枚の平面が、$x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸と交わる点の目盛りを $a$、$b$、$c$ とするとき、$(a,b,c)$ を $P$ の座標といい、$P(a,b,c)$ と書く。$x$ 軸と $y$ 軸を含む平面を $xy$ 平面といい、その方程式は $z=0$ である。$yz$ 平面（$x=0$）、$zx$ 平面（$y=0$）も同じように定める。

各軸に垂直な平面は $x=a$ のような式で表され、たとえば平面 $z=c$ は $xy$ 平面に平行で、$z$ 軸に垂直である。

2 点間の距離

空間の 2 点 $P(x_1,y_1,z_1)$、$Q(x_2,y_2,z_2)$ の距離は
$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} $$
である。特に、原点と $P(x,y,z)$ の距離は $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ である。

三平方の定理を 2 回使う

方針：$R(x_2,y_2,z_1)$ を経由し、平面 $z=z_1$ の中の直角三角形と、$R$ で直角になる直角三角形に三平方の定理を 1 回ずつ使う（ex-sph-start-distance と同じ）。三平方の定理は三平方の定理（高校数学）による。
段 1（$PR$）。$P$ と $R$ はどちらも平面 $z=z_1$ の上にある。この平面は $xy$ 平面を $z$ 軸の向きに平行移動したもので、その中では $x$ 座標・$y$ 座標が平面の座標の役をする。平面の 2 点間の距離の公式（平面の中の三平方の定理）により $PR^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$ である。
段 2（$RQ$）。$R$ と $Q$ は $x$ 座標・$y$ 座標が同じなので、線分 $RQ$ は $z$ 軸に平行で、$RQ=\lvert z_2-z_1\rvert$ である。
段 3（直角）。$z$ 軸は平面 $z=z_1$ に垂直なので、$z$ 軸に平行な線分 $RQ$ は、平面 $z=z_1$ の中の線分 $PR$ と垂直である。$P\ne R$ かつ $R\ne Q$ なら、三角形 $PRQ$ は $\angle PRQ=90^\circ$ の直角三角形で、三平方の定理から
$$ PQ^2=PR^2+RQ^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2 $$
である。$P=R$ なら $PR=0$ で $PQ=RQ$、$R=Q$ なら $RQ=0$ で $PQ=PR$ なので、どちらの場合も同じ式が成り立つ。$\square$

位置ベクトルで書くと、$\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p$ の長さの 2 乗は $\lvert\vec q-\vec p\rvert^2=(\vec q-\vec p)\cdot(\vec q-\vec p)$ で、これが成分の 2 乗の和になることを thm-sph-distance が保証している。

球面の方程式

球面

空間の点 $C$ と正の数 $r$ について、$C$ からの距離が $r$ の点の全体を、中心 $C$、半径 $r$ の球面という。$C(a,b,c)$ のとき、thm-sph-distance により、点 $P(x,y,z)$ が球面の上にあることは
$$ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 $$
と同値である（距離も $r$ も $0$ 以上なので、2 乗しても同値）。位置ベクトルで書けば $\lvert\vec p-\vec c\rvert=r$ で、平面の円のベクトル方程式（ベクトル方程式（直線と円））と同じ形である。

展開すると $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ の形になる。逆に、この形の式がいつ球面を表すかは、平方完成で分かる。

一般形の表す図形

実数 $A,B,C,D$ について、方程式 $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ の表す図形は、$k=\dfrac{A^2+B^2+C^2}4-D$ とおくと、

$k>0$ のとき、中心 $\Bigl(-\dfrac A2,-\dfrac B2,-\dfrac C2\Bigr)$、半径 $\sqrt k$ の球面である。
$k=0$ のとき、1 点 $\Bigl(-\dfrac A2,-\dfrac B2,-\dfrac C2\Bigr)$ である。
$k<0$ のとき、空集合（点が 1 つもない）である。

