補間多重ゼータ値
概要
補間多重ゼータ値（interpolated multiple zeta value）とは、$\zeta^{t}(k_1,\ldots,k_r)=\sum_{0<n_1\le\cdots\le n_r}t^{\,r-\#\{n_1,\ldots,n_r\}}n_1^{-k_1}\cdots n_r^{-k_r}$（$k_r\ge 2$）で定まる $t$ の多項式（係数は多重ゼータ値）のことであり、Yamamoto が導入した。$t=0$ で多重ゼータ値、$t=1$ で多重ゼータスター値になり、縮約インデックスにわたる多重ゼータ値の和に等しい。Hoffman 代数上の変数変換 $y\mapsto y+xt$ に対応し、$t$-複シャッフル関係式・$t$-和公式・$t$-巡回和公式など、両者の関係式を $t$ を含む一つの等式に統一する。
定義
インデックス・許容インデックス・重さ・深さ・縮約インデックス $\preceq$・双対インデックス $\dagger$・Hoffman 双対インデックス $\vee$・$\oplus$・矢印記法・除去インデックス・$\{X\}^r$・Hoffman 代数 $\mathfrak{H}\supset\mathfrak{H}^1\supset\mathfrak{H}^0$・調和積 $\ast$・シャッフル積 $\mathbin{\text{ш}}$・evaluation map $Z$ の記法は公開記事 多重ゼータ値 のものを用い、$\zeta^{\star}$ は多重ゼータスター値を表す。$t$ は不定元とする。
許容インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$（$k_r\ge 2$）に対し、実数係数の多項式環 $\mathbb{R}[t]$ の元
$$\zeta^{t}(\boldsymbol{k})=\zeta^{t}(k_1,\ldots,k_r):=\sum_{0< n_1\le n_2\le\cdots\le n_r}\frac{t^{\,r-\#\{n_1,\ldots,n_r\}}}{n_1^{k_1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}$$
を補間多重ゼータ値（interpolated multiple zeta value、$t$-multiple zeta value）という。ここで $\#\{n_1,\ldots,n_r\}$ は $n_1,\ldots,n_r$ のうち相異なるものの個数であり、$t$ の指数 $r-\#\{n_1,\ldots,n_r\}$ は条件 $n_1\le\cdots\le n_r$ の中で等号が成り立つ箇所の個数である。$\zeta^{t}(\emptyset)=1$ とおく。$t=0$ のときは等号を含む項がすべて消えて多重ゼータ値 $\zeta(\boldsymbol{k})$、$t=1$ のときは多重ゼータスター値 $\zeta^{\star}(\boldsymbol{k})$ になる。右辺の $t$ の各べきの係数は prop-interpolated-multiple-zeta-value-contraction により有限個の多重ゼータ値の和であり、収束する。
許容インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し
$$\zeta^{t}(\boldsymbol{k})=\sum_{\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}}\zeta(\boldsymbol{l})\,t^{\,\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})-\mathrm{dep}(\boldsymbol{l})}$$
が成り立つ。特に $\zeta^{0}(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k})$、$\zeta^{1}(\boldsymbol{k})=\zeta^{\star}(\boldsymbol{k})$ であり、$\zeta^{t}(\boldsymbol{k})$ は重さ $\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})$ の多重ゼータ値を係数とする $t$ の多項式である。
多重ゼータスター値の記事の縮約インデックスによる表示の証明と同じく、$n_1\le\cdots\le n_r$ を満たす組を、等号が成り立つ位置の集合 $E\subset\{1,\ldots,r-1\}$ で分類する。$E$ を固定した組にわたる和は縮約インデックス $\boldsymbol{l}_E$（$E$ の位置で隣り合う成分を足したもの）の多重ゼータ値 $\zeta(\boldsymbol{l}_E)$ であり、その各項の $t$ の指数は $|E|=\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})-\mathrm{dep}(\boldsymbol{l}_E)$ で一定である。$E$ と縮約インデックスは一対一に対応するので主張を得る。$t=1$ の場合はスター値の縮約インデックスによる表示そのものである。$\square$
$\mathfrak{H}_t:=\mathfrak{H}[t]$、$\mathfrak{H}^1_t:=\mathbb{Q}[t]+y\mathfrak{H}_t$、$\mathfrak{H}^0_t:=\mathbb{Q}[t]+y\mathfrak{H}_tx$ とおく。$\mathbb{Q}[t]$ 代数の準同型 $\widetilde{S}^{t}\colon\mathfrak{H}_t\to\mathfrak{H}_t$ を $x\mapsto x$、$y\mapsto y+xt$ で定め、$\mathbb{Q}[t]$ 線形写像 $S^{t}\colon\mathfrak{H}^1_t\to\mathfrak{H}^1_t$ を $S^{t}(1)=1$、$S^{t}(yw)=y\,\widetilde{S}^{t}(w)$（$w\in\mathfrak{H}_t$）で定める（変形作用素）。$Z^{t}:=Z\circ S^{t}\colon\mathfrak{H}^0_t\to\mathbb{R}[t]$ とおく（$Z$ は $\mathbb{Q}[t]$ 線形に拡張する）。
