Stein多様体の強多重劣調和関数による特徴づけ
概要
Stein多様体の強多重劣調和関数による特徴づけ（characterization of Stein manifolds by strictly plurisubharmonic exhaustion）とは、Stein多様体であることと、強多重劣調和な滑らかな尽くし関数をもつことが同値であるという定理である。Levi形式の正値性から局所支持関数を作り、切り落としの誤差を$\bar\partial$方程式で補正すると、大域正則関数による点分離・局所座標・正則凸性が得られる。閉部分レベル集合と開部分レベル集合の閉包は、それぞれ正則凸である。
前提知識: Stein多様体, 多重劣調和関数, ∂̄方程式のL²評価, 岡–Weilの近似定理
Stein多様体の強多重劣調和関数による特徴づけとは、複素多様体が Stein であることと、強多重劣調和な滑らかな尽くし関数をもつことが同値であるという定理である。正則関数が点を分離し、局所座標を与え、コンパクト集合の正則凸包をコンパクトに保つという大域的な条件を、一つの実数値関数の Levi 形式と部分レベル集合の条件で表せる。
Stein 多様体から尽くし関数を作る向きでは、大域正則関数の絶対値の二乗を足し合わせる。逆向きでは、局所座標の近くに集中する正則関数を作り、それを大域正則関数へ移す。局所関数に切り落としを掛けると正則性が壊れるが、その欠陥を $\bar\partial$ 方程式で補正する。Levi 形式の正値性は、欠陥のある領域で指数的に小さくなる因子を作るために使われる。
以下では、後者の構成を詳しく証明する。正則凸性と点分離と局所座標は、別々の存在定理ではなく、同じ補正操作を三通りに使うことで得られる。また、開いた部分レベル集合の閉包と、閉じた不等式で定める部分レベル集合が必ずしも一致しないことにも注意する。
定義と主定理
$X$ は Hausdorff な複素 $n$ 次元多様体で、無限遠で可算とする。これは、コンパクト集合の増大列で、任意のコンパクト集合がそのどれかに含まれるものが存在するという条件である。$X$ 上の正則関数の環を $\mathcal O(X)$ と書く。空でないコンパクト集合 $K\subset X$ の正則凸包は
$$
\widehat K_X=\{x\in X:|F(x)|\le\sup_K|F|\text{ for all }F\in\mathcal O(X)\}
$$
である。空集合の凸包は空集合と定める。$K=\widehat K_X$ なら $K$ は $\mathcal O(X)$ 凸であるという。凸包は閉集合で、$K\subset L$ なら $\widehat K_X\subset\widehat L_X$ である。
$X$ が Stein であるとは、次の三条件を満たすことをいう。
- 任意のコンパクト集合 $K\subset X$ の正則凸包がコンパクトである。
- 相異なる二点 $x,y$ に対して $F(x)\ne F(y)$ となる $F\in\mathcal O(X)$ がある。
- 各点で $n$ 個の大域正則関数が局所正則座標を与える。
実数値関数 $\rho\in C^\infty(X)$ が強多重劣調和であるとは、正則座標における Levi 形式
$$ \mathcal L_\rho(x;\xi)=\sum_{j,k}\rho_{z_j\bar z_k}(x)\xi_j\bar\xi_k $$
が $\xi\ne0$ に対して正であることをいう。すべての実数 $a$ について $X_a:=\{\rho< a\}$ が相対コンパクトなら、$\rho$ を尽くし関数という。
これらは Hor90 Definition 5.1.3（p. 116）と Theorem 5.1.6（pp. 117–118）で用いられる条件である。Levi 形式の正値性は正則座標の変更によらない（多重劣調和関数 の補題「正則写像についての連鎖律」）。尽くし条件が意味するのは、関数の値を上から一定に抑えた点が無限遠へ逃げないことである。後の証明では、局所で作った分離関数を制御する場所をコンパクトに保つためにこの条件を使う。