3 つの文字について平方完成する

$x^2+Ax=\Bigl(x+\dfrac A2\Bigr)^2-\dfrac{A^2}4$ で、$y$、$z$ も同じなので、方程式は
$$ \Bigl(x+\frac A2\Bigr)^2+\Bigl(y+\frac B2\Bigr)^2+\Bigl(z+\frac C2\Bigr)^2=\frac{A^2+B^2+C^2}4-D=k $$
と同値である。左辺は点 $P(x,y,z)$ と $M\Bigl(-\dfrac A2,-\dfrac B2,-\dfrac C2\Bigr)$ の距離の 2 乗 $PM^2$ である（thm-sph-distance）。$k>0$ なら $PM=\sqrt k$ で 1 が出る。$k=0$ なら $PM=0$、つまり $P=M$ だけで 2 が出る。$k<0$ なら $PM^2\ge0>k$ なので満たす点がなく、3 が出る。$\square$

一般形から中心と半径を読む

$x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+5=0$：$A=-4$、$B=2$、$C=-6$、$D=5$ で、$k=\dfrac{16+4+36}4-5=14-5=9$ である。中心 $(2,-1,3)$、半径 $3$ の球面で、ex-sph-start-cut の球面である。
定数項を $14$ に替えると $k=0$ で、表すのは 1 点 $(2,-1,3)$ だけである。$15$ に替えると $k=-1<0$ で、満たす点はない。

主定理 1：球面と平面の交わり

ex-sph-start-cut の切り口は円だった。いつも円になるのか、半径は何で決まるのかを示す。以下、平面 $\pi$ と点 $C$ について、$C$ から $\pi$ に下ろした垂線の足を $H$ とし、$d=CH$ を $C$ と $\pi$ の距離とする。$\pi$ のどの点 $X$ についても
$$ CX^2=CH^2+HX^2\qquad(\ast) $$
が成り立つ（$CH$ は $\pi$ に垂直で、$HX$ は $\pi$ の中の線分なので、三平方の定理による。空間の平面と法線ベクトルの定理「点と平面の距離」はこれをベクトルで示し、$d$ の公式も与えている）。

球面と平面の交わり

中心 $C$、半径 $r$ の球面 $S$ と平面 $\pi$ について、$C$ と $\pi$ の距離を $d$、$C$ から $\pi$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。

$d< r$ なら、$S$ と $\pi$ の交わりは、$\pi$ の上の、中心 $H$、半径 $\sqrt{r^2-d^2}$ の円である。
$d=r$ なら、交わりは 1 点 $H$ だけである（$\pi$ は $S$ に $H$ で接する）。
$d>r$ なら、交わりは空集合である。

垂線の足からの距離に直す

方針：$\pi$ の点 $X$ が $S$ の上にあるかどうかを、$(\ast)$ で「$H$ からの距離」の条件に書き直す。
段 1（言い換え）。$X$ を $\pi$ の点とする。$X$ が $S$ の上にあることは $CX^2=r^2$ と同じで、$(\ast)$ により $d^2+HX^2=r^2$、つまり
$$ HX^2=r^2-d^2 $$
と同じである。
段 2（場合分け）。$d< r$ なら $r^2-d^2>0$ で、段 1 の条件は $HX=\sqrt{r^2-d^2}$ である。$\pi$ の上で $H$ からの距離が一定の点の全体なので、$\pi$ の上の中心 $H$、半径 $\sqrt{r^2-d^2}$ の円である。$d=r$ なら条件は $HX=0$、つまり $X=H$ だけである。$d>r$ なら $r^2-d^2<0$ で、$HX^2\ge0$ なので条件を満たす $X$ はない。$\square$

球面を平面で切ると円が現れる（左）。中心 C と垂線の足 H を通る断面（右）では、半径 r、中心と平面の距離 d、切り口の円の半径が直角三角形をつくる
図 2 の右の断面では、$C$、$H$ と切り口の円の上の点 $X$ が $\angle CHX=90^\circ$ の直角三角形をつくり、斜辺が $r$ である。ex-sph-start-cut の $9-4=5$ は $r^2-d^2$ だった。平面の円と直線の位置関係（円と直線の位置関係）で「中心と直線の距離と半径を比べる」のと同じ考え方で、次元が 1 つ上がっている。

