球面上の独立なベクトル場
概要
球面上の独立なベクトル場（vector fields on spheres）とは、単位球面 $S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$ 上に各点で一次独立な連続な接ベクトル場が最大何本とれるかという問題である。$n=u\cdot2^{c+4d}$（$u$ 奇数、$0\le c\le3$）と書き $\rho(n)=2^c+8d$ とおくと、反対称で互いに反可換な直交行列の族から $\rho(n)-1$ 本のなめらかな場が作れる。Steenrod 平方により $n=2^ru$（$u$ 奇数）なら $2^r$ 本はとれず、$16\nmid n$ では最大本数は $\rho(n)-1$ に確定する。一般の $n$ でも最大本数が $\rho(n)-1$ であることは Adams の定理で、$KO$ 理論を用いる。
前提知識: 接ベクトル場, Stiefel多様体, 四元数, Steenrod平方, Stiefel–Whitney類
$\mathbb{R}^n$ の単位球面 $S^{n-1}$ の上に、各点で一次独立な連続な接ベクトル場は最大何本とれるか。これが球面上の独立なベクトル場（vector fields on spheres）の問題である。$n$ が奇数なら 1 本もとれない（$S^{n-1}$ は偶数次元で、毛玉の定理 による）。$n$ が偶数なら少なくとも 1 本とれる。答えは $n$ の素因数 $2$ の個数だけで決まり、$n=u\cdot2^{c+4d}$（$u$ は奇数、$0\le c\le3$、$d\ge0$）と書いたとき
$$
\rho(n):=2^c+8d
$$
とおくと、最大本数は $\rho(n)-1$ である。$\rho(n)-1$ 本がとれることは行列の具体的な構成でわかり、それより多くとれないことは Adams が $KO$ 理論を使って示した。
この記事では、まず $\rho(n)-1$ 本の場を、反対称で互いに反可換な直交行列の族から作る。この構成は線形なので、場はなめらかにとれる。次に、Steenrod平方 を Stiefel多様体 の骨格に当てて、$n=2^r u$（$u$ は奇数）なら $2^r$ 本の独立な場はないことを証明する。$r\le3$、すなわち $n$ が $16$ で割れないときは $2^r=\rho(n)$ なので、最大本数 $\rho(n)-1$ がこれで確定する。$16\mid n$ の場合の上界（Adams の定理）は引用にとどめる。最後に、上界の問題を射影空間上のベクトル束の安定ファイバーホモトピー型の問題として見直し、Stiefel–Whitney 類で判定できる範囲（射影空間の次元 $8$ 以下）を明らかにする。
定義
$\langle\ ,\ \rangle$ を $\mathbb{R}^n$ の標準内積とし、$S^{n-1}=\{x\in\mathbb{R}^n\mid\langle x,x\rangle=1\}$ とする（$n\ge1$。$S^0$ は 2 点）。点 $x\in S^{n-1}$ での接空間は直交補空間 $x^\perp$ である。
$S^{n-1}$ 上の接ベクトル場とは、連続写像 $v\colon S^{n-1}\to\mathbb{R}^n$ で、すべての $x$ で $\langle v(x),x\rangle=0$ を満たすものをいう。接ベクトル場 $v_1,\dots,v_k$ が一次独立であるとは、各点 $x$ で $v_1(x),\dots,v_k(x)$ が一次独立であることをいい、正規直交であるとは、各点で正規直交であることをいう。一次独立な $k$ 本の接ベクトル場が存在する最大の $k$ を $\operatorname{span}(S^{n-1})$ と書く。
$\operatorname{span}(S^{n-1})\le n-1$ である（接空間の次元が $n-1$）。
正の整数 $n$ を $n=u\cdot2^{c+4d}$（$u$ は奇数、$0\le c\le3$、$d\ge0$）と書き、$\rho(n):=2^c+8d$ とおく。$\rho(n)$ を $n$ の Radon–Hurwitz 数という。$\rho(n)$ は $n$ の $2$ 進付値 $\nu_2(n)=c+4d$ だけで決まり、$\nu_2(n)\le3$ のときは $\rho(n)=2^{\nu_2(n)}$ である。
