多重円板

$\overline{\Delta}(a,r)$ はコンパクトで、$U$ の補集合は閉集合なので、両者の（最大値ノルムによる）距離 $\delta$ は正である。$r_j':=r_j+\delta/2$ とおくと $\overline{\Delta}(a,r')\subset U$ である。$z\in\Delta(a,r)$ を固定する。
$\zeta_1,\dots,\zeta_{k}$ を $|\zeta_j-a_j|\le r_j$ を満たす点とし（$0\le k< n$）、1 変数の関数 $\varphi(w):=f(\zeta_1,\dots,\zeta_k,w,z_{k+2},\dots,z_n)$ を考える。$|w-a_{k+1}|< r'_{k+1}$ なら変数の点は $\Delta(a,r')$ に入るので $\varphi$ はこの円板の上で正則であり、閉円板 $|w-a_{k+1}|\le r_{k+1}$ はその中に含まれる。よって 1 変数の Cauchy の積分公式（Cauchyの積分公式 の定理「円板に対する Cauchy の積分公式」）により
$$ f(\zeta_1,\dots,\zeta_k,z_{k+1},\dots,z_n)=\frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta_{k+1}-a_{k+1}|=r_{k+1}}\frac{f(\zeta_1,\dots,\zeta_{k+1},z_{k+2},\dots,z_n)}{\zeta_{k+1}-z_{k+1}}\,d\zeta_{k+1} $$
である。$k=0$ のこの式の被積分関数に $k=1$ の式を代入し、さらに $k=2,\dots,n-1$ の式を順に代入すると、$f(z)$ は円周上の $n$ 重の逐次積分
$$ f(z)=\frac1{(2\pi i)^n}\oint\cdots\oint\frac{f(\zeta_1,\dots,\zeta_n)}{(\zeta_1-z_1)\cdots(\zeta_n-z_n)}\,d\zeta_n\cdots d\zeta_1 $$
で表される。被積分関数は $T(a,r)$ の上で連続（$f$ は連続で、分母は $0$ にならない）なので、この逐次積分は $[0,2\pi]^n$ 上の積分に等しい。

要点：被積分関数 $f(\zeta)/\prod_j(\zeta_j-z_j)$ は $z$ について何回でも微分でき、すべての導関数が $(\zeta,z)\in T(a,r)\times K$（$K\subset\Delta(a,r)$ はコンパクト）で連続なので、積分記号の下で微分できる。

平行移動して $a=0$ としてよい。$K\subset\Delta(0,r)$ をコンパクトとし、$s_j:=\max_{z\in K}|z_j|< r_j$ とする。$s_j< \rho_j< r_j$ となる有限の $\rho_j$ をとると $\overline{\Delta}(0,\rho)\subset\Delta(0,r)$ であり、thm-pdisc-cauchy を $\Delta(0,r)$ と $\rho$ に使える。$q_j:=s_j/\rho_j< 1$、$M:=\max_{T(0,\rho)}|f|$ とおく。
$\zeta\in T(0,\rho)$、$z\in K$ では $|z_j/\zeta_j|\le q_j< 1$ なので、等比級数により
$$ \frac{1}{\prod_j(\zeta_j-z_j)}=\prod_{j=1}^n\sum_{k=0}^\infty\frac{z_j^{k}}{\zeta_j^{k+1}}=\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n}\frac{z^\alpha}{\zeta^{\alpha+\mathbf 1}} $$
であり、各項は $\Bigl|\frac{z^\alpha}{\zeta^{\alpha+\mathbf 1}}\Bigr|\le\frac{q^\alpha}{\rho_1\cdots\rho_n}$ を満たす。$\sum_\alpha q^\alpha=\prod_j\frac1{1-q_j}< \infty$ なので、この級数は $T(0,\rho)\times K$ の上で一様に絶対収束し、$f(\zeta)$ を掛けて項別に積分できる。よって
$$ f(z)=\sum_\alpha c_\alpha z^\alpha,\qquad c_\alpha:=\frac1{(2\pi i)^n}\int_{T(0,\rho)}\frac{f(\zeta)}{\zeta^{\alpha+\mathbf 1}}\,d\zeta_1\cdots d\zeta_n $$
である。$T(0,\rho)$ の各点で $|f(\zeta)\zeta^{-\alpha-\mathbf 1}\prod_j(i\zeta_j)|= |f(\zeta)|\rho^{-\alpha}\le M\rho^{-\alpha}$ なので $|c_\alpha|\le M\rho^{-\alpha}$ であり、$\sup_K|c_\alpha z^\alpha|\le Mq^\alpha$ となって級数は $K$ 上で正規収束する。最後に、cor-pdisc-derivatives で $z=0$ とおくと $\partial^\alpha f(0)=\alpha!\,c_\alpha$ である。特に係数 $c_\alpha$ は $\rho$ の選び方によらない。

1. prf-pdisc-series の評価 $|c_\alpha|\le M\rho^{-\alpha}$（$\rho_j< r_j$ は任意）で $\rho\to r$ とすればよい。2. $|f|\le M$ とし、1 を $a=0$、$r=(R,\dots,R)$ に使うと $|\partial^\alpha f(0)|\le M\alpha!R^{-|\alpha|}$ である。$|\alpha|\ge1$ なら $R\to\infty$ で右辺は $0$ に近づくので $\partial^\alpha f(0)=0$ であり、thm-pdisc-series（$r_j=\infty$）により $f(z)=f(0)$ である。