同じ球面をいろいろな平面で切る

球面 $S:(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9$（中心 $C(2,-1,3)$、$r=3$）と、法線ベクトル $\vec n=(1,2,2)$（$\lvert\vec n\rvert=3$）の平面 $x+2y+2z=h$ を考える。$C$ との距離は $d=\dfrac{\lvert2-2+6-h\rvert}3=\dfrac{\lvert6-h\rvert}3$ である。
(1) $h=9$：$d=1<3$ で、切り口は半径 $\sqrt{9-1}=2\sqrt2$ の円である。中心 $H$ は $C$ から $\vec n$ の向きに進んだ点 $\vec c+\dfrac{h-\vec n\cdot\vec c}{\lvert\vec n\rvert^2}\vec n=(2,-1,3)+\dfrac39(1,2,2)=\Bigl(\dfrac73,-\dfrac13,\dfrac{11}3\Bigr)$ で、$\dfrac73-\dfrac23+\dfrac{22}3=9$ なので平面の上にある。
(2) $h=15$：$d=3=r$ で、平面は $S$ に接する。接点は $(2,-1,3)+\dfrac99(1,2,2)=(3,1,5)$ で、$1+4+4=9$、$3+2+10=15$ を満たす。
(3) $h=18$：$d=4>3$ で、共有点はない。

の接する平面は、平面の円の接線（ベクトル方程式（直線と円）の主定理「円の接線」）と同じ形の式で書ける。

接平面の方程式

中心 $C(\vec c)$、半径 $r$ の球面の上の点 $P_0(\vec p_0)$ で球面に接する平面（接平面）は、$P_0$ を通り $\overrightarrow{CP_0}$ に垂直な平面で、方程式は
$$ (\vec p_0-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2 $$
である。

接点は垂線の足

$P_0$ を通る平面 $\pi$ が球面と $P_0$ だけを共有するとする。thm-sph-plane により共有点が 1 点だけなのは $d=r$ のときで、その点は垂線の足 $H$ なので $H=P_0$ である。よって $CP_0\perp\pi$ で、$\pi$ は $P_0$ を通り法線ベクトル $\vec u=\vec p_0-\vec c$ の平面 $\vec u\cdot(\vec p-\vec p_0)=0$ である。逆にこの平面では、$C$ から下ろした垂線の足が $P_0$ で $d=CP_0=r$ なので、thm-sph-plane の 2 により $P_0$ で接する。最後に、$\vec p-\vec p_0=(\vec p-\vec c)-\vec u$ と $\lvert\vec u\rvert^2=r^2$ から $\vec u\cdot(\vec p-\vec p_0)=\vec u\cdot(\vec p-\vec c)-r^2$ なので、方程式は $(\vec p_0-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2$ と同値である。$\square$

ex-sph-plane の (2) では、$P_0(3,1,5)$、$\vec p_0-\vec c=(1,2,2)$ で、接平面は $(x-2)+2(y+1)+2(z-3)=9$、つまり $x+2y+2z=15$ で、確かに一致する。
球面と直線の交わりも、平面の円と直線と同じように、直線の媒介変数の式を代入して $t$ の 2 次方程式にすればよい。

球面と直線の交点

$S:(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9$ と、原点を通り方向ベクトル $(1,1,1)$ の直線 $\vec p=t(1,1,1)$（空間の直線の方程式）の交点を求める。代入すると $(t-2)^2+(t+1)^2+(t-3)^2=9$ で、展開すると $3t^2-8t+14=9$、つまり
$$ 3t^2-8t+5=0,\qquad (t-1)(3t-5)=0 $$
である。$t=1$、$\dfrac53$ で、交点は $(1,1,1)$ と $\Bigl(\dfrac53,\dfrac53,\dfrac53\Bigr)$ である。$(1,1,1)$ では $1+4+4=9$ を満たす。

主定理 2：2 つの球面の交わりと根平面

2 つの円の方程式を引き算すると直線（根軸）が出た（根軸と根心）。球面でも同じことが起きる。

点の球面に関する方べき

中心 $Q$、半径 $r$ の球面 $S$ と点 $P$ について、$f_S(P)=QP^2-r^2$ を、$P$ の $S$ に関する 方べき という。$S$ の方程式が $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ のとき、$f_S(P)$ は $P$ の座標を左辺に代入した値である（左辺は $QP^2-r^2$ を展開したものだから）。

