球面上のベクトル束の分類

1：赤道から離れた点の近くでは、片側の $D_\pm\times\mathbb F^k$ の座標がそのまま局所自明化である。赤道の近傍 $A:=\{x\in S^n\mid|x_{n+1}|<1/2\}$ では、$r(x):=(x_1,\dots,x_n)/|(x_1,\dots,x_n)|\in S^{n-1}$ を使って、$(x,v)_+\mapsto(x,v)$、$(x,w)_-\mapsto(x,f(r(x))w)$ と定める。赤道では $(x,w)_-$ と $(x,f(x)w)_+$ の像がともに $(x,f(x)w)$ なので矛盾なく定まり、2 つの閉集合の上で連続なので連続である。逆写像も同じ式の逆で与えられ、$A\times\mathbb F^k$ との同相でファイバーごとに $\mathbb F$ 線形である。

2：$E_{f'}\to E_f$ を $(x,v)_+\mapsto(x,a_+(x)^{-1}v)_+$、$(x,w)_-\mapsto(x,a_-(x)^{-1}w)_-$ で定める。赤道では $(x,w)_-$ の像 $(x,a_-^{-1}w)_-$ は $(x,fa_-^{-1}w)_+$ と同一視され、$(x,f'w)_+$ の像は $(x,a_+^{-1}f'w)_+=(x,fa_-^{-1}w)_+$ なので両立する。逆写像は $a_\pm$ を掛ける同じ形の写像である。定数の場合は $a_+=c$ または $a_-=c^{-1}$、あるいは $a_+=a_-=c$ とすればよい。

3：ホモトピー $H\colon S^{n-1}\times[0,1]\to\mathrm{GL}_k(\mathbb F)$、$H(\cdot,0)=f$、$H(\cdot,1)=f'$ をとり、$D_+=B^n$ の上で $a_+(\rho x):=H(x,\rho)f(x)^{-1}$（$x\in S^{n-1}$、$\rho\in[0,1]$）とおく。$\rho=0$ では $x$ によらず $I$ であり、$(x,\rho)\mapsto\rho x$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への閉写像なので商写像であるから、$a_+$ は連続である。赤道では $a_+f=f'$ なので、2（$a_-=I$）により $E_{f'}\cong E_f$ である。

4：$((x,v)_\pm,(x,w)_\pm)\mapsto(x,(v,w))_\pm$ が同型を与える。

5：$D_\pm$ はコンパクトで可縮なので $E|_{D_\pm}$ は自明である。$\mathbb F=\mathbb R,\mathbb C$ では ベクトル束 の定理「ホモトピー不変性と分類」の 1 による。$\mathbb H$ の場合も含めて、$E$ の枠（$\mathbb F^k$ からファイバーへの $\mathbb F$ 線形同型）全体は主 $\mathrm{GL}_k(\mathbb F)$ 束であり、パラコンパクト Hausdorff で可縮な $D_\pm$ の上の主束は自明である（主束の分類定理 の系「パラコンパクト Hausdorff 空間の上の主束」と定理「引き戻しのホモトピー不変性」）から、その大域切断が大域的な枠を与える。自明化 $\varphi_\pm\colon E|_{D_\pm}\to D_\pm\times\mathbb F^k$ をとると、赤道の上で $\varphi_+\varphi_-^{-1}(x,w)=(x,f(x)w)$ となる連続な $f$ があり、$(x,v)_+\mapsto\varphi_+^{-1}(x,v)$、$(x,w)_-\mapsto\varphi_-^{-1}(x,w)$ は同型 $E_f\to E$ である（赤道で両立し、逆写像は $\varphi_\pm$ を貼り合わせたもの）。最後に 2 で $f$ を $f(x_0)^{-1}f$ に替えれば正規化される。$\square$

$S^1$ は cor-vbs-groups の 4。$S^3$ は $\pi_2=0$ による。$S^2$：実 $k=1$ は $SO(1)=\{1\}$、$k\ge3$ は $\pi_1(SO(k))\cong\mathbb Z/2$ の自己同型が恒等写像しかないこと、$k=2$ は $r=\operatorname{diag}(1,-1)$ について $r\,R_\theta\,r^{-1}=R_{-\theta}$（$R_\theta$ は角 $\theta$ の回転）による。複素は $\pi_1(U(k))\cong\mathbb Z$、四元数は $\pi_1(\mathrm{Sp}(k))=0$ である。

