∞圏における基礎圏論
概要
∞圏における基礎圏論（basic category theory in ∞-categories）とは、射集合を写像空間に替え、関手・自然変換・極限・前層・随伴などの普遍性を高次の整合性込みで扱う。通常圏の脈体では古典的な定義を回収できる一方、ホモトピー類だけに移すと失われる情報がある。準圏を基本モデルとし、豊穣的な計算との接続も述べる。
動機
通常の圏論では、対象を射の集まりとその普遍性によって調べる。例えば積は「二つの対象への射を一つの対象への射にまとめるもの」であり、米田の補題は「すべての試験対象からの射によって対象を捉えられる」と述べる。
∞圏でもこの考え方は残る。ただし、射を集合として数えるだけでは、射同士の変形や、その変形同士の関係が失われる。そこで射集合を写像空間（写像空間(∞圏)）に替え、普遍性を空間の同値で表す。問題になるのは記号の置換ではなく、図式・自然変換・錐の高次の整合性をどう保持するかである。
本記事では $(\infty,1)$-圏を準圏で扱い、関手・自然変換・同値・極限と余極限・前層・米田・随伴・Kan拡張の対応を一つの言語で整理する。各概念の定義は短く言明し、詳細と証明は各主題記事に委ねる。一般比較定理を採用する箇所と、本記事で実際に計算・証明する箇所は区別する。一般の高次圏、モノイダル構造、安定性は追加の理論であり、これらすべてを∞圏の定義へ含めるわけではない。
定義の準備
準圏と空間
単体圏 $\Delta$ は、有限非空全順序集合 $[n]=\{0,\ldots,n\}$ と順序保存写像からなる。単体的集合（単体的集合）は関手 $\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ であり、標準単体（標準単体）$\Delta^n$ は $[n]$ が表す単体的集合である。ホーン $\Lambda_i^n\subset\Delta^n$ は、$i$ 番目以外の余次元1の面を合わせた部分である。
準圏（quasicategory）は、すべての $n\geq2$、$0< i< n$ に対し、任意の写像 $\Lambda_i^n\to\mathcal C$ を $\Delta^n\to\mathcal C$ へ延長できる単体的集合である。本記事ではこれを∞圏の基本モデルとする。対象は頂点、射は辺であり、充填の一意性は要求しない。詳細は ∞圏、準圏 を参照する。
$\Lambda_1^2$ の充填は、合成可能な二本の射に対して、合成となる辺と、その合成を証言する三角形を与える。高次の充填は、合成やその比較の整合性を担う。単に「結合律を無視してよい」という意味ではない。
すべての $n\geq1$、$0\leq i\leq n$ のホーンを充填できる単体的集合をKan複体（Kan複体）という。これは空間、すなわちホモトピー型のモデルである。空間の同値は $\pi_0$ とすべての基点での高次ホモトピー群を保つ弱ホモトピー同値を意味し、一点空間と同値な空間を可縮（可縮空間）という。準圏一般には非可逆な射があるため、Kan複体と同じではない（HTT09 §§1.1.2, 1.2.5）。
大きさについて宇宙 $\mathbb U\in\mathbb V$ と $\omega\in\mathbb U$ を固定する。「小さい」は $\mathbb U$-小を意味し、空間の∞圏 $\mathcal S=\mathcal S_{\mathbb U}$ や前層∞圏そのものは $\mathbb V$ で扱う。具体的には、小Kan複体と写像単体的集合
$$
\underline{\operatorname{Map}}(X,Y)_n
=\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(X\times\Delta^n,Y)
$$
からなる単体的豊穣圏 $\mathbf{Kan}_{\mathbb U}$ のホモトピー整合的脈体を $\mathcal S$ とする。この脈体の構成は後半で定義する。
写像空間と同値射
準圏 $\mathcal C$ の対象 $x,y$ に対して、右写像空間のモデルを
$$
\operatorname{Map}^{R}_{\mathcal C}(x,y)_n
=\left\{\sigma:\Delta^{n+1}\to\mathcal C\
\middle|\
