解の配置

$x^2-2mx+m+2=0$ が異なる 2 つの正の解をもつような $m$ の範囲を求める。$f(x)=x^2-2mx+m+2$ とおくと、グラフは下に凸の放物線で、軸は $x=m$ である。次の 3 つを調べる。
$$ \begin{aligned} &\text{判別式}：\ \frac D4=m^2-(m+2)=(m-2)(m+1)>0\ \text{より}\ m<-1\ \text{または}\ m>2,\\ &\text{軸}：\ m>0,\\ &\text{端の値}：\ f(0)=m+2>0\ \text{より}\ m>-2. \end{aligned} $$
3 つを同時に満たすのは $m>2$ である。たとえば $m=3$ なら $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$ で、解は $1$ と $5$ である。

$x^2-mx+1=0$ の解の 1 つが $0$ と $1$ の間、もう 1 つが $1$ と $2$ の間にあるような $m$ の範囲を求める。$f(x)=x^2-mx+1$ のグラフが $x=0$ で $x$ 軸の上、$x=1$ で下、$x=2$ で上にあればよいので
$$ f(0)=1>0,\qquad f(1)=2-m<0,\qquad f(2)=5-2m>0 $$
から $2< m<\frac52$ である。たとえば $m=\frac94$ なら $4x^2-9x+4=0$ で、解は $x=\frac{9\pm\sqrt{17}}8$、すなわち約 $0.610$ と約 $1.640$ である。

1. $f(x)=x^2-6x+7$ では $s=3$、$D=36-28=8$ で、$\alpha=3-\sqrt2$、$\beta=3+\sqrt2$ である。$p=1$ で
   $$ (1-\alpha)(1-\beta)=(\sqrt2-2)(-2-\sqrt2)=-(\sqrt2-2)(\sqrt2+2)=-(2-4)=2 $$
   であり、直接計算した $f(1)=1-6+7=2$ と一致する。$1$ は 2 つの解の左の外にあり、$1-\alpha<0$、$1-\beta<0$ で積は正である。
2. $f(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ では、$p=1$ は 2 つの解 $-1,3$ の間にあり、$f(1)=(1+1)(1-3)=-4<0$ である。

1. ex-lr-start1 の 3 条件は thm-lr-right で $p=0$ としたものである。「異なる」ので $D\ge0$ を $D>0$ に強めた。
2. ex-lr-start2 では、$f(1)<0$ から thm-lr-sep により $\alpha<1<\beta$ である。$f(0)>0$ と cor-lr-one を区間 $(0,1)$ に使うと、$f(0)f(1)<0$ なので $(0,1)$ に解がちょうど 1 つある。同じく $f(1)f(2)<0$ なので $(1,2)$ にもちょうど 1 つある。判別式を調べなくてよいのは、$f(1)<0$ が実数の解の存在を保証するからである。
3. $x^2-2mx+m+2=0$ の 2 つの解がともに $3$ より小さい条件は、cor-lr-left で $q=3$ として
   $$ \frac D4=(m-2)(m+1)\ge0,\qquad s=m<3,\qquad f(3)=9-6m+m+2=11-5m>0 $$
   である。1 つ目から $m\le-1$ または $m\ge2$、3 つ目から $m<\frac{11}5$ なので、条件は $m\le-1$ または $2\le m<\frac{11}5$ である（2 つ目の $m<3$ は自動的に満たされる）。$m=-2$ なら $x^2+4x=0$ で解は $-4$ と $0$、$m=0$ なら $x^2+2=0$ で実数の解はない。
4. 同じ方程式の 2 つの解がともに $0$ と $3$ の間にある条件は、cor-lr-between により
   $$ (m-2)(m+1)\ge0,\qquad 0< m<3,\qquad f(0)=m+2>0,\qquad f(3)=11-5m>0 $$
   で、$2\le m<\frac{11}5$ である。$m=2.1$ なら解は約 $1.543$ と約 $2.657$、$m=2$ なら重解 $2$ である。
5. 同じ方程式の解の 1 つが $1$ より大きく、もう 1 つが $1$ より小さい条件は、thm-lr-sep により $f(1)=3-m<0$、つまり $m>3$ である。$m=4$ なら解は $4\pm\sqrt{10}$、約 $0.838$ と約 $7.162$ である。

$F(x)=-x^2+4x-3$ について、$F(x)=0$ の 2 つの解がともに正かどうかを、$F$ のまま調べる。最高次の係数は $a=-1$ である。
$$ \begin{aligned} &\text{判別式}：\ 4^2-4\cdot(-1)\cdot(-3)=16-12=4>0,\\ &\text{軸}：\ x=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2>0,\\ &\text{端の値}：\ aF(0)=(-1)\cdot(-3)=3>0. \end{aligned} $$
3 つとも満たされるので、2 つの解はともに正である。実際 $F(x)=-(x-1)(x-3)$ で、解は $1$ と $3$ である。グラフ $y=F(x)$ は上に凸なので、2 つの解の外側の $x=0$ では $F(0)=-3<0$ になる。「$F(0)>0$」を条件にすると誤りになる。全体を $-1$ で割った $f(x)=x^2-4x+3$ なら、$f(0)=3>0$ で thm-lr-right の形のまま使える。

