Spin群

段 1（作用素の構成）：$W$ を、$\{1,\dots,n\}$ の部分集合 $I$ で番号づけた基底 $\varepsilon_I$ をもつ $2^n$ 次元の実ベクトル空間とする。$m_i(I):=\#\{l\in I\mid l< i\}$ とおき、$\gamma_i\in\operatorname{End}(W)$ を $\gamma_i\varepsilon_I:=s_i(I)\,\varepsilon_{I\triangle\{i\}}$ で定める。ここで $I\triangle\{i\}$ は $i$ を加える（$i\notin I$）か取り除く（$i\in I$）ことを表し、$s_i(I):=(-1)^{m_i(I)}$（$i\notin I$）、$s_i(I):=-(-1)^{m_i(I)}$（$i\in I$）とする。

段 2（関係式）：$I$ と $I\triangle\{i\}$ で $m_i$ は同じ値 $m$ をとり（$i$ 自身は $i$ より小さくない）、一方だけが $i$ を含むので、$\gamma_i^2\varepsilon_I=s_i(I\triangle\{i\})s_i(I)\varepsilon_I=(-1)^m\cdot\bigl(-(-1)^m\bigr)\varepsilon_I=-\varepsilon_I$ である。$i< k$ とすると、$k$ を出し入れしても $i$ より小さい元の個数と $i$ の有無は変わらないので $s_i(I\triangle\{k\})=s_i(I)$、$i$ を出し入れすると $k$ より小さい元の個数が $1$ 変わるので $s_k(I\triangle\{i\})=-s_k(I)$ である。よって $\gamma_i\gamma_k\varepsilon_I=s_i(I)s_k(I)\varepsilon_{I\triangle\{i,k\}}$、$\gamma_k\gamma_i\varepsilon_I=-s_k(I)s_i(I)\varepsilon_{I\triangle\{i,k\}}$ であり、$\gamma_i\gamma_k=-\gamma_k\gamma_i$ である。$c(v):=\sum_iv_i\gamma_i$ とおくと $c(v)^2=\sum_iv_i^2\gamma_i^2+\sum_{i< k}v_iv_k(\gamma_i\gamma_k+\gamma_k\gamma_i)=-\lvert v\rvert^2$ である。

段 3（線形独立）：$I=\{i_1<\dots< i_k\}$ に対し $\gamma_I:=\gamma_{i_1}\cdots\gamma_{i_k}$（$\gamma_\emptyset:=\mathrm{id}$）とおく。右から順に作用させると、$\gamma_{i_l}$ は $i_l$ より大きい元だけからなる $\varepsilon_{\{i_{l+1},\dots,i_k\}}$ に $i_l$ を符号 $+1$ で加えるので、$\gamma_I\varepsilon_\emptyset=\varepsilon_I$ である。$\varepsilon_I$ は線形独立なので、$2^n$ 個の $\gamma_I$ も線形独立である。

段 4（積で閉じる）：記号 $1,\dots,n$ の任意の語 $w=a_1a_2\cdots a_r$ は、隣り合う相異なる 2 文字の入れ替え（符号 $-1$ を掛ける）と、隣り合う同じ 2 文字の削除（符号 $-1$ を掛ける）を有限回くり返して、符号 $\sigma\in\{\pm1\}$ と増加列 $K$ の組 $\sigma K$ に変形できる（たとえば隣接互換による並べ替えで同じ文字を隣り合わせ、2 つずつ消す）。その変形の列を 1 つ固定して $\mathrm{red}(w)=(\sigma,K)$ と書く。段 2 の関係式から $\gamma_{a_1}\cdots\gamma_{a_r}=\sigma\gamma_K$ であり、とくに $\gamma_I\gamma_J=\sigma\gamma_K$ である。よって $C:=\operatorname{span}\{\gamma_I\}$ は積で閉じ、$\gamma_\emptyset=\mathrm{id}$ を含む部分代数で、$c(\mathbb{R}^n)$ が生成する。

段 5（普遍性）：組 $(A,f)$ が与えられたとする。上の展開から $f(e_i)^2=-1$、$f(e_i)f(e_k)=-f(e_k)f(e_i)$（$i\ne k$）である。$f_I:=f(e_{i_1})\cdots f(e_{i_k})$ とおき、線形写像 $\varphi\colon C\to A$ を $\varphi(\gamma_I):=f_I$ で定める。$I,J$ を並べた語の変形 $\mathrm{red}=(\sigma,K)$ の各段は $A$ の中でも成り立つ等式なので $f_If_J=\sigma f_K$ であり、$\varphi(\gamma_I\gamma_J)=\sigma f_K=f_If_J=\varphi(\gamma_I)\varphi(\gamma_J)$ である。よって $\varphi$ は代数の準同型で、$\varphi\circ c=f$ を満たす。$C$ は $c(\mathbb{R}^n)$ で生成されるので、そのような準同型は 1 つしかない。したがって $(C,c)$ は Clifford 代数である。一意性：2 つの組 $(C,c)$、$(C',c')$ が普遍性をもてば、互いへの準同型の合成は恒等写像と同じ性質をもつので、普遍性の一意性から恒等写像に等しい。$c$ は $\gamma_i$ が線形独立なので単射であり、$e_I=\gamma_I$ が基底をなす。$\square$

