微分幾何学

前提知識: 多変数微分積分学, 線形代数, 位相空間, 可微分多様体

微分幾何学とは

微分幾何学(differential geometry)は、曲線・曲面・可微分多様体の上で微分を行い、接空間、計量、微分形式、接続、曲率などを用いて幾何学的性質を研究する分野である。局所座標では多変数微分積分学として計算できる一方、最終的な対象は座標の選び方に依存しない。
一つの可微分多様体には多くの追加構造を入れられる。リーマン幾何学では各接空間に内積を入れ、長さ・角度・距離・測地線を扱う。シンプレクティック幾何学では閉じた非退化2形式を入れ、Hamilton力学を記述する。複素幾何学では複素座標変換をもち、複素解析と位相の関係を調べる。接続の幾何学では異なる点の接ベクトルを比較し、その比較が経路に依存するずれを曲率として測るLee12Lee18。

本記事は分野全体の地図を担う。可微分構造そのものは可微分多様体、テンソル演算はテンソル解析、外微分と積分は微分形式、計量と測地線・曲率はリーマン幾何学、個々の曲率量はリーマン曲率テンソル・断面曲率・リッチテンソル・スカラー曲率が詳しく扱う。

局所から大域へ

$n$ 次元可微分多様体 $M$ は各点の近くでは $\mathbb R^n$ の開集合に見える。座標近傍 $(U,x^1,\ldots,x^n)$ を取れば、滑らかな関数、曲線、ベクトル場は通常の偏微分で記述できる。しかし座標を替えると成分が変わるため、幾何学的対象には変換則が必要である。
点 $p\in M$ の接空間 $T_pM$ は、$p$ を通る曲線の速度を集めた線形空間である。滑らかな写像 $F:M\to N$ は微分
$$ dF_p:T_pM\longrightarrow T_{F(p)}N $$
を誘導する。ベクトル場は各点 $p$ に $T_pM$ のベクトルを滑らかに割り当てたもので、1形式は接ベクトルを実数へ送る線形汎関数を滑らかに並べたものである。これらをテンソル積・外積・縮約で組み合わせるのがテンソル解析であるLee12。
局所計算から大域的結論へ進む代表的な仕組みは次の通りである。

• 座標変換則により、局所的に計算したテンソルを貼り合わせる。
• 1の分割により、局所データを大域的な計量・接続・微分形式へまとめる。
• 外微分とStokesの定理により、内部の微分と境界上の積分を結ぶ。
• 曲率により、局所的な曲がりを完備性・基本群・体積などの大域量へ結び付ける。

曲線・計量・長さ

リーマン計量 $g$ は各 $T_pM$ に内積 $g_p$ を滑らかに与える。区分的に滑らかな曲線 $\gamma:[a,b]\to M$ の長さは
$$ L_g(\gamma)=\int_a^b\sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}\,dt $$
である。ここから二点間の距離を、それらを結ぶ曲線の長さの下限として定義する。長さが曲線のパラメータ表示に依存しないことが、これを幾何学的量にしているLee18。

微分形式と積分

$k$ 形式は各点で $k$ 本の接ベクトルを交代的に実数へ送るテンソル場である。外微分
$$ d:\Omega^k(M)\longrightarrow\Omega^{k+1}(M) $$
は $d^2=0$ を満たす。$d\omega=0$ となる形式を閉形式、$\omega=d\eta$ と書ける形式を完全形式という。完全形式は閉形式だが、逆は大域的には成り立たない。その差を測るのがde Rhamコホモロジーである。
写像 $F:M\to N$ は形式を逆向きに引き戻す。関数の合成に対する連鎖律が、高次形式では「引き戻しと外微分が可換する」という形になる。

Stokesの定理
$$ \int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega $$
は、微分幾何学における局所と大域の橋である。微積分学の基本定理、Greenの定理、Gaussの発散定理はその特別な場合として統一されるLee12。

