極大部分群

まず有限性を見る。$gH\mapsto gK$ は左剰余類の間の写像として矛盾なく定まる。実際 $gH=g'H$ ならば $g^{-1}g'\in H\subset K$ なので $gK=g'K$ である。この写像は明らかに全射なので $[G:K]\le[G:H]<\infty$ である。また $K$ の元による $H$ の左剰余類は $G$ の元による $H$ の左剰余類でもあるので $[K:H]\le[G:H]<\infty$ である。
$n=[G:K]$、$m=[K:H]$ とおき、代表元を選んで $G=\bigcup_{i=1}^{n}g_iK$（互いに交わらない）、$K=\bigcup_{j=1}^{m}k_jH$（互いに交わらない）と書く。有限個の代表元を選ぶだけなので選択公理は使わない。$g_iK=\bigcup_{j=1}^{m}g_ik_jH$ であり、これらは交わらないので
$$G=\bigcup_{i=1}^{n}\bigcup_{j=1}^{m}g_ik_jH$$
となる。この $nm$ 個の左剰余類が相異なることを見る。$g_ik_jH=g_{i'}k_{j'}H$ とすると、$k_jH\subset K$ と $k_{j'}H\subset K$ より左辺は $g_iK$ に、右辺は $g_{i'}K$ に含まれる。二つの左剰余類は一致するか交わらないので $g_iK=g_{i'}K$、よって $i=i'$ である。次に両辺に左から $g_i^{-1}$ を掛けて $k_jH=k_{j'}H$ を得るので $j=j'$ である。したがって $[G:H]=nm$ である。$\square$

$[G:G]=1\neq p$ なので $H\neq G$ であり、定義の条件 1 が成り立つ。$H\subset K\subset G$ を満たす部分群 $K$ を取る。lem-maximal-subgroup-index より $p=[G:H]=[G:K]\,[K:H]$ であり、$p$ が素数なので $[G:K]=1$ または $[G:K]=p$ である。$[G:K]=1$ のときは左剰余類が $K$ 一つだけなので $G=K$ である。$[G:K]=p$ のときは $[K:H]=1$ となり、同様に $K=H$ である。よって条件 2 が成り立ち、$H$ は極大部分群である。$\square$

まず $\mathbb{Z}$ の部分群が $n\mathbb{Z}$（$n\ge0$）の形に限ることを示す。$H$ を部分群とする。$H=\{0\}$ なら $H=0\mathbb{Z}$ である。$H\neq\{0\}$ なら $0$ でない $a\in H$ があり、$-a\in H$ でもあるから $H$ は正の整数を含む。そのうち最小のものを $n$ とすると $n\mathbb{Z}\subset H$ である。逆に $x\in H$ を取り、$x=qn+r$（$q,r$ は整数、$0\le r< n$）と書くと $r=x-qn\in H$ であり、$n$ の最小性から $r=0$、すなわち $x\in n\mathbb{Z}$ である。よって $H=n\mathbb{Z}$ である。以下、$n\ge1$ のとき $n\mathbb{Z}$ の正の元の最小値は $n$ であることを使う。
$p$ を素数とする。$x=qp+r$（$0\le r< p$）と書けるので $0,1,\dots,p-1$ の定める左剰余類が $\mathbb{Z}$ を覆い、$0\le r< r'< p$ なら $r'-r$ は $p$ の倍数でないのでこれらは相異なる。よって $[\mathbb{Z}:p\mathbb{Z}]=p$ であり、prop-maximal-subgroup-prime-index より $p\mathbb{Z}$ は極大部分群である。
逆に $H=n\mathbb{Z}$ が極大部分群であるとする。$n=1$ なら $H=\mathbb{Z}$ で条件 1 に反するので $n\neq1$ である。$n=0$ とすると $\{0\}\subsetneq2\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Z}$ であり（$2$ は $2\mathbb{Z}$ に属して $\{0\}$ に属さず、$1$ は $\mathbb{Z}$ に属して $2\mathbb{Z}$ に属さない）、条件 2 に反する。よって $n\ge2$ である。$n$ が素数でないとすると $n=ab$（$1< a< n$、$b>1$）と書けるので $n\mathbb{Z}\subset a\mathbb{Z}$ であり、$a\in a\mathbb{Z}$ かつ $0< a< n$ より $a\notin n\mathbb{Z}$、また $1\notin a\mathbb{Z}$ なので
$$n\mathbb{Z}\subsetneq a\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Z}$$
となって条件 2 に反する。よって $n$ は素数である。$\square$