| $n$（$=2^a$、奇数倍も同じ） | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $16$ | $32$ | $64$ | $128$ | $256$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\rho(n)-1$（最大本数） | $0$ | $1$ | $3$ | $7$ | $8$ | $9$ | $11$ | $15$ | $16$ |
| $2^{\nu_2(n)}-1$（vfs-thm-upper の上界） | $0$ | $1$ | $3$ | $7$ | $15$ | $31$ | $63$ | $127$ | $255$ |
表の 2 行目と 3 行目は $n$ が $16$ で割れないときに一致し、$16\mid n$ では 3 行目の上界は最大本数より大きい。
$S^{n-1}$ 上に一次独立な $k$ 本の接ベクトル場があれば、正規直交な $k$ 本の接ベクトル場がある。正規直交な $k$ 本の接ベクトル場は、Stiefel 多様体の射影 $p\colon V_{k+1}(\mathbb{R}^n)\to S^{n-1}$（$k+1$ 枠をその第 1 ベクトルに写す写像）の連続な切断と同じものである。
各点 $x$ で $(x,v_1(x),\dots,v_k(x))$ は一次独立である（$v_i(x)\in x^\perp$ で、$v_i(x)$ たちは一次独立）。これに Gram–Schmidtの直交化 を施すと、各段の式は内積と商（分母は $0$ でない）だけで書けるので、得られる $(x,w_1(x),\dots,w_k(x))$ は $x$ について連続である。第 1 ベクトルは $x$ のままであり、$w_i(x)$ は $x$ に直交するので接ベクトル場になる。後半は、$x\mapsto(x,w_1(x),\dots,w_k(x))$ が $p$ の切断になることと、その逆を述べたものである（Stiefel多様体 の節「球面上のベクトル場」）。$\square$
行列の族による構成
実 $N\times N$ 行列 $A_1,\dots,A_k$ が次を満たすとき、大きさ $k$ の Hurwitz–Radon 族（次元 $N$）という。
$$
A_i^{\mathsf T}=-A_i,\qquad A_i^2=-I,\qquad A_iA_l=-A_lA_i\quad(i\ne l).
$$
このとき $A_i^{\mathsf T}A_i=-A_i^2=I$ なので、各 $A_i$ は直交行列である。$k=0$ の空の族も許す。
言い換えると、Hurwitz–Radon 族は、生成元の平方が $-1$ の Clifford代数 の $\mathbb{R}^N$ への表現で、生成元が反対称行列で表されるものである。
次元 $N$ の大きさ $k$ の Hurwitz–Radon 族 $A_1,\dots,A_k$ があれば、$v_i(x):=A_ix$ は $S^{N-1}$ 上の正規直交な $k$ 本の接ベクトル場である。さらに、奇数とは限らない任意の $u\ge1$ について、各 $A_i$ を対角に $u$ 個並べたブロック対角行列は次元 $Nu$ の大きさ $k$ の族である。
$\langle A_ix,x\rangle=\langle x,A_i^{\mathsf T}x\rangle=-\langle x,A_ix\rangle$ なので $\langle A_ix,x\rangle=0$ であり、$v_i$ は接ベクトル場である。$i\ne l$ なら
$$
2\langle A_ix,A_lx\rangle=\langle x,(A_i^{\mathsf T}A_l+A_l^{\mathsf T}A_i)x\rangle=-\langle x,(A_iA_l+A_lA_i)x\rangle=0
$$
であり、$\langle A_ix,A_ix\rangle=\langle x,A_i^{\mathsf T}A_ix\rangle=\langle x,x\rangle=1$ である。後半は、3 つの関係式がブロックごとに成り立つことからわかる。$\square$
- 次元 $1,2,4,8$ に、大きさ $0,1,3,7$ の Hurwitz–Radon 族がある。
- 次元 $N$ の大きさ $k$ の族があれば、次元 $2N$ の大きさ $k+1$ の族がある。