\sigma|_{\Delta^{\{0,\ldots,n\}}}\text{ は }x\text{ で定値},
\ \sigma(n+1)=y\right\}
$$
と定める。面・退化は最初の $n+1$ 頂点側に作用する。この単体的集合はKan複体であり、$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ と書く空間を表す。
ホモトピー圏 $h\mathcal C$ は、同じ対象を持ち、$\operatorname{Hom}_{h\mathcal C}(x,y)=\pi_0\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ を射集合とする通常の圏である。$\mathcal C$ の辺が同値射であるとは、その像が $h\mathcal C$ で同型であることをいう。詳細は 写像空間(∞圏)、∞圏のホモトピー圏 を参照する。
定値とするのは面の全体であり、頂点だけではない。写像空間のKan性、合成の well-defined 性は内部ホーン・同値端辺付き外側ホーンの比較を使う基礎結果である（HTT09 §§1.2.2–1.2.4）。具体的なモデルが変わる式では、単体的集合の同型 $\cong$ と空間の同値 $\simeq$ を区別する。
$\pi_0$ は射のホモトピー類だけを残す操作である。したがって、$h\mathcal C$ の圏論だけで $\mathcal C$ の普遍性をすべて検出できるわけではない。
関手・自然変換・充満忠実性
∞関手（関手(∞圏)）$F:\mathcal C\to\mathcal D$ は単体的写像である。単体的集合 $K$ と準圏 $\mathcal D$ に対し、$\operatorname{Fun}(K,\mathcal D)_n=\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(K\times\Delta^n,\mathcal D)$ を関手∞圏（関手圏(∞圏)）とする。これは準圏になる。
$F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ の間の自然変換（自然変換(∞圏)）は $\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)$ の辺、すなわち二端を $F,G$ に固定した写像 $\mathcal C\times\Delta^1\to\mathcal D$ である。その辺が同値である場合に自然同値という。詳細は各主題記事を参照する。
自然変換は、各対象での射に加えて、その自然性を実現する全高次の整合性を含む。自然同値であることは、すべての対象で成分が同値射であることと同値である。関手∞圏の準圏性とこの成分判定は、パラメータ付きのホーン充填を要する一般結果として用いる（HTT09 命題1.2.7.3、KerNat26 定理4.4.4.4）。
「$(\infty,1)$-圏では2次以上の射が可逆」という条件から、関手間の自然変換も可逆とはいえない。自然変換は関手∞圏の1射である。
例えば $\operatorname{Fun}(\Delta^0,\Delta^1)\cong\Delta^1$ には、対象 $0$ を選ぶ関手から対象 $1$ を選ぶ関手への辺があるが、逆向きの辺はない。これは非可逆な自然変換の例である。
関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ が充満忠実（充満忠実関手(∞圏)）であるとは、すべての $x,y$ に対し、同じ関手から誘導される $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)\to\operatorname{Map}_{\mathcal D}(Fx,Fy)$ が空間の同値であることをいう。$\mathcal D$ の各対象がある $Fx$ と同値なら、$F$ は本質的全射である。
$F$ が∞圏同値（圏同値(∞圏)）であるとは、ある $G:\mathcal D\to\mathcal C$ と自然同値 $GF\simeq\operatorname{id}_{\mathcal C}$、$FG\simeq\operatorname{id}_{\mathcal D}$ が存在することをいう。準圏間では、充満忠実かつ本質的全射という条件と同値になる。詳細は各主題記事を参照する。