$e_i$ を $e_I$ の各文字と入れ替えると、$i\notin I$ なら $\lvert I\rvert$ 回、$i\in I$ なら $\lvert I\rvert-1$ 回の反交換が起こる（$e_i$ 自身とは可換）ので$$e_ie_Ie_i^{-1}=\begin{cases}(-1)^{\lvert I\rvert}e_I&(i\notin I)\\(-1)^{\lvert I\rvert-1}e_I&(i\in I)\end{cases}$$である。$y=\sum_Iy_Ie_I$ と書くと $e_iye_i^{-1}=\sum_I\pm y_Ie_I$ であり、$e_I$ は基底なので条件は係数ごとに読める。1：$\lvert I\rvert$ が偶数で $y_I\ne0$ なら、すべての $i$ について符号が $+1$ でなければならないが、$i\in I$ なら符号は $-1$ である。よって $I$ はどの $i$ も含まず $I=\emptyset$ である。2：$\lvert I\rvert$ が奇数で $y_I\ne0$ なら、すべての $i$ について符号が $-1$ でなければならないが、$i\in I$ なら符号は $+1$ なので $I=\emptyset$ となり、$\lvert I\rvert$ が奇数であることに反する。よって $y=0$ である。$\square$

$x\in\mathrm{Pin}(n)$ について、1 により $\rho(x)=H_{u_1}\cdots H_{u_m}=\rho(u_1\cdots u_m)$（$m\le n$、$u_i\in S^{n-1}$）と書け、核が $\{\pm1\}$ なので $x=\pm u_1\cdots u_m$ である。$m\ge1$ なら $-u_1\cdots u_m=(-u_1)u_2\cdots u_m$、$m=0$ なら $-1=e_1e_1$ なので、$x$ は高々 $\max(n,2)$ 個の長さ $1$ のベクトルの積である。$k$ 個の積の全体は、コンパクトな $(S^{n-1})^k$ の連続写像 $(u_1,\dots,u_k)\mapsto u_1\cdots u_k$ による像なのでコンパクトであり、$\mathrm{Pin}(n)$ はその有限個の和としてコンパクトである。$\mathrm{Spin}(n)$ は閉部分空間 $\mathrm{Cl}_n^0$ との共通部分なのでコンパクトである。積は双線形なので連続、逆元は $(\ast)$ により線形写像 $x\mapsto\bar x$ の制限なので連続であり、どちらも位相群である。

$\rho(x)(v)=\alpha(x)v\bar x$ は $x$ について連続なので、$\rho\colon\mathrm{Spin}(n)\to\mathrm{SO}(n)$ は連続な全射準同型である。核 $K:=\{\pm1\}$ は中心的で、$\mathrm{Spin}(n)\subset\mathbb{R}^{2^n}$ は Hausdorff なので、商写像 $q\colon\mathrm{Spin}(n)\to\mathrm{Spin}(n)/K$ は二重被覆準同型である（二重被覆群 の命題「中心的な位数 2 の部分群による商」）。$\rho$ が誘導する $\bar\rho\colon\mathrm{Spin}(n)/K\to\mathrm{SO}(n)$ は連続な全単射で、$\mathrm{Spin}(n)/K$ はコンパクト（$q$ による像）、$\mathrm{SO}(n)$ は Hausdorff なので同相写像である（コンパクト空間 の命題「保存と閉性」）。よって $\rho=\bar\rho\circ q$ も二重被覆準同型である。$\square$

1：$S^0=\{\pm e_1\}$ なので、偶数個の積は $\pm e_1^{2k}=\pm1$ であり、$1$ も $-1=e_1e_1$ も現れる。

2：$\mathrm{Cl}_2^0$ は $1,e_1e_2$ で張られ、$(e_1e_2)^2=-1$ なので $a+be_1e_2\mapsto a+bi$ は代数の同型 $\mathrm{Cl}_2^0\cong\mathbb{C}$ である。$x=a+be_1e_2\in\mathrm{Spin}(2)$ なら $(\ast)$ から $1=x\bar x=(a+be_1e_2)(a-be_1e_2)=a^2+b^2$ である。逆に $a^2+b^2=1$ なら $a+be_1e_2=x(t)$ の形で、ex-spin-half-angle により $\mathrm{Spin}(2)$ に属する。$\rho(x(t))$ は角 $2t$ の回転なので、$e^{it}\mapsto e^{2it}$ である。