要点：コンパクト集合の上で $|c_\alpha z^\alpha|\le Mq^\alpha$（$q_j<1$）と押さえ、正則性は 1 変数の Weierstrass の定理を変数ごとに使う。

要点：$g^m$ に Cauchy の積分公式を使って $|g(w)|^m\le CM^m$ とし、$m$ 乗根をとって $m\to\infty$ とする。

要点：lem-pdisc-one-variable を第 1 変数から順に使い、変数を 1 つずつ円周 $|\zeta_j-a_j|=r_j$ の上へ動かすと、$|f(z)|\le|f(\zeta)|$ となる $\zeta\in T(a,r)$ が得られる。

要点：正則関数 $g$ では $\partial_{z_i}\partial_{\bar z_i}|g|^2=|\partial_{z_i}g|^2$ なので、$\sum_j|G_j|^2$ が定数なら導関数がすべて消える。

1. 原点を通る各半直線の上で、最大値ノルムで測った長さと Euclid ノルムで測った長さを取り替える写像が同相写像を与える。
   詳細

   $\| z\|_\infty=\max_j|z_j|$、$\| z\|_2=(\sum_j|z_j|^2)^{1/2}$ とし、$\varphi(z):=\frac{\| z\|_\infty}{\| z\|_2}z$（$z\ne0$）、$\varphi(0)=0$ とおく。$\|\varphi(z)\|_2=\| z\|_\infty$ なので $\varphi$ は $\mathbb{D}^n$ を $\mathbb{B}_n$ に写し、$\psi(u):=\frac{\| u\|_2}{\| u\|_\infty}u$（$u\ne0$）、$\psi(0)=0$ が逆写像である。$\psi(\varphi(z))=z$、$\varphi(\psi(u))=u$ は直接確かめられる。$\varphi$、$\psi$ は原点以外で連続で、$\|\varphi(z)\|_2=\| z\|_\infty$、$\|\psi(u)\|_\infty=\| u\|_2$ なので原点でも連続である。よって $\varphi$ は同相写像である。

2. 固有な正則写像 $F$ があったとして矛盾を導く。$z=(z',w)$（$z'\in\mathbb{D}^{n-1}$、$w\in\mathbb{D}$）と書く。
   段 1（境界に近い $w$ での極限）．$w_k\in\mathbb{D}$、$|w_k|\to1$ とし、$G_k(z'):=F(z',w_k)$ とおく。$G_k$ は $\mathbb{D}^{n-1}$ 上の正則写像で $|G_k|< 1$ なので、Montel の定理（Hor90 Corollary 2.2.5、p. 26。各成分に使う。この記事では証明しない）により、部分列が $\mathbb{D}^{n-1}$ のコンパクト集合上で一様にある正則写像 $G$ に収束する。各 $z'$ で $\| G_k(z')\|_2\to1$ である。実際そうでなければ、ある $\rho< 1$ と部分列で $F(z',w_k)\in\{\| u\|_2\le\rho\}$ となるが、この閉球の逆像はコンパクトで、コンパクト集合の上では $|w|$ は $1$ より小さい最大値をもつから、$|w_k|\to1$ に反する。よって $\| G\|_2\equiv1$ であり、lem-pdisc-sphere により $G$ は定数である。
   段 2（導関数の消滅）．$i\le n-1$、$z'_0\in\mathbb{D}^{n-1}$ を固定し、$\overline{\Delta}(z'_0,(\rho,\dots,\rho))\subset\mathbb{D}^{n-1}$ となる $\rho>0$ をとる。cor-pdisc-estimates を $G_k-G$ に使うと $|\partial_{z_i}(G_k-G)(z'_0)|\le\rho^{-1}\max_{\overline{\Delta}(z'_0,\rho)}\| G_k-G\|$ であり、右辺は $0$ に近づく。$\partial_{z_i}G=0$ なので、部分列について $\partial_{z_i}F(z'_0,w_k)\to0$ である。
   段 3（$F$ は $z'$ によらない）．$h(w):=\partial_{z_i}F_j(z'_0,w)$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数である（cor-pdisc-derivatives）。段 1・2 は任意の列 $|w_k|\to1$ の任意の部分列に使えるので、$|w|\to1$ のとき $h(w)\to0$ である。$|w|< \rho< 1$ なら lem-pdisc-one-variable により $|h(w)|\le\max_{|\zeta|=\rho}|h(\zeta)|$ で、右辺は $\rho\to1$ で $0$ に近づくから $h\equiv0$ である。$i,j,z'_0$ は任意なので $\mathbb{D}^n$ 上で $\partial_{z_i}F=0$（$i\le n-1$）であり、$t\mapsto F(tz',w)$（$0\le t\le1$）の導関数は $\sum_{i\le n-1}z'_i\,\partial_{z_i}F(tz',w)=0$ だから $F(z',w)=F(0,w)$ である。
   段 4（矛盾）．$L:=F(\{0\}\times\{|w|\le\frac12\})$ は $\mathbb{B}_n$ のコンパクト集合で、段 3 により $F^{-1}(L)\supset\mathbb{D}^{n-1}\times\{|w|\le\frac12\}$ である。点列 $(1-\frac1k,0,\dots,0)$ はこの集合に含まれるが、$\mathbb{D}^n$ の中に収束する部分列をもたない。よって $F^{-1}(L)$ はコンパクトでなく、$F$ が固有であることに反する。

要点：非 Archimedes 的な絶対値では、級数が収束することと項が $0$ に近づくことが同値になる。