Jordanの補題

同義語：ジョルダンの補題Jordan's lemma

概要

前提知識: Cauchyの積分定理, 留数定理, 広義積分, 指数関数

$\int_{-\infty}^{\infty}R(x)e^{i\omega x}\,dx$ のように有理関数と振動する指数関数を掛けた積分では、実軸に半円を付けて閉じると留数定理が使える。ここで半円の積分を消す役割を果たすのが Jordan の補題である。$\omega>0$ なら $e^{i\omega z}$ の絶対値は上半平面で減少し、円弧の中央に向かって急速に小さくなる。この減少を円弧の全体で積分して評価すると、残りの関数が $1/z$ 程度しか減らなくても円弧の寄与を消せる。
通常の「積分路の長さ×関数の最大値」の評価では、長さが $\pi R$ なので $R$ に反比例する関数に対して定数程度の上界しか得られない。Jordan の補題は、指数因子の減少が弱い両端の近くと、強い中央の部分とを一つの不等式で扱い、長さの因子 $R$ を打ち消す。実積分に指数因子を入れたことで、積分路の評価に使える情報が増えたのである。
補題は円弧の積分についての主張であって、実軸上の広義積分の収束を自動的に保証するものではない。実軸上に極があれば通常の積分は存在しないことがあり、左右の尾部の収束にも別の確認が要る。この記事では補題を完全に証明し、絶対収束する積分と、振動によって条件収束する積分とを区別して計算する。実軸上の単純極の扱いは Cauchyの主値に譲る。

定義と使える条件

上半円と円弧上の最大値

半径 $R>0$ の上半円を
$$C_R:\quad z=Re^{i\theta},\qquad0\le\theta\le\pi$$
とする。向きは $R$ から $-R$ へ向かう反時計回りである。$g$ がこの円弧上で連続であるとき、
$$M(R):=\max_{0\le\theta\le\pi}|g(Re^{i\theta})|$$
とおく。Jordan の補題で使う減少の条件は $M(R)\to0$ である。各固定した方向で $g(Re^{i\theta})\to0$ と言うだけでなく、円弧全体で一様に小さくなることを要求する。

複素数 $z=x+iy$ に対して
$$e^{i\omega z}=e^{i\omega x-\omega y},\qquad |e^{i\omega z}|=e^{-\omega y}$$
である。したがって $\omega>0$ では $y>0$ の上半平面、$\omega<0$ では $y<0$ の下半平面で減少する。周波数の符号と閉じる側を組にして考える必要がある。実軸上では絶対値は $1$ なので、振動因子を付けても実軸上の絶対可積分性は変わらない。
補題そのものは $g$ の正則性を必要とせず、円弧上で連続で $M(R)$ の評価ができればよい。一方、補題を留数定理と組み合わせる段階では、$g(z)e^{i\omega z}$ が積分路の内部で極を除いて正則であることが必要である。円弧の評価と閉曲線の留数計算は異なる仮定を使うので、二つを分けて確認すると適用の範囲が明確になる。

左右独立の収束と条件収束

$\int_{-\infty}^{\infty}h(x)\,dx$ を通常の広義積分として扱うとき、左右の半直線の積分をそれぞれ収束させてから足す。$\int_{-\infty}^{\infty}|h(x)|\,dx< \infty$ なら絶対収束という。通常の積分は存在するが絶対値の積分が発散するとき、条件収束という。対称区間だけの極限は主値であり、条件収束する通常の積分とも区別する。

公式の表

対象	結論	使える条件	根拠
Jordan の不等式	$\sin\theta\ge2\theta/\pi$	$0\le\theta\le\pi/2$	lem-jl-sine
上半円の指数型積分	$\left\lvert\int_{C_R}ge^{i\omega z}dz\right\rvert\le\pi M(R)/\omega$	$\omega>0$、$g$ は円弧上連続	lem-jl-jordan
上半円の寄与の消滅	$\int_{C_R}ge^{i\omega z}dz\to0$	前の条件と $M(R)\to0$	lem-jl-jordan
有理関数の Fourier 型積分	$2\pi i$×上半平面の留数の和	実軸上の極なし、次数の差が $1$ 以上、$\omega>0$	thm-jl-fourier-rational
$\int\cos\omega x/(x^2+a^2)dx$	$\pi e^{-a\omega}/a$	実軸全体、$a,\omega>0$	fml-jl-cosine
$\int x\sin\omega x/(x^2+a^2)dx$	$\pi e^{-a\omega}$	実軸全体、$a,\omega>0$	fml-jl-sine