最後の判定は準圏と写像空間の標準比較定理であり、単に $hF$ が通常の圏同値という条件に弱めてはいけない（HTT09 §1.2.10、§2.2.5）。高次Homまで同値であることが追加の内容である。
始対象・終対象・極限と余極限
一意性から可縮性へ
通常の終対象では各射集合が一点である。∞圏では「射が存在し、その選択と比較が高次まで整合的に一意」という条件に替わる。単に $\pi_0$ が一点の空間は、高次のホモトピー群を持ち得るため十分ではない（HTT09 §1.2.12）。
$t,t'$ が終対象なら、任意の射 $u:t\to t'$ は同値射である。始対象についても双対が成り立つ。
錐そのものを対象にする
単体的集合の join $A\star B$ は、各次数で $A$ の単体、$B$ の単体、および $i+j+1=n$ を満たす組 $A_i\times B_j$ を合わせて作る。頂点の順序は $A$ 側を先、$B$ 側を後にする。面は該当する側の頂点を削り、一方の頂点が尽きれば他方の純粋な単体へ移る。退化は該当する側に頂点を重複させる。特に $\Delta^m\star\Delta^n\cong\Delta^{m+n+1}$ である。
図式 $p:K\to\mathcal C$ に対して、錐準圏 $\mathcal C_{/p}$ の $n$-単体は、$K$ 上で $p$ に一致する写像 $\Delta^n\star K\to\mathcal C$ とする。双対に、余錐準圏 $\mathcal C_{p/}$ の $n$-単体は $K\star\Delta^n\to\mathcal C$ で $K$ 上 $p$ となるものとする。いずれも準圏である。
$p$ の極限（極限(∞圏)）は $\mathcal C_{/p}$ の終対象、余極限（余極限(∞圏)）は $\mathcal C_{p/}$ の始対象である。極限・余極限のデータには、頂点の対象だけでなく $p$ へ向かう錐、または $p$ から向かう余錐を含む。詳細は各主題記事を参照する。
$K=\Delta^0$ が対象 $c$ を選ぶ場合、$\mathcal C_{/c}$ は $c$ へ入る射のスライス（スライス圏(∞圏)）、$\mathcal C_{c/}$ は $c$ から出る射のスライスである。$K=\emptyset$ なら両錐準圏は $\mathcal C$ となるので、空図式の極限は終対象、余極限は始対象になる（HTT09 §§1.2.9, 1.2.13）。
小図式 $p:K\to\mathcal C$ の指定錐の頂点を $L$ とする。その錐が極限であることは、すべての $x$ で、同じ錐から誘導される比較
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,L)
\longrightarrow
\lim_{k\in K}\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,p(k))
$$
が同値であることと同値である。指定余錐の頂点 $Q$ が余極限であることは、すべての $x$ で
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal C}(Q,x)
\longrightarrow
\lim_{k\in K^{\mathrm{op}}}\operatorname{Map}_{\mathcal C}(p(k),x)
$$
が同値であることと同値である。右辺は空間の∞圏での極限であり、Hom双関手の整合的な作用を含む。
右辺の二つの式で $K$ と $K^{\mathrm{op}}$ が違うのは、第1変数のHomが反変だからである。また、二つの空間が抽象的に同値であるだけでなく、指定した錐が誘導する写像を確認する必要がある。
前層と米田
小準圏 $\mathcal C$ 上の空間値前層（前層(∞圏)）は関手 $F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal S$ である。反対準圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は単体の順序を反転させて作る。前層∞圏は $\mathcal P(\mathcal C)=\operatorname{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal S)$ であり、被覆や層条件はまだ課さない。
