sin kxとcos kxの和

$\cos\dfrac\pi2=0$、$\cos\pi=-1$、$\cos\dfrac{3\pi}2=0$ なので
$$ \cos\frac\pi2+\cos\pi+\cos\frac{3\pi}2=0+(-1)+0=-1 $$
である。
次に、$x$ を文字のまま扱う。積和の公式 $2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$ で $\alpha=\dfrac x2$、$\beta=kx$ とおくと、$\sin(-\theta)=-\sin\theta$ から
$$ 2\sin\frac x2\cos kx=\sin\frac{(2k+1)x}2-\sin\frac{(2k-1)x}2 $$
となる。$k=1,2,3$ を入れて足すと
$$ \begin{aligned} 2\sin\frac x2\,(\cos x+\cos2x+\cos3x) &=\Bigl(\sin\frac{3x}2-\sin\frac x2\Bigr)+\Bigl(\sin\frac{5x}2-\sin\frac{3x}2\Bigr)+\Bigl(\sin\frac{7x}2-\sin\frac{5x}2\Bigr)\\ &=\sin\frac{7x}2-\sin\frac x2 \end{aligned} $$
である。$\sin\dfrac{3x}2$ と $\sin\dfrac{5x}2$ が、正と負で 1 回ずつ現れて消えた。$x=\dfrac\pi2$ を入れると、左辺は $2\sin\dfrac\pi4\times(\text{求める和})=\sqrt2\times(\text{求める和})$、右辺は $\sin\dfrac{7\pi}4-\sin\dfrac\pi4=-\dfrac{\sqrt2}2-\dfrac{\sqrt2}2=-\sqrt2$ なので、和は $-1$ である。直接計算した値と一致する。

$\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$、$\sin\dfrac{2\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2$、$\sin\pi=0$、$\sin\dfrac{4\pi}3=-\dfrac{\sqrt3}2$ なので、和は
$$ \frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt3}2+0-\frac{\sqrt3}2=\frac{\sqrt3}2 $$
である。この値は、後の thm-ssc-main の式 $\dfrac{\sin\frac{nx}2\sin\frac{(n+1)x}2}{\sin\frac x2}$ に $n=4$、$x=\dfrac\pi3$ を入れた $\dfrac{\sin\frac{2\pi}3\sin\frac{5\pi}6}{\sin\frac\pi6}=\dfrac{\frac{\sqrt3}2\cdot\frac12}{\frac12}=\dfrac{\sqrt3}2$ と一致する。

1. $n=6$、$x=\dfrac\pi3$：$C_6\left(\dfrac\pi3\right)=\dfrac{\sin\pi\cos\frac{7\pi}6}{\sin\frac\pi6}=0$ である。実際、6 つの項は $\dfrac12,\ -\dfrac12,\ -1,\ -\dfrac12,\ \dfrac12,\ 1$ で、足すと
   $$ \frac12-\frac12-1-\frac12+\frac12+1=\boxed{0} $$
   である。
2. $n=10$、$x=1$（弧度）：$C_{10}(1)=\dfrac{\sin5\cos\frac{11}2}{\sin\frac12}=-1.41744\ldots$、$S_{10}(1)=\dfrac{\sin5\sin\frac{11}2}{\sin\frac12}=1.41118\ldots$ である。10 項を 1 つずつ足した値と一致する（数値計算で小数第 12 位まで確かめた）。
   例 1 の値を主定理で確かめる

   $n=3$、$x=\dfrac\pi2$：$C_3\left(\dfrac\pi2\right)=\dfrac{\sin\frac{3\pi}4\cos\pi}{\sin\frac\pi4}=\dfrac{\frac{\sqrt2}2\cdot(-1)}{\frac{\sqrt2}2}=-1$ で、ex-ssc-first-direct の値と一致する。

$n\ge2$ とし、$x=\dfrac\pi n$ で、和を $k=1$ から $n-1$ までとる。主定理で $n$ を $n-1$ に替えると
$$ \sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}n=\frac{\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\,\sin\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2n}}=\frac{\cos\frac{\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}=\frac1{\tan\frac{\pi}{2n}} $$
である（$\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac\pi2-\frac\pi{2n}$ と $\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)=\cos\theta$ を使った）。

• $n=3$：左辺は $\sin\dfrac\pi3+\sin\dfrac{2\pi}3=\sqrt3$、右辺は $\dfrac1{\tan\frac\pi6}=\sqrt3$ である。
• $n=4$：左辺は $\dfrac{\sqrt2}2+1+\dfrac{\sqrt2}2=1+\sqrt2$、右辺は $\dfrac1{\tan\frac\pi8}=1+\sqrt2$ である。
  区分求積との関係を開く

