射影空間
概要
射影空間（projective space）とは、体 $K$ 上のベクトル空間 $V$ の $0$ でないベクトルをスカラー倍で同一視した商 $P(V)=(V\setminus\{0\})/K^\times$、すなわち $V$ の原点を通る直線全体のなす空間であり、$V=K^{n+1}$ のとき $n$ 次元射影空間 $K\mathrm{P}^n$ という。$K^n$ に無限遠点を付け加えた空間として「平行線は無限遠で交わる」射影幾何を実現する。$K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ のとき球面の商 $S^n/\{\pm1\}$、$S^{2n+1}/S^1$ と同相なコンパクト多様体で、$\pi_1(\mathbb{R}\mathrm{P}^n)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（$n\ge2$）である。
前提知識: 体, ベクトル空間, 同値関係, 商空間, 位相空間, 多様体
定義
$K$ を体、$V$ を $K$ 上のベクトル空間とする。$V\setminus\{0\}$ 上の同値関係 $\sim$ を
$$v\sim w\iff\text{ある }\lambda\in K^\times=K\setminus\{0\}\text{ が存在して }w=\lambda v$$
で定め、その商集合を
$$P(V):=(V\setminus\{0\})/\sim\;=(V\setminus\{0\})/K^\times$$
と書き、$V$ の射影空間（projective space）または射影化という。$v\in V\setminus\{0\}$ の同値類を $[v]$ と書く。$[v]$ は $v$ の張る $1$ 次元部分空間（部分空間）$Kv$ と一対一に対応するので、$P(V)$ は $V$ の $1$ 次元線形部分空間（原点を通る直線）の全体と同一視される。$V$ が $n+1$ 次元のとき $P(V)$ を $n$ 次元射影空間といい、$V=K^{n+1}$ のときは
$$K\mathrm{P}^n:=P(K^{n+1})=(K^{n+1}\setminus\{0\})/K^\times$$
と書く（$\mathbb{P}^n(K)$、$\mathbb{P}^n_K$、$P^n(K)$ とも書く）。$(a_0,\dots,a_n)\in K^{n+1}\setminus\{0\}$ の同値類を $[a_0:\cdots:a_n]$ と書き、$a_0,\dots,a_n$ をその点の斉次座標（homogeneous coordinates）という。斉次座標は $0$ でない定数倍を除いて定まる。$K\mathrm{P}^1$ を射影直線、$K\mathrm{P}^2$ を射影平面という。
$K=\mathbb{R}$ または $K=\mathbb{C}$ のとき、$K^{n+1}\setminus\{0\}$ に Euclid 空間（Euclid空間）$\mathbb{R}^{n+1}$ または $\mathbb{R}^{2n+2}$ の部分空間としての位相を入れ、$K\mathrm{P}^n$ に商位相（商空間）を入れる。すなわち商写像（商写像）$q\colon K^{n+1}\setminus\{0\}\to K\mathrm{P}^n$、$q(a)=[a]$ に対し、$U\subset K\mathrm{P}^n$ が開集合（開集合）であることを $q^{-1}(U)$ が開集合であることと定める。こうして得られる位相空間を $n$ 次元実射影空間（real projective space）$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$、$n$ 次元複素射影空間（complex projective space）$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ という。$\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ を Riemann 球面（Riemann球面）ともいう。
$K$ が斜体（非可換体）の場合にも、$K^{n+1}$ を右 $K$ 加群（加群）とみなして右からのスカラー倍 $(a_0\lambda,\dots,a_n\lambda)$ で割ることにより射影空間が同様に定義される（一般の環（環）上では、成分が単位イデアルを生成する単模ベクトルに制限し、単元群で割る）。このとき左からの作用による商とは異なるので、どちらの作用で割るかを明示する必要がある。四元数（四元数）体 $\mathbb{H}$ 上の射影空間 $\mathbb{H}\mathrm{P}^n$ がその例である。本記事では $K$ が可換体、とくに $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$、有限体（有限体）$\mathbb{F}_q$ の場合を扱う。
$1$ 次元部分空間の代わりに $k$ 次元部分空間の全体を考えたものが Grassmann 多様体（Grassmann多様体）$\mathrm{Gr}(k,V)$ であり、$P(V)=\mathrm{Gr}(1,V)$ である。部分空間の増大列（旗）の全体を考えたものが旗多様体（旗多様体）で、さらに一般化旗多様体へと続く。代数幾何学では、$K\mathrm{P}^n$ は斉次多項式の零点集合（射影多様体）の住む空間であり、スキーム $\operatorname{Proj}K[x_0,\dots,x_n]$ として扱われる。
直感
