Heronの公式とCayley–Menger行列式

方針：$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec v-\vec u$ の長さの 2 乗を内積で展開する。
$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec v-\vec u$ である。内積の分配法則（ベクトルの内積（高校数学））により
$$ a^2=\lvert\vec v-\vec u\rvert^2=\lvert\vec v\rvert^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\lvert\vec u\rvert^2=b^2-2\,\vec u\cdot\vec v+c^2 $$
である。$2\,\vec u\cdot\vec v$ について解けば主張を得る。$\square$

方針：$S=\dfrac12bc\sin A$ を 2 乗し、$\sin^2A=1-\cos^2A$ で余弦に直す。$bc\cos A=\vec u\cdot\vec v$ を lem-hcm-inner で辺の長さに直す（図 1）。
段 1（面積を 2 乗する）。三角形の面積の公式 の定理「2 辺と間の角の正弦」により $S=\dfrac12bc\sin A$ なので、$4S^2=b^2c^2\sin^2A$ である。
段 2（余弦に直す）。$\sin^2A=1-\cos^2A$ なので
$$ 4S^2=b^2c^2-(bc\cos A)^2 $$
である。
段 3（内積に直す）。$\vec u\cdot\vec v=\lvert\vec u\rvert\lvert\vec v\rvert\cos A=cb\cos A$ である（内積の定義）。lem-hcm-inner により $bc\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}2$ なので
$$ 4S^2=b^2c^2-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}4 $$
である。
段 4（4 倍する）。両辺を $4$ 倍すると $16S^2=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2$ である。def-hcm-det2 により、これは主張の行列式 $2c^2\cdot2b^2-(b^2+c^2-a^2)^2$ に等しい。$\square$

方針：rem-hcm-det-facts の 2 を使って第 $1$ 行に $0$ を 3 つ作り、1 で展開して次数を 2 つ下げる。残る 2 次の行列式が thm-hcm-gram2 の行列式の形になることを確かめる。
段 1（行を引く）。第 $3$ 行から第 $2$ 行を引き、第 $4$ 行から第 $2$ 行を引く。行列式は変わらず（事実 2）、行列は
$$ \begin{pmatrix}0&1&1&1\\ 1&0&c^2&b^2\\ 0&c^2&-c^2&a^2-b^2\\ 0&b^2&a^2-c^2&-b^2\end{pmatrix} $$
になる。
段 2（列を引く）。第 $3$ 列から第 $2$ 列を引き、第 $4$ 列から第 $2$ 列を引く。行列式は変わらず（事実 2）、行列は
$$ \begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 1&0&c^2&b^2\\ 0&c^2&-2c^2&a^2-b^2-c^2\\ 0&b^2&a^2-b^2-c^2&-2b^2\end{pmatrix} $$
になる。たとえば第 $3$ 行第 $3$ 列は $-c^2-c^2=-2c^2$、第 $3$ 行第 $4$ 列は $(a^2-b^2)-c^2$ である。
段 3（第 1 行で展開する）。第 $1$ 行で $0$ でない成分は第 $2$ 列の $1$ だけである。事実 1 により、行列式は $(-1)^{1+2}\cdot1\cdot\det N=-\det N$ である。ここで $N$ は第 $1$ 行と第 $2$ 列を取り除いた
$$ N=\begin{pmatrix}1&c^2&b^2\\ 0&-2c^2&a^2-b^2-c^2\\ 0&a^2-b^2-c^2&-2b^2\end{pmatrix} $$
である。
段 4（第 1 列で展開する）。$N$ の第 $1$ 列で $0$ でない成分は第 $1$ 行の $1$ だけなので、事実 1 により
$$ \det N=\det\begin{pmatrix}-2c^2&a^2-b^2-c^2\\ a^2-b^2-c^2&-2b^2\end{pmatrix}=4b^2c^2-(a^2-b^2-c^2)^2 $$
である。
段 5（面積に戻す）。$(a^2-b^2-c^2)^2=(b^2+c^2-a^2)^2$ なので、thm-hcm-gram2 により $\det N=16S^2$ である。段 3 とあわせて、もとの行列式は $-16S^2$ である。$\square$

