単調関数

要点：上限 $a$ に $\varepsilon$ だけ近い値 $f(x_\varepsilon)$ を 1 つとれば、単調性により $x_\varepsilon$ と $c$ の間のすべての $x$ で $a-\varepsilon< f(x)\le a$ となる。

1：内点 $c$ では左右に $I$ の点があるので、thm-mon-one-sided により $\lim_{x\to c-}f(x)=f(c-)$、$\lim_{x\to c+}f(x)=f(c+)$ であり、$f(c-)\le f(c)\le f(c+)$ である。$f$ が $c$ で連続であることは、左右の極限がともに $f(c)$ に等しいことと同値である。$f(c-)=f(c+)$ なら両者は挟まれた $f(c)$ に等しいので連続であり、逆に連続なら $f(c-)=f(c)=f(c+)$ である。
2：$a=t_0< c_1< t_1< c_2< t_2<\dots< c_n< t_n=b$ となる点 $t_k$ を選ぶ（$t_k$ は $c_k$ と $c_{k+1}$ の間の任意の点）。$t_{k-1}< c_k< t_k$ なので、$f(c_k-)$ と $f(c_k+)$ の定義から $f(t_{k-1})\le f(c_k-)$、$f(c_k+)\le f(t_k)$ であり、
$$ \sum_{k=1}^n\bigl(f(c_k+)-f(c_k-)\bigr)\le\sum_{k=1}^n\bigl(f(t_k)-f(t_{k-1})\bigr)=f(b)-f(a) $$
である。
3：$I$ が 1 点なら主張は明らかなので、$I$ は 1 点でないとする。$I$ の端点は高々 2 個なので、内点の不連続点の集合 $D$ が高々可算であることを示せばよい。$I$ の内部は、閉区間の増大列 $[a_1,b_1]\subset[a_2,b_2]\subset\cdots$（$a_m< b_m$ は $I$ の内点）の和集合として書ける。正の整数 $m,j$ について
$$ D_{m,j}:=\Bigl\{c\in D\cap(a_m,b_m)\Bigm| f(c+)-f(c-)>\tfrac1j\Bigr\} $$
とおくと、2 により $D_{m,j}$ の任意の $n$ 個の点について $\frac nj< f(b_m)-f(a_m)$ なので、$D_{m,j}$ は有限集合で、元の個数は $j\bigl(f(b_m)-f(a_m)\bigr)$ 未満である。1 により $D$ の各点の跳びは正なので、$D=\bigcup_{m,j}D_{m,j}$ であり、可算個の有限集合の和集合として高々可算である（可算集合）。

$\sum_n2^{-n}\le1$ なので和は収束し、$0\le f(x)\le1$ である。$x< y$ なら
$$ f(y)-f(x)=\sum_{n\colon x< d_n\le y}2^{-n}\ge0 $$
なので $f$ は単調増加である。
$D$ の点で不連続であること：$c=d_m$ とする。$x< c$ なら上の式で $n=m$ の項が現れるので $f(c)-f(x)\ge2^{-m}$ である。$x\to c-$ とすると $f(c-)\le f(c)-2^{-m}< f(c)$ であり、$f$ は $c$ で連続でない。
$D$ の外の点で連続であること：$c\notin D$、$\varepsilon>0$ とする。$\sum_{n>N}2^{-n}=2^{-N}<\varepsilon$ となる $N$ をとる。$c$ は $d_1,\dots,d_N$ のどれとも異なるので、$\delta:=\min\{|c-d_n|\mid n\le N,\ d_n\text{ が定義されている}\}>0$ とおける（$D$ が空、または該当する $d_n$ がなければ $\delta:=1$）。$c< x< c+\delta$ なら、$f(x)-f(c)$ は $c< d_n\le x$ を満たす $n$ にわたる和であり、そのような $d_n$ は $c$ からの距離が $\delta$ 未満なので $n>N$ である。したがって $0\le f(x)-f(c)\le\sum_{n>N}2^{-n}<\varepsilon$ である。$c-\delta< x< c$ なら、$f(c)-f(x)$ は $x< d_n\le c$ を満たす $n$ にわたる和で、$c\notin D$ より $d_n\ne c$、したがって $|d_n-c|<\delta$ となり $n>N$ である。よって $0\le f(c)-f(x)<\varepsilon$ である。以上で $f$ は $c$ で連続である。