$K\mathrm{P}^n$ の点は $K^{n+1}$ のベクトルそのものではなく、そのベクトルが張る原点を通る直線である。$(a_0,\dots,a_n)$ と $(\lambda a_0,\dots,\lambda a_n)$（$\lambda\neq0$）は同じ直線を張るので同じ点とみなす。$a_0\neq0$ の点は $[1:a_1/a_0:\cdots:a_n/a_0]$ と書けるので、$K^n$ の点 $(a_1/a_0,\dots,a_n/a_0)$ と同一視できる。残りの $a_0=0$ の点全体は $K\mathrm{P}^{n-1}$ をなし、$K^n$ の「無限遠」にある点とみなせる。$K^n$ の平行な直線の族は無限遠の一点で交わり、射影幾何学の「平行線は無限遠点で交わる」という古典的な考えがこの定式化で実現される。
位相的には、$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ は球面 $S^n$ の対蹠点（対蹠点）を同一視した空間であり、$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ は $S^{2n+1}$ を単位複素数の作用で割った空間である。商をとる前の $K^{n+1}\setminus\{0\}$ はコンパクトでないが、単位球面上の代表元がとれることから射影空間はコンパクトになる。
例
$\mathbb{R}\mathrm{P}^1$ は円周 $S^1$ と同相（同相写像）であり、$\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ は球面 $S^2$ と同相である（projective-space-prop-lines）。$\mathbb{R}\mathrm{P}^1=\mathbb{R}\cup\{\infty\}$、$\mathbb{C}\mathrm{P}^1=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ とみなすと、$[a_0:a_1]\mapsto a_1/a_0$（$a_0\neq0$）、$[0:1]\mapsto\infty$ が対応を与える。
$K=\mathbb{F}_q$（$q$ 元体）のとき $\mathbb{F}_q\mathrm{P}^n$ は有限集合で、点の個数は
$$|\mathbb{F}_q\mathrm{P}^n|=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=1+q+q^2+\cdots+q^n$$
である（projective-space-prop-finite-count）。たとえば $\mathbb{F}_2\mathrm{P}^1$ は 3 点、$\mathbb{F}_2\mathrm{P}^2$ は 7 点からなる。$\mathbb{F}_2\mathrm{P}^2$ の 7 点と 7 本の直線（$2$ 次元部分空間に対応する）は Fano 平面と呼ばれる有限射影平面をなし、符号理論やデザイン理論など組合せ論の文脈でも基本的な対象である。
包含 $K^{n+1}\hookrightarrow K^{n+2}$、$(a_0,\dots,a_n)\mapsto(a_0,\dots,a_n,0)$ は $K\mathrm{P}^n\hookrightarrow K\mathrm{P}^{n+1}$ を誘導し、$K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ のときこの列の和 $K\mathrm{P}^\infty:=\bigcup_nK\mathrm{P}^n$ に弱位相を入れたものを無限次元射影空間という。$\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$ は Eilenberg–MacLane 空間（Eilenberg–MacLane空間）$K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},1)$ であり、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の分類空間（分類空間）$B(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ である。$\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty$ は $K(\mathbb{Z},2)$ であり、ユニタリ群 $\mathrm{U}(1)=S^1$ の分類空間 $B\mathrm{U}(1)$ である。いずれも $S^\infty=\bigcup_nS^n$ が可縮（可縮空間）であることによる（Hat02 §1.B Example 1B.3、§4.2 Example 4.50）。$\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$ はレンズ空間の無限次元版 $L_2^\infty$ でもある。
$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ はコンパクトである（projective-space-prop-sphere-quotient）が、商をとる前の空間 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ はコンパクトでない。この空間が満たす性質は「Hausdorff かつ第 2 可算な $(n+1)$ 次元多様体であり、$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ への連続な全射をもつ」ことであり、満たさない性質は「コンパクトである」ことである。実際 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ は有界でなく閉集合（閉集合）でもない（点列 $(1/k,0,\dots,0)$ は空間内に極限をもたない）ので、Heine–Borel の定理（コンパクト空間の記事の定理（有界閉集合とコンパクト性の一致））によりコンパクトでない。破れる含意は「コンパクト空間への連続全射の定義域はコンパクト」である（逆向きの「コンパクト空間の連続像はコンパクト」は正しい）。$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ のコンパクト性は、代表元を単位球面 $S^n$ 上にとれることによる。