写像空間の整合的な双関手を固定すると、$y:\mathcal C\to\mathcal P(\mathcal C)$、$y(c)=\operatorname{Map}_{\mathcal C}(-,c)$ を得る。これを米田埋め込みという。$F\simeq y(c)$ となる前層を表現可能（表現可能関手(∞圏)）という。詳細は 前層(∞圏)、米田の補題(∞圏) を参照する。
Hom双関手は、各対象対に空間をばらばらに割り当てるだけでは定まらない。一つの局所Kanな豊穣表示を選び、厳密な豊穣Homと合成を、比較同値を通して準圏へ戻すことが構成法になる。表示の交換では、Homのホモトピー型だけでなく関手作用・単位を保つ比較が必要である。
小準圏 $\mathcal C$ について次が成り立つ。
- 恒等射での評価は $\operatorname{Map}_{\mathcal P(\mathcal C)}(y(c),F)\simeq F(c)$ を与え、$c,F$ に自然である。
- 同じ関手 $y$ は充満忠実である。
- $\mathcal P(\mathcal C)$ はすべての小極限・小余極限を持つ。それらは各対象で評価して計算・判定できる。
第1項と第2項は 米田の補題(∞圏) の記事の主定理（米田評価）と系（米田埋め込みの充満忠実性）による。出典は、米田評価の標準形が KerY26 命題8.3.1.3の双対、両変数での自然性が KerN26 命題8.4.2.5、充満忠実性が HTT09 命題5.1.3.1 である。第3項は 前層(∞圏) の記事に委ね、出典は HTT09 系5.1.2.4（前層∞圏の完備性・余完備性）と、関手∞圏の極限・余極限を各点で判定する系5.1.2.3である。その基礎にある空間の∞圏自身の小極限・小余極限の存在は 空間の∞圏 の記事と HTT09 §4.2.4 による。旧版で本記事に置いていた、コファイブラント置換とKan置換による極限・余極限の候補の構成は、豊穣的な計算として 重み付き極限(∞圏) の側で扱う。
前層の極限・余極限の計算は、普通の積や商の計算を捨てるのではない。先に高次の整合性を計算へ反映できる形（自由セルによるコファイブラント置換、ホーン付着によるKan置換）に置換し、その後で厳密な式を使う。エンド・コエンド・重み付き極限（エンド(∞圏)、コエンド(∞圏)、重み付き極限(∞圏)）は、その手順を体系化する言語となる。
随伴とKan拡張
随伴は解の空間を比較する
関手 $L:\mathcal C\to\mathcal D$、$R:\mathcal D\to\mathcal C$ に対し、自然変換 $\eta:\operatorname{id}_{\mathcal C}\to RL$ が、すべての $c,d$ で同じ指定写像
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal D}(Lc,d)
\longrightarrow\operatorname{Map}_{\mathcal C}(c,Rd),
\qquad f\longmapsto R(f)\circ\eta_c
$$
の同値を与えるとき、$\eta$ は随伴 $L\dashv R$ の単位を与えるという。自然性は $\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal D$ 全体の高次整合性を含む。詳細は 随伴関手(∞圏) を参照する。
準圏での合成の表示は、三角形とその整合性による。同じ単位に由来する作用を表しており、厳密な合成を恣意的に固定するという意味ではない。これはHTTの $\Delta^1$ 上のカルテシアンかつ余カルテシアンなファイブレーション（Cartesian かつ coCartesian fibration）による定義と同値な定式化である（HTT09 定義5.2.2.1、命題5.2.2.8）。その比較を本記事では一般定理として用いる。
$L\dashv R$ とし、小図式 $p:K\to\mathcal D$ が極限 $d_\infty$ を持つなら、$R$ がその極限錐を送った錐は $Rp$ の極限錐である。双対に左随伴は存在する小余極限を保つ。