1：$f$ は単調増加としてよい（減少なら $-f$ を考える。$-f(S)$ も区間である）。$f$ がある $c\in S$ で連続でないとする。すると $\varepsilon>0$ と、$c$ に収束する $S$ の点列 $s_n$ で $|f(s_n)-f(c)|\ge\varepsilon$ を満たすものがある。$s_n\ne c$ であり、無限個の $n$ について $s_n< c$ であるか、無限個の $n$ について $s_n>c$ である。前者の場合を考える（後者も同様）。その $n$ では単調性から $f(s_n)\le f(c)$ なので、$f(s_n)\le f(c)-\varepsilon$ である。$y\in S$、$y< c$ とすると、$s_n\to c$ なので $y< s_n< c$ となる $n$ があり、$f(y)\le f(s_n)\le f(c)-\varepsilon$ である。$y\ge c$ なら $f(y)\ge f(c)$ である。したがって開区間 $(f(c)-\varepsilon,f(c))$ は $f(S)$ と交わらない。一方 $f(s_n)\le f(c)-\varepsilon$ と $f(c)$ はどちらも $f(S)$ に属する。これは $f(S)$ が区間であることに反する。
2：$f$ が連続なら、中間値の定理 の記事の定理「中間値の定理」により、$f(I)$ の 2 点の間の値はすべて $f(I)$ に属するので、$f(I)$ は区間である。逆は 1 の $S=I$ の場合である。

狭義単調な関数は単射なので、$f\colon I\to f(I)$ は全単射である。$f$ が狭義単調増加なら、$u,v\in f(I)$、$u< v$ について $f^{-1}(u)\ge f^{-1}(v)$ とすると $u=f(f^{-1}(u))\ge f(f^{-1}(v))=v$ となり矛盾するので、$f^{-1}$ は狭義単調増加である。減少の場合も同様である。$f^{-1}$ の値の集合は区間 $I$ なので、thm-mon-image-interval の 1 を $S=f(I)$ に当てはめると $f^{-1}$ は連続である。

2 ⇒ 1：分割 $P$ について、三角不等式と $g,h$ の単調性から
$$ |f(x_k)-f(x_{k-1})|\le\bigl(g(x_k)-g(x_{k-1})\bigr)+\bigl(h(x_k)-h(x_{k-1})\bigr) $$
であり、$k$ について足すと $V(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)$ である。右辺は $P$ によらないので $V_a^b(f)<\infty$ である。
1 ⇒ 2：まず、$a\le s\le t\le u\le b$ について加法性 $V_s^u(f)=V_s^t(f)+V_t^u(f)$ を示す（$s=t$ や $t=u$ のときは $V_t^t=0$ により明らか）。$s< t< u$ とする。$[s,t]$ の分割 $P_1$ と $[t,u]$ の分割 $P_2$ をつなぐと $[s,u]$ の分割になり、$V(f,P_1)+V(f,P_2)\le V_s^u(f)$ である。$P_1,P_2$ について上限をとると $V_s^t+V_t^u\le V_s^u$ を得る。逆に $[s,u]$ の分割 $P$ に点 $t$ を加えた分割を $P'$ とすると、加えた点をまたぐ 1 項 $|f(x_k)-f(x_{k-1})|$ が三角不等式により $|f(t)-f(x_{k-1})|+|f(x_k)-f(t)|$ 以下なので、$V(f,P)\le V(f,P')$ である。$P'$ は $t$ で $[s,t]$ の分割と $[t,u]$ の分割に分かれるので $V(f,P')\le V_s^t+V_t^u$ であり、上限をとって $V_s^u\le V_s^t+V_t^u$ を得る。
$f$ が有界変動なら、$a\le x\le b$ について、加法性から $V_a^x(f)\le V_a^b(f)<\infty$ なので $g(x):=V_a^x(f)$ は有限である。$a\le x< y\le b$ とすると、加法性により
$$ g(y)-g(x)=V_x^y(f)\ge|f(y)-f(x)|\ge f(y)-f(x) $$
である（$V_x^y(f)$ は 1 区間だけの分割 $x< y$ の和以上）。最初の不等式から $g(y)\ge g(x)$、全体から $(g-f)(y)\ge(g-f)(x)$ なので、$g$ と $h:=g-f$ は単調増加であり、$f=g-h$ である。