$n\ge2$ のとき $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ は $S^n$ の商であり、$S^n$ と同じ次元のコンパクト連結多様体だが、$S^n$ と同相でない。$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ が満たす性質は「コンパクト連結 $n$ 次元位相多様体で、$S^n$ からの 2 重被覆をもつ」ことであり、満たさない性質は「単連結（単連結空間）である」ことである。基本群（基本群）は $\pi_1(\mathbb{R}\mathrm{P}^n)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり（projective-space-thm-fundamental-group）、$S^n$ は単連結なので両者は同相でない。破れる含意は「コンパクト連結 $n$ 次元多様体は $S^n$ と同相」である。$n=1$ では $\mathbb{R}\mathrm{P}^1\cong S^1$ なので、この主張は $n\ge2$ でのみ成り立つ。
性質
以下 $K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、$d:=n$（$K=\mathbb{R}$）または $d:=2n+1$（$K=\mathbb{C}$）とおいて、$K^{n+1}$ の単位球面 $\{a\in K^{n+1}\mid\|a\|=1\}$ を $S^d$ と同一視する。$G:=\{\lambda\in K\mid|\lambda|=1\}$ とおく（$K=\mathbb{R}$ なら $G=\{\pm1\}$、$K=\mathbb{C}$ なら $G=S^1$）。
- 商写像 $q\colon K^{n+1}\setminus\{0\}\to K\mathrm{P}^n$ は開写像（開写像）である。
- $K\mathrm{P}^n$ は Hausdorff（Hausdorff空間）かつ第 2 可算（第2可算公理）である。
- $K\mathrm{P}^n$ はコンパクト（コンパクト空間）であり、$q$ の制限 $q|_{S^d}\colon S^d\to K\mathrm{P}^n$ は連続な全射で、$G$ の作用 $a\mapsto\lambda a$ による商空間 $S^d/G$ から $K\mathrm{P}^n$ への同相写像を誘導する。とくに $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ は $S^n$ の対蹠点 $x,-x$ を同一視した空間 $S^n/\{\pm1\}$ と同相である。
- $U\subset K^{n+1}\setminus\{0\}$ を開集合とすると $q^{-1}(q(U))=\bigcup_{\lambda\in K^\times}\lambda U$ であり、各 $\lambda U$ は同相写像 $a\mapsto\lambda a$ による開集合の像なので開である。よって商位相の定義により $q(U)$ は開集合である。
- $R:=\{(v,w)\in(K^{n+1}\setminus\{0\})^2\mid v\sim w\}$ が閉集合であることを示す。$v,w\neq0$ について、$v\sim w$ であることと $v,w$ が線形従属（線形従属）であることは同値であり、これはすべての $2\times2$ 小行列式（小行列式）$v_iw_j-v_jw_i$（$0\le i< j\le n$）が $0$ であることと同値である（線形従属なら明らか。逆にすべての小行列式が $0$ なら、$v_i\neq0$ なる $i$ をとると各 $j$ について $w_j=(w_i/v_i)v_j$ なので $w=(w_i/v_i)v$ であり、$w\neq0$ より $w_i/v_i\neq0$）。よって $R$ は連続関数の零点集合の共通部分として閉である。$[x]\neq[y]$ とすると $(x,y)\notin R$ なので、$R$ の補集合が開であることから、$x$ の開近傍 $U$ と $y$ の開近傍 $W$ で $(U\times W)\cap R=\emptyset$ となるものがとれる。1 により $q(U)$、$q(W)$ は $[x]$、$[y]$ の開近傍であり、$q(u)=q(w)$ なる $u\in U$、$w\in W$ があれば $(u,w)\in R\cap(U\times W)$ となって矛盾するので、$q(U)\cap q(W)=\emptyset$ である。よって $K\mathrm{P}^n$ は Hausdorff である。第 2 可算性：$K^{n+1}\setminus\{0\}$ の可算な開基（開基）$\mathcal{B}$（第2可算公理の記事の命題（部分空間への遺伝））に対し、$\{q(B)\mid B\in\mathcal{B}\}$ は 1 により開集合からなる可算な族であり、$K\mathrm{P}^n$ の開集合 $O$ と $[x]\in O$ に対し、$x\in B\subset q^{-1}(O)$ なる $B\in\mathcal{B}$ をとれば $[x]\in q(B)\subset O$ なので、これは開基である。
