Siegelの定理(整数点)

前提知識: Diophantus幾何学, 楕円曲線, 種数, 代数体

Siegelの定理（Siegel's theorem on integral points）とは、代数体 $K$ 上の滑らかなアフィン曲線 $C$ について、$C$ の非特異射影モデルの種数 $g$ が $1$ 以上であるか、$g=0$ で無限遠点が $3$ つ以上あるならば、$C$ の整数点（座標がすべて $K$ の整数、より一般に $S$ 整数である点）は有限個しかない、という定理である。C. L. Siegel が示した。条件は「$2g-2+r>0$」（$r$ は無限遠点の個数）とまとめて書ける。
たとえば、$0$ でない整数 $k$ について方程式 $y^2=x^3+k$ の整数解は有限個であり、重根のない $3$ 次以上の整数係数の二元形式 $F$ と $0$ でない整数 $m$ についての方程式 $F(x,y)=m$ の整数解も有限個である。一方、Pell 方程式 $x^2-2y^2=1$ は整数解を無限個もつ。これは $g=0$、$r=2$ の曲線で、定理の条件をみたさない。
種数 $1$ の曲線では、有理点は無限個ありうる（Mordell–Weilの定理 の群の階数が正の場合）。Siegel の定理は、それでも「分母のない点」は有限個しかないことを主張する。種数 $2$ 以上では、有理点そのものが有限個であるという、より強い Faltingsの定理 がある。この記事では、$S$ 整数と整数点を定義し、整数点が有限個かどうかは曲線の方程式のとり方によらないことを示したうえで、定理を述べる。種数 $0$ の場合は $S$ 単数方程式に帰着して証明し、種数 $1$ 以上の場合は証明の筋を述べる。一般の場合の証明はこの記事では与えない。

$S$ 整数と整数点

以下 $K$ を 代数体、$\mathcal{O}_K$ をその整数環とし、$S$ を $K$ の素点の有限集合で、無限素点（実埋め込みと、複素埋め込みの共役の組）をすべて含むものとする。$\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ を有限素点と同一視し、$v_{\mathfrak{p}}$ で $\mathfrak{p}$ 進付値を表す。

$x\in K^\times$ が $S$ 単数であることは、$\mathfrak{p}\notin S$ となるすべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(x)=0$ であることと同値である。$K=\mathbb{Q}$ では、$S=\{\infty\}$ なら $\mathcal{O}_{K,S}=\mathbb{Z}$、$\mathcal{O}_{K,S}^\times=\{\pm1\}$ であり、$S=\{\infty,2\}$ なら $\mathcal{O}_{K,S}=\mathbb{Z}[1/2]=\{a/2^k\mid a\in\mathbb{Z},\ k\ge0\}$、$\mathcal{O}_{K,S}^\times=\{\pm2^k\mid k\in\mathbb{Z}\}$ である。この定義は Voj11 §12 冒頭（(12.1)、p. 153）のものである。
整数点の集合は、曲線を表す方程式の選び方で変わる。たとえば有理数の点 $1/3$ は、$\mathbb{A}^1$ の座標 $x$ では整数点でないが、$x\mapsto3x$ で移した曲線では整数点になる。1 点だけなら、どんな有理点も埋め込みを取り替えれば整数点にできる（Voj11 §12、p. 153）。それでも、整数点が有限個かどうかは埋め込みによらない。

この補題により、「どの $S$ についても $S$ 整数点が有限個」という性質は、曲線 $C$ の $K$ 上の多様体としての同型類だけで決まる。Siegel の定理の仮定（種数と無限遠点の個数）も同型類で決まる量である。

種数と無限遠点

アフィン曲線 $C\subset\mathbb{A}^n_K$ が滑らかであるとは、$\overline{K}$ 上で既約で、$\overline{K}$ 上のすべての点で非特異であることをいう。このとき $C$ と双有理同値な $\overline{K}$ 上の非特異射影曲線 $\overline{C}$ が同型を除いて一意に定まり（非特異射影曲線と関数体の圏同値 の系「圏同値の帰結」の 3）、$C$ の各点は $\overline{C}$ の点に対応して、$C(\overline{K})$ は $\overline{C}(\overline{K})$ の補集合が有限の部分集合とみなせる（同じ記事の命題「閉点と素点の対応」）。