$H$ を含む $G$ の真部分群全体の集合を $\mathcal{S}$ とおく。$H\in\mathcal{S}$ なので $\mathcal{S}$ は空でなく、$G$ が有限集合なので $\mathcal{S}$ も有限集合である。そこで $\mathcal{S}$ の元のうち位数が最大のものを一つ選び $M$ とする。$M$ は真部分群なので条件 1 を満たす。$M\subsetneq K\subsetneq G$ を満たす部分群 $K$ があったとすると、$H\subset M\subset K$ かつ $K\neq G$ より $K\in\mathcal{S}$ であり、$M\subsetneq K$ から $|K|>|M|$ となって $M$ の取り方に反する。よって $M$ は極大部分群である。後半は、$G\neq\{e\}$ のとき $\{e\}$ が真部分群なので $H=\{e\}$ として前半を適用すればよい。$\square$

$H$ を含む $G$ の真部分群全体の集合を $\mathcal{S}$ とおき、包含関係で順序づける。$H\in\mathcal{S}$ なので $\mathcal{S}$ は空でない。$\mathcal{C}\subset\mathcal{S}$ を空でない 鎖（包含について全順序な部分集合）とし、$U:=\bigcup_{K\in\mathcal{C}}K$ とおく。
$U$ は部分群である。実際 $\mathcal{C}$ が空でないので $e\in U$ であり、$a,b\in U$ なら $a\in K_1$、$b\in K_2$ となる $K_1,K_2\in\mathcal{C}$ があって、鎖なので一方が他方を含み、その大きい方に $a$ と $b$ がともに属するから $ab^{-1}$ もそこに属し、$U$ に属する。また $H\subset U$ である。
$U\neq G$ を示す。$G$ が真部分群 $H$ を持つので $G\neq\{e\}$ であり、生成元の個数は $r\ge1$ としてよい。$U=G$ と仮定すると、各生成元 $x_i$ はある $K_i\in\mathcal{C}$ に属する。$K_1,\dots,K_r$ は鎖 $\mathcal{C}$ の有限個の元なので、そのうちの一つ $K$ が残りすべてを含む。すると $x_1,\dots,x_r\in K$ となり、$K$ が部分群であることから $G=\langle x_1,\dots,x_r\rangle\subset K$ となって $K\neq G$ に反する。よって $U\in\mathcal{S}$ であり、$U$ は $\mathcal{C}$ の 上界 である。
Zornの補題（空でない 半順序集合 において、任意の空でない鎖が上界を持つならば極大元が存在する）を $\mathcal{S}$ に適用すると、$\mathcal{S}$ の極大元 $M$ が得られる。$M$ は $H$ を含む真部分群であり、$M\subsetneq K\subsetneq G$ を満たす部分群 $K$ があれば $K\in\mathcal{S}$ となって $\mathcal{S}$ における $M$ の極大性に反する。よって $M$ は $G$ の極大部分群である。$\square$