方針：$\vec w=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ を、平面 $\mathrm{ABC}$ の中のベクトル $\alpha\vec u+\beta\vec v$ と、平面に垂直なベクトル $\vec n=\overrightarrow{\mathrm{HD}}$ の和に分ける。すると行列の第 $3$ 列が「第 $1$ 列の $\alpha$ 倍 ＋ 第 $2$ 列の $\beta$ 倍 ＋ $(0,0,h^2)$」になるので、列の引き算で $0$ を 2 つ作って展開する。
段 1（係数を決める）。$\alpha,\beta$ についての連立 1 次方程式
$$ (\vec u\cdot\vec u)\,\alpha+(\vec u\cdot\vec v)\,\beta=\vec u\cdot\vec w,\qquad(\vec u\cdot\vec v)\,\alpha+(\vec v\cdot\vec v)\,\beta=\vec v\cdot\vec w $$
を考える。係数の行列式は $\Delta=\lvert\vec u\rvert^2\lvert\vec v\rvert^2-(\vec u\cdot\vec v)^2$ で、prf-hcm-gram2 の段 2・段 3 により $\Delta=4S^2$ である。$\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C$ は一直線上にないので $S>0$、$\Delta>0$ であり、この連立方程式はただ 1 組の解 $\alpha,\beta$ をもつ（連立1次方程式）。
段 2（垂直な部分）。$\vec n=\vec w-\alpha\vec u-\beta\vec v$ とおく。段 1 の 1 つ目の式から $\vec u\cdot\vec n=\vec u\cdot\vec w-\alpha\,\vec u\cdot\vec u-\beta\,\vec u\cdot\vec v=0$、2 つ目の式から $\vec v\cdot\vec n=0$ である。位置ベクトルが $\overrightarrow{\mathrm{AH'}}=\alpha\vec u+\beta\vec v$ となる点 $\mathrm H'$ は平面 $\mathrm{ABC}$ の上にあり、$\overrightarrow{\mathrm{H'D}}=\vec w-(\alpha\vec u+\beta\vec v)=\vec n$ は平面の平行でない 2 方向 $\vec u,\vec v$ の両方に垂直である。空間図形の計量 の補題「平面の 2 方向に垂直なら平面に垂直」により、直線 $\mathrm{H'D}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直なので、$\mathrm H'$ は垂線の足 $\mathrm H$ であり、$\lvert\vec n\rvert=\mathrm{HD}=h$ である。
段 3（第 3 列を書き直す）。$\vec w=\alpha\vec u+\beta\vec v+\vec n$ と、$\vec u\cdot\vec n=\vec v\cdot\vec n=0$ を使う。
$$ \vec u\cdot\vec w=\alpha\,\vec u\cdot\vec u+\beta\,\vec u\cdot\vec v,\qquad \vec v\cdot\vec w=\alpha\,\vec v\cdot\vec u+\beta\,\vec v\cdot\vec v $$
である。また $\vec w\cdot\vec n=(\alpha\vec u+\beta\vec v+\vec n)\cdot\vec n=\lvert\vec n\rvert^2=h^2$ なので
$$ \vec w\cdot\vec w=\vec w\cdot(\alpha\vec u+\beta\vec v+\vec n)=\alpha\,\vec w\cdot\vec u+\beta\,\vec w\cdot\vec v+h^2 $$
である。つまり第 $3$ 列の各成分は、第 $1$ 列の $\alpha$ 倍と第 $2$ 列の $\beta$ 倍の和に、第 $3$ 行だけ $h^2$ を足したものである。
段 4（列を引いて展開する）。第 $3$ 列から第 $1$ 列の $\alpha$ 倍と第 $2$ 列の $\beta$ 倍を引く。rem-hcm-det-facts の 2 により行列式は変わらず、段 3 により第 $3$ 列は上から $0,0,h^2$ になる。第 $3$ 列で展開すると（事実 1）、$0$ でない成分は第 $3$ 行の $h^2$ だけで、符号は $(-1)^{3+3}=1$ なので
$$ \det(\text{もとの行列})=h^2\det\begin{pmatrix}\vec u\cdot\vec u&\vec u\cdot\vec v\\ \vec v\cdot\vec u&\vec v\cdot\vec v\end{pmatrix}=h^2\bigl(\lvert\vec u\rvert^2\lvert\vec v\rvert^2-(\vec u\cdot\vec v)^2\bigr) $$
である。$\square$