$C$ がアフィンなら $r\ge1$ である。$C$ の座標関数のどれかは定数でなく、射影曲線の上の至る所正則な関数は定数なので、その座標関数は $\overline{C}$ のどこかに極をもち、その極は $C$ の外にある。
平面曲線では計算が簡単である。$C\subset\mathbb{A}^2$ が $f(x,y)=0$ で与えられ、射影閉包 $\widetilde{C}\subset\mathbb{P}^2$（$f$ を同次化して得られる曲線）が非特異なら、$\overline{C}=\widetilde{C}$ であり、無限遠点は $\widetilde{C}$ と無限遠直線 $Z=0$ の交点、種数は $f$ の次数 $d$ によって $(d-1)(d-2)/2$ である（種数公式(平面曲線) の定理「平面曲線の種数公式」の 2）。この記事で使う曲線を表にまとめる。確かめは表の下にある。

主定理

条件 $2g-2+r>0$ は、$\overline{C}$ の複素数の点のなす閉曲面から $r$ 点を除いた曲面の Euler 標数 $2-2g-r$ が負であることにあたる。除外される曲線は、$g=0$ で $r=1$ または $2$ のもの、すなわち $\overline{K}$ 上で $\mathbb{A}^1$ か $\mathbb{A}^1\setminus\{0\}$ と同型なものだけである（$g=0$ なら $\overline{K}$ 上で $\overline{C}\cong\mathbb{P}^1$ であり、$\mathbb{P}^1$ の 1 次分数変換は相異なる 2 点を $0,\infty$ に送れる）。それらの整数点は、次節で見るように、無限個にも有限個にもなりうる。

種数 0 の場合

無限遠点が 2 つ以下の曲線

$g=0$、$r\le2$ の曲線では、整数点が有限かどうかは $K$ と $S$ と曲線の算術によって変わる。

このように $r=2$ では、無限遠点が $K$ 上に定義されるか、$S$ がどれだけ大きいかで結論が変わる。$x^2+y^2=1$ の無限遠点 $[1:\pm i:0]$ は実数の点でなく、実数の点の集合が有界なので、$S=\{\infty\}$ では整数点が有限になる。

無限遠点が 3 つ以上の曲線

最も簡単な曲線は、$\mathbb{P}^1$ から $3$ 点 $0,1,\infty$ を除いたものである。これを $\mathbb{A}^3$ の曲線
$$ U:\quad xy=1,\qquad (1-x)z=1 $$
として表す。$U$ の点は $x\in K\setminus\{0,1\}$ と 1 対 1 に対応し（$y=1/x$、$z=1/(1-x)$）、射影 $(x,y,z)\mapsto x$ は $U$ と $\mathbb{A}^1\setminus\{0,1\}$ の同型を与えるので、$U$ は滑らかで $g=0$、無限遠点は $0,1,\infty$ の $r=3$ 個である。

$u+v=1$ の $S$ 単数解の有限性は Sil09 Theorem IX.4.1（p. 282）にもある。小さい $S$ では解を書き出せる。

次の命題は、種数 $0$ の場合の主定理を prop-sie-three-points に帰着する。

この証明が実際に使った深い道具は、$S$ 単数定理だけである。種数 $0$ で $r\le2$ のときに同じ議論が通らないのは、$\mathbb{P}^1$ から 1 点を除いた曲線（$\mathbb{A}^1$）の整数点は $\mathcal{O}_{K,S}$ 全体になりえ、2 点を除いた曲線の整数点の集合は有限個の $S$ 単数の剰余類に含まれ、$S$ 単数の群は一般には無限群だからである（Voj11 §13 冒頭、p. 156）。