$e$ でない $y\in Q$ を取る。$y$ が生成する部分群 $\langle y\rangle=\{y^k\mid k\in\mathbb{Z}\}$ は $y$ を含むので $\{e\}$ でなく、仮定より $\langle y\rangle=Q$ である。よって $Q$ は巡回群である。
$y$ の位数が無限であるとすると、$y^2\neq e$ なので $\langle y^2\rangle\neq\{e\}$ である。また $y\in\langle y^2\rangle$ とすると $y=y^{2k}$ すなわち $y^{2k-1}=e$ となり、$2k-1\neq0$ なので $y$ の位数が有限になって矛盾する。よって $\langle y^2\rangle\neq Q$ となり仮定に反する。したがって $y$ の位数は有限な $m$ であり、$Q=\langle y\rangle$ の位数は $m$ である。$Q\neq\{e\}$ より $m\ge2$ である。
$m$ が素数でないとすると $m=ab$（$1< a< m$、$b=m/a>1$）と書ける。$(y^a)^k=e$ は $m$ が $ak$ を割ること、すなわち $b$ が $k$ を割ることと同値なので、$y^a$ の位数は $b$ であり $\langle y^a\rangle$ の位数も $b$ である。$b>1$ より $\langle y^a\rangle\neq\{e\}$、$b< m$ より $\langle y^a\rangle\neq Q$ となって仮定に反する。よって $m$ は素数である。$\square$

$\pi\colon G\to G/M$ を標準的な全射準同型とし、$\bar e$ で $G/M$ の単位元を表す。
まず、$M$ を含む $G$ の部分群 $K$ に $\pi(K)$ を対応させる写像と、$G/M$ の部分群 $L$ に $\pi^{-1}(L)$ を対応させる写像が互いに逆であることを見る。$\pi$ は全射なので $\pi(\pi^{-1}(L))=L$ である。また $\pi^{-1}(\pi(K))=K$ である。実際 $\pi(x)\in\pi(K)$ ならば $\pi(x)=\pi(k)$ となる $k\in K$ があり、$xk^{-1}\in\ker\pi=M\subset K$ なので $x\in K$ であり、逆の包含は明らかである。二つの対応はいずれも包含関係を保つ。
1 から 2 を示す。$M$ が極大部分群なら、$M$ を含む $G$ の部分群は $M$ と $G$ だけである。上の対応により $G/M$ の部分群は $\pi(M)=\{\bar e\}$ と $\pi(G)=G/M$ だけである。$M\neq G$ なので $G/M\neq\{\bar e\}$ であり、lem-maximal-subgroup-no-proper より $G/M$ は素数位数の巡回群である。
2 から 1 を示す。$G/M$ の位数が素数 $p$ であるとする。左剰余類の個数が $|G/M|$ なので $[G:M]=p$ であり、prop-maximal-subgroup-prime-index より $M$ は極大部分群である。
最後に、位数が素数 $p$ の群 $Q$ が単純群であることを見る。$Q$ の部分群 $L$ について $p=[Q:L]\,|L|$ なので $|L|$ は $1$ か $p$、すなわち $L$ は単位元だけの部分群か $Q$ 自身である。正規部分群も部分群なのでこの二つに限り、$p\ge2$ より $Q$ は単位元だけからなる群ではない。$\square$

$N_G(H)$ は $H$ を含む $G$ の部分群である。$|G|$ についての帰納法で示す。群の中心 の記事の定理（有限 $p$ 群の中心は自明でない）により $Z(G)\neq\{e\}$ である。中心の元はすべての元と可換なので $Z(G)\subset N_G(H)$ である。
$Z(G)\not\subset H$ ならば、$Z(G)$ の元で $H$ に属さないものが $N_G(H)$ に属するので主張が従う。
$Z(G)\subset H$ とする。$H\neq G$ より $Z(G)\neq G$ であり、$\bar G:=G/Z(G)$ は $|Z(G)|\ge2$ より $|\bar G|<|G|$ を満たす有限 $p$ 群で、$\bar G\neq\{\bar e\}$ である。$\pi\colon G\to\bar G$ を標準的な全射準同型とし、$\bar H:=\pi(H)=H/Z(G)$ とおく。$\pi^{-1}(\bar H)=HZ(G)=H$ なので $\bar H\neq\bar G$ である。帰納法の仮定より $\bar H\subsetneq N_{\bar G}(\bar H)$ だから、$\bar x\in N_{\bar G}(\bar H)\setminus\bar H$ が取れる。$x\in G$ を $\pi(x)=\bar x$ となる元とすると、$\bar x\notin\bar H$ より $x\notin H$ である。一方、任意の $h\in H$ に対し $\pi(xhx^{-1})=\bar x\pi(h)\bar x^{-1}\in\bar H$ なので $xhx^{-1}\in\pi^{-1}(\bar H)=H$ であり、同様に $x^{-1}hx\in H$ だから $xHx^{-1}=H$ である。よって $x\in N_G(H)\setminus H$ となり、主張が従う。この補題は DF04 にもある。$\square$

