Kleinの壺

同義語：クラインの壺Klein bottle

概要

前提知識: 商空間(位相), Möbiusの帯, 基本群, 被覆変換群

正方形の上下の辺をそのまま貼ると円柱ができ、さらに左右の辺をそのまま貼るとトーラスになる。左右の辺を上下を反転して貼ると Klein の壺 ができる。Klein の壺はトーラスと同じくコンパクトで連結な曲面で、Euler 標数もトーラスと同じ $0$ だが、向き付け可能でなく、トーラスとは同相でない。違いはホモロジーに位数 $2$ の元として現れる：$H_1(K)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$、$H_2(K)=0$ である。Klein の壺は、2 つの Möbiusの帯を縁どうしで貼り合わせた空間とも、円周の反転による写像トーラス（円周の上の自明でない円周束）とも同相である。また $\mathbb{R}^4$ には埋め込めるが $\mathbb{R}^3$ には埋め込めない。

定義

以下 $I=[0,1]$、$S^1=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|=1\}$ とする。

Klein の壺

正方形 $I^2$ の上で
$$ (s,0)\sim(s,1)\quad(s\in I),\qquad (0,t)\sim(1,1-t)\quad(t\in I) $$
が生成する同値関係による商空間 $K:=I^2/{\sim}$ を Klein の壺（Klein bottle）という。商写像を $q\colon I^2\to K$、$q(s,t)$ を $[s,t]$ と書く。

これは商空間(位相) の例「正方形の対辺を貼り合わせた空間」やトーラスの例「反例：Klein の壺」と同じ定義である。正方形の 4 隅はすべて 1 点に写る（$(0,0)\sim(1,1)\sim(1,0)\sim(0,1)$）。左辺の向きを下から上にとり、これを $b$、底辺を $a$ とすると、境界を反時計回りに読んだ記号列は（$b$ の向きを付け替えて）$aba^{-1}b$ である。したがって $K$ は閉曲面の分類定理の記号列 $aba^{-1}b$ の貼り合わせ空間であり、同記事の命題「固有な記号列の空間は閉曲面」により 閉曲面（コンパクト・連結・Hausdorff な 2 次元位相多様体）である。

3 つの模型

平面 $\mathbb{R}^2$ の変換
$$ \alpha(x,y):=\bigl(x+\tfrac12,\,-y\bigr),\qquad \beta(x,y):=(x,\,y+1) $$
が生成する群を $\Gamma$ とする。$\Gamma$ の元はすべて $g_{m,n}(x,y)=\bigl(x+\frac m2,\,(-1)^my+n\bigr)$（$m,n\in\mathbb{Z}$）の形で、$\Gamma$ は $\mathbb{R}^2$ に被覆空間作用で作用する（被覆変換群の例「トーラスから Klein の壺への 2 重被覆」）。$\rho(z):=\bar z$ を $S^1$ の反転とする。

Klein の壺の 3 つの模型

平面の商：$[s,t]\mapsto\Gamma\cdot(s/2,\,t)$ は同相写像 $K\to\mathbb{R}^2/\Gamma$ である。
反転の写像トーラス：$T_\rho:=(I\times S^1)/\bigl((0,z)\sim(1,\bar z)\bigr)$ とすると、$[s,t]\mapsto[s,e^{2\pi it}]$ は同相写像 $K\to T_\rho$ である。とくに $[s,t]\mapsto e^{2\pi is}$ は $K$ を、円周をファイバーとする円周の上のファイバー束にする。
2 つの Möbius の帯：$K_1:=q\bigl(I\times[\frac14,\frac34]\bigr)$、$K_2:=q\bigl(I\times([0,\frac14]\cup[\frac34,1])\bigr)$ はどちらも Möbius の帯 $M$ と同相で、$K=K_1\cup K_2$、$K_1\cap K_2$ は両方の縁の円周である。さらに $K$ は、2 つの $M$ を縁 $\partial M$ の恒等写像で貼り合わせた空間 $M\cup_{\partial M}M$ と同相である。

