岩澤分解

1：$\mathfrak{g}$ に内積 $\langle X,Y\rangle:=\operatorname{tr}(XY^{\mathsf T})$ を入れる。$H\in\mathfrak{a}$ は対称行列なので、跡の巡回性から $\langle[H,X],Y\rangle=\operatorname{tr}(HXY^{\mathsf T})-\operatorname{tr}(XHY^{\mathsf T})=\operatorname{tr}(XY^{\mathsf T}H)-\operatorname{tr}(XHY^{\mathsf T})=\langle X,[H,Y]\rangle$ であり、$\operatorname{ad}H\colon X\mapsto[H,X]$ は $\mathfrak{g}$ の対称な線形変換である。$\mathfrak{a}$ は可換なので、Jacobi 恒等式から $\operatorname{ad}H$（$H\in\mathfrak{a}$）どうしは可換である。$\mathfrak{a}$ の基底 $H_1,\dots,H_r$ をとる。$\operatorname{ad}H_1$ は実対称なので $\mathfrak{g}$ はその固有空間の直和に分かれ（対称行列 の定理「直交対角化できる実行列」）、可換性から各固有空間は $\operatorname{ad}H_2,\dots,\operatorname{ad}H_r$ で保たれ、制限はまた対称である。これを繰り返すと、$\mathfrak{g}$ はすべての $\operatorname{ad}H_j$ の同時固有空間の直和になる。同時固有値の組 $(c_1,\dots,c_r)$ に $\lambda(H_j)=c_j$ となる $\lambda$ を対応させれば、各同時固有空間は $\mathfrak{g}_\lambda$ であり、組は有限個である。

2：$\theta$ は自己同型で $\theta H=-H$ なので、$X\in\mathfrak{g}_\lambda$ なら $[H,\theta X]=\theta[\theta H,X]=\theta[-H,X]=-\lambda(H)\theta X$ であり、$\theta\mathfrak{g}_\lambda\subset\mathfrak{g}_{-\lambda}$ である。$\theta^2=\mathrm{id}$ から等号が成り立つ。Jacobi 恒等式から $[H,[X,Y]\,]=[\,[H,X],Y]+[X,[H,Y]\,]=(\lambda+\mu)(H)[X,Y]$（$X\in\mathfrak{g}_\lambda$、$Y\in\mathfrak{g}_\mu$）である。$\lambda,\mu\in\Sigma^+$ なら $(\lambda+\mu)(H_0)>0$ なので $[\mathfrak{n},\mathfrak{n}]\subset\mathfrak{n}$ であり、$[\mathfrak{a},\mathfrak{g}_\lambda]\subset\mathfrak{g}_\lambda$ から $\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}$ も括弧で閉じる。

3：$\theta$ は $\mathfrak{g}_0$ を保つので $\mathfrak{g}_0=(\mathfrak{g}_0\cap\mathfrak{k})\oplus(\mathfrak{g}_0\cap\mathfrak{p})$ である。$\mathfrak{a}$ は可換なので $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{g}_0\cap\mathfrak{p}$ である。逆に $Y\in\mathfrak{g}_0\cap\mathfrak{p}$ なら $\mathfrak{a}+\mathbb{R}Y$ は $\mathfrak{p}$ の可換な部分空間なので、極大性から $Y\in\mathfrak{a}$ である。$\square$

(R1)．$H\in\mathfrak{a}$ は各 $V_\mu$ の上でスカラー $\mu(H)$ なので対角行列である。$X\in\mathfrak{g}_\lambda$、$v\in V_\mu$ なら $HXv=XHv+[H,X]v=(\mu+\lambda)(H)Xv$ なので $Xv\in V_{\mu+\lambda}$（$\mu+\lambda$ が重さでなければ $Xv=0$）である。$\lambda\in\Sigma^+$ なら $(\mu+\lambda)(H_0)>\mu(H_0)$ なので、$V_{\mu+\lambda}$ の基底は $V_\mu$ の基底より前に並ぶ。よって $X$ は各基底ベクトルをそれより前の基底ベクトルの 1 次結合に写し、狭義上三角行列である。直交行列による共役は転置・$\mathrm{O}(n)$・閉性と可換なので、仮定は保たれる。

段 1（$B:=G\cap T^+$ の Lie 環）．$T^+$ は $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ の閉部分群で（極限でも対角成分は $\ge0$、行列式が $0$ でないので正）、Lie 環は上三角行列の全体 $\mathfrak{b}$ である。閉部分群の Lie 環の特徴づけ（Lee13 Proposition 20.9）から、$\operatorname{Lie}(B)=\mathfrak{g}\cap\mathfrak{b}$ であり、同様に $\operatorname{Lie}(K)=\mathfrak{g}\cap\mathfrak{so}(n)=\mathfrak{k}$ である。$\mathfrak{g}\cap\mathfrak{b}=\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}$ を示す。$\supset$ は (R1) による。$X\in\mathfrak{g}\cap\mathfrak{b}$ を thm-iw-algebra で $X=Y+H+Z$ と分けると、$Y=X-H-Z$ は上三角かつ交代行列なので、転置が下三角で $-Y$ に等しく、$Y=0$ である。