- 次元 $N$ の大きさ $k$ の族があれば、次元 $16N$ の大きさ $k+8$ の族がある。
要点：次元 $2$ では $\mathbb{C}$ での $i$ 倍、次元 $4$ では 四元数 $\mathbb{H}$ での $i,j,k$ の左からの掛け算、次元 $8$ では $\mathbb{H}^2$ 上で左からの掛け算・右からの掛け算・座標の入れ替えを組み合わせる。3 は、次元 $16$ の大きさ $8$ の族の積 $\omega$ が対称で $\omega^2=I$、各生成元と反可換になることを使って、テンソル積をとる。
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1：次元 $1$ では空の族をとる。四元数 $\mathbb{H}=\mathbb{R}^4$ に内積 $\langle p,q\rangle=\operatorname{Re}(p\bar q)$ を入れる。純虚な単位四元数 $a$（$\bar a=-a$、$a^2=-1$）について、左からの掛け算 $L_a(x)=ax$ と右からの掛け算 $R_a(x)=xa$ は反対称である。実際 $\operatorname{Re}(pq)=\operatorname{Re}(qp)$ から $\langle ax,y\rangle=\operatorname{Re}(ax\bar y)=\operatorname{Re}(x\bar y a)=-\operatorname{Re}(x\,\overline{ay})=-\langle x,ay\rangle$ であり、右についても同様である。$L_a^2=R_a^2=-I$ であり、$a,b\in\{i,j,k\}$、$a\ne b$ なら $ab=-ba$ から $L_aL_b=-L_bL_a$、$R_aR_b=-R_bR_a$ である。よって $L_i,L_j,L_k$ が次元 $4$ の大きさ $3$ の族であり、$\mathbb{C}\subset\mathbb{H}$ の上の $L_i$ が次元 $2$ の大きさ $1$ の族である。次元 $8$ では $\mathbb{H}^2$ の上に $$ E_a(x,y):=(ax,\,-ay),\qquad F_a(x,y):=(ya,\,xa)\quad(a\in\{i,j,k\}),\qquad G(x,y):=(-y,\,x) $$ の 7 個をおく。いずれも反対称で平方が $-I$ である。反可換性は次の計算による：$E_aE_b$ と $E_bE_a$、$F_aF_b$ と $F_bF_a$（$a\ne b$）は $ab=-ba$ による。$E_aF_b(x,y)=(ayb,\,-axb)$、$F_bE_a(x,y)=(-ayb,\,axb)$。$GE_a(x,y)=(ay,\,ax)$、$E_aG(x,y)=(-ay,\,-ax)$。$GF_a(x,y)=(-xa,\,ya)$、$F_aG(x,y)=(xa,\,-ya)$。
2：次元 $N$ の族 $A_1,\dots,A_k$ に対し、$\mathbb{R}^N\oplus\mathbb{R}^N$ の上で $A_i'(x,y):=(A_ix,\,-A_iy)$ と $G(x,y):=(-y,\,x)$ をおく。$A_i'$ たちの関係式は $A_i$ から従い、$G$ は反対称で $G^2=-I$、$GA_i'(x,y)=(A_iy,\,A_ix)=-A_i'G(x,y)$ である。
3：1 と 2 から次元 $16$ の大きさ $8$ の族 $B_1,\dots,B_8$ がある。$\omega:=B_1B_2\cdots B_8$ とおく。$\omega^{\mathsf T}=B_8^{\mathsf T}\cdots B_1^{\mathsf T}=B_8\cdots B_1$ であり、8 個の互いに反可換な行列の並びを逆にすると符号 $(-1)^{8\cdot7/2}=1$ がつくので $\omega^{\mathsf T}=\omega$ である。$\omega$ は直交行列の積なので $\omega^2=\omega\omega^{\mathsf T}=I$ である。また $\omega B_l$ で $B_l$ を左端まで動かすと、自分以外の 7 個と反可換なので $\omega B_l=-B_l\omega$ である。