$\mathfrak{H}^1_t$ 上の $\mathbb{Q}[t]$ 双線形な積 $\ast_t$（$t$-調和積）を $u\ast_t v:=S^{-t}(S^t(u)\ast S^t(v))$ で定める。この定義は本記事の語の向き $z_k=yx^{k-1}$ と整合する。さらに $\mathfrak{H}_t$ 上の $\mathbb{Q}[t]$ 双線形な積 $\mathbin{\text{ш}}_t$（$t$-シャッフル積）を、語 $w,w'$ と文字 $u,u'\in\{x,y\}$ に対し
$$1\mathbin{\text{ш}}_tw=w\mathbin{\text{ш}}_t1=w,\qquad wu\mathbin{\text{ш}}_tw'u'=(wu\mathbin{\text{ш}}_tw')u'+(w\mathbin{\text{ш}}_tw'u')u-\delta_{1,w'}\delta_{y,u'}\,wuy\,t-\delta_{1,w}\delta_{y,u}\,w'u'y\,t$$
で定める（$\delta_{1,w}$ は $w=1$ のとき $1$、それ以外は $0$）。$t=0$ でそれぞれ調和積・シャッフル積に戻る。$t=1$ の $\mathbin{\text{ш}}_1$ は多重ゼータスター値の記事のスターシャッフル積とは異なる積であることに注意する。
次が成り立つ。
- インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $S^{t}(z_{\boldsymbol{k}})=\sum_{\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}}z_{\boldsymbol{l}}\,t^{\,\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})-\mathrm{dep}(\boldsymbol{l})}$。したがって許容インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $Z^{t}(z_{\boldsymbol{k}})=\zeta^{t}(\boldsymbol{k})$ である。
- （加法性）$\mathfrak{H}^1[s,t]$ 上で $S^{s+t}=S^{s}\circ S^{t}$ が成り立つ。特に $S^{t}$ は可逆で $(S^{t})^{-1}=S^{-t}$ である。
- $z_{\boldsymbol{k}}=yx^{k_1-1}yx^{k_2-1}\cdots yx^{k_r-1}$ の最初の $y$ を除く各 $y$ に $\widetilde{S}^{t}$ を施すと $y+xt$ になる。展開して、$i$ 番目（$2\le i\le r$）の $y$ について $y$ を選ぶか $xt$ を選ぶかを決めると、$xt$ を選んだ位置では $yx^{k_{i-1}-1}\cdot xt\cdot x^{k_i-1}=t\,yx^{k_{i-1}+k_i-1}$ となって隣り合う成分 $k_{i-1},k_i$ が足し合わされる。$xt$ を選んだ位置の集合 $E\subset\{2,\ldots,r\}$ は縮約インデックス $\boldsymbol{l}_E\preceq\boldsymbol{k}$ と一対一に対応し、$t$ の指数は $|E|=\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})-\mathrm{dep}(\boldsymbol{l}_E)$ である。よって $S^{t}(z_{\boldsymbol{k}})=\sum_{\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}}z_{\boldsymbol{l}}t^{\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})-\mathrm{dep}(\boldsymbol{l})}$ であり、$Z$ を施して prop-interpolated-multiple-zeta-value-contraction と比べれば $Z^{t}(z_{\boldsymbol{k}})=\zeta^{t}(\boldsymbol{k})$ を得る（$\boldsymbol{k}$ が許容的なら縮約インデックスもすべて許容的で $S^{t}(z_{\boldsymbol{k}})\in\mathfrak{H}^0_t$ である）。
- $\widetilde{S}^{s}\circ\widetilde{S}^{t}$ は $x\mapsto x$、$y\mapsto\widetilde{S}^{s}(y+xt)=y+xs+xt$ を満たす代数の準同型なので $\widetilde{S}^{s+t}$ に等しい。よって $S^{s}(S^{t}(yw))=S^{s}(y\widetilde{S}^{t}(w))=y\,\widetilde{S}^{s}(\widetilde{S}^{t}(w))=y\,\widetilde{S}^{s+t}(w)=S^{s+t}(yw)$ であり、$S^{s}(S^{t}(1))=1=S^{s+t}(1)$ である。$s=-t$ とすれば $S^{-t}\circ S^{t}=S^{0}=\mathrm{id}$ を得る。$\square$
$\ast_t$、$\mathbin{\text{ш}}_t$ はいずれも可換かつ結合的であり、$\mathfrak{H}^0_t$、$\mathfrak{H}^1_t$ はこれらの積で閉じている。任意の $w,w'\in\mathfrak{H}^1_t$ に対し
$$S^{t}(w\ast_tw')=S^{t}(w)\ast S^{t}(w'),\qquad S^{t}(w\mathbin{\text{ш}}_tw')=S^{t}(w)\mathbin{\text{ш}}S^{t}(w')$$