3：$\mathrm{Cl}_3^0$ の基底は $1,e_2e_3,e_3e_1,e_1e_2$ である（$e_3e_1=-e_1e_3$）。$I:=e_2e_3$、$J:=e_3e_1$、$K:=e_1e_2$ とおくと、$I^2=e_2e_3e_2e_3=-e_2e_2e_3e_3=-1$ で、同様に $J^2=K^2=-1$、また $IJ=e_2e_3e_3e_1=-e_2e_1=K$、$IJK=K^2=-1$ である。四元数の積は $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ から定まる（四元数 の定義）ので、$\psi$ は積を保ち、基底を基底に写すので同型である。$\overline{e_ae_b}=e_be_a=-e_ae_b$（$a\ne b$）なので $\psi$ は共役と可換で、$\psi(q)\overline{\psi(q)}=\psi(q\bar q)=N(q)$ である。よって $(\ast)$ から $\mathrm{Spin}(3)\subset\psi(\mathrm{Sp}(1))$ である。

逆を示す。$\omega:=e_1e_2e_3$ とおくと、$v,w\in\mathbb{R}^3$ について$$vw=-(v,w)-\omega\,(v\times w)\qquad(\times\text{ はベクトル積})$$が成り立つ（両辺は $v,w$ について双線形で、$e_ae_a=-1$、$e_1e_2=-\omega e_3$、$e_2e_3=-\omega e_1$、$e_3e_1=-\omega e_2$ と、反交換による符号の反転から、基底の組で一致する）。$-\omega e_1,-\omega e_2,-\omega e_3$ は $I,J,K$ なので、$\psi^{-1}(vw)=-(v,w)+\widehat{v\times w}$（$\hat p:=p_1i+p_2j+p_3k$）である。単位四元数は $q=\cos t+\sin t\,\hat p$（$p\in S^2$）と書ける（四元数 の定理「$x^2=-1$ の解と極表示」）。$p$ に直交する $u\in S^2$ をとり、$w:=-\cos t\,u+\sin t\,(p\times u)$ とおくと、$\lvert w\rvert=1$、$(u,w)=-\cos t$、$u\times w=\sin t\,u\times(p\times u)=\sin t\,p$ なので $\psi(q)=uw\in\mathrm{Spin}(3)$ である。したがって $\psi(\mathrm{Sp}(1))=\mathrm{Spin}(3)$ である。$\mathrm{Sp}(1)\cong\mathrm{SU}(2)$ は 二重被覆群 の命題「$\mathrm{Sp}(1)$ と $\mathrm{SU}(2)$ の同型」により、$\mathrm{Sp}(1)$ は $\mathbb{H}=\mathbb{R}^4$ の単位球面である。$\square$

段 1：$\mathrm{SO}(n)$ は弧状連結である（直交群 の定理「直交群の位相」）ので、$\pi_1(\mathrm{SO}(n),I)=\pi_1(\mathrm{O}(n),I)$ である。$n\ge4$ では、ファイバー束 $\mathrm{O}(n-1)\to\mathrm{O}(n)\to S^{n-1}$（Hat02 Example 4.55、p. 383）のホモトピー完全列（同書 Theorem 4.41、p. 376、Proposition 4.48、p. 379）$$\pi_2(S^{n-1})\to\pi_1(\mathrm{O}(n-1))\to\pi_1(\mathrm{O}(n))\to\pi_1(S^{n-1})$$で、$n-1\ge3$ なので両端は $0$ である（同書 Corollary 4.9、p. 349）。よって $\pi_1(\mathrm{SO}(n-1))\to\pi_1(\mathrm{SO}(n))$ は同型であり、$\pi_1(\mathrm{SO}(n))\cong\pi_1(\mathrm{SO}(3))$ である。

段 2：$\mathrm{Spin}(3)\cong S^3$（prop-spin-low）は単連結（同書 Proposition 1.14、p. 35）なので、thm-spin-main の二重被覆と 二重被覆群 の命題「基本群との関係」により $\pi_1(\mathrm{SO}(3))\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、段 1 から $\pi_1(\mathrm{SO}(n))\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（$n\ge3$）である。

段 3：$\mathrm{Spin}(n)$ は弧状連結（thm-spin-main の 3）なので、同じ命題により $\rho_*\pi_1(\mathrm{Spin}(n))$ は $\pi_1(\mathrm{SO}(n))\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の指数 $2$ の部分群、すなわち自明群であり、$\rho_*$ は単射なので $\pi_1(\mathrm{Spin}(n))=0$ である。自明でない元：ループ $\theta\mapsto R(\theta)$（$0\le\theta\le2\pi$）の持ち上げ $x(\theta/2)$ の終点は $-1\ne1$ なので、このループは定値ループにホモトピックでない（被覆空間 の定理「基本群との関係」）。$\square$