有理関数だけの実軸積分の公式は留数定理の命題「有理関数の実軸上の積分」にある。その命題の次数の条件は $\deg Q\ge\deg P+2$ である。この記事の指数型の公式では次数の差が $1$ でも使えるが、周波数は零であってはいけない。絶対収束でない場合には振動による収束の証明を加える。

補題の証明

Jordan の不等式

$0\le\theta\le\pi/2$ なら
$$\sin\theta\ge\frac{2\theta}{\pi}$$
が成り立つ。

$s(\theta)=\sin\theta$ とおく。$0\le\theta\le\pi/2$ では $s''(\theta)=-\sin\theta\le0$ なので、$s'$ は単調減少する。$0< \theta< \pi/2$ に対して、平均値の定理を区間 $[0,\theta]$ と $[\theta,\pi/2]$ に適用すると、ある $\xi\in(0,\theta)$ と $\eta\in(\theta,\pi/2)$ が存在して
$$\frac{\sin\theta}{\theta}=s'(\xi),\qquad \frac{1-\sin\theta}{\pi/2-\theta}=s'(\eta)$$
である。$\xi< \eta$ と単調性から左の傾きは右の傾き以上である。正の分母を払えば $(\pi/2-\theta)\sin\theta\ge\theta(1-\sin\theta)$、すなわち $\sin\theta\ge2\theta/\pi$ を得る。両端 $\theta=0,\pi/2$ では等号が成立する。$\square$

Jordan の補題

$\omega>0$ とし、$g$ が上半円 $C_R$ 上で連続であるとする。def-jl-semicircle の $M(R)$ に対して
$$\left|\int_{C_R}g(z)e^{i\omega z}\,dz\right| \le\frac{\pi}{\omega}M(R)$$
が成り立つ。特に、十分大きな各 $R$ で $g$ が円弧上に定義され、$M(R)\to0$ なら、この円弧積分は $0$ に収束する。

$z=Re^{i\theta}$、$|dz|=R\,d\theta$ であり、$|e^{i\omega z}|=e^{-\omega R\sin\theta}$ だから
$$\left|\int_{C_R}g(z)e^{i\omega z}\,dz\right| \le RM(R)\int_0^\pi e^{-\omega R\sin\theta}\,d\theta.$$
$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ によって右の積分は $2\int_0^{\pi/2}e^{-\omega R\sin\theta}d\theta$ である。lem-jl-sine を使うと
$$\int_0^\pi e^{-\omega R\sin\theta}\,d\theta \le2\int_0^{\pi/2}e^{-2\omega R\theta/\pi}\,d\theta =\frac{\pi}{\omega R}(1-e^{-\omega R}) \le\frac{\pi}{\omega R}.$$
前の評価に掛けて $\pi M(R)/\omega$ を得る。$\omega$ を固定し、$M(R)\to0$ とすれば、はさみうちによって積分の絶対値も $0$ に収束する。$\square$

この証明では円弧の端で指数因子が $1$ になることを無視していない。端に近い角度では減少が弱いが、その部分を含む角度方向の積分が $1/R$ 以下になる。円弧長の因子 $R$ と相殺した結果、残る条件は $M(R)\to0$ である。指数因子の最大値だけを取ると $1$ になってこの情報が消えるため、指数因子を角度について積分した点が本質である。
$M(R)$ が有界なだけなら得られるのは一定の上界であり、積分が $0$ に近づくとは限らない。周波数 $\omega$ が $R$ とともに $0$ に近づく場合も、$1/\omega$ が増大するため同じ結論にはならない。補題の極限は、非零の周波数を固定して半径だけを大きくする極限である。

有理関数の Fourier 型積分

$g=P/Q$ を有理関数とし、約分後の分母 $Q$ は実軸上に零点をもたず、$\deg Q\ge\deg P+1$ とする。$\omega>0$ なら通常の広義積分が存在し、
$$\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{i\omega x}\,dx =2\pi i\sum_{\operatorname{Im}b>0} \operatorname{Res}(g(z)e^{i\omega z},b)$$
である。$\omega<0$ なら下半平面の極を使い、右辺を $-2\pi i$ 倍の留数の和に置き換える。