証明は 随伴関手(∞圏) の記事の命題（左随伴は余極限を保つ）とその双対による。出典は HTT09 §5.2.3 である。議論の骨子は、随伴と写像空間による極限判定を合わせ、$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(c,Rd_\infty)\simeq\operatorname{Map}_{\mathcal D}(Lc,d_\infty)\simeq\lim_k\operatorname{Map}_{\mathcal D}(Lc,p(k))\simeq\lim_k\operatorname{Map}_{\mathcal C}(c,Rp(k))$ が、$R$ が元の極限錐を送った錐の比較写像と適合することを確認する点にある。$\mathcal C$ にあらかじめ $K$ 型の全極限が存在するという仮定は不要である。
図式を別の添字へ延長する
小準圏の関手 $f:\mathcal C\to\mathcal D$ と、準圏 $\mathcal E$ を固定する。制限関手を $f^*:\operatorname{Fun}(\mathcal D,\mathcal E)\to\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal E)$ と書く。$p:\mathcal C\to\mathcal E$ の左Kan拡張は、$H:\mathcal D\to\mathcal E$ と $\eta:p\to f^*H$ の組で、コンマ圏（コンマ圏(∞圏)）$(p\downarrow f^*)$ の始対象となるものである。右Kan拡張は、$H$ と $\epsilon:f^*H\to p$ の組で、$(f^*\downarrow p)$ の終対象となるものとする。
ここでコンマ圏の対象は指定された関手と自然変換の組であり、その射・高次単体にも三角形や自然性の整合性を含める。頂点ごとの組だけを集めた通常の圏ではない。詳細は Kan拡張(∞圏)、コンマ圏(∞圏) を参照する。
記法はalg-dに合わせ、左を $f^\dagger p$、右を $f^\ddagger p$ と書く。文献の $\operatorname{Lan}_f p,\operatorname{Ran}_f p$ に対応する。†・‡は元の $f$ の逆関手や随伴関手を表す記号ではない（AlgD20）。すべての $p$ について存在する場合、制限関手に対して $f^\dagger\dashv f^*\dashv f^\ddagger$ という随伴としてまとめられる。
各点Kan拡張では、さらに値がスライス添字の普遍性を満たす。$\mathcal E$ がすべての小余極限を持つなら
$$
(f^\dagger p)(d)\simeq
\operatorname{colim}_{(c,\,f(c)\to d)}p(c),
$$
すべての小極限を持つなら
$$
(f^\ddagger p)(d)\simeq
\lim_{(c,\,d\to f(c))}p(c)
$$
によって各点左・右Kan拡張を得る。添字はそれぞれ $\mathcal C\times_{\mathcal D}\mathcal D_{/d}$ と $\mathcal C\times_{\mathcal D}\mathcal D_{d/}$ であり、対象の集合だけでなく、その間の全高次データを含む（HTT09 §§4.3.2–4.3.3）。
この存在・各点計算の一般定理はここでは引用する。コンマ圏での普遍性を述べただけで、存在条件や各点性まで自動的に証明したことにはしない。
通常の圏論との一致
通常の圏 $A,B$ に対して、脈体 $N$ は
$$
N\operatorname{Fun}(A,B)
\cong\operatorname{Fun}(NA,NB)
$$
という単体的集合の同型を与える。右辺の自然変換は通常の自然変換、自然同値は通常の自然同型に一致する。
通常の関手 $p:I\to A$ と、その通常の錐 $\bar p$ を考える。$\bar p$ が通常の極限錐であることと、その脈体が $Np:NI\to NA$ の∞圏での極限錐であることは同値である。余極限についても双対の結論が成り立つ。
通常圏 $A$ を脈体にするだけでは、$\mathcal P(NA)$ は集合値前層圏にならない。値域はなお空間の∞圏 $\mathcal S$ だからである。