2 つの球面の交わり

中心が異なる 2 つの球面 $S_1$（中心 $C_1$、半径 $r_1$）、$S_2$（中心 $C_2$、半径 $r_2$）について、$\ell=C_1C_2>0$ とする。

2 つの球面に関する方べきが等しい点の全体 $\Pi=\{P\mid f_{S_1}(P)=f_{S_2}(P)\}$ は、直線 $C_1C_2$ に垂直な平面である。これを $S_1$ と $S_2$ の 根平面 という。$C_1$ と $\Pi$ の距離は $d_1=\dfrac{\lvert \ell^2+r_1^2-r_2^2\rvert}{2\ell}$ である。
$S_1\cap S_2=S_1\cap\Pi$ である。したがって thm-sph-plane により、2 つの球面の交わりは、$\Pi$ の上の円（中心は直線 $C_1C_2$ の上、半径 $\sqrt{r_1^2-d_1^2}$）か、1 点か、空集合である。

方べきの差は 1 次式

方針：$f_{S_1}-f_{S_2}$ を位置ベクトルで展開すると、$\lvert\vec p\rvert^2$ が消えて 1 次式が残る。
段 1（差を計算する）。$f_{S_i}(P)=\lvert\vec p-\vec c_i\rvert^2-r_i^2=\lvert\vec p\rvert^2-2\,\vec c_i\cdot\vec p+\lvert\vec c_i\rvert^2-r_i^2$ なので
$$ f_{S_1}(P)-f_{S_2}(P)=2\,(\vec c_2-\vec c_1)\cdot\vec p+\bigl(\lvert\vec c_1\rvert^2-r_1^2\bigr)-\bigl(\lvert\vec c_2\rvert^2-r_2^2\bigr) $$
である。$\vec e=\vec c_2-\vec c_1$ とおくと、$\Pi$ は $2\,\vec e\cdot\vec p=m$（$m=\lvert\vec c_2\rvert^2-\lvert\vec c_1\rvert^2+r_1^2-r_2^2$）で、$\vec e\ne\vec 0$ なので、法線ベクトル $\vec e$ の平面である（空間の平面と法線ベクトル）。法線ベクトルが $\overrightarrow{C_1C_2}$ なので、$\Pi$ は直線 $C_1C_2$ に垂直である。
段 2（距離）。点と平面の距離の公式から、$C_1$ と $\Pi$ の距離は $\dfrac{\lvert2\,\vec e\cdot\vec c_1-m\rvert}{2\lvert\vec e\rvert}$ である。$\lvert\vec c_2\rvert^2=\lvert\vec c_1+\vec e\rvert^2=\lvert\vec c_1\rvert^2+2\,\vec e\cdot\vec c_1+\ell^2$ を $m$ に代入すると $2\,\vec e\cdot\vec c_1-m=-(\ell^2+r_1^2-r_2^2)$ なので、距離は $\dfrac{\lvert \ell^2+r_1^2-r_2^2\rvert}{2\ell}$ である。
段 3（交わり）。$P\in S_1\cap S_2$ なら $f_{S_1}(P)=0=f_{S_2}(P)$ なので $P\in\Pi$ である。逆に $P\in S_1\cap\Pi$ なら $f_{S_2}(P)=f_{S_1}(P)=0$ なので $P\in S_2$ である。よって $S_1\cap S_2=S_1\cap\Pi$ で、thm-sph-plane を $S_1$ と $\Pi$ に使えば 2 が出る。円の中心は $C_1$ から $\Pi$ に下ろした垂線の足で、$\Pi$ は直線 $C_1C_2$ に垂直なので、その足は直線 $C_1C_2$ の上にある。$\square$

2 つの球面 x²+y²+z²=25（青）と (x-6)²+y²+z²=13（橙）の交わりは、根平面 x=4（緑）の上の、中心 (4,0,0)、半径 3 の円（赤）になる

2 つの球面の交わりを求める

$S_1:x^2+y^2+z^2=25$（中心 $O$、$r_1=5$）と $S_2:(x-6)^2+y^2+z^2=13$（中心 $(6,0,0)$、$r_2=\sqrt{13}$）を考える（図 3）。$S_2$ の式を展開すると $x^2+y^2+z^2-12x+23=0$ で、$S_1$ の式 $x^2+y^2+z^2-25=0$ から引くと
$$ 12x-48=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=4 $$
となる。これが根平面である。$x=4$ を $S_1$ の式に入れると $y^2+z^2=9$ で、交わりは平面 $x=4$ の上の、中心 $(4,0,0)$、半径 $3$ の円である。thm-sph-radical の式で確かめると、$\ell=6$ で $d_1=\dfrac{36+25-13}{12}=4$、半径は $\sqrt{25-16}=3$ である。