零関数なら自明なので $P\ne0$ とする。次数の条件から、ある $R_0,C>0$ が存在して $|z|\ge R_0$ では $|g(z)|\le C/|z|$ である。これは分母の最高次項で分子と分母を割り、$1/z$ の近傍で分母の定数項が零でないことから得られる。同様に微分した有理関数の展開、または $g(z)=z^{-d}H(1/z)$、$d=\deg Q-\deg P\ge1$ と書くことにより $g'(z)=O(|z|^{-2})$ である。ここで $H$ は原点近傍の正則関数なので $H,H'$ は小さな閉円板上で有界である。
実軸上の正の尾部で部分積分すると、$B>A>R_0$ に対し
$$\int_A^Bg(x)e^{i\omega x}dx =\left[\frac{g(x)e^{i\omega x}}{i\omega}\right]_A^B -\frac1{i\omega}\int_A^Bg'(x)e^{i\omega x}dx.$$
$g(B)\to0$ で、$g'$ の絶対値は $C'/x^2$ で抑えられるため、右辺は $B\to\infty$ の極限をもつ。負の尾部でも同じ評価が成り立つ。実軸上には極がなく、有限区間では連続なので、左右独立の通常の広義積分が存在する。
$R$ をすべての極の絶対値より大きくとる。実線分 $[-R,R]$ と上半円からなる反時計回りの曲線に留数定理を適用すると
$$\int_{-R}^Rg(x)e^{i\omega x}dx+ \int_{C_R}g(z)e^{i\omega z}dz =2\pi i\sum_{\operatorname{Im}b>0}\operatorname{Res}(ge^{i\omega z},b).$$
$M(R)\le C/R\to0$ なので lem-jl-jordan によって円弧積分は消える。左右の尾部の収束を先に示したため、実線分の極限は通常の広義積分と一致する。これで $\omega>0$ の公式を得る。
$\omega<0$ の場合は下半円を右から左へたどって閉じると、閉曲線は時計回りになる。下半円を $z=Re^{-i\theta}$ とすると指数の絶対値は $e^{-|\omega|R\sin\theta}$ なので、同じ評価で円弧積分が消える。時計回りの回転数が $-1$ であることから、留数の和に $-2\pi i$ を掛けた公式を得る。$\square$

この定理は、次数の差が $1$ のときにも通常の振動積分の収束を含めて示している。これは対称な主値だけを求める定理ではない。左右の尾部の部分積分があるため、それぞれの極限が存在する。実軸上に極があると部分積分だけでは特異点近傍の発散を扱えないので、定理の条件から除いている。

二次式の分母をもつ余弦積分

$a>0$、$\omega>0$ に対し
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos\omega x}{x^2+a^2}\,dx =\frac\pi a e^{-a\omega}.$$
積分は絶対収束する。

$e^{i\omega z}/(z^2+a^2)$ の上半平面の極は $ia$ だけで、留数は $e^{-a\omega}/(2ia)$ である。thm-jl-fourier-rational より複素指数型の積分は $\pi e^{-a\omega}/a$ となる。実部をとれば公式を得る。絶対値は $1/(x^2+a^2)$ で抑えられるので絶対収束する。虚部は奇関数であり、左右独立に収束するためその和は零である。$\square$

一次の分子をもつ正弦積分

$a>0$、$\omega>0$ に対し、通常の広義積分として
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin\omega x}{x^2+a^2}\,dx =\pi e^{-a\omega}$$
が成り立つ。この積分は条件収束する。

$ze^{i\omega z}/(z^2+a^2)$ の $ia$ における留数は $e^{-a\omega}/2$ である。thm-jl-fourier-rational より複素指数型の積分は $\pi i e^{-a\omega}$ で、その虚部が求める公式になる。通常の広義積分の存在は同定理で既に示した。
絶対収束しないことも確認する。十分大きい正の $x$ では $x/(x^2+a^2)\ge1/(2x)$ である。各正整数 $k$ について区間 $[(k\pi+\pi/6)/\omega,(k\pi+5\pi/6)/\omega]$ では $|\sin\omega x|\ge1/2$ であり、区間の長さは $2\pi/(3\omega)$ である。十分大きい $k$ では、この区間で絶対値の被積分関数は $1/(4x)$ 以上だから、区間積分は $\pi/[6(k\pi+5\pi/6)]$ 以上である。この下界の和は調和級数との比較で発散する。したがって正の尾部の絶対値の積分が発散し、条件収束である。$\square$