が成り立つ。また任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $\sum_{i=0}^{\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})}(-1)^{i}S^{t}(z_{\boldsymbol{k}_{[i]}})\ast S^{1-t}(z_{\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}}})=\delta_{\emptyset,\boldsymbol{k}}$ が成り立つ（対蹠型公式）。
直感
多重ゼータ値 $\zeta$ は「$n_1<\cdots< n_r$」、多重ゼータスター値 $\zeta^{\star}$ は「$n_1\le\cdots\le n_r$」にわたる和である。補間多重ゼータ値は、等号が成り立つ箇所一つごとに重み $t$ を掛けて数えることで両者を結ぶ。$t$ について展開すれば縮約インデックスにわたる多重ゼータ値の和になり（prop-interpolated-multiple-zeta-value-contraction）、Hoffman 代数の側では $y\mapsto y+xt$ という単純な変数変換 $S^{t}$ に対応する（prop-interpolated-multiple-zeta-value-operator-properties）。多重ゼータ値と多重ゼータスター値の関係式は、多くの場合 $t$ の多項式を係数とする一つの等式にまとまり、$t=0$、$t=1$ でそれぞれの関係式を回復する。$t=1/2$ のような中間の値も意味を持ち、$2$-$1$ 公式では $\zeta^{1/2}$ が現れる（ex-interpolated-multiple-zeta-value-two-one）。
例
$\zeta^{t}(k_1,k_2)=\zeta(k_1,k_2)+t\,\zeta(k_1+k_2)$ である。例えば $\zeta^{t}(1,2)=\zeta(1,2)+t\zeta(3)=(1+t)\zeta(3)$、$\zeta^{t}(2,2)=\zeta(2,2)+t\zeta(4)=\bigl(\frac34+t\bigr)\zeta(4)$ である（$\zeta(1,2)=\zeta(3)$、$\zeta(2,2)=\frac34\zeta(4)$ は多重ゼータ値の記事）。$t=0$、$t=1$ でそれぞれ $\zeta(1,2)=\zeta(3)$、$\zeta^{\star}(1,2)=2\zeta(3)$ を回復する。
正整数 $r$ に対し $\zeta^{t}(\{1\}^{r-1},2)=\Bigl(\sum_{j=0}^{r-1}\binom{r}{j}t^{j}(1-t)^{r-1-j}\Bigr)\zeta(r+1)$ である。これは $t$-和公式（thm-interpolated-multiple-zeta-value-sum-formula）の $k=r+1$ の場合であり（$I_0(r+1,r)=\{(\{1\}^{r-1},2)\}$）、$t=0$ で双対性 $\zeta(\{1\}^{r-1},2)=\zeta(r+1)$、$t=1$ でスター値の $\zeta^{\star}(\{1\}^{r-1},2)=r\zeta(r+1)$ を回復する。
多重ゼータスター値の記事の $2$-$1$ 公式（Zhao）は、許容インデックス $(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $\zeta^{\star}(1,\{2\}^{k_1-1},\ldots,1,\{2\}^{k_r-1})=2^{r}\zeta^{1/2}(2k_1-1,\ldots,2k_r-1)$ と、$t=1/2$ の補間多重ゼータ値で表される。$r=1$、$k_1=2$ では $\zeta^{\star}(1,2)=2\zeta^{1/2}(3)=2\zeta(3)$ となり、ex-interpolated-multiple-zeta-value-depth-two と整合する。
多重ゼータ値の調和関係式 $\zeta(k)\zeta(l)=\zeta(k,l)+\zeta(l,k)+\zeta(k+l)$ で $\zeta$ を $\zeta^{t}$ に置き換えた等式は、$t\ne 0$ では成り立たない。実際 prop-interpolated-multiple-zeta-value-depth-one-product により $\zeta^{t}(k)\zeta^{t}(l)=\zeta^{t}(k,l)+\zeta^{t}(l,k)+(1-2t)\zeta^{t}(k+l)$ であり、両者の差は $2t\,\zeta(k+l)\ne 0$ である（$t=1$ では $\zeta^{\star}(k)\zeta^{\star}(l)=\zeta^{\star}(k,l)+\zeta^{\star}(l,k)-\zeta^{\star}(k+l)$）。すなわち「調和積の準同型である」という性質は、積を $t$-調和積 $\ast_t$ に取り替えなければ破れる。同様に、シャッフル関係式も $t$-シャッフル積に取り替える必要がある（thm-interpolated-multiple-zeta-value-double-shuffle）。
性質
複シャッフル関係式
整数 $k,l\ge 2$ に対し $\zeta^{t}(k)\zeta^{t}(l)=\zeta^{t}(k,l)+\zeta^{t}(l,k)+(1-2t)\zeta^{t}(k+l)$ が成り立つ。これは $z_k\ast_tz_l=z_kz_l+z_lz_k+(1-2t)z_{k+l}$ に対する等式 $\zeta^{t}(z_k\ast_tz_l)=\zeta^{t}(k)\zeta^{t}(l)$ である。