$X$ が Stein であることと、強多重劣調和な $C^\infty$ 級の尽くし関数 $\rho$ が存在することは同値である。
空の多様体では主張は空の条件である。零次元では多様体は離散集合で、無限遠で可算なら高々可算である。すべての関数が正則なので三条件を満たし、各有限部分集合を順に尽くすように関数の値を増やせば尽くし関数が得られる。Levi 形式の条件は非零の接ベクトルがないので空である。以下では $X\ne\emptyset$、$n\ge1$ とする。
証明で使う解析的な道具
十分性の証明に使う道具を、Stein 性をまだ仮定しない形で明記する。第一は Stein多様体 の定理「強多重劣調和な尽くし関数をもつ多様体の上の $L^2$ 存在定理」である。強多重劣調和な尽くし関数をもつ多様体 $Y$ には Hermite 計量があり、十分な Levi 下界をもつ重み $\Phi$ のもとで、$\bar\partial$ 閉な $(0,1)$ 形式 $f$ に対し
$$
\bar\partial v=f,\qquad\|v\|_\Phi\le\|f\|_\Phi,
\qquad\|f\|_\Phi^2:=\int_Y|f|^2e^{-\Phi}dV
$$
となる解をとれる。重みは尽くし関数の凸増加関数として選べ、指定した局所二乗可積分な形式 $f_0$ を重み付きで二乗可積分にできる。
第二は 岡–Weilの近似定理 の補題「尽くし関数の部分レベル集合の上の近似」である。強多重劣調和な尽くし関数 $\rho$ に対し、$K_b:=\{\rho\le b\}$ の近傍で正則な関数は、$K_b$ 上で大域正則関数に任意の精度で一様近似できる。これは同補題を $\rho-b$ と自明な直線束に適用したものである。ここでは「Stein 多様体の上の近似定理」のほうを使わない。必要なのは、尽くし関数が与えられた段階ですでに成り立つ補題である。
第三は正則関数の内側の評価である。座標多重円板 $P$ と、その内部に閉包をもつ小さな多重円板 $P'$ に対して、正則な $F$ の値と一階微分は $P$ 上の $L^2$ ノルムで抑えられる。まず各点を中心とする小球の平均値と Cauchy–Schwarz の不等式で、$P'$ より少し大きい領域の上限を $L^2$ ノルムで抑える。次に Cauchy の積分公式で $P'$ 上の微分を抑える。重みと計量が滑らかなら、コンパクト集合上では重み付きノルムと通常のノルムを定数倍の範囲で比較できる。
最後に、局所二乗可積分な関数が分布の意味で $\bar\partial F=0$ を満たせば、ほとんどいたるところ正則関数に一致することを使う（∂̄方程式のL²評価 の補題「正則関数についての Weyl の補題」）。したがって補正解を最初から滑らかに選ぶ必要はない。補正後に正則な代表をとれば、必要な点の値と微分を評価できる。
これらの道具は、Stein 性の結論を使わずに強多重劣調和な尽くし関数から得られている。証明の依存方向は、尽くし関数から $L^2$ 可解性と部分レベル近似へ進み、それらから Stein 三条件を回収する、という順である。
局所的な支持関数
$x_0\in X$ を固定する。$x_0$ を原点とする正則座標の十分小さい近傍 $W$ で、正則多項式 $h$ と定数 $c_0>0$ を
$$
h(x_0)=0,\qquad
\operatorname{Re}h(z)\le\rho(z)-\rho(x_0)-c_0|z|^2
$$
となるようにとれる。
実関数の二次 Taylor 展開を、純正則な項と Levi 形式の項に分けると
$$
\rho(z)=\rho(0)+\operatorname{Re}h(z)
+\sum_{j,k}\rho_{z_j\bar z_k}(0)z_j\bar z_k+o(|z|^2),
$$
$$
h(z)=2\sum_j\rho_{z_j}(0)z_j
+\sum_{j,k}\rho_{z_jz_k}(0)z_jz_k.