要点：どれも、正方形からの写像が $\sim$ を保ち、同一視される点の組がちょうど $\sim$ の組であることを確かめ、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像であること（商写像の系「コンパクト空間からHausdorff空間への連続全射」）を使う。3 では、$K_1$ は横線 $t=\frac12$ を芯とする帯、$K_2$ は上下の辺（$t=0\sim1$）を芯とする帯で、正方形の左右の貼り合わせ $t\mapsto1-t$ が両方の帯を裏返す。

詳しい証明を開く

$K$ は Hausdorff である（上の注意）。

1. $f(s,t):=\Gamma\cdot(s/2,t)$ とおく。$(s,1)=\beta(s,0)$ の組と、$(\frac12,1-t)=\beta\alpha(0,t)$ の組は同じ軌道に写るので、$f$ は連続写像 $\bar f\colon K\to\mathbb{R}^2/\Gamma$ を誘導する。全射：$(x,y)$ に $g_{m,0}$ を当てて $x$ 座標を $[0,\frac12)$ に、さらに $g_{0,n}$ を当てて $y$ 座標を $[0,1)$ に移せる。単射：$p=(x,y)$、$p'=(x',y')$ を $[0,\frac12]\times I$ の点とし、$p'=g_{m,n}(p)$ とする。$|x'-x|\le\frac12$ から $m\in\{0,\pm1\}$ である。$m=0$ なら $y'=y+n$ で、$p=p'$ か、$\{y,y'\}=\{0,1\}$ で $x=x'$ である。$m=\pm1$ なら $\{x,x'\}=\{0,\frac12\}$ で $y+y'=n\in\{0,1,2\}$ であり、$n=1$ なら $y'=1-y$、$n=0,2$ なら $y=y'\in\{0,1\}$ である。どの場合も $(2x,y)\sim(2x',y')$ である（隅は 1 点に写る）。$\mathbb{R}^2/\Gamma$ は Hausdorff である：軌道 $\Gamma p\ne\Gamma p'$ について、$\Gamma p'$ は離散な閉集合なので $d:=\inf_g|p-gp'|>0$ であり、$\Gamma$ は等長変換で作用するので、半径 $d/2$ の開円板 $B(p)$、$B(p')$ の像は交わらない開集合である（商写像 $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2/\Gamma$ は開写像）。よって $\bar f$ は同相写像である。

2. $I\times I\to I\times S^1$、$(s,t)\mapsto(s,e^{2\pi it})$ はコンパクトから Hausdorff への連続全射なので商写像であり、$q$ は各ファイバー $\{(s,0),(s,1)\}$ の上で一定なので、連続写像 $g\colon I\times S^1\to K$、$g(s,e^{2\pi it})=[s,t]$ が定まる。$g(0,e^{2\pi it})=[0,t]=[1,1-t]=g(1,e^{-2\pi it})$ なので $g$ は $T_\rho$ からの連続写像 $\bar g$ を誘導し、$[s,t]\mapsto[s,e^{2\pi it}]$ がその逆写像である（どちらも $\sim$ と $(0,z)\sim(1,\bar z)$ を対応させる）。$T_\rho$ はコンパクトで $K$ は Hausdorff なので $\bar g$ は同相写像である。$T_\rho\to I/\{0,1\}\cong S^1$ は、$0< s< 1$ の部分では直積 $(0,1)\times S^1$ の射影である。$s=0\sim1$ の近くでは、$s<\frac12$ の点 $[s,z]$ を $(s,z)$ に、$s>\frac12$ の点 $[s,z]$ を $(s-1,\bar z)$ に送る写像が、$(0,z)\sim(1,\bar z)$ の両側で同じ値 $(0,z)$ をとり、$(-\frac12,\frac12)\times S^1$ との同相を与える。よってファイバー $S^1$ の束である。

