乗数イデアル層

1. $f,g\in\mathcal I(\varphi)_x$ なら $|f+g|^2\le2|f|^2+2|g|^2$ により $f+g\in\mathcal I(\varphi)_x$ である。$a\in\mathcal O_{X,x}$ は $x$ の近くで有界なので $af\in\mathcal I(\varphi)_x$ である。
2. $e^{-2\varphi'}\le e^{2C}e^{-2\varphi}$ による。$|\varphi|\le C$ なら、$\varphi\le0+C$ と $0\le\varphi+C$ から $\mathcal I(\varphi)=\mathcal I(0)$ で、正則関数は局所有界なので $\mathcal I(0)=\mathcal O_U$ である。
3. イデアルが環全体になるのは $1$ を含むときに限る。$\square$

要点：各変数の極座標で円周ごとに積分すると、異なる単項式どうしは直交する。

$w=e^{-2\varphi}=\prod_j|z_j|^{-2c_j}$ はトーラス不変で、
$$ \int_P|z^\alpha|^2w\,d\lambda=(2\pi)^n\prod_{j=1}^n\int_0^rt_j^{2\alpha_j-2c_j+1}dt_j $$
は、すべての $j$ で $2\alpha_j-2c_j+1>-1$、すなわち $\alpha_j>c_j-1$ のときに限って有限である。$\alpha_j$ は整数なので、これは $\alpha_j\ge\lfloor c_j\rfloor$ と同値である（$c_j$ が整数で $\alpha_j=c_j-1$ のとき、指数はちょうど $-1$ で積分は対数的に発散する）。$f\in\mathcal I(\varphi)_0$ なら、$r$ を小さくとれば $f$ は $P$ の閉包の近傍で絶対収束し $\int_P|f|^2w\,d\lambda< \infty$ なので、lem-mis-torus により $a_\alpha\ne0$ となるすべての $\alpha$ で $\alpha_j\ge\lfloor c_j\rfloor$（各 $j$）である。よって $f=z^{\lfloor c\rfloor}\sum_\alpha a_\alpha z^{\alpha-\lfloor c\rfloor}$ と書ける。右の級数は、$f$ の級数がある多重半径 $\rho$ の閉多重円板で絶対収束することから、同じ閉多重円板で絶対収束する（各項の絶対値は $\rho^{-\lfloor c\rfloor}|a_\alpha|\rho^\alpha$ 以下）。逆に $z^{\lfloor c\rfloor}$ の積分は上の計算で有限なので $z^{\lfloor c\rfloor}\in\mathcal I(\varphi)_0$ で、prop-mis-basic の 1 からその倍元もすべて属する。$\square$