$\zeta^{t}(k)=\zeta(k)$、$\zeta^{t}(k,l)=\zeta(k,l)+t\zeta(k+l)$（ex-interpolated-multiple-zeta-value-depth-two）なので、右辺は $\zeta(k,l)+\zeta(l,k)+2t\zeta(k+l)+(1-2t)\zeta(k+l)=\zeta(k,l)+\zeta(l,k)+\zeta(k+l)=\zeta(k)\zeta(l)$ である（最後の等号は多重ゼータ値の記事の調和関係式）。$\square$
許容インデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し
$$\zeta^{t}(\boldsymbol{k}\ast_t\boldsymbol{l})=\zeta^{t}(\boldsymbol{k})\zeta^{t}(\boldsymbol{l}),\qquad\zeta^{t}(\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}_t\boldsymbol{l})=\zeta^{t}(\boldsymbol{k})\zeta^{t}(\boldsymbol{l})$$
が成り立つ（$\boldsymbol{k}\ast_t\boldsymbol{l}$ は $z_{\boldsymbol{k}}\ast_tz_{\boldsymbol{l}}$ に対応するインデックスの $\mathbb{Q}[t]$ 線形結合）。さらに、同型 $\mathfrak{H}^1_{t,\bullet}\cong\mathfrak{H}^0_{t,\bullet}[y]$（$\bullet\in\{\ast_t,\mathbin{\text{ш}}_t\}$）により、$\mathfrak{H}^0_t$ 上で $Z^{t}$ に一致し $y$ を $T$ に送る準同型 $Z^{t,\bullet}_T\colon\mathfrak{H}^1_{t,\bullet}\to\mathbb{R}[t][T]$ が一意に存在し、$\zeta^{t,\bullet}(\boldsymbol{k};T):=Z^{t,\bullet}_T(z_{\boldsymbol{k}})$ とおくと、インデックス $\boldsymbol{k}$ と許容インデックス $\boldsymbol{l}$ に対し $\zeta^{t,\bullet}(\boldsymbol{k}\ast_t\boldsymbol{l};T)=\zeta^{t,\bullet}(\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}_t\boldsymbol{l};T)$（$t$-正規化複シャッフル関係式）が成り立つ。
$t$-調和関係式は Yamamoto Yam13、$t$-シャッフル関係式と $t$-正規化複シャッフル関係式は Li–Qin LQ17 および Wakabayashi Wak17、同型 $\mathfrak{H}^1_{t,\bullet}\cong\mathfrak{H}^0_{t,\bullet}[y]$ は Li Li19 による。証明は割愛するが、$t$-調和関係式は thm-interpolated-multiple-zeta-value-compatibility と多重ゼータ値の調和関係式から $\zeta^{t}(\boldsymbol{k}\ast_t\boldsymbol{l})=Z(S^{t}(z_{\boldsymbol{k}})\ast S^{t}(z_{\boldsymbol{l}}))=Z(S^{t}(z_{\boldsymbol{k}}))Z(S^{t}(z_{\boldsymbol{l}}))$ として直ちに従う（シャッフル側も同様）。深さ $1$ どうしの場合は prop-interpolated-multiple-zeta-value-depth-one-product で直接示した。
和公式と評価公式
整数 $k\ge 2$ に対し、形式的冪級数の等式
$$\sum_{r\ge 0}\zeta^{t}(\{k\}^{r})X^{r}=\Bigl(\sum_{i\ge 0}\zeta(\{k\}^{i})\bigl((1-t)X\bigr)^{i}\Bigr)\Bigl(\sum_{j\ge 0}\zeta^{\star}(\{k\}^{j})(tX)^{j}\Bigr)$$
が成り立つ。すなわち正整数 $r$ に対し $\zeta^{t}(\{k\}^{r})=\sum_{i=0}^{r}\zeta(\{k\}^{i})\,\zeta^{\star}(\{k\}^{r-i})\,(1-t)^{i}t^{r-i}$ である。
$t$ を実数、$X$ を $|X|$ が十分小さい実数とみなして両辺を絶対収束する級数として比較し、得られた恒等式を多項式の等式として読む。$n\ge 1$ に対し、$n$ を $r$ 個の $n_i$ のうち $j$ 個として選ぶ寄与は、$j=0$ なら $1$、$j\ge 1$ なら $t^{j-1}X^{j}n^{-jk}$（同じ $n$ が $j$ 回現れると等号が $j-1$ 箇所生じる）である。よって、$\{k\}^r$ に対する定義の和を「各 $n$ が何回現れるか」で整理すると
$$\sum_{r\ge 0}\zeta^{t}(\{k\}^{r})X^{r}=\prod_{n\ge 1}\Bigl(1+\sum_{j\ge 1}t^{j-1}\frac{X^{j}}{n^{jk}}\Bigr)=\prod_{n\ge 1}\Bigl(1+\frac{X/n^{k}}{1-tX/n^{k}}\Bigr)=\prod_{n\ge 1}\frac{1+(1-t)X/n^{k}}{1-tX/n^{k}}$$
を得る（$|tX|<1$ で各因子の級数は収束し、$\sum_n|X|/n^{k}<\infty$ により無限積は絶対収束する。有限積 $\prod_{n\le N}$ の $X^{r}$ の係数は $\zeta^{t}_{< N+1}(\{k\}^r)$ で、$N\to\infty$ で $\zeta^{t}(\{k\}^{r})$ に収束する）。右辺は $\prod_n(1+(1-t)Xn^{-k})=\sum_i\zeta(\{k\}^{i})((1-t)X)^{i}$（多重ゼータ値の記事の $\zeta(\{2\}^r)$ の証明と同じ展開）と $\prod_n(1-tXn^{-k})^{-1}=\sum_j\zeta^{\star}(\{k\}^{j})(tX)^{j}$（多重ゼータスター値の記事の $\zeta^{\star}(\{2\}^r)$ の証明と同じ展開）の積であり、$X^{r}$ の係数を比べれば主張を得る。$\square$