$S^4$：実 $k\le2$ は $\pi_3(SO(1))=\pi_3(SO(2))=0$、$k=3$ は奇数、$k\ge5$ は $k\ge n+1$ による（いずれも cor-vbs-groups の 3）。複素は $\pi_3(U(1))=0$、$\pi_3(U(k))\cong\mathbb Z$（$k\ge2$）、四元数は $\pi_3(\mathrm{Sp}(k))\cong\mathbb Z$ である。$k=4$：$\kappa L_x\kappa(z)=\overline{x\bar z}=z\bar x$、$\kappa C_x\kappa(z)=\overline{x\bar z\bar x}=xz\bar x$ なので、$\kappa L_x\kappa^{-1}=R_{\bar x}$、$\kappa C_x\kappa^{-1}=C_x$ である。共役 $\phi(x)=\bar x$ は $\pi_3(S^3)$ で $-[\mathrm{id}]$ を表すので、写像 $u\colon S^3\to SO(4)$ について $[u\circ\phi]=u_*[\phi]=-[u]$ であり、$[x\mapsto R_{\bar x}]=-[x\mapsto R_x]=-(s-g)$ である（最後は同じ命題の 3）。よって $s\mapsto g-s$、$g\mapsto g$ である。$\square$

$y':=y-(y\cdot w)w$ とおくと $|y'|^2=1-(y\cdot w)^2$ で、$$Q_+(y)=I-\frac{y'y'^{\mathsf T}+|y'|^2\,ww^{\mathsf T}}{1+y\cdot w}+y'w^{\mathsf T}-wy'^{\mathsf T}$$と書ける。$y=\cos\phi\,w+\sin\phi\,u$（$u\perp w$ は単位ベクトル）とすれば、これは平面 $\langle w,u\rangle$ の角 $\phi$ の回転 $I+(\cos\phi-1)(ww^{\mathsf T}+uu^{\mathsf T})+\sin\phi\,(uw^{\mathsf T}-wu^{\mathsf T})$ と一致する。分母は $y\cdot w\ge0$ の範囲で $1$ 以上である。

lem-vbs-basic の 4 により $E_f\oplus\varepsilon^1\cong E_{f\oplus1}$ である。$[f]\mapsto[f\oplus1]$ は包含 $G_k\to G_{k+1}$ の誘導する写像 $\pi_{i-1}(G_k)\to\pi_{i-1}(G_{k+1})$ である（$i=1$ でも cor-vbs-groups の 4 の証明と同じく $\pi_0$ の写像）。実の場合、$r_{k+1}:=\operatorname{diag}(1,\dots,1,-1)$ は $f\oplus1$ と可換なので、$\pi_{i-1}(O(k))$ の元の像は共役の作用で動かない。したがって thm-vbs-main と cor-vbs-groups により、$\widetilde V_{\mathbb F}(S^i)$ は帰納極限 $\operatorname{colim}_k\pi_{i-1}(G_k(\mathbb F))$ と一対一に対応し、古典群のホモトピー群 の系「何段も上の群への包含」により $k\ge i+1$ ではこれは $\pi_{i-1}(G_k(\mathbb F))$ に等しい（$G_k$ の安定域は $i-1\le c(k+1)-3$ を含み、$c\ge1$ なら $k\ge i+1$ で足りる）。

和：lem-vbs-basic の 4 により $E_f\oplus E_h\cong E_{f\oplus h}$ であり、$f\oplus h=(f\oplus I)(I\oplus h)$ は点ごとの積なので、古典群のホモトピー群 の補題「点ごとの積と和」の 1 により（$i=1$ では $\pi_0$ の群の積の定義により）$[f\oplus h]=[f\oplus I]+[I\oplus h]$ である。ブロックを入れ替える置換行列 $P$ について $I\oplus h=P(h\oplus I)P^{-1}$ であり、上で見たとおり安定化したあとでは共役の作用は自明なので、$[I\oplus h]$ は $[h]$ の像に等しい。よって $\oplus$ は帰納極限の群の和に対応し、$\widetilde V_{\mathbb F}(S^i)$ は可換群である。

値：$\pi_{i-1}(G_k)$（$k$ が大きいとき、$i-1=0,1,2,3$）は、$O$ で $\mathbb Z/2,\mathbb Z/2,0,\mathbb Z$、$U$ で $0,\mathbb Z,0,\mathbb Z$、$\mathrm{Sp}$ で $0,0,0,\mathbb Z$ である（古典群のホモトピー群 の定理「低い次数のホモトピー群の表」）。生成元：$\pi_1(SO(2))\to\pi_1(SO(3))$ は全射、$\pi_3(SO(5))$ は $s=[x\mapsto L_x]$ の像で生成され（同じ記事の命題「5 次元の回転群と境界写像」）、$\pi_3(SU(2))\to\pi_3(U(k))$ と $\pi_3(\mathrm{Sp}(1))\to\pi_3(\mathrm{Sp}(k))$ は同型である。$i=0$：$S^0$ の上の束は 2 点での階数の組 $(a,b)$ で決まり、安定同値類は $a-b\in\mathbb Z$ で決まる。$\square$