- $a\in K^{n+1}\setminus\{0\}$ に対し $a/\|a\|\in S^d$ かつ $q(a/\|a\|)=q(a)$ なので $q|_{S^d}$ は全射であり、$S^d$ はコンパクト（n次元球面の記事の命題（球面の基本的な位相的性質））なので、その連続像 $K\mathrm{P}^n$ はコンパクトである（コンパクト空間の記事の命題（保存と閉性））。$x,y\in S^d$ について $q(x)=q(y)$ であることは $y=\lambda x$（$\lambda\in K^\times$）と同値で、このとき $1=\|y\|=|\lambda|\|x\|=|\lambda|$ なので $\lambda\in G$ である。よって $q|_{S^d}$ のファイバーは $G$ の軌道（群作用）に一致し、商位相の普遍性により連続な全単射 $\bar q\colon S^d/G\to K\mathrm{P}^n$ が誘導される。$S^d/G$ はコンパクト空間 $S^d$ の連続像なのでコンパクトであり、$K\mathrm{P}^n$ は 2 により Hausdorff なので、$\bar q$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射として同相写像である（閉集合の像はコンパクト、したがって閉）。$\square$
$i=0,1,\dots,n$ に対し $U_i:=\{[a_0:\cdots:a_n]\in K\mathrm{P}^n\mid a_i\neq0\}$ とおき、
$$\varphi_i\colon U_i\to K^n,\qquad\varphi_i([a_0:\cdots:a_n]):=\Bigl(\frac{a_0}{a_i},\dots,\frac{a_{i-1}}{a_i},\frac{a_{i+1}}{a_i},\dots,\frac{a_n}{a_i}\Bigr)$$
と定める。各 $U_i$ は開集合で $\{U_0,\dots,U_n\}$ は $K\mathrm{P}^n$ の開被覆（開被覆）であり、各 $\varphi_i$ は同相写像である。座標変換 $\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}$ は各成分が分母の消えない有理関数である。したがって $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ は $n$ 次元、$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ は実 $2n$ 次元の位相多様体（多様体）であり、このアトラスにより実解析的多様体（可微分多様体）になる。$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ では座標変換が正則なので、複素 $n$ 次元の複素多様体（複素多様体）でもある。$(U_i,\varphi_i)$ をアフィン座標近傍という。
$q^{-1}(U_i)=\{a\in K^{n+1}\setminus\{0\}\mid a_i\neq0\}$ は開集合なので $U_i$ は開集合であり、$a\neq0$ ならある $a_i\neq0$ なので $U_0,\dots,U_n$ は $K\mathrm{P}^n$ を覆う。$\varphi_i$ は $a$ を $\lambda a$ に替えても値が変わらないので矛盾なく定義される。$\varphi_i\circ q$ は $q^{-1}(U_i)$ 上の連続写像（各成分が有理関数）であり、$q^{-1}(U_i)$ は $q$ について飽和した開集合なので $q$ の制限 $q^{-1}(U_i)\to U_i$ は商写像である（Mun00 §22 Theorem 22.1）。よって $\varphi_i$ は連続である。$\psi_i\colon K^n\to U_i$ を $\psi_i(x_1,\dots,x_n):=q(x_1,\dots,x_i,1,x_{i+1},\dots,x_n)$ で定めると、$\psi_i$ は連続写像 $K^n\to K^{n+1}\setminus\{0\}$ と $q$ の合成なので連続であり、$\varphi_i\circ\psi_i=\mathrm{id}$、$\psi_i\circ\varphi_i([a])=q(a/a_i)=[a]$ なので $\psi_i$ は $\varphi_i$ の逆写像である。よって $\varphi_i$ は同相写像である。
$i< j$ とし、$x=(x_1,\dots,x_n)\in\varphi_i(U_i\cap U_j)$ とする。$\psi_i(x)$ の第 $j$ 成分は $x_j$ であり（$j>i$ なので添字が一つずれる）、$U_j$ に属することは $x_j\neq0$ と同値である。このとき
$$\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}(x)=\Bigl(\frac{x_1}{x_j},\dots,\frac{x_i}{x_j},\frac{1}{x_j},\frac{x_{i+1}}{x_j},\dots,\frac{x_{j-1}}{x_j},\frac{x_{j+1}}{x_j},\dots,\frac{x_n}{x_j}\Bigr)$$
であり、各成分は $x_j\neq0$ の領域で分母の消えない有理関数である。$i>j$ の場合も同様である。有理関数は実解析的であり、$K=\mathbb{C}$ のとき正則である。$K\mathrm{P}^n$ が Hausdorff かつ第 2 可算であることは projective-space-prop-sphere-quotient による。$\square$