要点：球の上で極座標をとると単項式の積分は動径の冪の積分になり、lem-mis-torus で Taylor 係数ごとに判定できる。

連接性は局所的な性質で、$C^\infty$ 級関数は局所的に有界なので prop-mis-basic の 2 により乗数イデアル層を変えない。したがって、$U$ を $\mathbb C^n$ の開集合、$\varphi$ を $U$ 上の多重劣調和関数とし、閉包が $U$ に含まれる球 $B$ の上で示せばよい。$\varphi$ は上半連続なので、$B$ の上で $\varphi\le M$ となる定数 $M$ がある。
$$ H:=\Bigl\{F\in\mathcal O(B)\Bigm|\int_B|F|^2e^{-2\varphi}d\lambda< \infty\Bigr\} $$
とおき、$x\in B$ について $H$ の元の $x$ での芽が $\mathcal O_{B,x}$ で生成するイデアルを $J_x$ とする。$J_x\subset\mathcal I(\varphi)_x$ は定義から明らかである。
段階 1：$\mathcal I(\varphi)_x=J_x$。 $g\in\mathcal I(\varphi)_x$ をとる。$r>0$ を小さくとり、$g$ が球 $B(x,r)\subset B$ の近傍で正則で $\int_{B(x,r)}|g|^2e^{-2\varphi}d\lambda< \infty$ となるようにする。$\theta\in C_c^\infty(B(x,r))$ を $B(x,r/2)$ の上で $1$ となる関数とし、整数 $s\ge0$ を固定して
$$ v:=g\,\bar\partial\theta,\qquad\varphi_s(z):=\varphi(z)+(n+s)\log|z-x| $$
とおく。$v$ は $B$ 上の滑らかな $(0,1)$ 形式で（$B(x,r)$ の外では $0$）、$\bar\partial v=0$ である。$\varphi_s$ は多重劣調和で、$v$ の台の上では $|z-x|\ge r/2$ なので $\int_B|v|^2e^{-2\varphi_s}d\lambda< \infty$ である。球は擬凸なので、Hörmander の $L^2$ 存在定理を重み $2\varphi_s$ で使える（Dem12 Ch. VIII Theorem (6.9)、p. 379。上半連続な多重劣調和関数の重みを許す形で、有界な $B$ の上では因子 $(1+|z|^2)^{\pm1}$ は上下から定数で押さえられる）。こうして、局所 2 乗可積分な関数 $u$ で
$$ \bar\partial u=v\ \text{（超関数の意味）},\qquad\int_B|u|^2e^{-2\varphi_s}d\lambda< \infty $$
となるものが得られる。$F:=\theta g-u$ とおくと $\bar\partial F=0$ なので、$F$ はほとんどいたるところ正則関数に等しい（∂̄方程式のL²評価 の補題「正則関数についての Weyl の補題」。$e^{-2\varphi_s}$ は $B$ の上で正の定数以上なので $u$ は 2 乗可積分である）。さらに $e^{-2\varphi}=e^{-2\varphi_s}|z-x|^{2(n+s)}$ で $|z-x|$ は $B$ の上で有界なので、$\int_B|u|^2e^{-2\varphi}d\lambda< \infty$ であり、$\theta g$ についても同様だから $F\in H$ である。$B(x,r/2)$ の上では $u=g-F$ は正則で、$e^{-2\varphi}\ge e^{-2M}$ から
$$ \int_{B(x,r/2)}|u|^2|z-x|^{-2(n+s)}d\lambda\le e^{2M}\int_B|u|^2e^{-2\varphi_s}d\lambda< \infty $$
である。ex-mis-radial を $c=n+s$ で使うと $u_x\in\mathfrak m_x^{\,s+1}$ である。よって $g_x=F_x+u_x\in J_x+\mathfrak m_x^{\,s+1}$ がすべての $s$ で成り立つ。$\mathcal O_{B,x}$ は Noether 局所環（Weierstrassの予備定理 の系「収束冪級数環は Noether 環」）なので、Krullの交叉定理 の命題「Jacobson条件の下での閉性」により $\bigcap_s(J_x+\mathfrak m_x^{\,s+1})=J_x$ で、$g_x\in J_x$ である。
段階 2：$H$ が生成する層は連接。 有限集合 $S\subset H$ について、$S$ の元が生成する $\mathcal O_B$ の部分層を $\mathcal J_S$ とすると、$\mathcal J_S$ は有限型なので連接である（岡の連接定理 の系「正則関数の層の連接性」）。閉包が $B$ に含まれる開集合 $B'$ をとる。$B'$ のすべての点 $x$ で $(\mathcal J_{S_0})_x=J_x$ となる有限集合 $S_0$ がないと仮定すると、有限集合 $S_1$ から始めて、$B'$ のある点 $x$ で $F_x\notin(\mathcal J_{S_k})_x$ となる $F\in H$ を加えて $S_{k+1}:=S_k\cup\{F\}$ とおくことを繰り返せる。すると連接層の増大列 $\mathcal J_{S_1}\subset\mathcal J_{S_2}\subset\cdots$ が $B'$ の閉包の上で止まらないことになり、連接層の強 Noether 性（Dem12 Ch. II (3.22)、p. 90：連接層の部分連接層の増大列は各コンパクト集合の上で止まる）に反する。よって $B'$ の上で $\mathcal I(\varphi)=\mathcal J_{S_0}$ であり、$\mathcal I(\varphi)$ は $B'$ の上で連接である。
最後の主張：連接なイデアルの層は各点の近傍で有限個の切断 $f_1,\dots,f_k$ で生成されるので、prop-mis-basic の 3 により、その近傍で $e^{-2\varphi}$ が可積分でない点の全体は $f_1=\dots=f_k=0$ の解である。$\square$