離散集合 $S,T$ の間の写像単体的集合は、各次数で関数 $S\to T$ の集合に一致する。$\Delta^n$ は連結なので $S\times\Delta^n\to T$ は各 $s$ 上で定数となるためである。従って離散空間全体は $\mathcal S$ の中で通常の集合の圏の脈体をなし、そこへの前層と自然変換を取れば通常の集合値前層を回収できる。
各値が離散空間と同値な前層も、この充満部分∞圏に対応する。実際、全パラメータの写像 $X\times\Delta^n\to Y$ は、$\Delta^n$ の連結性により一つの関数 $\pi_0X\to\pi_0Y$ を誘導する。これは合成・単位・面・退化と可換するので、$\pi_0:\mathbf{Kan}\to\mathbf{Set}$ は、値域を離散的に豊穣化した単体的豊穣関手になる。$X\to(\pi_0X)_{\mathrm{disc}}$ も豊穣自然変換であり、値が離散空間と同値な場合に同値である。整合的脈体を通し、前層の作用ごと $\pi_0$ へ移して自然同値の成分判定を適用すればよい。任意の前層に対して同値になると述べているのではない。
例えば $A=*$ なら $\mathcal P(NA)\simeq\mathcal S$ であり、一点や離散集合だけでなく、高次ホモトピーを持つ空間も値として許す。この値域の違いを、$\pi_0$ を取れば情報を失わず解消できるとはしない。
例と誤解の切り分け
小Kan複体 $K,X,Y$ について、$K\times X$ と $Y^K$ もKan複体である。全パラメータでの指数随伴から
$$
Y^{K\times X}\cong(Y^K)^X
$$
となる。転置と評価は全次数で互いに逆であり、単位・余単位の三角等式も厳密に成立する。局所Kan表示の写像空間比較を通すと、空間の∞圏で $K\times-\dashv\operatorname{Map}_{\mathcal S}(K,-)$ を得る（空間の∞圏 の記事の命題（積と内部Hom））。これは「関数を二変数から一変数へまとめる」通常の対応を、高次パラメータを保って使う例である。
$K$ の $m$-単体は $B\mathbb Z$ の合成可能な射の列、すなわち整数の列 $(a_1,\ldots,a_m)$ である。面写像 $d_i$ は $0< i< m$ で隣接成分 $a_i,a_{i+1}$ を和 $a_i+a_{i+1}$ に置き換え、$i=0,m$ で端の成分を落とす。退化写像は $0$ を挿入する。亜群の脈体では内角だけでなく外角も逆元 $-a$ を使って充填できるので、$K$ はKan複体である。頂点は一つなので $\pi_0K=\{*\}$ である。
右写像空間の $n$-単体は、$\Delta^{\{0,\ldots,n\}}$ 上で定値な $(n+1)$-単体 $\sigma$ である。定値とは、その制限が頂点 $*$ の退化した単体 $(0,\ldots,0)$ に等しいことだから、$\sigma=(0,\ldots,0,a)$ と書け、$n$-単体は最後の成分 $a\in\mathbb Z$ だけで決まる。面写像は $0$ 同士を足すか、$0$ を落とすか、$0$ と $a$ を足して $a$ にするかのいずれかで、最後の成分 $a$ を変えない。退化写像は $0$ を挿入するだけである。従って $\operatorname{Map}^{R}_K(*,*)$ は各次数で $\mathbb Z$、面・退化がすべて恒等の離散単体的集合 $\mathbb Z_{\mathrm{disc}}$ である。
$hK$ は $K$ の基本亜群であり（∞圏のホモトピー圏 の記事の例）、その自己射集合 $\pi_0\operatorname{Map}^{R}_K(*,*)=\mathbb Z$ が $\pi_1(K,*)$ である。$K\to *$ が空間の同値なら、誘導される $\operatorname{Map}^{R}_K(*,*)\to\operatorname{Map}^{R}_{*}(*,*)=\Delta^0$ も同値になるはずだが、左辺は $\mathbb Z$ 個の点からなる離散空間で、$\pi_0$ が $\mathbb Z$ である。よって $K\to *$ は同値でない。一方 $\pi_0K\to\pi_0(*)$ は一点から一点への全単射である。