$$
Levi 行列は正定値なので、ある $\mu>0$ について二次の混合項は $\mu|z|^2$ 以上である。近傍を縮めて剰余の絶対値を $\mu|z|^2/2$ 以下にすれば、$c_0=\mu/2$ として主張が従う。$\square$
ここで $h$ は $\rho$ の正則な部分を取り出したものである。$x_0$ 以外では正の二次項が残るので、$\rho$ の低い側にある点では $\operatorname{Re}h$ が負になる。この符号が、後の $e^{th}$ の指数減衰を与える。$h$ 自体に大域性はなく、局所で必要な符号だけを確保している。
一つの重みによる指数的に小さい補正
近傍を $x_0\in W_1\Subset W_2\Subset W$ ととり、$0\le\psi\le1$、$\psi\in C_c^\infty(W_2)$、$\psi=1$ が $\overline W_1$ の近くで成り立つようにする。$L=\operatorname{supp}\bar\partial\psi$ は $x_0$ を含まないコンパクト集合である。$L\ne\emptyset$ の場合、支持補題から
$$
\delta:=\min_L\bigl(\rho-\rho(x_0)-\operatorname{Re}h\bigr)>0
$$
となる。$a=\rho(x_0)+\delta/2$、$\varepsilon=\delta/2$ とおくと、$L\cap X_a$ 上で $\operatorname{Re}h< -\varepsilon$ である。
$Y=X_a$ 上の関数 $\sigma=1/(a-\rho)$ は強多重劣調和な尽くし関数である。実際、$F(s)=1/(a-s)$ は $s< a$ で $F'>0$、$F''>0$ なので Levi の連鎖律から強多重劣調和となる。また $c>0$ なら $\{\sigma< c\}=\{\rho< a-1/c\}$ の閉包はコンパクト集合 $K_{a-1/c}\subset Y$ 内にある。$c\le0$ なら空集合である。
この $Y$ で $L^2$ 存在定理を用いる。計量を一度選び、形式 $f_0=\bar\partial\psi$ が重み付き二乗可積分になるように、十分な Levi 下界をもつ重み $\Phi$ を一度選ぶ。$\sigma>0$ と重みの単調性により、定数を加えて $\Phi\ge0$ としてよい。以後、計量と重みはパラメータ $t$ によって変えない。
任意の $u\in\mathcal O(W)$ を固定し、$t\ge1$ に対して
$$
f_t=u e^{th}\bar\partial\psi
$$
を $Y$ 上の形式とする。$\psi$ は $W$ の中にコンパクトな台をもつので、これを $W$ の外で零とした形式も滑らかである。$\bar\partial f_t=0$ であり、$u$ は $L$ 上有界だから
$$
\|f_t\|_\Phi\le C_u e^{-\varepsilon t}\|\bar\partial\psi\|_\Phi.
$$
$L\cap Y$ は $Y$ 内でコンパクトとは限らない。そのため、重みを選ぶ段階で $f_0$ の積分可能性を指定したのである。単に台が元の座標近傍でコンパクトだからといって、$Y$ の境界へ発散しうる計量の積分を有限とすることはできない。
存在定理から $\bar\partial v_t=f_t$、$\|v_t\|_\Phi\le C'_u e^{-\varepsilon t}$ となる解をとり、
$$
U_t=\psi u e^{th}-v_t
$$
とおく。分布の意味で $\bar\partial U_t=0$ なので、Weyl の補題により $U_t$ の正則な代表をとれる。以下この代表を $U_t$ と呼び、$v_t=\psi u e^{th}-U_t$ とすれば、$v_t$ も滑らかな代表をもつ。
$\bar\partial\psi=0$ となる固定開集合の中のコンパクト集合 $Q$ では $v_t$ は正則である。$Q$ の近くの外側の多重円板を有限個選び、内側評価を使うと
$$
\sup_Q\bigl(|v_t|+|dv_t|\bigr)\le C_Q\|v_t\|_\Phi
=O(e^{-\varepsilon t}).