種数 1 以上の場合

例

この例は Sil09 Proposition IX.7.1 (a)（p. 296）にある。同所の (b) は、$y^2=x^3-2$ の整数解が $(3,\pm5)$ だけであること（Fermat）を述べる。こうした個別の方程式は初等的に解けることがあるが、一般の $k\ne0$ について $y^2=x^3+k$ の整数解が有限個であることは、Siegel の定理（$g=1$、$r=1$）によって初めて言える（Sil09 Example IX.3.3、p. 278）。

$F$ が既約な場合は、近似の定理から直接示す Thueの定理(ディオファントス方程式) がこの例の内容である。$m=0$ を除いたのは、曲線 $F(x,y)=0$ が直線の和になり、滑らかな既約曲線でないからである。

証明の筋

一般の $g\ge1$ の場合の証明は長いので、筋だけを述べる。どちらの筋も、この記事では証明しない。

1. Siegel の方法（Diophantus 近似）．楕円曲線 $E$ で説明する（Sil09 §IX.3、pp. 275–281）。$x$ 座標が $S$ 整数である点 $P_1,P_2,\dots$ が無限個あるとすると、1 つの $x$ 座標をもつ点は高々 2 つなので $x(P_i)$ は無限個の値をとり、Northcottの定理 によりそれらの高さは有界でない。$x(P_i)$ は $S$ の外では分母をもたないので、高さはすべて $S$ の素点での大きさから来る。したがってある $v\in S$ で $\lvert x(P_i)\rvert_v$ が高さに比例して大きくなり、$P_i$ は $v$ 進位相で原点に「高さに比べて速く」近づく。一方、Mordell–Weilの定理 の弱い形（$E(K)/mE(K)$ が有限）により $P_i=mQ_i+R$（$R$ は有限個の代表元の 1 つ）と書け、$m$ 倍写像で高さはほぼ $m^2$ 倍になる。これを Rothの定理 の代数体版と組み合わせると、近づく速さは高さの任意の正の定数倍より遅いことが示され（Sil09 Theorem IX.3.1、p. 276）、矛盾する。
2. 3 点への帰着．$C$ を Jacobi多様体 に埋め込み、$2$ 倍写像で引き戻すと、$C$ の不分岐な被覆 $C'\to C$ で次数が $4$ 以上のものが得られ、$C'$ の無限遠点は $3$ つ以上になる。Chevalley–Weil の定理により、$C$ の整数点は一定の有限次拡大の上の $C'$ の整数点に持ち上がり、$C'$ には $r\ge3$ の場合（Corvaja–Zannier の証明）が使える（Voj11 §12 末尾 p. 156、§19 の Theorem 19.1 の証明の後、p. 172）。

有効性

Siegel の証明は、整数点の座標の大きさの上界を計算できる形では与えない（非有効）。楕円曲線の場合、証明を追うと解の個数の上界は計算できるが、解そのものを見つける手順にはならない（Sil09 Remark IX.3.4、p. 279）。有理数体上の楕円曲線については、Baker の対数の 1 次形式の理論により、整数点の座標の大きさを係数だけで明示的に抑える有効な上界が得られている（Sil09 Theorem IX.5.8、p. 291）。

反例と注意

主定理の仮定を 1 つずつ外すと、結論は成り立たなくなる。確かめは表の下にある。

注意を 2 つ挙げる。

• 有理点との差．$g=1$ の曲線では有理点が無限個になりうるので（2 行目）、Siegel の定理は「整数であること」を本質的に使う。$g\ge2$ では Faltingsの定理 により有理点自体が有限個で、Siegel の定理はその帰結になる（Sil09 p. 281）。
• $S$ を有限にとること．$S$ がすべての素点からなれば $\mathcal{O}_{K,S}=K$ で、整数点は有理点と同じになる。定理は $S$ が有限のときの主張である。

関連項目

• 前提: Diophantus幾何学, 楕円曲線, 種数, 代数体
• 比較: Faltingsの定理, Mordell–Weilの定理, Thueの定理(ディオファントス方程式), Pellの方程式
• 直後に読む: Schmidtの部分空間定理, Northcottの定理
• 発展: Rothの定理, Vojta予想