正整数 $k>r$ に対し、多項式の等式
$$\sum_{j=0}^{r-1}\binom{k-1}{j}t^{j}(1-t)^{r-1-j}=\sum_{s=1}^{r}\binom{k-s-1}{r-s}t^{r-s}$$
が成り立つ。
左辺を $P_r(t)$、右辺を $Q_r(t)=\sum_{i=0}^{r-1}\binom{k-r-1+i}{i}t^{i}$（$i=r-s$）とおく。$P_1=Q_1=1$ である。$P_{r+1}(t)-(1-t)P_r(t)=\binom{k-1}{r}t^{r}$ は定義から直ちに従う。一方、$t^{i}$ の係数を比較すると、$0\le i\le r-1$ では $Q_{r+1}-(1-t)Q_r$ の係数は $\binom{k-r-2+i}{i}-\binom{k-r-1+i}{i}+\binom{k-r-2+i}{i-1}$ であり、Pascal の規則 $\binom{k-r-1+i}{i}=\binom{k-r-2+i}{i}+\binom{k-r-2+i}{i-1}$ により $0$ である。$i=r$ の係数は $\binom{k-2}{r}+\binom{k-2}{r-1}=\binom{k-1}{r}$ である。よって $Q_{r+1}-(1-t)Q_r=\binom{k-1}{r}t^{r}$ となり、$P_r$ と $Q_r$ は同じ漸化式と初期値を持つので一致する（$r< k$ の範囲で帰納法を回す）。$\square$
正整数 $k>r$ に対し
$$\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta^{t}(\boldsymbol{k})=\Bigl(\sum_{j=0}^{r-1}\binom{k-1}{j}t^{j}(1-t)^{r-1-j}\Bigr)\zeta(k)$$
が成り立つ。$I_0(k,r)$ は重さ $k$、深さ $r$ の許容インデックス全体である。
prop-interpolated-multiple-zeta-value-contraction により
$$\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta^{t}(\boldsymbol{k})=\sum_{s=1}^{r}t^{r-s}\sum_{\boldsymbol{l}\in I_0(k,s)}\#\{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)\mid\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}\}\,\zeta(\boldsymbol{l})=\sum_{s=1}^{r}\binom{k-s-1}{r-s}t^{r-s}\sum_{\boldsymbol{l}\in I_0(k,s)}\zeta(\boldsymbol{l})$$
である。ここで、$\boldsymbol{l}\in I_0(k,s)$ を縮約インデックスに持つ $\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)$ の個数が $\binom{k-s-1}{r-s}$ であること（多重ゼータスター値の記事の補題）を用いた。和公式（公開記事 和公式(多重ゼータ値) の主定理）により内側の和は $\zeta(k)$ なので、lem-interpolated-multiple-zeta-value-binomial により主張を得る。$\square$
正整数 $k,r$ に対し次が成り立つ。$\zeta^{t,\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k}):=\zeta^{t,\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k};0)$、$I(k,r)$ は重さ $k$、深さ $r$ のインデックス全体である。
- $\displaystyle\sum_{\boldsymbol{k}\in I(k+r,r)}\zeta^{t,\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k})=\sum_{i=1}^{r}(-1)^{i-1}t^{r-i}\sum_{\substack{\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_i)\in I(k+r,i)\\ k_i>k}}\binom{k_i}{k+1}\zeta^{t}(k_1,\ldots,k_i)$。
- $\displaystyle\zeta^{t}(\{1\}^{r-1},k+1)=\sum_{j=1}^{\min\{k,r\}}(-1)^{j-1}\sum_{\substack{\boldsymbol{k}\in I(k,j)\\ (l,\boldsymbol{l})\in I(r,j)}}\frac{1-t^{l}}{1-t}\,\zeta(\boldsymbol{k}\oplus(l,\boldsymbol{l}))$。
- 整数 $a\ge 2$、$k\ge r$ に対し $\displaystyle\sum_{\boldsymbol{k}\in I(k,r)}\zeta^{t}(ak_1,\ldots,ak_r)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{\min\{r,i\}}(-1)^{i+j}\binom{k-j}{k-r}\binom{i}{j}t^{r-j}\zeta(\{a\}^{i})\,\zeta^{\star}(\{a\}^{k-i})$。