交わりがどの場合になるかは、半径と中心の距離だけで決まる。

2 つの球面が円で交わる条件

thm-sph-radical の記号で、2 つの球面の交わりが円になるのは $\lvert r_1-r_2\rvert<\ell< r_1+r_2$ のときであり、そのときに限る。$\ell=r_1+r_2$ または $\ell=\lvert r_1-r_2\rvert$ なら 1 点で接し、それ以外なら共有点はない。

積に因数分解する

要点：円になるのは $d_1< r_1$、つまり $4\ell^2r_1^2-(\ell^2+r_1^2-r_2^2)^2>0$ のときである。左辺は $(r_1+r_2-\ell)(\ell-r_1+r_2)(\ell+r_1-r_2)(\ell+r_1+r_2)$ と因数分解でき、符号を調べると主張の条件になる。

詳しい証明を開く

段 1（因数分解）。$X=\ell^2+r_1^2-r_2^2$ とおく。$4\ell^2r_1^2-X^2=(2\ell r_1-X)(2\ell r_1+X)$ で、$2\ell r_1-X=r_2^2-(\ell-r_1)^2=(r_2-\ell+r_1)(r_2+\ell-r_1)$、$2\ell r_1+X=(\ell+r_1)^2-r_2^2=(\ell+r_1-r_2)(\ell+r_1+r_2)$ である。

段 2（符号）。$\ell+r_1+r_2>0$ である。残りの 3 つの因数 $r_1+r_2-\ell$、$\ell-r_1+r_2$、$\ell+r_1-r_2$ は、どの 2 つを足しても $2r_2$、$2\ell$、$2r_1$ のどれかになって正なので、2 つ以上が同時に $0$ 以下になることはない。よって積が正であることは、3 つがすべて正であること、つまり $\ell< r_1+r_2$ かつ $\ell>r_1-r_2$ かつ $\ell>r_2-r_1$、すなわち $\lvert r_1-r_2\rvert<\ell< r_1+r_2$ と同値である。

段 3（接する場合とそれ以外）。$d_1=r_1$ となるのは積が $0$ のときで、段 2 から 3 つの因数のちょうど 1 つが $0$、つまり $\ell=r_1+r_2$ か $\ell=\lvert r_1-r_2\rvert$ のときである。このとき thm-sph-plane の 2 により 1 点で接する。積が負のときは $d_1>r_1$ で、thm-sph-plane の 3 により共有点はない。$\square$

ex-sph-two では $\lvert5-\sqrt{13}\rvert\approx1.39<6<5+\sqrt{13}\approx8.61$ で、確かに円で交わる。平面の 2 つの円についても同じ条件で 2 点で交わる（2円の位置関係と共通接線）。

4 点を通る球面

同じ平面の上にない 4 点を通る球面はちょうど 1 つある。存在と一意性の証明は四面体の外接球と内接球の定理「外接球の存在と一意性」にある。ここでは一般形を使った求め方を示す。

4 点を通る球面を求める

4 点 $(4,2,3)$、$(1,5,3)$、$(1,2,6)$、$(-1,4,4)$ を通る球面を $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ とおく。4 点を代入すると
$$ 4A+2B+3C+D=-29,\quad A+5B+3C+D=-35,\quad A+2B+6C+D=-41,\quad -A+4B+4C+D=-33 $$
である。2〜4 本目から 1 本目を引くと $D$ が消えて
$$ -3A+3B=-6,\qquad -3A+3C=-12,\qquad -5A+2B+C=-4 $$
となる。1・2 本目から $B=A-2$、$C=A-4$ で、3 本目に入れると $-5A+2(A-2)+(A-4)=-4$、つまり $-2A=4$ で $A=-2$ である。よって $B=-4$、$C=-6$ で、最初の式から $D=-29+8+8+18=5$ である。球面は $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0$ で、prop-sph-general により $k=\dfrac{4+16+36}4-5=9$、中心 $(1,2,3)$、半径 $3$ である。4 点がどれも中心から距離 $3$ にあること（たとえば $(-1,4,4)$ では $4+4+1=9$）も確かめられる。