$\mathbb{R}\mathrm{P}^1$ は $S^1$ と同相であり、$\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ は $S^2$ と同相である。
$S^1=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|=1\}$ とみなし、$f\colon S^1\to S^1$ を $f(z):=z^2$ で定める。$f$ は連続な全射で、$f(z)=f(w)$ であることは $w=\pm z$ と同値なので、$f$ のファイバーは $\{\pm1\}$ の軌道に一致し、$f$ は連続な全単射 $\bar f\colon S^1/\{\pm1\}\to S^1$ を誘導する。$S^1/\{\pm1\}$ はコンパクト、$S^1$ は Hausdorff なので $\bar f$ は同相写像であり、projective-space-prop-sphere-quotient により $\mathbb{R}\mathrm{P}^1\cong S^1/\{\pm1\}\cong S^1$ である。
$\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ について、$S^2$ を $\mathbb{C}$ の一点コンパクト化 $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ と同一視する（n次元球面の記事の命題（Euclid 空間の一点コンパクト化））。$h\colon\mathbb{C}\mathrm{P}^1\to\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ を $h([a_0:a_1]):=a_1/a_0$（$a_0\neq0$）、$h([0:1]):=\infty$ で定めると、$h$ は矛盾なく定義された全単射である。$U_0$ 上では $h=\varphi_0$ なので連続である（projective-space-prop-charts）。$U_1$ 上では $h=\iota\circ\varphi_1$、ただし $\iota\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ は $\iota(w):=1/w$（$w\neq0$）、$\iota(0):=\infty$ である。$\iota$ は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上で連続であり、$\infty$ の近傍 $(\mathbb{C}\setminus C)\cup\{\infty\}$（$C$ はコンパクト）の逆像は $\{0\}\cup\{w\neq0\mid1/w\notin C\}$ で、$C\subset\{|z|\le M\}$ なる $M$ をとれば $\{|w|<1/M\}$ を含むので $0$ の近傍である。よって $\iota$ は連続で、$h$ は開被覆 $\{U_0,U_1\}$ の各成員上で連続なので連続である。$\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ はコンパクトで $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ は Hausdorff なので $h$ は同相写像である。$\square$
$K=\mathbb{F}_q$（$q$ 元体）のとき $|K\mathrm{P}^n|=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}=1+q+\cdots+q^n$ である。
$K^\times$ はスカラー倍により $K^{n+1}\setminus\{0\}$ に作用し、$K\mathrm{P}^n$ はその軌道の集合である。この作用は自由である：$\lambda v=v$ かつ $v\neq0$ なら、$v_i\neq0$ なる $i$ について $(\lambda-1)v_i=0$ なので $\lambda=1$ である。よって各軌道の元の個数はちょうど $|K^\times|=q-1$ であり、軌道は $K^{n+1}\setminus\{0\}$（元の個数 $q^{n+1}-1$）を分割するので、軌道の個数は $(q^{n+1}-1)/(q-1)$ である。等比数列の和の公式により最後の等号を得る。$\square$
- $n\ge1$ のとき、商写像 $S^n\to\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ は 2 重の被覆写像（被覆空間）である。$n\ge2$ ではこれは普遍被覆（普遍被覆）であり、$\pi_1(\mathbb{R}\mathrm{P}^n)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。$\pi_1(\mathbb{R}\mathrm{P}^1)\cong\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ である。
- 商写像 $S^{2n+1}\to\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ はファイバー $S^1$ のファイバー束（ファイバー束、Hopf 束）であり、$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ は単連結である。$n=1$ のときこれは Hopf ファイブレーション $S^3\to S^2$（Hopfファイブレーション）である。