$f_D^{\,m}$ も局所方程式（$mD$ の）なので、$m=1$ として $f:=f_D$ について示せばよい。$g\in\mathcal O_{X,x}$ が $(f)$ に属せば $|g/f|^2$ は $x$ の近くで有界なので $g\in\mathcal I(\log|f|)_x$ である。逆を示す。$g\in\mathcal I(\log|f|)_x$ とし、$x=0$ の座標をとる。線形な座標変換で $f(0,\dots,0,z_n)$ が恒等的に $0$ でないようにできる（Weierstrassの予備定理 の補題「一般の関数を $w$ 正則にする座標変換」）。$z=(z',z_n)$ と書き、$\delta>0$ を十分小さくとって、$0< |z_n|\le\delta$ で $f(0,z_n)\ne0$ となり、閉円板 $\{0\}\times\{|z_n|\le\delta\}$ が $f,g$ の正則な $0$ の近傍と $|g/f|^2$ が可積分な $0$ の近傍の両方に含まれるようにし、連続性により $z'$ の多重円板 $P'$ を小さくとって、$f$ が $\overline{P'}\times\{|z_n|=\delta\}$ の上で零にならず、$f,g$ が $\overline{P'}\times\{|z_n|\le\delta\}$ の近傍で正則で、$\int|g/f|^2d\lambda$ が $P'\times\{|z_n|< \delta\}$ の上で有限になるようにする。
各 $z'\in P'$ について、$f(z',\cdot)$ は円 $|z_n|=\delta$ の上で零にならないので恒等的に $0$ でなく、$|z_n|< \delta$ に有限個の零点しかもたない。よって $v_{z'}:=g(z',\cdot)/f(z',\cdot)$ はこの円板の上の有理型関数である。Fubini の定理により、ほとんどすべての $z'$ で $\int_{|z_n|< \delta}|v_{z'}|^2d\lambda(z_n)< \infty$ である。このとき $v_{z'}$ は極をもたない。実際、点 $a$ で $k\ge1$ 位の極をもてば $a$ の近くで $|v_{z'}|^2\ge c|z_n-a|^{-2k}$（$c>0$）で、$\int_0t^{1-2k}dt=\infty$ だから可積分でない。したがってそのような $z'$ では、$v_{z'}$ は円板の上の正則関数に延び、Cauchy の積分公式で
$$ v_{z'}(z_n)=V(z',z_n):=\frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta|=\delta}\frac{g(z',\zeta)}{f(z',\zeta)\,(\zeta-z_n)}\,d\zeta\qquad(|z_n|< \delta) $$
となる。$V$ は $P'\times\{|z_n|< \delta\}$ の上で正則である（被積分関数が $(z',z_n)$ について正則で、積分路の上で連続）。開集合 $W:=\{f\ne0\}\cap(P'\times\{|z_n|< \delta\})$ の上で $V$ と $g/f$ はともに連続で、ほとんどすべての $z'$ のファイバーの上で一致するので、$W$ 全体で一致する。よって $W$ の上で $g=fV$ であり、$W$ は稠密なので（解析集合(複素解析) の定理「真の解析集合は疎で補集合は連結」）$P'\times\{|z_n|< \delta\}$ 全体で $g=fV$、すなわち $g\in(f)$ である。
直線束の主張：$h$ の局所重みは $\varphi_A+\log|f|$（$\varphi_A$ は $h_A$ の局所重みで $C^\infty$ 級）なので、prop-mis-basic の 2 と上のことから $\mathcal I(h)=\mathcal O_X(-D)$ である。枠を $e_D'=ue_D$ と取り替えると $f'=f/u$ となり、右辺は $|u|^2$ 倍になる。これは枠 $e_A\otimes e_D'=u\,(e_A\otimes e_D)$ の長さの 2 乗の正しい変換なので、$h$ は矛盾なく定まる。$\mathcal O_X(D)\otimes\mathcal O_X(-D)\cong\mathcal O_X$ から $F\otimes\mathcal I(h)\cong A$ である。$\square$