次元 $N$ の族 $A_1,\dots,A_k$ に対し、テンソル積（Kronecker 積）$\mathbb{R}^N\otimes\mathbb{R}^{16}=\mathbb{R}^{16N}$ の上で $$ A_i\otimes\omega\quad(1\le i\le k),\qquad I_N\otimes B_l\quad(1\le l\le8) $$ をとる。$(X\otimes Y)(X'\otimes Y')=XX'\otimes YY'$、$(X\otimes Y)^{\mathsf T}=X^{\mathsf T}\otimes Y^{\mathsf T}$ を使うと、$(A_i\otimes\omega)^{\mathsf T}=-A_i\otimes\omega$、$(A_i\otimes\omega)^2=A_i^2\otimes\omega^2=-I$、$(A_i\otimes\omega)(A_{i'}\otimes\omega)=A_iA_{i'}\otimes I$（$i\ne i'$ で反可換）、$(A_i\otimes\omega)(I\otimes B_l)=A_i\otimes\omega B_l=-(I\otimes B_l)(A_i\otimes\omega)$ であり、$I\otimes B_l$ たちの関係式は $B_l$ から従う。よって大きさ $k+8$ の族である。$\square$
すべての $n\ge1$ について、$S^{n-1}$ 上に正規直交な $\rho(n)-1$ 本の接ベクトル場がある。場は $x\mapsto A_ix$ の形の線形写像の制限としてとれ、とくになめらかである。
$n=u\cdot2^{c+4d}$（$u$ 奇数、$0\le c\le3$）とする。vfs-lem-constructions の 1 により次元 $2^c$ に大きさ $2^c-1$ の族があり、3 を $d$ 回使うと次元 $2^c\cdot16^d=2^{c+4d}$ に大きさ $2^c-1+8d=\rho(n)-1$ の族がある。vfs-prop-family-fields の後半で $u$ 倍の次元 $n$ に移し、前半を使えばよい。$\square$
たとえば $n=16$ では、次元 $1$ の空の族から 3 によって大きさ $8$ の族を作るので、$S^{15}$ 上に $8$ 本の場がある。
Steenrod 平方による上界
以下、コホモロジーの係数は $\mathbb{Z}/2$ とし、$H^*(\mathbb{R}P^{m})=\mathbb{Z}/2[a]/(a^{m+1})$（$a\in H^1$）と書く（実射影空間）。$1\le l\le m$ について、商空間 $P^m_l:=\mathbb{R}P^m/\mathbb{R}P^{l-1}$ を縮小射影空間という。$\mathbb{R}P^m$ は各次元に胞体を 1 つずつもつ CW 複体で、$\mathbb{R}P^{l-1}$ はその部分複体なので、商写像 $\pi\colon\mathbb{R}P^m\to P^m_l$ について、$\pi^*\colon\tilde H^*(P^m_l)\to H^*(\mathbb{R}P^m)$ は単射で、像は $a^l,a^{l+1},\dots,a^m$ の張る部分である（対の長完全列と、制限 $H^*(\mathbb{R}P^m)\to H^*(\mathbb{R}P^{l-1})$ が全射であることによる）。$\pi^*\bar a_q=a^q$ となる類を $\bar a_q\in\tilde H^q(P^m_l)$ と書く。
$n=2^ru$（$u$ は奇数、$r\ge0$）とする。$S^{n-1}$ 上に一次独立な $2^r$ 本の接ベクトル場は存在しない。
$u=1$ なら $2^r=n>n-1$ なので明らかである。$u\ge3$ とし、$u=2s+1$（$s\ge1$）、$k:=2^r+1$ とおく。$2^r$ 本の場があったとすると、vfs-lem-orthonormal により $p\colon V_k(\mathbb{R}^n)\to S^{n-1}$ の連続な切断 $f$ がある。
骨格の同定（この記事では証明しない）。 $V_k(\mathbb{R}^n)$ には標準的な CW 構造があり、$2k-1\le n$ ならその $(n-1)$ 骨格は縮小射影空間 $P:=P^{n-1}_{n-k}=\mathbb{R}P^{n-1}/\mathbb{R}P^{n-k-1}$ である（Hat02 §3.D, p. 302 の胞体分割と Example 4L.5, p. 494）。ここでは $2k-1=2^{r+1}+1\le2^{r+1}s+2^r=n$ なので、これが使える。