3. $M=([0,1]\times[-1,1])/\bigl((0,u)\sim(1,-u)\bigr)$（Möbiusの帯の定義「Möbius の帯」）とし、$h_1,h_2\colon M\to K$ を$$h_1[s,u]:=\bigl[s,\tfrac12+\tfrac u4\bigr],\qquad h_2[s,u]:=\begin{cases}[s,\frac u4]&(u\ge0),\\ [s,1+\frac u4]&(u\le0)\end{cases}$$で定める。$h_2$ は $u=0$ で $[s,0]=[s,1]$ により矛盾なく定まる。$(0,u)\sim(1,-u)$ について、$h_1$ では $[0,\frac12+\frac u4]=[1,\frac12-\frac u4]$、$h_2$ では $u>0$ のとき $[0,\frac u4]=[1,1-\frac u4]$、$u< 0$ のとき $[0,1+\frac u4]=[1,-\frac u4]$ であり、どれも $(0,t)\sim(1,1-t)$ の形なので、$h_1,h_2$ は $M$ から連続に定まる。$I\times[\frac14,\frac34]$ の 2 点が $\sim$ で同一視されるのは $(0,t)\sim(1,1-t)$ の組だけで、$I\times([0,\frac14]\cup[\frac34,1])$ では $(s,0)\sim(s,1)$ と $(0,t)\sim(1,1-t)$ の組だけである。これらはちょうど $M$ の同一視に対応するので、$h_1,h_2$ は単射で、像はそれぞれ $K_1,K_2$ であり、コンパクトから Hausdorff への写像として埋め込みである。$K_1\cap K_2=q(I\times\{\frac14,\frac34\})$ は $h_1(\partial M)=h_2(\partial M)$ であり、縁の上では $h_2^{-1}h_1[s,u]=[s,-u]$ である。$\psi[s,u]:=[s,-u]$ は $M$ の同相写像なので、$M\cup_{\partial M}M$ の 1 つ目の $M$ を $h_1$、2 つ目を $h_2\circ\psi$ で $K$ に送る写像は、縁の上で一致する連続な全単射であり、同相写像である。$\square$

1 の模型は普遍被覆 $\mathbb{R}^2\to K$ を与え、3 の分解は Hat02 Example 2.47（pp. 150–151）が Mayer–Vietoris 完全列で $H_*(K)$ を計算するのに使うもの、2 の写像トーラスは同書 Example 2.48（pp. 151–152）の例である。Möbiusの帯の注意「Klein の壺」も 3 の分解を述べている。

ホモロジーと基本群

Δ 複体の構造とホモロジー

正方形を、$(0,1)$ と $(1,0)$ を結ぶ対角線で 2 つの三角形に分ける。辺を
$$ a:\ (0,0)\to(1,0)\ \ (\text{底辺。上辺と同一視}),\qquad b:\ (0,0)\to(0,1)\ \ (\text{左辺。右辺 }(1,1)\to(1,0)\text{ と同一視}),\qquad c:\ (0,1)\to(1,0) $$
と向き付け、三角形の頂点を $A=[(0,0),(0,1),(1,0)]$、$B=[(0,1),(1,1),(1,0)]$ の順に並べる。各三角形から $I^2$ への線形写像と $q$ の合成を $A,B$ の特性写像とする。

Klein の壺の Δ 複体構造とホモロジー

頂点 $v=[0,0]$、辺 $a,b,c$、三角形 $A,B$ は $K$ の Δ複体の構造であり、境界は
$$ \partial A=c-a+b,\qquad \partial B=b-c+a,\qquad \partial a=\partial b=\partial c=0 $$
である。
$K$ の特異ホモロジーは
$$ H_0(K)\cong\mathbb{Z},\qquad H_1(K)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2,\qquad H_n(K)=0\ \ (n\ge2) $$
であり、$H_1(K)$ の $\mathbb{Z}$ の生成元は $[a]$、位数 $2$ の元は $[b]$ である。
$K$ の Euler 標数は $\chi(K)=1-3+2=0$ である。