$$
比較に使う重みの下界は、これらの固定された多重円板の上だけで必要である。$Y$ 全体で重みが下から一定に抑えられるとは仮定しない。$L=\emptyset$ なら、$W$ の外で零延長した $\psi u e^{th}$ はすでに正則で、$v_t=0$ とすればよい。$a>\rho(x_0)$ は任意に選べる。
十分性の証明：Stein の三条件を回収する
点の分離．相異なる二点 $x_0,x_1$ をとる。名前を入れ替えて $\rho(x_1)\le\rho(x_0)$ としてよい。前節の座標近傍 $W$ を $x_1$ を含まないように縮め、$u=1$ として構成する。$x_0$ の近くでは $\psi=1$、$x_1$ の近くでは $\psi=0$ であり、いずれも $\bar\partial\psi$ の台を避ける。$h(x_0)=0$ だから
$$
U_t(x_0)=1+O(e^{-\varepsilon t}),\qquad
U_t(x_1)=O(e^{-\varepsilon t}).
$$
十分大きい $t$ を固定すれば二つの値の差は $1/2$ より大きい。$\rho(x_0)< b< a$ とし、部分レベル近似の補題を $K_b$ に適用する。$U_t$ は $X_a$ 上で正則なので $K_b$ の近傍で正則であり、大域正則関数 $F$ を $\sup_{K_b}|F-U_t|<1/8$ となるようにとれる。二点はともに $K_b$ に含まれるから、$|F(x_0)-F(x_1)|>1/4$ となり、条件 2 が得られる。
閉部分レベル集合の正則凸性．$K_c=\{\rho\le c\}$ とし、$x_0\notin K_c$ をとる。$\rho(x_0)>c$ であり、$c< d<\rho(x_0)$ を選ぶ。前節を $u=1$ で使う。$\psi$ の台と $K_d$ が交わるところでは、支持補題により $\operatorname{Re}h\le d-\rho(x_0)<0$ なので
$$
\|\psi e^{th}\|_{L^2(K_d,e^{-\Phi}dV)}
=O(e^{-t(\rho(x_0)-d)}).
$$
この積分の有限性は、$K_d$ が $X_a$ 内のコンパクト集合であることによる。$v_t$ のノルムも指数的に小さいので、$U_t$ の $K_d$ 上のノルムは零に近づく。$K_c$ を覆う内側の多重円板と、それより大きく $\{\rho< d\}$ 内にある多重円板を選び、正則関数の平均値評価を $U_t$ に使えば
$$
\sup_{K_c}|U_t|\longrightarrow0,\qquad U_t(x_0)\longrightarrow1.
$$
$\rho(x_0)< b< a$ として $K_b$ 上で大域正則近似を行う。まず $t$ を大きくして $\sup_{K_c}|U_t|<1/4$、$|U_t(x_0)|>3/4$ とし、次に誤差 $1/8$ 未満の大域正則関数 $F$ をとると
$$
|F(x_0)|>5/8>3/8>\sup_{K_c}|F|.
$$
ゆえに $x_0\notin\widehat{K_c}_X$ であり、$\widehat{K_c}_X=K_c$ を得る。空の $K_c$ でも空凸包の規約により成立する。
任意の空でないコンパクト集合 $K$ には $c=\max_K\rho$ をとれる。$K\subset K_c$ から $\widehat K_X\subset K_c$ であり、$K_c$ はコンパクトである。実際、$K_c$ は相対コンパクトな $X_{c+1}$ に含まれる閉集合である。$\widehat K_X$ は $X$ の閉集合なので、この包含からコンパクトとなる。これで条件 1 が得られた。
大域正則関数による局所座標．点 $x_0$ を原点とする局所座標を $u^1,\dots,u^n$ とし、それぞれ $u^j(x_0)=0$ とする。前節の構成を $u=u^j$ に適用する。$x_0$ の近くで $\psi=1$、$h(x_0)=0$ なので
$$
d(\psi u^j e^{th})(x_0)=du^j(x_0)
+t u^j(x_0)dh(x_0)=du^j(x_0).
