形式的滑らかさ

$C'$ を $A$ 代数、$N\subset C'$ を $N^m=0$ をみたすイデアル、$u\colon B\to C'/N$ を $A$ 代数の準同型とする。各 $k\ge1$ について $C'_k:=C'/N^k$ とおくと、$C'_1=C'/N$、$C'_m=C'$ であり、自然な全射 $C'_{k+1}\to C'_k$ の核は $N^k/N^{k+1}$ で、その平方は $N^{2k}/N^{k+1}$ の像であり、$2k\ge k+1$ により $0$ である。
存在：平方零の場合に持上げが存在すると仮定する。$k$ に関する数学的帰納法で、$u$ の持上げ $u_k\colon B\to C'_k$（$A$ 代数の準同型で、$C'_k\to C'_1$ との合成が $u$）が存在することを示す。$k=1$ では $u_1:=u$ とすればよい。$u_k$ が得られたとき、$C'_{k+1}\to C'_k$ の核は平方零なので、仮定により $u_k$ は $A$ 代数の準同型 $u_{k+1}\colon B\to C'_{k+1}$ に持ち上がり、$u_{k+1}$ と $C'_{k+1}\to C'_1$ の合成は $u_k$ と $C'_k\to C'_1$ の合成、すなわち $u$ である。$k=m$ で $u_m\colon B\to C'$ が求める持上げである。
一意性：平方零の場合に持上げが高々 1 つと仮定し、$\tilde{u},\tilde{u}'\colon B\to C'$ をともに $u$ の持上げとする。$\tilde{u}$、$\tilde{u}'$ と $C'\to C'_k$ の合成を $\tilde{u}_k$、$\tilde{u}'_k$ とおく。$\tilde{u}_1=u=\tilde{u}'_1$ である。$\tilde{u}_k=\tilde{u}'_k$ ならば、$\tilde{u}_{k+1}$ と $\tilde{u}'_{k+1}$ は同じ準同型 $\tilde{u}_k$ の、平方零の核をもつ全射 $C'_{k+1}\to C'_k$ に沿った持上げなので、仮定により一致する。よって帰納法により $\tilde{u}=\tilde{u}_m=\tilde{u}'_m=\tilde{u}'$ である。
スキームの射については、$T'=\operatorname{Spec}C'$ の閉部分スキームの列 $T=\operatorname{Spec}C'_1\subset\operatorname{Spec}C'_2\subset\cdots\subset\operatorname{Spec}C'_m=T'$ について同じ議論を繰り返せばよい。$\square$

$C'$ を $A$ 代数、$N\subset C'$ をイデアル、$u\colon P\to C'/N$ を $A$ 代数の準同型とする。各 $i\in I$ について $u(t_i)\in C'/N$ の $C'$ への持上げ $c_i\in C'$ を 1 つ選ぶ（$I$ が無限集合のときは選択公理を用いる）。多項式環の普遍性により、$t_i\mapsto c_i$ を満たす $A$ 代数の準同型 $\tilde{u}\colon P\to C'$ がただ 1 つ存在する。$\pi\circ\tilde{u}$ と $u$ はともに $A$ 代数の準同型で、生成元 $t_i$ での値がともに $u(t_i)$ なので一致する。$\square$