  両辺に $\dfrac\pi n$ を掛けた $\dfrac\pi n\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}n$ は、$\int_0^\pi\sin x\,dx=2$ を区分求積で近似した和である（$k=n$ の項 $\sin\pi$ は $0$ なので、入れても同じ）。この値は $n=10$ で $1.98352\ldots$、$n=100$ で $1.99983\ldots$ である。$n\to\infty$ では、$\theta=\dfrac\pi{2n}$ とおくと $\dfrac\pi n\cdot\dfrac1{\tan\theta}=2\cdot\dfrac\theta{\sin\theta}\cdot\cos\theta\to2$ となり（sin x/xの極限）、積分の値 $2$ に一致する。

1. $N=6$、$m=1$：$\cos\dfrac{2\pi k}6$（$k=0,\dots,5$）は $1,\ \dfrac12,\ -\dfrac12,\ -1,\ -\dfrac12,\ \dfrac12$ で、和は $0$ である。$\sin\dfrac{2\pi k}6$ は $0,\ \dfrac{\sqrt3}2,\ \dfrac{\sqrt3}2,\ 0,\ -\dfrac{\sqrt3}2,\ -\dfrac{\sqrt3}2$ で、和は $0$ である。
   ほかの例（$m=3$、星形）を開く

   $N=6$、$m=3$：$\cos\dfrac{2\pi\cdot3k}6=\cos k\pi$ は $1,-1,1,-1,1,-1$ で、和は $0$ である。点は $(1,0)$ と $(-1,0)$ を 3 回ずつくり返す。

   $N=5$、$m=2$：角は $0,\ \dfrac{4\pi}5,\ \dfrac{8\pi}5,\ \dfrac{12\pi}5,\ \dfrac{16\pi}5$ で、点は正五角形の頂点を 1 つおきにたどる（星形）。点の集まりは $m=1$ のときと同じなので、和はやはり $0$ である。

2. $m$ が $N$ の倍数（たとえば $N=5$、$m=5$）なら、すべての項が $\cos2\pi k=1$ で、余弦の和は $N=5$ になる。系の仮定「$m$ は $N$ の倍数でない」は外せない。

1. $n=2$：$D_2(x)=\dfrac12+\cos x+\cos2x$ である。$x=0$ で $\dfrac12+1+1=\dfrac52=2+\dfrac12$ である。$x=\dfrac{2\pi}5$ では、1 の式の分子が $\sin\left(\frac52\cdot\frac{2\pi}5\right)=\sin\pi=0$ なので $D_2=0$ である。直接計算すると $\cos\dfrac{2\pi}5=\dfrac{\sqrt5-1}4$、$\cos\dfrac{4\pi}5=-\dfrac{\sqrt5+1}4$ で、$\dfrac12+\dfrac{\sqrt5-1}4-\dfrac{\sqrt5+1}4=\dfrac12-\dfrac24=0$ となり、一致する。
   $n=10$ の検算を開く

   $n=10$：$x=0$ で $10.5$、最初の $0$ 点は $x=\dfrac{2\pi}{21}=0.2991\ldots$ である。数値積分でも $\int_{-\pi}^{\pi}D_{10}(x)\,dx=3.14159\ldots$ となる。

$x=2\pi$ とすると、主定理の式は $\dfrac{\sin n\pi\cos(n+1)\pi}{\sin\pi}=\dfrac00$ の形になり、値が決まらない。実際の和は、すべての項が $\cos2k\pi=1$ なので $C_n(2\pi)=n$ である。prf-ssc-main の段 2 の等式 $2\sin\frac x2\,C_n(x)=\sin\frac{(2n+1)x}2-\sin\frac x2$ は $x=2\pi$ でも成り立つが、両辺とも $0$ で、$C_n$ について何も教えてくれない。段 3 で $2\sin\frac x2$ で割るところで、この条件を使っている。

$k=0$ から始めた和では、余弦の和には $\cos0=1$ が加わり、正弦の和は変わらない（$\sin0=0$）。たとえば $x=1$、$n=3$ では
$$ \sum_{k=1}^{3}\cos k=-0.86583\ldots,\qquad\sum_{k=0}^{3}\cos k=1+(-0.86583\ldots)=0.13416\ldots $$
である。主定理の式を $k=0$ から始める和に使うと $1$ だけずれる。

$\cos x+\cos4x+\cos9x$ では、$2\sin\frac x2$ を掛けて積和の公式を使っても、隣どうしの項が打ち消し合わない。

$x=\dfrac\pi2$ の正弦の和は、$\sin\frac{k\pi}2$ が $1,0,-1,0,1,0,-1,0,\dots$ とくり返すので
$$ S_1,S_2,S_3,\dots=1,\ 1,\ 0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0,\ \dots $$
である。部分和は $0$ と $1$ の間にとどまるが、1 つの値に近づかない。
$x=1$ の余弦の和 $C_n(1)$ も同じである。prop-ssc-dirichlet の 1・4 から $C_n(1)=D_n(1)-\frac12$ は
$$ -\frac12-\frac1{2\sin\frac12}\le C_n(1)\le-\frac12+\frac1{2\sin\frac12} $$
を満たし、$-1.5429\ldots$ から $0.5429\ldots$ の範囲にとどまる。しかし図 4 のように、$n$ を大きくしても上下にゆれ続ける。