開いた三角形、開いた辺（底辺と上辺、左辺と右辺はそれぞれ 1 本に同一視される）、1 点に写る 4 隅で $K$ が分割され、各特性写像はその内部で単射である。三角形の面を確かめる：$A$ の面 $[(0,1),(1,0)]$、$[(0,0),(1,0)]$、$[(0,0),(0,1)]$ はそれぞれ $c,a,b$ である。$B$ の面 $[(1,1),(1,0)]$ は、$(1,1-\lambda)\sim(0,\lambda)$ により $b$ と同じ写像であり、$[(0,1),(1,0)]$ は $c$、$[(0,1),(1,1)]$ は $(\lambda,1)\sim(\lambda,0)$ により $a$ である。よって $\partial A=c-a+b$、$\partial B=b-c+a$ で、頂点は 1 つなので $\partial_1=0$ である。$K$ は Hausdorff なので、位相の条件は Δ複体の補題「有限個の単体で覆われる Hausdorff 空間」から従う。
$w:=a+b-c$ とおくと $\{a,b,w\}$ は $\Delta_1(K)$ の基底で（$c=a+b-w$）、$\partial B=w$、$\partial A=2b-w$ である。よって $\operatorname{Im}\partial_2$ は $w$ と $2b$ で生成され、$H^\Delta_1(K)=\Delta_1/\operatorname{Im}\partial_2\cong\mathbb{Z}a\oplus(\mathbb{Z}/2)b$ である。$\partial(pA+qB)=(q-p)a+(p+q)b+(p-q)c=0$ なら $p=q=0$ なので $H^\Delta_2(K)=0$ であり、$H^\Delta_0(K)\cong\mathbb{Z}$ である。単体的ホモロジーの定理「単体的ホモロジーと特異ホモロジーの一致」により、特異ホモロジーも同じである。
単体の個数の交代和で、単体的ホモロジーの系「単体的ホモロジーの位相不変性」の 3 による。$\square$

同じ結果は、thm-klein-models の 3 の分解に Mayer–Vietoris 完全列を当てても得られる。2 つの帯の共通部分の円周は、各帯の芯を 2 周するので（Möbiusの帯の命題「縁の円周」の 2）、$H_1(K_1\cap K_2)\to H_1(K_1)\oplus H_1(K_2)$ は $1\mapsto(2,\pm2)$ であり、その余核が $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$ になる（Hat02 Example 2.47、pp. 150–151）。

写像トーラスとしての計算

thm-klein-models の 2 の模型からも同じ値が出る。連続写像 $f,g\colon X\to Y$（$X\ne\emptyset$）について、$Y\sqcup X\times I$ を $(x,0)\sim f(x)$、$(x,1)\sim g(x)$ で割った空間を $Z$、包含を $i\colon Y\to Z$ とすると、長完全列
$$ \cdots\to H_n(X)\xrightarrow{f_*-g_*}H_n(Y)\xrightarrow{i_*}H_n(Z)\to H_{n-1}(X)\xrightarrow{f_*-g_*}H_{n-1}(Y)\to\cdots\to H_0(Y)\xrightarrow{i_*}H_0(Z)\to0 $$
がある（Hat02 Example 2.48、pp. 151–152。対 $(X\times I,X\times\partial I)\to(Z,Y)$ の長完全列の比較から作る）。$X=Y=S^1$、$f=\mathrm{id}$、$g=\rho$（反転）とすると、$Y$ を $X\times\{0\}$ に吸収して $Z$ は $(I\times S^1)/\bigl((1,z)\sim(0,\bar z)\bigr)$ になり、これは $T_\rho\cong K$ である。