$x^2-2mx+m+2=0$ を考える。$x=\frac12$ を代入すると $\frac14+2=\frac94\ne0$ なので、$x=\frac12$ は解にならない。よって $2x-1\ne0$ として両辺を割ってよく、方程式は
$$ m=g(x):=\frac{x^2+2}{2x-1}\qquad\Bigl(x\ne\frac12\Bigr) $$
と同値である。商の微分法により
$$ g'(x)=\frac{2x(2x-1)-2(x^2+2)}{(2x-1)^2}=\frac{2(x-2)(x+1)}{(2x-1)^2} $$
である。増減は次のとおりである。

また $g(0)=-2$ であり、$x\to\frac12$ で左からは $-\infty$、右からは $+\infty$ に向かう。直線 $y=m$ との交点を見ると、次が分かる。

• $m>2$：$x>\frac12$ の部分と 2 回交わり、異なる 2 つの正の解をもつ（ex-lr-start1 と一致）。$m=3$ では交点は $x=1,5$。
• $m=2$：$x=2$ で接し、重解 $x=2$。$-1< m<2$：交点がなく、実数の解はない。
• $m=-1$：$x=-1$ で接し、重解 $x=-1$。
• $-2\le m<-1$：$x\le0$ の部分と 2 回交わり、異なる 2 つの解はともに $0$ 以下である（$m=-2$ では $x=0,-4$）。
• $m<-2$：$0< x<\frac12$ の部分と 1 回、$x<-1$ の部分と 1 回交わり、正の解と負の解を 1 つずつもつ。$m=-3$ では解は $-3\pm\sqrt{10}$（約 $0.162$ と約 $-6.162$）。

$x^3-3x-m=0$ の実数解の個数を調べる。$m=g(x):=x^3-3x$ と分離すると、$g'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ なので、$g$ は $x=-1$ で極大値 $g(-1)=2$、$x=1$ で極小値 $g(1)=-2$ をとり、$x\to\pm\infty$ で $g(x)\to\pm\infty$ である。よって実数解の個数は
$$ |m|>2\ \text{のとき}\ 1\ \text{個},\qquad |m|=2\ \text{のとき}\ 2\ \text{個},\qquad |m|<2\ \text{のとき}\ 3\ \text{個} $$
である（$|m|=2$ では 1 つが重解）。$m=1$ なら解は約 $-1.532$、$-0.347$、$1.879$ の 3 つ、$m=2$ なら $x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)$ で解は $-1$（重解）と $2$ である。

$f(x)=x^3-x-1$ は $f(1)=-1<0$、$f(2)=5>0$ なので、thm-lr-ivt により $(1,2)$ に解がある。中点での値を調べて、符号が変わるほうの半分を残す。

5 回で解は長さ $\frac1{32}$ の区間に入った。実際の解は約 $1.3247$ である。$f'(x)=3x^2-1>0$（$x\ge1$）なので $f$ はこの区間で増加し、解はちょうど 1 つである。

thm-lr-right で $p=0$ とし、条件を 1 つずつ外す。
(1) 軸の条件を外す：$x^2-2mx+m+2$ で $m=-\frac32$ とすると、$\frac D4=(m-2)(m+1)=\frac74>0$、$f(0)=\frac12>0$ だが、軸は $x=-\frac32<0$ である。方程式は $x^2+3x+\frac12=0$ で、解 $\frac{-3\pm\sqrt7}2$（約 $-0.177$ と約 $-2.823$）はどちらも負である。$0$ は 2 つの解の右の外にある。
(2) 端の値の条件を外す：$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ は $D=16>0$、軸 $x=1>0$ だが、$f(0)=-3<0$ で、解 $-1$ は負である。
(3) 判別式の条件を外す：$x^2-2x+2$ は軸 $x=1>0$、$f(0)=2>0$ だが、$D=4-8=-4<0$ で実数の解がない。

$f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$ は $f(-2)=-6<0$、$f(2)=6>0$ だが、$(-2,2)$ の中に解が $-1,0,1$ の 3 つある。thm-lr-ivt の「少なくとも 1 つ」は正しいが、「ちょうど 1 つ」は正しくない。多項式の場合に言えるのは、重複も数えた解の個数が奇数であることまでである（rem-lr-parity）。

$x<0$ で $f(x)=-1$、$x\ge0$ で $f(x)=1$ と定める。$f(-1)=-1<0$、$f(1)=1>0$ だが、$f(x)=0$ となる $x$ はない。$f$ は $x=0$ で連続でないので、thm-lr-ivt の仮定を満たさない。

$f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ は区間 $(0,4)$ に 2 つの解 $1,3$ をもつが、$f(0)=3$、$f(4)=3$ で $f(0)f(4)>0$ である。「$f(p)f(q)<0$ でなければ解がない」とは言えない。区間の中の解の有無は、cor-lr-between のように軸と判別式も合わせて判定する。