$$
補正の一階微分も零へ近づくから、$dU_t^j(x_0)\to du^j(x_0)$ である。座標 $u$ に関する Jacobi 行列は単位行列に近づく。したがって十分大きい有限の $t$ をとれば、その行列式は零でない。
さらに、$\rho(x_0)< b< a$ をとり、$x_0$ の周りの多重円板で閉包が $\{\rho< b\}$ に含まれるものを固定する。$K_b$ 上で各 $U_t^j$ を大域正則関数 $F^j$ に一様近似する。Cauchy の積分公式から、近似誤差を十分小さくすれば $dF^j(x_0)$ も $dU_t^j(x_0)$ に十分近い。行列式の連続性により $(F^1,\dots,F^n)$ の Jacobi 行列式も零でない。正則逆写像定理により、これらは $x_0$ の近くで局所正則座標を与える。これで条件 3 が得られ、十分性の証明が終わる。$\square$
局所座標を作る段で、入力 $u^j$ の中心での値を零にしたことが効いている。値を引かないまま $e^{th}$ を掛けると、微分には $t u^j(x_0)dh(x_0)$ が残り、もとの座標の微分に近づくとは限らない。一方、値を零にすれば余分な項が消え、補正項だけを小さくすればよい。点の値を保つ操作と微分を保つ操作を分けたのはこのためである。
点分離と正則凸性で最後に行った近似も、単なる形式的な大域化ではない。分離の不等式には $1/4$ 以上の余裕があり、それより小さい近似誤差を選べるので、大域関数に移しても不等式が保たれる。局所座標では、その余裕にあたるものが Jacobi 行列式の非消失である。行列式は有限個の成分に連続に依存するので、やはり小さい近似誤差で保たれる。
閉じた二種類の部分レベル集合
主定理の尽くし関数 $\rho$ に対して、$K_c=\{\rho\le c\}$ と $A_c=\overline{\{\rho< c\}}$ はいずれもコンパクトで $\mathcal O(X)$ 凸である。また、任意のコンパクト集合 $L\subset X_c$ について $\widehat L_X\Subset X_c$ である。
$K_c$ の結論は十分性の証明で示した。$A_c$ は $K_c$ 内の閉集合なのでコンパクトである。$x\notin A_c$ を正則関数で分離する。$\rho(x)>c$ なら $K_c$ から分離できるので $A_c$ からも分離できる。$\rho(x)< c$ なら $x\in X_c\subset A_c$ なので起こらない。
残るのは $\rho(x)=c$、$x\notin A_c$ の場合である。$x$ の座標近傍 $W$ を、その閉包が $A_c$ と交わらないように選び、前と同じ補正を $u=1$ で行う。$A_c$ の近くでは $\psi=0$、$\bar\partial\psi=0$ なので $U_t=-v_t$ は正則であり、内側評価から $\sup_{A_c}|U_t|\to0$ となる。一方 $U_t(x)\to1$ である。$c< b< a$ に対して $K_b$ 上で大域正則近似を行えば、十分性の証明と同じ $1/4$ と $1/8$ の評価により、$x$ を $A_c$ から分離できる。よって $\widehat{A_c}_X=A_c$ となる。$A_c=\emptyset$ の場合は空凸包の規約による。
最後に、空でないコンパクト集合 $L\subset X_c$ には $d=\max_L\rho< c$ がとれる。$\widehat L_X\subset K_d$、かつ $K_d$ は $X_c$ 内のコンパクト集合であるから、$\widehat L_X\Subset X_c$ が従う。$L=\emptyset$ は自明である。$\square$
開集合 $X_c$ が $\mathcal O(X)$ 凸である、という表現には、最後のコンパクト集合ごとの条件を用いることがある。開集合自身をコンパクト集合と同じ閉凸包で扱うのではなく、その中のコンパクト集合の凸包が外へ出ないと述べている。上の命題は、開集合、開集合の閉包、閉じた不等式の集合を混同せずに、三つの意味をそれぞれ与えている。
正則凸性と大域局所座標から点分離へ
無限遠で可算な Hausdorff 複素多様体 $X$ が、def-spc-data の条件 1（正則凸性）と条件 3（大域正則関数による局所座標）を満たせば、条件 2（点の分離）も満たし、Stein である。