計算の手順

周波数を固定して符号を調べる。 $\omega>0$ なら上、$\omega<0$ なら下を使う。$\omega=0$ なら Jordan の補題による評価は使えないので、指数因子を持たない別の積分として判定する。
有理関数を約分する。 実軸上の極がないかと、分母と分子の次数の差を調べる。次数の差が $1$ 以上なら thm-jl-fourier-rational が使える。実軸上に極があれば Cauchyの主値の積分路へ変更する。
円弧上の一様な減少を示す。 大きな $|z|$ で $|g(z)|\le C/|z|$ のような評価を書き、$M(R)\to0$ を確認する。正の実軸だけでの評価を、円弧全体の評価に読み替えない。
内部の留数を求める。 指数因子も含めた $g(z)e^{i\omega z}$ の留数を計算する。単純極では $g$ の留数に $e^{i\omega b}$ を掛ければよい。重複極では積の微分が必要になり、指数因子を最後に掛けるだけでは済まない。
閉曲線の式と収束を確認する。 上なら $2\pi i$、下なら $-2\pi i$ を掛ける。円弧を補題で消し、左右の尾部の存在を確認して通常の積分として極限をとる。最後に実部または虚部を取り出す。
上半円での指数の減少とJordanの不等式
図の左は、上半円 $z=Re^{i\theta}$ 上の指数因子の絶対値 $e^{-\omega R\sin\theta}$ である。端では $1$ だが、中央へ向かうと減少する。描いた例は $R=2$、$\omega=1$ で、中央の値は $e^{-2}$ になる。右は $0\le\theta\le\pi/2$ の $\sin\theta$ と $2\theta/\pi$ の比較であり、指数因子を積分して評価するための下界を示す。

例題

絶対収束する余弦積分

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos2x}{x^2+4}\,dx$$
を求める。使う公式：fml-jl-cosine。答え：$\pi e^{-4}/2\approx0.028770$。
$a=2$、$\omega=2$ を代入する。上半平面の極 $2i$ において指数因子は $e^{-4}$ である。実軸上で絶対値は $1/(x^2+4)$ 以下なので、通常の広義積分が存在する。半直線 $[0,\infty)$ だけの値が必要なら、被積分関数が偶関数であるためこの答えを $2$ で割る。

次数の差が1の正弦積分

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin2x}{x^2+4}\,dx$$
を求める。使う公式：fml-jl-sine。答え：$\pi e^{-4}\approx0.057540$。
指数型の関数は $ze^{2iz}/(z^2+4)$ で、$2i$ における留数は $e^{-4}/2$ である。留数の和を $2\pi i$ 倍して虚部をとる。積分は条件収束するが、左右それぞれの尾部が収束するため、対称な主値に限定される答えではない。元の有理関数だけの $x/(x^2+4)$ は通常の広義積分をもたない点との違いに注意する。

負の周波数と下半平面

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-3ix}}{x^2+4}\,dx$$
を求める。使う公式：thm-jl-fourier-rational の $\omega<0$ の場合。答え：$\pi e^{-6}/2\approx0.003894$。
下半平面の極は $-2i$ で、その留数は $e^{-6}/(-4i)$ である。時計回りの閉曲線に合わせて $-2\pi i$ 倍すれば正の実数 $\pi e^{-6}/2$ になる。虚部の積分は奇関数なので零である。周波数の符号が変わっても余弦積分の値が同じになることと整合する。

円弧の上界を数値で見積もる

$g(z)=1/(z^2+4)$、$\omega=2$、$R=5$ の上半円積分の上界を求める。使う公式：lem-jl-jordan。答え：絶対値は $\pi/42\approx0.074800$ 以下である。
$|z|=5$ 上で $|z^2+4|\ge25-4=21$ なので $M(5)\le1/21$ である。補題により上界は $\pi M(5)/2\le\pi/42$ となる。これは積分そのものの値ではなく、円弧を省略したときに残る寄与の絶対値の保証である。半径が大きいほどこの評価は小さくなるが、有限の半径で寄与が厳密に零になるとは言っていない。

使える条件と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$M(R)\to0$	$g(z)=e^{-i\omega z}/z$、$\omega>0$	積は $1/z$ で、上半円積分は常に $\pi i$
非零の固定した周波数	$\omega=0$、$g(z)=1/z$	$M(R)=1/R\to0$ でも円弧積分は $\pi i$
実軸上に極がない	$g(z)=1/z$	$e^{i\omega x}/x$ の通常の積分は原点で存在しない
上半円全体での一様な評価	正の実軸だけで $g(R)\to0$ を確認	他の角度での増大を排除できず、補題の仮定を満たしたことにならない