胞体近似定理 により、$f$ は像が $P$ に入る写像 $g\colon S^{n-1}\to P$ と包含 $\iota\colon P\to V_k(\mathbb{R}^n)$ の合成 $\iota\circ g$ にホモトピックである。$p\circ f=\mathrm{id}$ から $f^*p^*=\mathrm{id}$ なので $f^*=g^*\iota^*$ は $H^{n-1}$ で全射であり、$H^{n-1}(P)=\mathbb{Z}/2\cdot\bar a_{n-1}$ から $g^*\colon H^{n-1}(P)\to H^{n-1}(S^{n-1})$ は同型である。
一方、Steenrod平方 の命題「1 次と 2 次の類の冪」により $Sq^{2^r}(a^{n-k})=\binom{n-k}{2^r}a^{n-1}$ であり、$\pi^*$ は単射で $Sq$ と可換なので $Sq^{2^r}\bar a_{n-k}=\binom{n-k}{2^r}\bar a_{n-1}$ である。ここで $n-k=2^{r+1}s-1$ であり、$\mathbb{Z}/2[t]$ の中で
$$
(1+t)^{2^{r+1}s-1}=(1+t)^{2^{r+1}(s-1)}(1+t)^{2^{r+1}-1}=\bigl(1+t^{2^{r+1}}\bigr)^{s-1}\bigl(1+t+t^2+\cdots+t^{2^{r+1}-1}\bigr)
$$
である（Steenrod平方 の補題「2 の冪の二項係数」）。$t^{2^r}$ の係数は右辺で $1$ なので、$\binom{n-k}{2^r}$ は奇数であり、$Sq^{2^r}\bar a_{n-k}=\bar a_{n-1}$ である。
$1\le n-k< n-1$ なので $H^{n-k}(S^{n-1})=0$ であり、自然性から
$$
g^*\bar a_{n-1}=g^*Sq^{2^r}\bar a_{n-k}=Sq^{2^r}g^*\bar a_{n-k}=0
$$
となる。これは $g^*$ が $H^{n-1}$ で同型であることに反する。$\square$
$n$ が $16$ で割れない（$\nu_2(n)\le3$）とき、
$$
\operatorname{span}(S^{n-1})=\rho(n)-1=2^{\nu_2(n)}-1
$$
であり、なめらかな場に限っても最大本数は同じである。
$\nu_2(n)\le3$ なら $\rho(n)=2^{\nu_2(n)}$ である。vfs-thm-lower の場はなめらかなので $\rho(n)-1$ 本のなめらかな場があり、vfs-thm-upper により連続な場でも $2^{\nu_2(n)}$ 本はない。$\square$
$n=1,2,4,8$ では最大本数 $0,1,3,7$ は $n-1$ に等しく、$S^0,S^1,S^3,S^7$ は接束が自明（平行化可能）である。$16\mid n$ では vfs-thm-upper の上界は最大本数に届かない。たとえば $n=16$ では上界は $15$ だが、実際の最大本数は $8$ である（vfs-thm-adams）。
すべての $n\ge1$ について、$S^{n-1}$ 上に一次独立な $\rho(n)$ 本の接ベクトル場は存在しない。したがって $\operatorname{span}(S^{n-1})=\rho(n)-1$ である。
この定理はこの記事では証明しない。Hus94 第 16 章 Theorem 13.10（p. 239）が正規直交な場について述べ、vfs-lem-orthonormal により一次独立な場の主張と同値である。Hus94 第 16 章はこの証明の道筋を、次節の安定ファイバーホモトピーの言葉で概説している。帰結として、$S^{n-1}$ が平行化可能なのは $\rho(n)\ge n$ のとき、すなわち $n=1,2,4,8$ のときに限る（Hopf不変量1の定理 の節「補足」）。
射影空間上の束による見方