1. $C'$ を $A'$ 代数、$N\subset C'$ を冪零イデアル、$u\colon B\otimes_AA'\to C'/N$ を $A'$ 代数の準同型とする。テンソル積の普遍性により、$A'$ 代数の準同型 $B\otimes_AA'\to C'$ を与えることは、$A$ 代数の準同型 $B\to C'$ を与えることと同じである（$A'$ 成分は $C'$ の構造射 $A'\to C'$ で固定されている）。$C'/N$ についても同様である。この対応のもとで $u$ は $A$ 代数の準同型 $u_B\colon B\to C'/N$ に対応し、$u$ の持上げは $u_B$ の持上げに一対一に対応する。$A\to B$ の性質により $u_B$ の持上げが存在する（高々 1 つ、ちょうど 1 つ）ので、$u$ の持上げについても同じことがいえる。
2. $D'$ を $A$ 代数、$N\subset D'$ を冪零イデアル、$u\colon C\to D'/N$ を $A$ 代数の準同型とする。存在：$u$ を $B$ に制限した $A$ 代数の準同型 $u|_B\colon B\to D'/N$ は、$A\to B$ の形式的滑らかさにより $A$ 代数の準同型 $v\colon B\to D'$ に持ち上がる。$v$ により $D'$ を $B$ 代数とみると、$D'/N$ の $B$ 代数の構造は $u|_B$ であり、$u$ は $B$ 代数の準同型になる。$B\to C$ の形式的滑らかさにより $u$ は $B$ 代数の準同型 $\tilde{u}\colon C\to D'$ に持ち上がり、これは $A$ 代数の準同型でもある。一意性：$\tilde{u},\tilde{u}'$ をともに $u$ の持上げとすると、$B$ への制限 $\tilde{u}|_B$、$\tilde{u}'|_B$ はともに $u|_B$ の持上げなので、$A\to B$ の形式的不分岐性により一致する。$D'$ をこの共通の準同型で $B$ 代数とみると、$\tilde{u}$、$\tilde{u}'$ は $B$ 代数の準同型としての $u$ の持上げなので、$B\to C$ の形式的不分岐性により一致する。
3. $C'$ を $B$ 代数、$N\subset C'$ を冪零イデアル、$u\colon S^{-1}B\to C'/N$ を $B$ 代数の準同型とする。局所化の普遍性により、$B$ 代数の準同型 $S^{-1}B\to C'$ は存在すれば一意であり、存在することは $S$ の元の $C'$ での像がすべて単元であることと同値である。$s\in S$ をとり、その $C'$ での像を $c$ とする。$u$ が存在するので $c$ の $C'/N$ での像は単元であり、$cc'\equiv1\pmod N$ となる $c'\in C'$ がある。$n:=cc'-1\in N$ は冪零なので $1+n$ は単元である（$n^m=0$ なら $(1+n)(1-n+n^2-\cdots+(-1)^{m-1}n^{m-1})=1$）。よって $c$ は $C'$ の単元である。したがって $B\to C'$ は $S^{-1}B\to C'$ をただ 1 つ経由し、この準同型と $\pi$ の合成は $B$ 代数の準同型 $S^{-1}B\to C'/N$ であり、その一意性により $u$ に一致する。後半は 2 から従う。$\square$

「$\Rightarrow$」：$C':=B\ltimes\Omega_{B/A}$、$N:=\Omega_{B/A}$ とおく。$C'$ は $B$ を経由して $A$ 代数であり、$C'/N=B$ である。$b\mapsto(b,0)$ と $b\mapsto(b,db)$ はともに $A$ 代数の準同型 $B\to C'$ である（後者が乗法的であることは $d(bb')=b\,db'+b'\,db$ により、$A$ 代数の準同型であることは $d(a\cdot1)=0$ による）。どちらも恒等写像 $B\to C'/N=B$ の持上げなので、形式的不分岐性により一致し、すべての $b$ について $db=0$、すなわち $\Omega_{B/A}=0$ である。
「$\Leftarrow$」：$\Omega_{B/A}=0$ とし、$\tilde{u},\tilde{u}'\colon B\to C'$ を同じ $u\colon B\to C'/N$ の持上げとする（prop-formal-smoothness-square-zero により $N^2=0$ としてよい）。$D:=\tilde{u}'-\tilde{u}\colon B\to N$ とおく。$N^2=0$ により、$n\in N$ に対する $\tilde{u}(b)n$ と $\tilde{u}'(b)n$ は差が $D(b)n\in N^2=0$ なので一致し、$N$ は $u$ を通して $B$ 加群になる。$D$ は加法的で、$b,b'\in B$ について
$$ D(bb')=\tilde{u}'(b)\tilde{u}'(b')-\tilde{u}(b)\tilde{u}(b')=\tilde{u}'(b)D(b')+D(b)\tilde{u}(b')=b\,D(b')+b'\,D(b) $$
であり、$a\in A$ については $\tilde{u}$、$\tilde{u}'$ がともに $A$ 代数の準同型なので $D(a\cdot1)=0$ である。よって $D\in\operatorname{Der}_A(B,N)=\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},N)=0$ であり、$\tilde{u}=\tilde{u}'$ である。$\square$