接続と曲率

異なる点の接空間は別々の線形空間なので、ベクトル場をそのまま偏微分しても座標に依存する。接続 $\nabla$ はベクトル場 $X,Y$ に共変微分 $\nabla_XY$ を対応させ、曲線に沿う平行移動と測地線を定める。
接続の曲率は
$$ R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z $$
であり、二方向への共変微分を交換したときのずれを測る。リーマン計量がある場合、計量を保ち捩れがない接続がただ一つ存在し、リーマン接続という。リーマン曲率テンソルから2次元方向の断面曲率、その縮約であるリッチテンソル、さらに縮約したスカラー曲率が得られるLee18doCarmo92。
曲率の役割は「曲がって見える」ことだけではない。Gaussの驚異の定理は曲面のGauss曲率が計量から内在的に決まることを示す。Gauss--Bonnetの定理は曲率の積分をEuler標数へ結び付ける。Bonnet--Myersの定理は正のリッチ曲率下限から直径・コンパクト性・基本群の有限性を導く。このように局所テンソルが大域位相を拘束することが、微分幾何学の中心問題である。

主要な下位分野

リーマン幾何学

リーマン幾何学は正定値計量を備えた多様体を扱う。長さ、距離、体積、測地線、曲率、完備性を研究し、球面・Euclid空間・双曲空間が三つの基本模型である。

擬リーマン・Lorentz幾何学

内積の正定値性を外した計量を扱う。特に符号数が $(1,n-1)$ のLorentz計量は時間的・空間的・光的方向を区別し、一般相対性理論の時空を記述する。

シンプレクティック幾何学

閉じた非退化2形式 $\omega$ を備えた偶数次元多様体を扱う。局所的にはすべて標準形になるが、大域的なシンプレクティック容量、Lagrange部分多様体、Hamilton流には豊かな不変量がある。

複素・Kähler幾何学

複素多様体は複素解析的な座標変換をもつ。複素構造、リーマン計量、シンプレクティック形式が両立するKähler多様体では、三つの理論が強く結び付く。

微分位相

微分可能写像の正則値、横断性、Morse関数、埋め込みなどを使い、多様体の位相を調べる。計量を固定せず、微分構造と滑らかな写像そのものに注目する点でリーマン幾何学と異なる。

接続・ゲージ幾何学

ベクトル束や主束上の接続を扱い、曲率を場の強さとして読む。接束上の接続だけでなく一般のベクトル束・主 $G$ 束を扱うことで、特性類、Yang--Mills理論、ゲージ理論へつながる。

例と境界

学習経路

次の順序で進むと、定義同士の依存関係を追いやすい。

1. 多変数微分積分学と線形代数を復習し、連鎖律・逆関数定理・多重積分・内積を使えるようにする。
2. 可微分多様体、滑らかな写像、接空間、微分、ベクトル場、Lie括弧を学ぶ。
3. テンソル解析、余接空間、微分形式、外微分、引き戻し、Stokesの定理を学ぶ。
4. リーマン計量、曲線の長さ、距離、リーマン接続、測地線を学ぶ。
5. リーマン曲率テンソルと各種の縮約、Jacobi場、曲率比較を学ぶ。
6. 興味に応じて、微分位相、シンプレクティック幾何、複素・Kähler幾何、Lie群、ゲージ理論へ分岐する。
   曲面論から入る経路もある。空間曲線の曲率・捩率、曲面の第1・第2基本形式、Gauss曲率、Gauss--Bonnetの定理を具体的に学んだ後、座標に依存しない多様体の理論へ抽象化する。この経路は図形的直感を得やすいが、高次元で何が内在的かを区別するため、最終的には接空間・計量・接続の言葉へ移る必要があるdoCarmo92。

主要な関係の地図

• 微分構造 $\Rightarrow$ 接空間、滑らかな写像、ベクトル場、微分形式。
• 計量 $\Rightarrow$ 長さ、角度、距離、体積、唯一のLevi--Civita接続。
• 接続 $\Rightarrow$ 共変微分、平行移動、測地線、曲率。
• 曲率 $\Rightarrow$ 断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率と大域的比較定理。
• 外微分 $d$ と積分 $\Rightarrow$ Stokesの定理、de Rhamコホモロジー、位相的不変量。
• 主束上の接続 $\Rightarrow$ 特性類、ゲージ場、Yang--Mills方程式。

関連項目

• 基礎対象: 可微分多様体, 接空間, 滑らかな写像, ベクトル場
• 計算言語: テンソル解析, 微分形式, Lie微分
• 計量と接続: リーマン幾何学, リーマン接続, 測地線
• 曲率: リーマン曲率テンソル, 断面曲率, リッチテンソル, スカラー曲率
• 大域的関係: Gauss--Bonnetの定理, Hopf--Rinowの定理, de Rhamコホモロジー
• 発展: Lie群, シンプレクティック幾何学, 複素多様体, ゲージ理論