上界の問題は、実射影空間上のベクトル束の問題に言い換えられる。$\gamma_K$ を $\mathbb{R}P^K$ 上のトートロジー直線束（点 $L$ の上のファイバーが直線 $L\subset\mathbb{R}^{K+1}$）、$m\gamma_K$ をその $m$ 個の Whitney 和、$\varepsilon^j$ を階数 $j$ の自明束とする。計量を固定し、ベクトル束 $E$ の単位球面束を $S(E)$ と書く。
コンパクト Hausdorff 空間 $B$ 上の階数 $N$ のベクトル束 $E$ が安定ファイバーホモトピー自明であるとは、ある $j\ge0$ について、$S(E\oplus\varepsilon^j)$ から自明な束 $B\times S^{N+j-1}$ への $B$ の上のファイバーホモトピー同値（ファイバーを保つ写像で、ファイバーを保つ逆写像とファイバーを保つホモトピーをもつもの）があることをいう。$B$ が有限 CW 複体のとき、これは $E$ の類 $[E]-N$ の $J(B)$ での像が $0$ であることにあたる（Hus94 第 16 章 Definition 5.1, p. 224）。
自明なベクトル束は安定ファイバーホモトピー自明である。逆は一般に成り立たないが、Stiefel–Whitney 類はこの弱い自明性でも $1$ になる。
パラコンパクト Hausdorff 空間 $B$ 上の同じ階数 $N\ge1$ のベクトル束 $E,E'$ について、$B$ の上のファイバーを保つ連続写像 $f\colon S(E)\to S(E')$ で、各ファイバーの上でホモトピー同値になるものがあれば、$w(E)=w(E')$ である。とくに $E$ が安定ファイバーホモトピー自明なら $w(E)=1$ である。
要点：$f$ を原点からの放射状に延ばした写像 $F\colon E\to E'$ は、各ファイバーの上で Thom 類を Thom 類に引き戻す。Thom 類の一意性と Thom の公式 $w_i=\Phi^{-1}Sq^i u$ から $w(E)=w(E')$ が従う。
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記号は Stiefel–Whitney類 の節「Thom の公式」に従い、$E_0$ を零でないベクトルの全体、$u(E)\in H^N(E,E_0)$ を Thom 類、$\Phi_E(b)=\rho^*b\smile u(E)$ を Thom 同型とする（$\rho\colon E\to B$ は射影）。$F(v):=\|v\|\,f(v/\|v\|)$（$v\ne0$）、$F(0_b):=0_b$ とおく。$\|F(v)\|=\|v\|$ なので $F$ は零切断でも連続であり、$F(E_0)\subset E'_0$、$\rho'\circ F=\rho$ である。
各 $b$ で $F_b\colon(E_b,E_b\setminus0)\to(E'_b,E'_b\setminus0)$ を考える。$E_b$ は可縮なので、連結準同型 $\delta\colon\tilde H^{N-1}(E_b\setminus0)\to H^N(E_b,E_b\setminus0)$ は同型であり、$\delta$ は対の写像と可換である。$E_b\setminus0$ は $S(E)_b$ への放射状のレトラクション $\theta$ をもち（$\theta$ はホモトピー同値）、$E'$ の側の同様の $\theta'$ について $\theta'\circ F_b=f_b\circ\theta$ なので、$F_b$ は $E_b\setminus0\to E'_b\setminus0$ のホモトピー同値である。よって$F_b^*\colon H^N(E'_b,E'_b\setminus0)\to H^N(E_b,E_b\setminus0)$ は同型、すなわち $\mathbb{Z}/2$ の $0$ でない元を $0$ でない元に写す。よって $F^*u(E')$ は各ファイバーへの制限が $0$ でない類であり、Thom 類の一意性（Thom同型(特異コホモロジー) の定理「mod 2 の Thom 同型」）により $F^*u(E')=u(E)$ である。$\rho'\circ F=\rho$ とカップ積の自然性から $F^*\Phi_{E'}(b)=\rho^*b\smile F^*u(E')=\Phi_E(b)$ である。