反転の写像トーラスのホモロジー

$\rho_*$ は $H_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ に $-1$ 倍、$H_0(S^1)$ に恒等写像として働く（写像度の定理「鏡映の写像度」）。よって $f_*-g_*$ は $H_1$ で $1-(-1)=2$ 倍、$H_0$ で $0$ であり、上の列の $n\le2$ の部分は
$$ 0\to H_2(K)\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\ 2\ }\mathbb{Z}\to H_1(K)\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\ 0\ }\mathbb{Z}\to H_0(K)\to0 $$
となる（$H_2(S^1)=0$）。$2$ 倍は単射なので $H_2(K)=0$、$H_0(K)\cong\mathbb{Z}$ であり、$0\to\mathbb{Z}/2\to H_1(K)\to\mathbb{Z}\to0$ が完全である。右の $\mathbb{Z}$ の生成元の持ち上げ $\beta$ を 1 つ選ぶと $k\mapsto k\beta$ が分裂を与えるので、$H_1(K)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$ である。$n\ge3$ では両隣が $0$ なので $H_n(K)=0$ である。

同じ列で $X=Y$、$f=g=\mathrm{id}$ とすると $Z=X\times S^1$ で、$f_*-g_*=0$ なので短完全列 $0\to H_n(X)\to H_n(X\times S^1)\to H_{n-1}(X)\to0$ が得られる。次の例はこれを $X=K$ に当てた結果を、立方体の貼り合わせで直接確かめる。

Klein の壺と円周の積

立方体 $I^3$ の $x=0,1$ の面と $y=0,1$ の面をそれぞれ平行移動で貼り、$z=0,1$ の面を $(x,y,0)\sim(x,1-y,1)$ で貼った空間は $S^1\times K$ と同相であり、
$$ H_0(K\times S^1)\cong\mathbb{Z},\quad H_1(K\times S^1)\cong\mathbb{Z}^2\oplus\mathbb{Z}/2,\quad H_2(K\times S^1)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2,\quad H_n(K\times S^1)=0\ (n\ge3) $$
である。

胞体の境界の計算を開く

$x$ 座標の端の同一視は $S^1$ を、$yz$ の正方形の同一視（$y$ の端は平行、$z$ の端は $y\mapsto1-y$）は def-klein-main の $K$（$s=z$、$t=y$）を与え、コンパクトから Hausdorff への連続な全単射 $I^3/{\sim}\to S^1\times K$ なので同相である。CW 構造は $0$ 胞体 $1$ 個、$x,y,z$ 方向の $1$ 胞体 $a,b,c$、それぞれに直交する面の $2$ 胞体 $A,B,C$、$3$ 胞体 $e^3$ である。$d_1=0$ である。$A$（$yz$ 面）は Klein の壺の正方形で、$z$ の端の貼り合わせが $y$ 方向の辺を反転させるので $d_2A=2b$（向きの選び方で $\pm$）、$B$（$xz$ 面）と $C$（$xy$ 面）はどの辺も向きを保って貼られる交換子の形なので $d_2B=d_2C=0$ である。$d_3$ の $A$ 成分は、胞体ホモロジーの定理「胞体境界公式」の写像 $\partial I^3\to S^2$ の写像度で、$x=0,1$ の 2 面の内部が 1 点の補集合に同相に写り、局所写像度（Hat02 Proposition 2.30、p. 136）の和で求まる。2 面の貼り合わせは平行移動で、境界としての向きは逆なので局所写像度は $+1$ と $-1$ で打ち消し合い、$0$ である。$B$ 成分も同じく $0$ である。$C$ 成分では、$z=0,1$ の 2 面の貼り合わせ $(x,y)\mapsto(x,1-y)$ が向きをもう一度反転させるので局所写像度は同符号になり、$d_3e^3=\pm2C$ である（Hat02 Example 2.39、pp. 142–143）。よって $\ker d_3=0$ から $H_3=0$、$\ker d_2=\mathbb{Z}B\oplus\mathbb{Z}C$、$\operatorname{im}d_3=2\mathbb{Z}C$ から $H_2\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$、$\operatorname{im}d_2=2\mathbb{Z}b$ から $H_1\cong\mathbb{Z}a\oplus\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}c$ である。上の短完全列からも、$H_1$ は $0\to\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\to H_1\to\mathbb{Z}\to0$（分裂）、$H_2\cong H_1(K)$、$H_3\cong H_2(K)=0$ となり一致する。