lem-maximal-subgroup-p-normalizer より $M\subsetneq N_G(M)\subset G$ であり、$N_G(M)$ は部分群なので、定義の条件 2 より $N_G(M)=G$ である。すなわち $M$ は正規部分群である。すると prop-maximal-subgroup-quotient より剰余群 $G/M$ はある素数 $q$ を位数とする巡回群である。$|G/M|=[G:M]$ は $|G|=p^{n}$ の約数なので $q=p$ であり、$[G:M]=p$ である。$\square$

$A$ を可除なアーベル群とし、$M$ を $A$ の極大部分群と仮定する。$A$ は可換なので $M$ は正規部分群であり、prop-maximal-subgroup-quotient より剰余群 $A/M$ は素数 $p$ の位数を持つ。$\bar 0$ で $A/M$ の単位元を表し、$x\in A$ の類を $\bar x$ と書く。
$a\in A$ を任意に取る。可除性より $pb=a$ を満たす $b\in A$ がある。$A/M$ の部分群 $\langle\bar b\rangle$ の位数は $p=[A/M:\langle\bar b\rangle]\,|\langle\bar b\rangle|$ より $1$ か $p$ であり、いずれの場合も $p\bar b=\bar 0$ である。標準的な全射準同型 $A\to A/M$ は加法を保つので $\bar a=\overline{pb}=p\bar b=\bar 0$、すなわち $a\in M$ である。$a$ は任意だったので $M=A$ となり、$M$ が真部分群であることに反する。よって $A$ は極大部分群を持たない。$\square$

$\mathbb{Q}$ はアーベル群であり、$q\in\mathbb{Q}$ と整数 $n\ge1$ に対し $q/n\in\mathbb{Q}$ が $n\cdot(q/n)=q$ を満たすので可除群である。よって prop-maximal-subgroup-divisible より極大部分群を持たない。
$\mathbb{Z}(p^{\infty})$ は $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ の部分群である。実際、$a=0$、$n=0$ として $0$ が属し、$n\le n'$ のとき $a/p^{n}+a'/p^{n'}=(ap^{n'-n}+a')/p^{n'}$ であり（$n>n'$ なら役割を入れ替える）、$-(a/p^{n})=(-a)/p^{n}$ であるから、和と逆元について閉じている。可除性を確かめる。$x=a/p^{n}+\mathbb{Z}$ と整数 $m\ge1$ を取り、$m=p^{k}m'$（$k\ge0$、$m'$ は $p$ で割り切れない整数）と書く。$m'$ と $p^{n+k}$ は互いに素なので $um'+vp^{n+k}=1$ を満たす整数 $u,v$ が存在する。$y:=ua/p^{n+k}+\mathbb{Z}\in\mathbb{Z}(p^{\infty})$ とおくと
$$my=\frac{p^{k}m'ua}{p^{n+k}}+\mathbb{Z}=\frac{m'ua}{p^{n}}+\mathbb{Z}=\frac{(1-vp^{n+k})a}{p^{n}}+\mathbb{Z}=\frac{a}{p^{n}}-vap^{k}+\mathbb{Z}=x$$
である（$vap^{k}$ は整数なので最後の等号が成り立つ）。$\mathbb{Z}(p^{\infty})$ はアーベル群 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ の部分群なのでアーベル群でもある。よって $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ は可除なアーベル群であり、prop-maximal-subgroup-divisible より極大部分群を持たない。$\square$