Stiefel–Whitney類 の定理「Thom の公式」と $Sq^i$ の自然性により $$ \Phi_E\bigl(w_i(E)\bigr)=Sq^iu(E)=Sq^iF^*u(E')=F^*Sq^iu(E')=F^*\Phi_{E'}\bigl(w_i(E')\bigr)=\Phi_E\bigl(w_i(E')\bigr) $$ であり、$\Phi_E$ は単射なので $w_i(E)=w_i(E')$ である。最後の主張は、$E\oplus\varepsilon^j$ と自明束にこれを当て、Whitney の和公式と自明束の $w=1$ から $w(E)=w(E\oplus\varepsilon^j)=1$ を得ればよい。$\square$
$K\ge1$ について、$c_K$ を $K$ より大きい最小の $2$ の冪とする。$1\le K\le8$ では $c_K=2,4,4,8,8,8,8,16$ である。
$1\le K\le8$、$m\ge1$ とする。$m\gamma_K$ が安定ファイバーホモトピー自明であるための必要十分条件は $c_K\mid m$ である。さらに $c_K\mid m$ なら $m\gamma_K$ はベクトル束として自明である。
要点：十分性は、次元 $c_K$ の大きさ $K$ の Hurwitz–Radon 族から $c_K\gamma_K$ の自明化を作ることによる。必要性は、$m=2^{\sigma}u'$（$u'$ 奇数）なら $w(m\gamma_K)=(1+a)^m$ の次数 $2^\sigma$ の項が $a^{2^\sigma}$ になり、$c_K\nmid m$ では $2^\sigma\le K$ なのでこれが $0$ でないことによる。
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十分性：$c_K=2^e$ とすると、$K\le7$ では $e\le3$、$K=8$ では $c_K=16$ なので、$\rho(c_K)-1\ge K$ であり、vfs-thm-lower の証明から次元 $c_K$ の大きさ $K$ の Hurwitz–Radon 族 $A_1,\dots,A_K$ がある（大きさ $\rho(c_K)-1$ の族から $K$ 個を選ぶ）。$y=(y_0,\dots,y_K)\in S^K$ について $M(y):=y_0I+\sum_{i\ge1}y_iA_i$ とおくと、$A_i^{\mathsf T}=-A_i$ と反可換性から $M(y)^{\mathsf T}M(y)=\bigl(\sum_iy_i^2\bigr)I=I$ であり、$M(-y)=-M(y)$ である。$c_K\gamma_K$ の点 $L=\{\pm y\}$ の上のファイバーは $L^{c_K}$ であり、その元は単位ベクトル $y\in L$ と $t\in\mathbb{R}^{c_K}$ によって $(t_1y,\dots,t_{c_K}y)$ と書け、$(y,t)$ と $(-y,-t)$ が同じ元を表す。これを $(L,M(y)t)\in\mathbb{R}P^K\times\mathbb{R}^{c_K}$ に写すと、$M(-y)(-t)=M(y)t$ なので矛盾なく定まり、局所的には $y$ を連続に選べるので連続で、各ファイバーで線形同型である。よって $c_K\gamma_K$ は自明であり、$m\gamma_K$ はその $m/c_K$ 個の和なので自明である。
必要性：$c_K\nmid m$ とし、$m=2^\sigma u'$（$u'$ 奇数）と書く。$c_K$ は $2$ の冪なので $2^\sigma< c_K$ であり、$c_K$ の定め方から $2^\sigma\le K$ である。Stiefel–Whitney類 の補題「トートロジー直線束」と Whitney の和公式から $w(m\gamma_K)=(1+a)^m$ であり、$\mathbb{Z}/2[a]$ の中で $(1+a)^{2^\sigma}=1+a^{2^\sigma}$（Steenrod平方 の補題「2 の冪の二項係数」）なので $$ (1+a)^m=\bigl(1+a^{2^\sigma}\bigr)^{u'}=1+u'a^{2^\sigma}+(\text{次数 }2\cdot2^\sigma\text{ 以上}) $$ である。$u'$ は奇数で $a^{2^\sigma}\ne0$（$2^\sigma\le K$）なので $w_{2^\sigma}(m\gamma_K)\ne0$ であり、vfs-prop-sw-fht により $m\gamma_K$ は安定ファイバーホモトピー自明でない。$\square$