$J$ を、二対象 $0,1$ を持ち各Homが一点の亜群の脈体とする。$J$ は可縮Kan複体である。二つの異なる頂点を選ぶ平行対 $0,1:*\rightrightarrows J$ について、単体的集合としての厳密等化子（等化子）は空であるが、$\mathcal S$ におけるこの図式の極限は一点空間 $\Delta^0$ と同値である。
$J_n=\{0,1\}^{n+1}$ であり、単体は頂点列だけで決まる。任意の単体的集合 $T$ から $J$ への写像は頂点の像で一意に定まり、逆に頂点集合への任意の写像が単体的写像へ延びる。従って $\partial\Delta^n\to J$ も $\Lambda_i^n\to J$ もすべて $\Delta^n$ へ延び、$J$ はKan複体で、$J\to\Delta^0$ はすべての境界を持ち上げる自明ファイブレーションである。すなわち $J$ は可縮である。
厳密等化子は、$*$ の唯一の頂点の像が $0$ かつ $1$ であることを要求するので、各次数で空である。
∞圏での極限を求める。平行対の添字 $K$ 上の図式 $F=(0,1:*\rightrightarrows J)$ に対し、成分が $\operatorname{id}:\Delta^0\to\Delta^0$ と $J\to\Delta^0$ である自然変換 $F\to F'$、$F'=(\Delta^0\rightrightarrows\Delta^0)$ を取る。両成分は空間の同値なので、成分判定（KerNat26）により $F\simeq F'$ が $\operatorname{Fun}(K,\mathcal S)$ で成り立つ。同値な図式は同値な錐準圏を持つので、極限も同値である（HTT09 §1.2.13）。
$F'$ の極限を求める。$\Delta^0$ は $\mathcal S$ の終対象である（空間の∞圏 の記事の命題（始対象・終対象））。錐準圏の射影 $\mathcal S_{/F'}\to\mathcal S$ は右ファイブレーションであり（HTT09 §2.1.2）、$x$ 上のファイバーは $x$ から $F'$ への錐の空間で、これは $\operatorname{Map}_{\operatorname{Fun}(K,\mathcal S)}(\delta x,F')$ と同値である（HTT09 §4.2.1）。$F'$ は終対象 $\Delta^0$ での定値図式だから、$\operatorname{Fun}(K,\mathcal S)$ の終対象であり（HTT09 系5.1.2.3の双対の適用）、この写像空間は可縮である。全ファイバーが可縮な右ファイブレーションは自明ファイブレーションである（HTT09 §2.1.3）から、$\mathcal S_{/F'}\to\mathcal S$ は同値であり、$\mathcal S_{/F'}$ の終対象は $\mathcal S$ の終対象 $\Delta^0$ の上にある。したがって $F'$ の極限、よって $F$ の極限は $\Delta^0$ と同値である。
道を保持した模型でも直接確認できる。Kan複体間の平行二射 $f,g:X\rightrightarrows Y$ に対し、$J$ が可縮Kanで $Y^J\to Y\times Y$ がKanファイブレーションであることから、ホモトピー等化子 $X\times_{Y\times Y}Y^J$ はこの図式の∞圏での極限を表す（HTT09 §4.2.4、重み付き極限(∞圏)）。$X=*$、$Y=J$ の場合、右辺の $n$-単体は両端を $0,1$ に固定した写像 $J\times\Delta^n\to J$ であり、頂点 $(0,i),(1,i)$ の像がすべて指定されるので、各次数で一点となる。
空の単体的集合もKanである。この例は「厳密等化子がKanでなくなる」例ではなく、「厳密等化子が図式の各点同値に対して不変とは限らない」例である。破れる含意は「単体的集合としての等化子が∞圏の極限を計算する」である。
豊穣圏と準圏をつなぐ
単体的豊穣圏 $A$ は、対象対ごとの単体的集合 $A(x,y)$、単位 $\Delta^0\to A(x,x)$、厳密な単位律・結合律を満たす単体的合成 $A(y,z)\times A(x,y)\to A(x,z)$ からなる。各 $A(x,y)$ がKanなら局所Kanという。