1 の被覆写像であることは被覆空間の記事の例（球面から実射影空間へ）が証明つきで所有する。$n\ge2$ のとき $S^n$ は単連結（単連結空間の記事の命題（球面の単連結性））なので、この被覆は普遍被覆であり、被覆変換群（被覆変換群）$\{\mathrm{id},x\mapsto-x\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が基本群に同型である（被覆空間の記事の定理（普遍被覆の存在と被覆空間の分類）と注意（分類定理の証明について））。$n=3$ の場合は $\mathbb{R}\mathrm{P}^3\cong\mathrm{SO}(3)$ であり、SO(3)とSU(2)の記事の定理（回転群の基本群）と一致する。2 のファイバー束の構造は Hat02 §4.2 Example 4.44、単連結性はファイバー束のホモトピー長完全列 $\pi_1(S^{2n+1})\to\pi_1(\mathbb{C}\mathrm{P}^n)\to\pi_0(S^1)$（Hat02 §4.2 Theorem 4.41）で両端が自明であることによる。
- $H_i(\mathbb{R}\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$ は、$i=0$ で $\mathbb{Z}$、$0< i< n$ かつ $i$ が奇数で $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$0< i< n$ かつ $i$ が偶数で $0$、$i=n$ が奇数で $\mathbb{Z}$、$i=n$ が偶数で $0$、$i>n$ で $0$ である。$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ は $n$ が奇数のとき向き付け可能で、偶数のとき向き付け不可能である。
- $H_i(\mathbb{C}\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$ は $0\le i\le2n$ の偶数 $i$ で $\mathbb{Z}$、それ以外で $0$ である。$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ は常に向き付け可能で、コホモロジー群（コホモロジー群）のなすコホモロジー環は $H^*(\mathbb{C}\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[x]/(x^{n+1})$（$\deg x=2$）である。
$K\mathrm{P}^n=K\mathrm{P}^{n-1}\cup(K^n$ と同相な胞体$)$ という分解から、$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ は各次元 $0,1,\dots,n$ に一つずつ胞体をもつ CW 複体（CW複体）、$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ は各偶数次元 $0,2,\dots,2n$ に一つずつ胞体をもつ CW 複体になる。ホモロジー群（ホモロジー群）は胞体ホモロジー（胞体ホモロジー）で計算され、$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ の境界写像は交互に $0$ と $2$ 倍になる（Hat02 §2.2 Example 2.42）。$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ は奇数次元の胞体をもたないので境界写像がすべて $0$ である（同 §2.2）。向き付け可能性は $H_n(M;\mathbb{Z})$ が $\mathbb{Z}$ か $0$ かで判定され（Hat02 §3.3 Theorem 3.26）、上の計算から従う。コホモロジー環は Hat02 §3.2 Theorem 3.12 による。$\mathbb{R}\mathrm{P}^{2n-1}$ は $p=2$ のレンズ空間 $L(2;1,\dots,1)$ でもあり、そのホモロジー群は同記事の値と一致する。
補足
射影空間は幾何学の複数の分野を結ぶ。位相幾何学では、$\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$ と $\mathbb{C}\mathrm{P}^\infty$ がそれぞれ実直線束（直線束）と複素直線束の分類空間であり、その上のトートロジー束（ベクトル束の記事の例）から特性類（特性類）である Stiefel–Whitney 類（Stiefel–Whitney類）・Chern 類（Chern類）が定義される。微分幾何学では、$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ は Fubini–Study 計量により正の正則断面曲率をもつ Kähler 多様体（Kähler多様体）の基本例である。代数幾何学では、$K\mathrm{P}^n$ は射影多様体の周囲空間であり、コンパクト性（完備性）と Bézout の定理のような交叉理論の舞台を与える。組合せ論では、有限体上の射影空間の点と部分空間が有限幾何・符号・デザインの構成に用いられる。$1$ 次元部分空間を $k$ 次元部分空間に替えた Grassmann 多様体（Grassmann多様体）と旗多様体（旗多様体）は射影空間の直接の一般化である。
関連項目
参考文献
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