vfs-thm-j-order は、$J(\mathbb{R}P^K)$ での $[\gamma_K]-1$ の位数が $c_K$ であることを $K\le8$ で述べている。これと次の還元を組み合わせると、vfs-cor-low の上界の別証明になる：$S^{n-1}$ に $\rho(n)$ 本の場があれば、$n$ の奇数倍 $m$ で $\rho(m)=\rho(n)$ かつ $m\gamma_{\rho(m)}$ が安定ファイバーホモトピー自明なものがある（Hus94 第 16 章 Theorem 10.2, p. 233 と Theorem 7.7, p. 229。この記事では証明しない）。$\nu_2(n)\le3$ なら $K=\rho(n)=2^{\nu_2(n)}\le8$、$c_K=2^{\nu_2(n)+1}$ であり、$\nu_2(m)=\nu_2(n)$ なので $c_K\nmid m$ となって vfs-thm-j-order に反する。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $K\le8$（vfs-thm-j-order） | $K=9$、$m=16$ の $16\gamma_9$ | $c_K\mid m$ なら安定ファイバーホモトピー自明であること |
| $16\nmid n$（vfs-cor-low） | $n=16$ | 上界 $2^{\nu_2(n)}-1$ が最大本数に一致すること |
| 場が接する（vfs-def-span） | 定数の場 $e_1,\dots,e_n$ | 本数が $n-1$ 以下であること |
1 行目：vfs-thm-j-order の定め方では $c_9=16$ なので $16\gamma_9$ は $c_9\mid m$ を満たす。しかし $\mathbb{R}P^9$ では $[\gamma_9]-1$ の $J(\mathbb{R}P^9)$ での位数は $32$ であり（Hus94 第 16 章 §11.1 の表の $c_{k+8}=16c_k$, p. 233、Theorem 12.7, p. 237、Theorem 13.9, p. 239。この記事では証明しない）、$16\gamma_9$ は安定ファイバーホモトピー自明でない。一方 $w(16\gamma_9)=1+a^{16}=1$（$a^{10}=0$）なので、Stiefel–Whitney 類はこの非自明性を検出しない。$K\ge9$ では $KO$ 理論が要る。2 行目：$n=16$ では vfs-thm-lower の後の例のとおり $8$ 本の場があり、vfs-thm-adams により $9$ 本はないので、最大本数 $8$ は上界 $15$ に届かない。3 行目：標準基底の定数の場 $e_1,\dots,e_n$ は各点で一次独立だが接ベクトル場でなく、$n$ 本ある。接する場に限ると本数は接空間の次元 $n-1$ 以下である。
補足
vfs-def-family の族は、二項の積 $\mathbb{R}^{k+1}\times\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N$、$(y,x)\mapsto y_0x+\sum_iy_iA_ix$ で $\|y_0x+\textstyle\sum_iy_iA_ix\|=\|y\|\,\|x\|$ を満たすもの（直交積）と同じものである（Hus94 第 12 章 §2）。$k+1=N$ の場合が合成代数であり、そのような $N$ は $1,2,4,8$ に限る（Hurwitzの定理(合成代数)）。Hurwitz–Radon 族の最大の大きさが $\rho(N)-1$ であることは、Clifford代数 の表現の次元の計算からわかる（Hus94 第 12 章 Theorem 8.2, p. 169）。
関連項目
- 前提: 接ベクトル場, Stiefel多様体, Steenrod平方, Stiefel–Whitney類, 四元数
- 比較: 毛玉の定理, Hurwitzの定理(合成代数), Hopf不変量1の定理
- 道具: Clifford代数, 実射影空間, Thom同型(特異コホモロジー), 胞体近似定理
- 発展: 位相的K理論, Euler類
参考文献
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