平面の円と空間の球面を比べる

観点	平面の円	空間の球面
方程式	$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$
一般形の表すもの	円・1 点・空集合	球面・1 点・空集合（prop-sph-general）
切る図形と切り口	直線：2 点・1 点・なし	平面：円・1 点・なし（thm-sph-plane）
接するもの	接線 $(\vec p_0-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2$	接平面（同じ式、cor-sph-tangent-plane）
2 つの交わりを含むもの	根軸（直線）	根平面（thm-sph-radical）
ただ 1 つに決まる条件	一直線上にない 3 点を通る	同じ平面の上にない 4 点を通る（ex-sph-four）

どの行も、平面の円の性質の「直線」を「平面」に、「2 次元」を「3 次元」に替えたものになっている。

例と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
一般形で $k>0$	定数項が $14$、$15$ の式（ex-sph-general の (2)）	一般形が球面を表す（1 点・空集合になる）
$x^2$、$y^2$、$z^2$ の係数が等しい	$x^2+2y^2+z^2=2$（ex-sph-ellipsoid）	式が球面を表す
平面の中で考える	空間の $x^2+y^2=4$（ex-sph-cylinder）	式が円を表す（円柱になる）
2 つの球面の中心が異なる	同心の 2 つの球面（ex-sph-concentric）	方べきが等しい点の全体が平面になる
4 点が同じ平面の上にない	同じ平面の上の 4 点（ex-sph-coplanar）	4 点を通る球面がちょうど 1 つある

反例：係数がそろわない 2 次式

$E:x^2+2y^2+z^2=2$ が、ある中心 $(a,b,c)$、半径 $r$ の球面だとする。$E$ は $(\pm\sqrt2,0,0)$、$(0,\pm1,0)$、$(0,0,\pm\sqrt2)$ を含む。$(\sqrt2,0,0)$ と $(-\sqrt2,0,0)$ から中心までの距離が等しいので $(\sqrt2-a)^2=(\sqrt2+a)^2$、つまり $a=0$ である。同じように $b=0$、$c=0$ で、中心は原点である。すると $(\sqrt2,0,0)$ から $r=\sqrt2$、$(0,1,0)$ から $r=1$ となって矛盾する。よって $E$ は球面ではない（楕円面という 2 次曲面である）。

反例：空間の $x^2+y^2=4$ は円柱

平面では $x^2+y^2=4$ は円だが、空間では $z$ に条件がないので、$(2,0,0)$、$(2,0,5)$、$(2,0,-100)$ などすべてを含む。$z$ 軸を軸とする半径 $2$ の円柱面である。空間の円は、ex-sph-start-cut のように「球面と平面」や「$x^2+y^2=4$ かつ $z=0$」のように、ふつう式を 2 本連立させて表す。

反例：同心の 2 つの球面

$S_1:x^2+y^2+z^2=1$、$S_2:x^2+y^2+z^2=4$ では、方べきの差は $f_{S_1}-f_{S_2}=(x^2+y^2+z^2-1)-(x^2+y^2+z^2-4)=3$ で、どの点でも $0$ にならない。方べきが等しい点はなく、根平面はない。prf-sph-radical の段 1 で使った $\vec e=\vec c_2-\vec c_1\ne\vec 0$ が崩れている。2 つの球面も交わらない。

反例：同じ平面の上の 4 点

$xy$ 平面の 4 点 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(-1,0,0)$、$(0,-1,0)$ は、どれも $(0,0,t)$ から距離 $\sqrt{1+t^2}$ にあるので、4 点を通る球面は $t$ ごとに 1 つずつ、無数にある。同じ平面の上にあって同じ円の上にない 4 点では、通る球面が 1 つもない。詳しくは四面体の外接球と内接球の反例「同じ平面の上の 4 点」で扱う。