1. $p\colon M\to M'$ を $B$ 加群の全射、$\delta\in\operatorname{Der}_A(B,M')$ とする。$C':=B\ltimes M$、$N:=\ker p\subset M\subset C'$ とおく。$N$ は $C'$ のイデアルで $N^2\subset M^2=0$ であり、$C'/N=B\ltimes M'$ である。写像 $u\colon B\to B\ltimes M'$、$b\mapsto(b,\delta(b))$ は $A$ 代数の準同型である（前の証明と同じ計算）。形式的滑らかさにより $u$ の持上げ $\tilde{u}\colon B\to B\ltimes M$ が存在する。$\tilde{u}$ の第 1 成分は、$B\to B\ltimes M\to B\ltimes M'\to B$ の合成が恒等写像であることから $b$ に等しく、$\tilde{u}(b)=(b,D(b))$ と書ける。$\tilde{u}$ が $A$ 代数の準同型であることは $D\in\operatorname{Der}_A(B,M)$ と同値であり、$\pi\circ\tilde{u}=u$ は $p\circ D=\delta$ を意味する。よって $\operatorname{Der}_A(B,M)\to\operatorname{Der}_A(B,M')$ は全射である。$\Omega_{B/A}$ の普遍性により、これは任意の全射 $M\to M'$ について $\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)\to\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M')$ が全射であることを意味し、$M$ を $\Omega_{B/A}$ に全射する自由加群、$M'=\Omega_{B/A}$、$\delta$ を普遍導分 $d$ にとれば、全射 $M\to\Omega_{B/A}$ の切断が得られる。すなわち $\Omega_{B/A}$ は自由加群の直和因子であり、射影加群である。
2. $C':=B[\varepsilon]/(\varepsilon^2)=B\ltimes B$、$N:=B\varepsilon$ とおく。写像 $\alpha\colon A\to C'$、$a\mapsto\varphi(a)+\varphi(\partial(a))\varepsilon$ は環準同型である。実際、加法性は明らかで、$\alpha(1)=1+\varphi(\partial(1))\varepsilon=1$（$\partial(1)=\partial(1\cdot1)=2\partial(1)$ から $\partial(1)=0$）であり、
   $$ \alpha(a)\alpha(a')=\varphi(aa')+\varphi\bigl(a\,\partial(a')+a'\,\partial(a)\bigr)\varepsilon=\alpha(aa') $$
   である。$\alpha$ により $C'$ を $A$ 代数とみると、$C'/N=B$ の $A$ 代数の構造は $\varphi$ であり、恒等写像 $u:=\mathrm{id}_B\colon B\to C'/N$ は $A$ 代数の準同型である。形式的滑らかさにより $u$ の持上げ $\tilde{u}\colon B\to C'$ が存在し、1 と同様に $\tilde{u}(b)=b+D(b)\varepsilon$ と書ける。$\tilde{u}$ が環準同型であることは $D$ が加法的で Leibniz 則 $D(bb')=b\,D(b')+b'\,D(b)$ をみたすことと同値であり、$\tilde{u}$ が $A$ 代数の準同型であること $\tilde{u}(\varphi(a))=\alpha(a)$ は $D(\varphi(a))=\varphi(\partial(a))$ と同値である。$\square$

1. $C'$ を $A$ 代数、$N\subset C'$ を $N^2=0$ をみたすイデアル、$u\colon B\to C'/N$ を $A$ 代数の準同型とする（prop-formal-smoothness-square-zero）。$u(t_i)$ の $C'$ への持上げ $c_i$ を選び、$c:=(c_1,\dots,c_n)$ とおく。$f_j(c)\in C'$ の $C'/N$ での像は $u(f_j)=0$ なので $f_j(c)\in N$ である。$c$ を $N$ の元で修正する。$\nu=(\nu_1,\dots,\nu_n)\in N^n$ に対し、$N^2=0$ により Taylor 展開は 1 次で止まり、
   $$ f_j(c+\nu)=f_j(c)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f_j}{\partial t_i}(c)\,\nu_i $$
   である（$f_j$ を各変数について展開すれば、$\nu$ の 2 次以上の項は $N^2=0$ で消える）。$J:=\bigl(\frac{\partial f_j}{\partial t_i}(c)\bigr)_{1\le j,i\le c}$（第 $j$ 行第 $i$ 列）とおくと、$\det J$ の $C'/N$ での像は $u(\Delta)$ で単元だから、prop-formal-smoothness-permanence の 3 の証明で見たように $\det J$ は $C'$ の単元であり、$J$ は $C'$ 上の可逆行列である。そこで $\nu_i:=0$（$i>c$）とし、$(\nu_1,\dots,\nu_c)^{\mathsf T}:=-J^{-1}(f_1(c),\dots,f_c(c))^{\mathsf T}$ とおく。$f_j(c)\in N$ なので $\nu_i\in N$ であり、上の展開により $f_j(c+\nu)=f_j(c)-f_j(c)=0$（$1\le j\le c$）である。よって $t_i\mapsto c_i+\nu_i$ は $A$ 代数の準同型 $P\to C'$ で $f_1,\dots,f_c$ を $0$ に送り、$\tilde{u}\colon B\to C'$ を誘導する。$\pi\circ\tilde{u}$ は $t_i$ を $u(t_i)$ に送るので $u$ に一致する。
2. $c=n$ とし、$\tilde{u},\tilde{u}'$ を $u$ の 2 つの持上げとする。$c_i:=\tilde{u}(t_i)$、$c_i':=\tilde{u}'(t_i)$ とおくと $\nu_i:=c_i'-c_i\in N$ であり、$0=f_j(c')-f_j(c)=\sum_i\frac{\partial f_j}{\partial t_i}(c)\nu_i$、すなわち $J\nu=0$ である。$J$ は $n\times n$ の可逆行列なので $\nu=0$、よって $\tilde{u}=\tilde{u}'$ である。$\square$