Mittag-Lefflerの問題(コンパクトRiemann面)

$\eta$ の極を $p_1,\dots,p_k$ とし、$p_i$ を中心とする座標円板 $D_i=\{\lvert z_i\rvert< \varepsilon\}$ を、閉包が互いに交わらないようにとる。$X':=X\setminus\bigcup_iD_i$ は境界つきのコンパクトな曲面で、その上で $\eta$ は正則である。局所座標で $\eta=h\,dz$ と書くと $d\eta=\frac{\partial h}{\partial\bar z}d\bar z\wedge dz=0$ である。Stokesの定理 の定理「Stokes の定理」により、$X'$ の境界は各 $\partial D_i$ を逆向きにたどったものなので
$$ 0=\int_{X'}d\eta=-\sum_{i=1}^k\oint_{\lvert z_i\rvert=\varepsilon}\eta=-2\pi i\sum_{i=1}^k\operatorname{Res}_{p_i}\eta $$
である（円周は反時計回り）。$\square$

$U_p$ どうしは交わらないので、$D_p\setminus\{p\}$ の上では $s=h_p$ であり、$h_p$ は正則なので $\bar\partial s=0$ である。よって $\beta$ は $\bigcup_pD_p$ の上で $0$ になり、$X$ の上で滑らかである。$X':=X\setminus\bigcup_pD_p$ とおく。$\omega$ は正則なので、局所座標で $\omega=c\,dz$ と書くと $\partial s\wedge\omega=\frac{\partial s}{\partial z}c\,dz\wedge dz=0$、$d\omega=0$ であり、$X'$ の上で
$$ d(s\,\omega)=ds\wedge\omega+s\,d\omega=\bar\partial s\wedge\omega=\beta\wedge\omega $$
である。$\beta$ は $D_p$ の上で $0$ なので、Stokes の定理と lem-mlr-residue-theorem の証明と同じ向きの計算により
$$ \int_X\beta\wedge\omega=\int_{X'}d(s\,\omega)=-\sum_{p\in S}\oint_{\lvert z_p\rvert=\varepsilon}h_p\,\omega=-2\pi i\sum_{p\in S}\operatorname{Res}_p(h_p\,\omega)=-2\pi i\,\langle\alpha,\omega\rangle $$
である。$\square$

必要性．$f$ を $\alpha$ の解とし、$\omega\in\Omega(X)$ とする。$f\omega$ は有理型の 1 形式であり、各 $p$ で $f-h_p$（$h_p$ は $\alpha_p$ の代表）は $p$ の近くで正則なので、$\operatorname{Res}_p(f\omega)=\operatorname{Res}_p(h_p\omega)$ である。lem-mlr-residue-theorem により $\langle\alpha,\omega\rangle=\sum_p\operatorname{Res}_p(f\omega)=0$ である。
十分性．すべての $\omega\in\Omega(X)$ で $\langle\alpha,\omega\rangle=0$ とする。lem-mlr-integral の $s$ と $\beta$ をとると、すべての $\omega$ で $\int_X\beta\wedge\omega=0$ なので、rem-mlr-cited により滑らかな関数 $u$ で $\bar\partial u=\beta$ となるものがある。$f:=s-u$ とおく。$X\setminus S$ の上で $\bar\partial f=\beta-\beta=0$ なので、$f$ はそこで正則である。各 $p\in S$ について、$D_p$ の上で $\bar\partial u=\beta=0$ なので $u$ は $D_p$ で正則であり、$D_p\setminus\{p\}$ の上で $f=h_p-u$ である。したがって $f$ は $p$ で有理型で、主部は $\alpha_p$ である。よって $f\in\mathcal M(X)$、$\operatorname{pp}(f)=\alpha$ である。
一意性．$f_1,f_2$ が解なら、$f_1-f_2$ はどの点でも主部が $0$ なので、除去可能特異点を除いて $X$ 全体で正則な関数である。有理型関数の存在 の命題「コンパクト面上の正則関数」により定数である。逆に解に定数を足したものも解である。$\square$

核が $\operatorname{pp}(\mathcal M(X))$ であることは thm-mlr-main そのものである。全射性：$\Omega(X)$ は有限次元なので、像が真の部分空間なら、それを消す $0$ でない $\omega\in\Omega(X)$ がある。$\omega(p)\ne0$ となる点 $p$ と、$p$ を中心とする座標 $z$ をとり、$\omega=c(z)\,dz$（$c(0)\ne0$）と書く。$p$ での主部 $z^{-1}$ だけからなる指定を $\alpha$ とすると $\langle\alpha,\omega\rangle=\operatorname{Res}_p(c(z)z^{-1}dz)=c(0)\ne0$ であり、矛盾する。
後半：$\delta(\alpha):=[\beta]\in H^{0,1}(X)$ とおく。座標・代表・切り取り関数を取り替えて $s'$、$\beta'$ を得たとすると、各 $p$ の近くで $s$ と $s'$ はどちらも $\alpha_p$ の代表に等しいので、その差は正則な芽であり、$s-s'$ は $X$ 全体の滑らかな関数に延びる。$\beta-\beta'=\bar\partial(s-s')$ なので $\delta$ は選び方によらない。同じ座標と切り取り関数を使えば $s$ は $\alpha$ について線形なので $\delta$ は線形である。lem-mlr-integral により、$\delta$ と Serre の対による同型 $H^{0,1}(X)\cong\Omega(X)^*$（rem-mlr-cited）の合成は $-2\pi i\,\Phi$ であり、$\Phi$ は全射で核は $\operatorname{pp}(\mathcal M(X))$ なので、$\delta$ も全射で核は $\operatorname{pp}(\mathcal M(X))$ である。最後の同型 $H^{0,1}(X)\cong H^1(X,\mathcal O)$ は Dolbeaultの定理 の定理「Dolbeault の定理」による。$\square$

$p$ を中心とする座標 $z$ を固定し、$p$ での主部 $\sum_{k=1}^{g+1}a_kz^{-k}$ からなる指定の空間を $V$ とする。$V$ は $g+1$ 次元で $\Omega(X)^*$ は $g$ 次元なので、$\Phi|_V$ の核に $0$ でない $\alpha$ がある。thm-mlr-main により $\alpha$ の解 $f$ があり、$f$ は $p$ に極をもつので定数でない。$g=0$ なら $\Omega(X)=0$ なので、主定理の条件は自動的に成り立つ。$\square$