段 2（$\Phi\colon K\times B\to G$、$(k,b)\mapsto kb$ は微分同相）．単射：$kb=k'b'$ なら $k'^{-1}k=b'b^{-1}\in\mathrm{O}(n)\cap T^+=\{I\}$（lem-iw-o-cap-t）。微分：曲線 $(ke^{tY},be^{tW})$（$Y\in\mathfrak{k}$、$W\in\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}$）の像の $t=0$ での速度は $kb\,(b^{-1}Yb+W)$ である。$\operatorname{Ad}(b^{-1})\colon Y\mapsto b^{-1}Yb$ は $\mathfrak{g}$ の線形同型で $\operatorname{Lie}(B)=\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}$ を保つので、$(Y,W)\mapsto\operatorname{Ad}(b^{-1})Y+W$ の像は $\operatorname{Ad}(b^{-1})(\mathfrak{k}+\mathfrak{a}+\mathfrak{n})=\mathfrak{g}$ であり、次元が等しいので $d\Phi$ は同型である。逆関数定理 から $\Phi$ は局所微分同相で、像 $KB$ は開集合である。閉集合でもある：$k_ib_i\to g$ なら、$K$ はコンパクト（直交群 の定理「直交群の位相」の閉部分集合）なので部分列で $k_i\to k$ となり、$b_i=k_i^{-1}(k_ib_i)\to k^{-1}g$ は閉集合 $B$ に属する。よって $KB$ は単位元の連結成分 $G_0$ を含む。$G$ の連結成分は $gG_0$ の形で、仮定から $K$ の元 $k$ を含むので $kG_0$ に等しく、$kG_0\subset K\cdot KB=KB$ である。よって $\Phi$ は全単射な局所微分同相で、微分同相である。

段 3（$B$ は連結）．$G_0$ も仮定を満たし（転置は $I$ を含む連結集合 $G_0$ を $G_0$ に写す）、Lie 環は $\mathfrak{g}$ なので、段 2 から $G_0\cong K'\times B'$（$K':=G_0\cap\mathrm{O}(n)$、$B':=G_0\cap T^+$）であり、連続な射影の像として $B'$ は連結である。$b\in B$ を $b=kg_0$（$k\in K$、$g_0\in G_0$）、$g_0=k'b'$ と書くと $b=(kk')b'$ で、段 2 の単射性から $kk'=I$、$b=b'$ である。よって $B=B'$ は連結である。

段 4（$B=AN$）．$\exp$ は対角行列の空間から正の対角行列の群への微分同相なので、$A=\exp\mathfrak{a}$ は閉部分群で、Lie 環は $\mathfrak{a}$、$A\subset G\cap T^+=B$ である。上三角行列 $X$ の冪の対角部分は $X$ の対角部分の冪なので、$\delta(e^{X})=e^{\delta(X)}$ である（$\delta$ は対角部分）。$X=H+Z\in\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}$ なら $\delta(e^X)=e^H\in A$ である。$B$ は連結なので $e^X$（$X\in\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}$）の積で書け（Lie群 の系「連結な行列 Lie 群は指数の積で書ける」）、$\delta(B)\subset A$ である。$N=B\cap\ker\delta$ は $B$ の閉正規部分群で、その Lie 環は $(\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n})\cap\{\text{狭義上三角}\}=\mathfrak{n}$ である。$b=\delta(b)\cdot\delta(b)^{-1}b$ から $B=AN$、$A\cap N=\{I\}$ で、$(a,n)\mapsto an$ は逆写像 $b\mapsto(\delta(b),\delta(b)^{-1}b)$ をもつ微分同相 $A\times N\to B$ である。段 2 と合わせて (R3) を得る。$A\cong\mathfrak{a}$ であり、$N$ は $B\cong A\times N$ が連結なので連結で、$\mathfrak{n}$ と微分同相である。実際、狭義上三角行列の $\exp$ と $\log$ は有限和の多項式で互いに逆なので、$\exp\mathfrak{n}$ は対角成分が $1$ の上三角行列の群の閉集合であり、$N$ の閉集合である。また $\exp\vert_{\mathfrak{n}}\colon\mathfrak{n}\to N$ は単射なはめ込みで $\dim\mathfrak{n}=\dim N$ なので、逆関数定理 により $\exp\mathfrak{n}$ は $N$ の開集合でもある。$N$ は連結なので $\exp\mathfrak{n}=N$ であり、$\exp\vert_{\mathfrak{n}}$ は逆写像 $\log$ をもつ微分同相 $\mathfrak{n}\to N$ である。$\square$