Stein多様体 の定理「Stein 多様体の強多重劣調和な尽くし関数」の証明を、用いる条件に注目して適用する。その段 1 は、無限遠で可算であることと条件 1 により、正則凸なコンパクト集合の増大列を作る。段 2 で使う分離は、任意の二点の分離ではなく、正則凸集合 $K_j$ の外の点と $K_j$ の分離である。これは $K_j=\widehat{K_j}_X$ の定義から直接従い、条件 2 を必要としない。さらに有限個の大域正則座標を加える部分には条件 3 だけを使う。以後の二乗和の収束、Levi 形式の狭義正値性、尽くし性も条件 2 を使わない。
したがってこの証明は、条件 1・3 と無限遠で可算であることだけから、強多重劣調和な滑らかな尽くし関数を与える。これを thm-spc-characterization の十分性へ適用すれば、特に点分離が得られる。空集合と零次元の場合は、すべての関数が正則であることから直接従う。$\square$
この系は Hor90 Corollary 5.2.12（p. 129）である。大域正則関数が各点で局所座標を与えても、それだけで遠く離れた二点が分離されるとはいえない。正則凸性が局所から大域へ移るためのコンパクトな尽くしを与え、解析的な補正が二点の分離を作り出す。
例と条件の役割
$X=\mathbb C$、$\rho(z)=|z|^2$、$c=0$ とする。$\rho$ は強多重劣調和な尽くし関数だが、$X_0=\emptyset$、$A_0=\emptyset$、$K_0=\{0\}$ である。したがって $\overline{\{\rho< c\}}=\{\rho\le c\}$ は一般には成り立たない。どちらの集合の正則凸性も有効だが、片方の証明をこの等号で代用することはできない。
$\mathbb C^n$ では $\rho(z)=\sum_j|z_j|^2$ を使える。Levi 形式は $\sum_j|\xi_j|^2$ で、部分レベル集合は球である。$(\mathbb C^*)^n$ では $\rho(z)=\sum_j(|z_j|^2+|z_j|^{-2})$ を使える。Levi 形式は $\sum_j(1+|z_j|^{-4})|\xi_j|^2$ で正であり、部分レベル集合では各座標の絶対値が正の下界と有限な上界をもつ。よって両方とも主定理の仮定を満たす。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| Levi 形式の狭義正値性 | $\mathbb P^1$ 上の定数関数 $\rho=0$ | 尽くし関数の存在から Stein 性を導くこと |
| 部分レベル集合の相対コンパクト性 | $\mathbb C^2\setminus\{0\}$ 上の $\rho=\lvert z\rvert^2$ | 強多重劣調和関数の存在から Stein 性を導くこと |
| 閉部分レベルと開部分レベル閉包の区別 | $\mathbb C$ 上の $\rho=\lvert z\rvert^2$、$c=0$ | 両集合を同一視すること |
第一行では、$\mathbb P^1$ はコンパクトなので、定数関数のすべての部分レベル集合は相対コンパクトである。しかし全正則関数は定数なので、異なる二点を分離できず Stein でない（Stein空間 の例「反例：コンパクトな複素多様体」）。Levi 形式は零であり、狭義正値性だけを外している。
第二行では Levi 形式は正定値だが、$\{0<|z|^2<1\}$ は原点へ近づく点列を含むので $X=\mathbb C^2\setminus\{0\}$ 内で相対コンパクトでない。$X$ が Stein でないことは Stein空間 の命題「原点を除いた $\mathbb{C}^2$ の正則関数と第 1 コホモロジー」で示されている。したがって点ごとの Levi 正値性だけでは足りない。第三行は ex-spc-distinct-sublevels で確かめた。
この定理の強さは、正則関数を最初から大域に用意しなくてよいことである。局所での二次近似から正則な支持関数を作り、切り落としの誤差を解き、コンパクトな部分レベル集合上の近似へ進む。この手順によって、点の値を区別する関数と局所座標を与える関数の両方を得た。正則凸性は、同じ関数を低い部分レベル集合全体で小さくすることから得られる。
関連項目
- 前提: Stein多様体, 多重劣調和関数, ∂̄方程式のL²評価
- 証明の道具: 岡–Weilの近似定理, 多重円板, 正則凸包
- 比較: 正則領域, 擬凸領域, Stein空間
- 発展: Stein多様体の埋め込み定理, Cartanの定理A・B
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