最初の反例では $|g(Re^{i\theta})|=e^{\omega R\sin\theta}/R$ なので $M(R)=e^{\omega R}/R$ となり、補題の減少条件を満たさない。ところが実軸の正の側だけでは $|g(R)|=1/R\to0$ である。したがって実軸上の減少を円弧全体の減少へ読み替えると、結論を誤る。積の円弧積分は $\int_0^\pi i\,d\theta=\pi i$ であり、消えないことを直接確認できる。
二つ目では指数の減少がなくなり、証明中の $1/\omega$ も定義できない。$1/z$ の上半円積分は同じく $\pi i$ である。$\omega\to0$ の極限をあとから取ることと、初めから $\omega=0$ を代入することは別の操作である。たとえば fml-jl-sine の右辺は $\omega\downarrow0$ で $\pi$ に近づくが、$\omega=0$ を被積分関数に代入すれば零関数になる。積分とパラメータの極限を交換する一様な根拠がないため、矛盾ではない。
三つ目は円弧の条件を満たしていても、実積分の条件が満たされない例である。原点近傍の実部 $\cos\omega x/x$ は片側で $1/x$ 型の発散をもつ。対称に除けば主値を定められるが、通常の広義積分はない。Cauchyの主値では原点を小半円でよけ、その小円弧の寄与を含めて値を求める。大円弧を消す補題と小円弧の評価を取り違えないことが必要である。
有理関数で次数の差が $1$ の場合は、一様な減少を係数から確かめられる。分母の最高次項が十分大きい円周で他の項より大きくなり、分母の絶対値を下から抑えられるからである。一般の正則関数では同じ論法は使えず、円弧上の値を別に評価する必要がある。関数が正則という性質だけでは、大きい円周での増大を制御できない。

よくある誤り

誤り	正しくは	なぜ
$e^{i\omega z}$ が上半平面でいつも減少すると考える	$\omega$ の符号を確認する	絶対値は $e^{-\omega\operatorname{Im}z}$
円弧の最大値だけで指数因子を評価する	指数因子を角度について積分する	両端では最大値が $1$ になる
$\omega=0$ にも補題を適用する	非零の周波数を固定する	ex-jl-bound の評価は $1/\omega$ を含む
下半平面でも $2\pi i$ を掛ける	時計回りなら $-2\pi i$	回転数の符号が反転する
重複極の留数に指数因子を最後に掛ける	積全体を微分する	単純極だけの性質を拡張している

解法の比較と補足

絶対収束する余弦積分では、実軸上の被積分関数が $1/x^2$ 程度で減るため、尾部の収束は比較で示せる。しかし複素平面で $\cos\omega z$ をそのまま使うと $e^{i\omega z}$ と $e^{-i\omega z}$ の両成分を含み、どちらの半平面でも一方が増大する。指数型の積分を先に計算して実部をとる手順は、減少する一方の成分だけを選んで閉じるための工夫である。
次数の差が $1$ の正弦積分では、実軸の絶対値を先に取ると振動の打ち消しが失われる。部分積分によって振動を原始関数に移すと、有理関数の導関数が $1/x^2$ 程度に減るため、通常の尾部の収束が示せる。複素積分の円弧では角度方向の指数の減少を使い、実軸の尾部では実変数の部分積分を使う。二つの収束を異なる評価で支えている点が、この方法の適用条件を理解するうえで大切である。
公式を周波数の関数として読むと、極の高さが減衰率を決めることが分かる。上半平面の極 $b=u+iv$ における指数は $e^{i\omega u}e^{-\omega v}$ である。単純極の高さ $v>0$ が大きいほど、その極の寄与は大きな正の周波数に対して小さくなる。複数の極があると、それぞれの位相と減衰率をもつ有限個の項が現れる。これを使う場合も、公式を適用する積分の定義と次数の条件は維持する。
留数による積分路の選択全体は留数による定積分の計算で整理されている。円弧を消す評価を一度示せば、個々の問題では極の位置と留数の計算に集中できる。一方、実軸上に極がある場合や分枝点がある場合は、閉曲線の形そのものが変わる。Jordan の補題で大円弧を消せるという理由だけで、小さな除外経路や分枝の上下の差まで消せると考えてはいけない。
留数定理と基本的な計算法は LebGCCA26 §5.3（pp. 131–135）と BMPS25 §9.2（p. 144）にある。この記事では既存の留数定理を使い、各積分路または級数に必要な収束と評価を上で示した。