Li Li19 による。掲載版は Journal of Number Theory 240 (2022), 439–470 であり、2019年の初稿は arXiv:1904.09887 である。証明と記号の所在は、(1) が §3.4, Theorem 3.4、(2) が §3.5, Theorem 3.6 の式 (3.11)、(3) が §4.3, Corollary 4.11 の式 (4.24) である。証明はこれらの箇所に譲る。(1) は Kaneko–Sakata のシャッフル正規化和公式、(2) は Kaneko–Sakata 型和公式、(3) は Komori–Matsumoto–Tsumura 型の倍数公式型和公式のそれぞれ補間である。Guo–Xie の重み付き和公式の補間版は、重み $D(\boldsymbol{k})$ の定義と明示式を一次資料で校合できていないため、本版では収録しない。
許容インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ と正整数 $h$ に対し次が成り立つ。
- （$t$-導分関係式）$\mathfrak{H}_t$ の導分 $\partial^{t}_h$ を $\partial^{t}_h(x)=y((1-t)x+y)^{h-1}x$、$\partial^{t}_h(y)=-y((1-t)x+y)^{h-1}x$ で定めると、任意の $w\in\mathfrak{H}^0_t$ に対し $Z^{t}(\partial^{t}_h(w))=0$。
- （$t$-Hoffman 関係式）$\sum_{i=1}^{r}(1+(k_i-2+\delta_{1,i})t)\,\zeta^{t}(\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i+1,\boldsymbol{k}^{[i]})=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta^{t}(\boldsymbol{k}_{[i-1]},j+1,k_i-j,\boldsymbol{k}^{[i]})+(t-t^{2})\sum_{i=1}^{r-1}\zeta^{t}(\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i+k_{i+1}+1,\boldsymbol{k}^{[i+1]})$。
- （$t$-巡回和公式）$1$ でない成分を含む重さ $k$ のインデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$（許容とは限らない）に対し $\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta^{t}(j+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i-j)=(1-t)\sum_{i=1}^{r}\zeta^{t}(\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i+1)+t^{r}k\,\zeta(k+1)$。
次が成り立つ。
- （$t$-Kawashima 関係式）$\mathfrak{H}$ の自己同型 $\phi$ を $x\mapsto x$、$y\mapsto x+y$ で定め $\phi^{t}:=-S^{-t}\circ\phi\circ S^{t}$ とおく。$\mathfrak{H}^1$ 上の積 $\circledast$ を $1$ を単位元とし $z_{\boldsymbol{k},k}\circledast z_{\boldsymbol{l},l}=(z_{\boldsymbol{k}}\ast z_{\boldsymbol{l}})z_{k+l}$ で定め、$w\circledast_tw':=S^{-t}(S^{t}(w)\circledast S^{t}(w'))$ とおく。このとき $w,w'\in\mathfrak{H}^1_t\setminus\mathbb{Q}[t]$ と正整数 $h$ に対し
$$\sum_{\substack{m,n\ge 1\\ m+n=h}}Z^{t}\bigl(\phi^{t}(w)\circledast_ty(y-xt)^{m-1}\bigr)Z^{t}\bigl(\phi^{t}(w')\circledast_ty(y-xt)^{n-1}\bigr)=-Z^{t}\bigl(\phi^{t}(w\ast_tw')\circledast_ty^{h}\bigr)。$$ - （$t$-Ohno–Zagier 型公式）$\alpha,\beta,\gamma_1,\gamma_2$ を $\alpha+\beta=\delta+\varepsilon t$、$\alpha\beta=(\delta\varepsilon-\varphi^{2})t$、$\gamma_1+\gamma_2=-\delta+(1-t)\varepsilon$、$\gamma_1\gamma_2=(t-1)(\delta\varepsilon-\varphi^{2})$ で定めると、形式的冪級数の等式
$$\sum_{k,r,s\ge 0}\Bigl(\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r,s)}\zeta^{t}(\boldsymbol{k})\Bigr)\delta^{k-r-s}\varepsilon^{r-s}\varphi^{2s-2}=\frac{1}{(1-\varepsilon)(1-\beta)}\,{}_3F_2\Bigl(\begin{matrix}1-\gamma_1-\beta,\ 1-\gamma_2-\beta,\ 1\\ 2-\varepsilon,\ 2-\beta\end{matrix};1\Bigr)$$
が成り立つ。${}_3F_2$ は超幾何級数（多重ゼータスター値の記事）である。
有限・対称多重ゼータ値の補間