方針：$T$ は lem-hcm-height の行列の成分をすべて $2$ 倍したものである。補題の右辺を面積と高さで書き、錐体の体積の公式を使う。
段 1（$T$ は内積の行列の 2 倍）。lem-hcm-inner を三角形 $\mathrm{ABC}$ に使うと $2\,\vec u\cdot\vec v=\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2$ である。三角形 $\mathrm{ABD}$、$\mathrm{ACD}$ に使うと、同じく $2\,\vec u\cdot\vec w=\mathrm{AB}^2+\mathrm{AD}^2-\mathrm{BD}^2$、$2\,\vec v\cdot\vec w=\mathrm{AC}^2+\mathrm{AD}^2-\mathrm{CD}^2$ である。また $2\,\vec u\cdot\vec u=2\,\mathrm{AB}^2$ などである。よって $T$ の各成分は、lem-hcm-height の行列の対応する成分の $2$ 倍である。
段 2（定数倍を外に出す）。rem-hcm-det-facts の 3 を 3 つの行に 1 回ずつ使うと、$\det T=2^3\det(\text{補題の行列})=8\det(\text{補題の行列})$ である。
段 3（補題を使う）。4 点は同じ平面の上にない（四面体である）ので、lem-hcm-height と、prf-hcm-height の段 1 で見た $\lvert\vec u\rvert^2\lvert\vec v\rvert^2-(\vec u\cdot\vec v)^2=4S^2$ により、補題の行列の行列式は $4S^2h^2$ である。
段 4（体積に直す）。$V=\dfrac13Sh$ なので $Sh=3V$ で、$4S^2h^2=4(Sh)^2=4\cdot9V^2=36V^2$ である。段 2 とあわせて $\det T=8\cdot36V^2=288V^2$ である。$\square$

方針：prf-hcm-cm3 と同じく、頂点 $\mathrm A$ の行と列を引いて $0$ を作り、2 回展開する。残る 3 次の行列が $-T$ になることを確かめる。
段 1（行と列を引く）。第 $3,4,5$ 行から第 $2$ 行を引き、次に第 $3,4,5$ 列から第 $2$ 列を引く（行列式は変わらない）。第 $1$ 行は $(0,1,0,0,0)$ になる。$\mathrm B,\mathrm C$ に対応する成分を例にとると、第 $3$ 行第 $4$ 列は $d_{\mathrm{BC}}-d_{\mathrm{AC}}-d_{\mathrm{AB}}$、第 $3$ 行第 $3$ 列は $0-d_{\mathrm{AB}}-d_{\mathrm{AB}}=-2d_{\mathrm{AB}}$ になる。ほかの成分も同じで、右下の 3 行 3 列の部分は、$T$ の成分をすべて $-1$ 倍した行列 $-T$ になる。第 $1$ 列は上から $0,1,0,0,0$ である。
段 2（2 回展開する）。prf-hcm-cm3 の段 3・段 4 と同じく、第 $1$ 行で展開すると符号 $(-1)^{1+2}=-1$ が付き、次に第 $1$ 列で展開すると $\det(-T)$ が残る。よってもとの行列式は $-\det(-T)$ である。
段 3（符号）。$-T$ は $T$ の 3 つの行をそれぞれ $-1$ 倍したものなので、rem-hcm-det-facts の 3 により $\det(-T)=(-1)^3\det T=-\det T$ である。よってもとの行列式は $\det T=288V^2$ である（thm-hcm-tetra）。$\square$