演習

直径の両端から球面を求める

2 点 $A(-1,2,0)$、$B(3,0,4)$ を直径の両端とする球面の方程式を求めよ。

解答を開く

中心は $AB$ の中点 $(1,1,2)$、半径の 2 乗は $\dfrac{AB^2}4=\dfrac{16+4+16}4=9$ なので、$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9$ である。$A$ では $4+1+4=9$ を満たす。直径の両端を直角に見込む点が球面をつくることは直径に対する円周角で扱う。

球面と平面の切り口

球面 $x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-10=0$ の中心と半径を求め、平面 $z=1$ による切り口の円の中心と半径を求めよ。

解答を開く

平方完成すると $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=1+4+1+10=16$ で、中心 $(1,2,-1)$、半径 $4$ である。中心と平面 $z=1$ の距離は $2$ なので、thm-sph-plane により切り口は中心 $(1,2,1)$、半径 $\sqrt{16-4}=2\sqrt3$ の円である。

2 つの球面の交わり

球面 $x^2+y^2+z^2=9$ と $(x-2)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=4$ の交わりを調べよ。

解答を開く

中心の距離は $\ell=\sqrt{4+4+1}=3$、半径は $3$ と $2$ で、$\lvert3-2\rvert<3<3+2$ なので、cor-sph-two-condition により円で交わる。2 式を引くと $4x+4y+2z-14=0$、つまり根平面は $2x+2y+z=7$ である。原点との距離は $\dfrac73$ で（thm-sph-radical の式でも $\dfrac{9+9-4}{6}=\dfrac73$）、交わりの円の半径は $\sqrt{9-\dfrac{49}9}=\dfrac{4\sqrt2}3$ である。

大学数学で見る：球面と 2 次曲面

球面から先へ

球面の方程式 $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ は、$x,y,z$ の 2 次式 $=0$ の形の図形（2 次曲面）のうち、2 次の部分が $x^2+y^2+z^2$ に比例するものである。2 次の部分が $x^2+2y^2+z^2$ のようにそろわないと楕円面（ex-sph-ellipsoid）、$x^2+y^2$ だけなら円柱（ex-sph-cylinder）、$x^2+y^2-z^2$ なら円錐や双曲面になる。

次元を上げた球面と、立体射影を開く

$n$ 次元の球面。thm-sph-distance の式を $n$ 個の座標に広げた距離 $\sqrt{(x_1-y_1)^2+\dots+(x_n-y_n)^2}$ で、中心からの距離が $r$ の点の全体を $\mathbb{R}^n$ の球面という（n次元球面）。中心からの距離が $r$ 以下の点の全体は球（ボール）$\{\vec x\mid(\vec x-\vec x_c)\cdot(\vec x-\vec x_c)\le r^2\}$ で、凸集合の基本的な例として BV04 の §2.2.2 にある。thm-sph-plane と thm-sph-radical の証明は座標の個数によらずそのまま通り、$\mathbb{R}^n$ の球面を超平面で切ると、その超平面の中の球面・1 点・空集合のどれかになる。

立体射影。単位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ の北極 $N(0,0,1)$ と、$xy$ 平面の点 $(u,v,0)$ を結ぶ直線は、球面と $N$ 以外にもう 1 点$$\Bigl(\frac{2u}{1+u^2+v^2},\ \frac{2v}{1+u^2+v^2},\ \frac{u^2+v^2-1}{1+u^2+v^2}\Bigr)$$で交わる（成分を 2 乗して足すと $1$ になる）。この対応で平面と「球面から $N$ を除いたもの」が 1 対 1 に対応し、平面の円や直線は球面の上の円に移る（この記事では証明しない）。立体射影として、複素数平面を球面で見るときに使う。

さらに先へ

同じ平面の上にない 4 点を通る球面（外接球）と、四面体の 4 つの面に接する球面（内接球）は四面体の外接球と内接球で扱う。
平面の 2 つの円の根軸と、3 つの円の根心は根軸と根心で扱う。球面でも、中心が一直線上にない 3 つの球面の根平面は 1 本の直線で交わる（この記事では扱わない）。
2 つの球面の方程式 $F_1=0$、$F_2=0$ から $F_1+\lambda F_2=0$ を作ると、交わりの円を通る球面や根平面がまとめて得られる。この考え方は 2曲線の交点を通る図形（束）で扱う。