$\mathcal{F}$ を $\mathcal{A}$ または $\mathcal{S}$ とし、$\zeta_{\mathcal{A}}$ を有限多重ゼータ値（値域 $\mathcal{A}$）、$\zeta_{\mathcal{S}}$ を対称多重ゼータ値（値域 $\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$）とする。$Z_{\mathcal{F}}$ を $z_{\boldsymbol{k}}\mapsto\zeta_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k})$ で定まる $\mathbb{Q}[t]$ 線形写像 $\mathfrak{H}^1[t]\to\mathcal{A}[t]$（または $(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[t]$）とし、インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し
$$\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k}):=Z_{\mathcal{F}}(S^{t}(z_{\boldsymbol{k}}))=\sum_{\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}}\zeta_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{l})\,t^{\,\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})-\mathrm{dep}(\boldsymbol{l})}$$
とおき、$\zeta^{t}_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})$ を補間有限多重ゼータ値、$\zeta^{t}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ を補間対称多重ゼータ値という。$t=0$ で $\zeta_{\mathcal{F}}$、$t=1$ でスター版 $\zeta^{\star}_{\mathcal{F}}$ になる。有限版は、正整数 $N$ に対する打ち切り和 $\zeta^{t}_{< N}(\boldsymbol{k}):=\sum_{0< n_1\le\cdots\le n_r< N}t^{r-\#\{n_1,\ldots,n_r\}}n_1^{-k_1}\cdots n_r^{-k_r}$ を用いて $\zeta^{t}_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})=(\zeta^{t}_{< p}(\boldsymbol{k})\bmod p)_p$ とも書ける。対称版は $\zeta^{t,\bullet}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}):=\sum_{i=0}^{r}(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k}^{[i]})}Z^{\bullet}_T(S^{t}(z_{\boldsymbol{k}_{[i]}}))\,Z^{\bullet}_T(S^{t}(z_{\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}}}))$ が $(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[t]$ で $\bullet$ によらないことから定義することもできる。
$\mathcal{F}\in\{\mathcal{A},\mathcal{S}\}$ とし、$Z^{t}_{\mathcal{F}}:=Z_{\mathcal{F}}\circ S^{t}$ とおく。インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$、$\boldsymbol{l}$ に対し次が成り立つ。
- （$t$-調和関係式）$\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k}\ast_t\boldsymbol{l})=\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k})\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{l})$。
- （$t$-シャッフル関係式）$\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}_t\boldsymbol{l})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{l})}\bigl(\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k},\overleftarrow{\boldsymbol{l}})-\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k}\uplus\overleftarrow{\boldsymbol{l}})\,t\bigr)$。ここで $\boldsymbol{k}\uplus\boldsymbol{m}$ は $\boldsymbol{k}$ の最後の成分と $\boldsymbol{m}$ の最初の成分を足したインデックス（例：$(1,2)\uplus(3,4)=(1,5,4)$）であり、$\boldsymbol{k}=\emptyset$ のとき右辺第 2 項は $0$ とする。
- （$t$-Hoffman 双対性）$\mathfrak{H}$ の自己同型 $\phi$ を $x\mapsto x+y$、$y\mapsto -y$ で定め $\phi^{t}:=-S^{-t}\circ\phi\circ S^{t}$ とおくと、任意の $w\in\mathfrak{H}^1_t$ に対し $Z^{t}_{\mathcal{F}}(w)=-Z^{t}_{\mathcal{F}}(\phi^{t}(w))$。