$\mathfrak C[\Delta^n]$ は対象 $0,\ldots,n$ を持ち、$i< j$ のHomを両端 $i,j$ を含む $\{i,\ldots,j\}$ の部分集合の包含半順序の脈体とする。$i=j$ のHomは一点、$i>j$ では空、合成は和集合である。ホモトピー整合的脈体は $(N_{\mathrm{hc}}A)_n=\operatorname{Fun}_{\mathrm{sSet}}(\mathfrak C[\Delta^n],A)$ で定義される。順序写像による部分集合の像が面・退化を誘導する。詳細は 単体的豊穣圏、空間の∞圏 を参照する。
局所Kanなら $N_{\mathrm{hc}}A$ は準圏となり、$A(x,y)$ はその写像空間を表す。ここが、豊穣的な厳密計算を準圏へ移すための比較定理である（HTT09 命題1.1.5.10、定理2.2.0.1、命題2.2.4.1）。任意の単体的豊穣圏のHomに、仮定なしでこの結論を適用しない。
| 表示 | 計算に使えるもの | 移す前の確認 |
|---|---|---|
| 通常圏の脈体 | 射の列、通常の自然変換と錐 | 写像空間が離散的であること |
| 局所Kanな単体的圏 | 厳密な豊穣合成・指数随伴・豊穣米田 | HomがKan、指定比較が合成・単位を保つこと |
| 単体的モデル圏のコファイブラント–ファイブラント対象 | 置換後の導来写像空間 | コファイブラント・ファイブラント条件、制限した圏の局所Kan性 |
| 弱同値を持つ圏の単体的局所化 | 弱同値を反転した写像の高次情報 | 局所化の普遍性、必要な豊穣置換と模型比較 |
最後の二行は構成法の入口であって、ここでモデル圏論や局所化の全定義・比較を証明したという主張ではない。一般の豊穣圏を任意の基礎圏から無条件に∞圏へ変換することもできない。単体的豊穣化に特化し、必要な比較の仮定を満たしてから使う（Rie20 演習4.4.14、§§6.1, 7.2, 8.2）。
模型に依存しない結論を得るためには、対象が同値というだけでなく、主題である関手・自然変換・錐・恒等射評価を保って比較する。この確認は、通常の圏論で自然同型を追うことの高次版に当たる。
基本概念の対応と、その先
| 通常の圏論 | ∞圏での対応 | 一致を得る条件・追加の内容 |
|---|---|---|
| 射集合 | 写像空間 | 通常圏の脈体では離散Homを回収 |
| 自然変換 | 関手∞圏の辺 | 可逆性を課すのは自然同値だけ |
| 充満忠実 | 指定Hom写像が空間の同値 | $\pi_0$ の全単射だけでは不十分 |
| 普遍対象 | 錐準圏の始対象・終対象 | 射と高次整合性の可縮性を要求 |
| 前層 | 空間値前層 | 集合値へ戻すには値の離散性も必要 |
| 随伴 | 指定単位によるHom空間の自然同値 | ホモトピー圏のHom集合だけの比較では不足 |
| Kan拡張 | 制限関手に対する普遍的な延長 | 単位・余単位を含め、各点性と存在条件も別に確認 |
HTT09 第5章後半では、前層を使った自由余完備化、随伴関手の存在、濾過余極限による生成、アクセシブル∞圏・表示可能∞圏（accessible, presentable ∞-category）へ進む。例えば自由余完備化の普遍性は、小余極限を持つ $\mathcal D$ に対し、小余極限を保つ関手の充満部分∞圏を $\operatorname{Fun}^{L}$ と書くと、
$$
y^*:\operatorname{Fun}^{L}(\mathcal P(\mathcal C),\mathcal D)
\xrightarrow{\simeq}\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)
$$
となるというもの。この一般定理は HTT09 定理5.1.5.6による発展事項として述べ、上の米田評価だけから無説明に結論しない。
豊穣圏の一般論、エンド・コエンド・重み付き極限は別の独立記事で展開できるが、ここでの写像空間と普遍性がその接続を支える。さらに、点付き空間からスペクトルへの安定化や、導来圏の高次精密化は安定∞圏の理論につながる。点付き空間の∞圏自体が安定だという意味ではない。また、位相空間上の空間値の層は∞トポスの基本例になる。モノイダル構造や安定性は単なる記法変更ではなく、追加の構造・公理である（HA17 第1–2章、HTT09 第6–7章）。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