- （$t$-和公式）正整数 $k>r$ に対し $\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)}\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k})=\sum_{j=0}^{r-1}\Bigl(\binom{k-1}{j}+(-1)^{r}\binom{k-1}{r-1-j}\Bigr)t^{j}(1-t)^{r-1-j}Z_{\mathcal{F}}(k)$。ここで $Z_{\mathcal{S}}(k)=\zeta(k)$、$Z_{\mathcal{A}}(k)=(B_{p-k}/k\bmod p)_p$（$B_n$ はBernoulli数）である。
- （$t$-導分関係式）$R_x^{-1}$ を右端の $x$ を取り除く写像とすると、任意の $w\in y\mathfrak{H}_tx$ に対し $Z^{t}_{\mathcal{F}}(R_x^{-1}(\partial^{t}_h(w)))=0$。
- （$t$-Hoffman 関係式）空でない許容インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $\sum_{i=1}^{r}(1+(k_i-2+\delta_{1,i})t)\,\zeta^{t}_{\mathcal{F}}((\boldsymbol{k}_{[i]})_{\uparrow},(\boldsymbol{k}^{[i]})_{\downarrow})=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k}_{[i-1]},j+1,k_i-j,(\boldsymbol{k}^{[i]})_{\downarrow})+(t-t^{2})\sum_{i=1}^{r-1}\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i+k_{i+1}+1,(\boldsymbol{k}^{[i+1]})_{\downarrow})$。
- （$t$-巡回和公式）$1$ でない成分を含む $\boldsymbol{k}$ に対し $\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{k_i-2}\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(j+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i-j)=(1-t)\sum_{i=1}^{r}\bigl(\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i+1)+\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(k_i+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]})\bigr)$。
- （重み付き和公式・Bowman–Bradley 型定理）奇数 $r\le k$ に対し $\sum_{(\boldsymbol{k},l)\in I(k,r)}2^{l-1}\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\boldsymbol{k},l)=0$。また正の奇数 $a,b$、正の偶数 $c$、$(k_1,k_2)\ne(0,0)$ に対し $\sum_{n_0+\cdots+n_{2k_1}=k_2}\zeta^{t}_{\mathcal{F}}(\{c\}^{n_0},a,\{c\}^{n_1},b,\ldots,\{c\}^{n_{2k_1-1}},b,\{c\}^{n_{2k_1}})=0$。
補間有限・対称多重ゼータ値は Seki と Murahara–Ono MO21 により研究された。(1) は定義と有限・対称多重ゼータ値の調和関係式（有限多重ゼータ値、対称多重ゼータ値の記事）から thm-interpolated-multiple-zeta-value-compatibility を通して従う。(2)(3)(5)(6)(7)(8) は Murahara–Ono MO21、(4) は Seki（$\mathcal{F}=\mathcal{A}$、同じ証明が $\mathcal{S}$ でも通用する。MO21 を参照）による。証明はいずれも割愛する。未校合の $t$-Ohno 型関係式は、実数版とともに本版では収録を保留する。(4) の和の範囲を $I_i(k,r)$（$1\le i< r$）へ広げられるかは未解決であり、(2) から従う反転公式により $i=1$ の場合は $i=r$ に帰着する（公開記事 和公式(多重ゼータ値) も参照）。
補足
補間多重ゼータ値は Yamamoto Yam13 が導入した。多重ゼータ値の関係式の多くは「$\zeta$ 版」と「$\zeta^{\star}$ 版」が別々に証明されてきたが、補間多重ゼータ値の枠組みでは一つの $t$ の多項式恒等式として統一され、しかも証明は Hoffman 代数上の変数変換 $S^{t}$（$y\mapsto y+xt$）を通して多重ゼータ値の場合に帰着することが多い（thm-interpolated-multiple-zeta-value-compatibility）。$t=1/2$ の値は $2$-$1$ 公式（ex-interpolated-multiple-zeta-value-two-one）のほか、$\zeta^{1/2}$ に対する対称性 $S^{1/2}$ と $S^{-1/2}$ の関係を通して現れる。有限・対称多重ゼータ値の補間版は Kaneko–Zagier 予想（有限多重ゼータ値の記事）の $t$ を含む形の対応を与え、両者の関係式が同じ形で成り立つことのさらなる証拠になっている。標準的な文献として金子 Kan26、Zhao Zha16 がある。
関連項目
参考文献
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