$K\times S^1$ は向き付け不可能な閉 $3$ 次元多様体で、$H_3=0$ はそのことの表れである。立方体の同じ 3 組の面をすべて平行移動で貼ると $3$ 次元トーラス $T^3$ になり、そこでは $d_2=d_3=0$ である（トーラスの例「3 次元トーラスのホモロジー」）。

係数を変えたホモロジー

アーベル群 $G$ について $G[2]:=\{g\in G\mid 2g=0\}$ とおく。

任意係数のホモロジー

任意のアーベル群 $G$ について
$$ H_0(K;G)\cong G,\qquad H_1(K;G)\cong G\oplus G/2G,\qquad H_2(K;G)\cong G[2],\qquad H_n(K;G)=0\ \ (n\ge3) $$
である。小さな係数では次のようになる。

係数 $G$	$H_0(K;G)$	$H_1(K;G)$	$H_2(K;G)$
$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$	$0$
$\mathbb{Z}/2$	$\mathbb{Z}/2$	$(\mathbb{Z}/2)^2$	$\mathbb{Z}/2$
$\mathbb{Z}/3$	$\mathbb{Z}/3$	$\mathbb{Z}/3$	$0$
$\mathbb{Q}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{Q}$	$0$

計算を開く

普遍係数定理から．普遍係数定理の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」のホモロジーの短完全列は分裂するので、$H_n(K;G)\cong(H_n(K)\otimes G)\oplus\operatorname{Tor}(H_{n-1}(K),G)$ である。prop-klein-homology の値と、$\mathbb{Z}\otimes G\cong G$、$\mathbb{Z}/2\otimes G\cong G/2G$、$\operatorname{Tor}(\mathbb{Z},G)=0$、$\operatorname{Tor}(\mathbb{Z}/2,G)\cong G[2]$（Tor関手の命題「巡回群との Tor」）から、$H_1(K;G)\cong G\oplus G/2G\oplus\operatorname{Tor}(\mathbb{Z},G)=G\oplus G/2G$、$H_2(K;G)\cong(0\otimes G)\oplus\operatorname{Tor}(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2,G)\cong G[2]$ である。$n\ge3$ では両方の項が $0$ である。

胞体鎖から．正方形を 1 つの $2$ 胞体、4 隅の像 $v$ を $0$ 胞体、底辺（＝上辺）の像 $a$ と左辺（＝右辺）の像 $b$ を $1$ 胞体とする CW 構造を使う。定義の直後に見たとおり境界の記号列は $aba^{-1}b$ なので、胞体ホモロジーの例「閉曲面」の証明（$d_2$ の係数は記号列の中の各文字の指数の和）により $d_2(e^2)=0\cdot a+2b$、$d_1=0$ である（$b$ の向きを付け替えると $d_2(e^2)=-2b$ になるが、以下の核と像は変わらない）。係数 $G$ の胞体鎖複体は $C^{\mathrm{CW}}_\bullet(K)\otimes G$ であり（胞体ホモロジーの係数についての段落）、$G\to G^2$、$g\mapsto(0,2g)$、$d_1=0$ となる。核は $\{g\mid 2g=0\}=G[2]$、像は $0\oplus2G$ なので、$H_2(K;G)\cong G[2]$、$H_1(K;G)\cong G^2/(0\oplus2G)\cong G\oplus G/2G$、$H_0(K;G)\cong G$ である。$\mathbb{Z}/2$ 係数では $2G=0$、$G[2]=G$ となり、$\mathbb{Z}/3$ と $\mathbb{Q}$ では $2$ 倍が同型なので $G/2G=G[2]=0$ である。

胞体鎖による整数係数の計算（$d_2(e^2)=2b$）は May99 Chapter 13 §5 の例 (iii)（p. 103）と同じである。
$H_2(K;\mathbb{Z})=0$ と $H_2(K;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ の違いは、$K$ が向き付け可能でないこと（cor-klein-surface）の表れである。連結な閉 $n$ 多様体 $M$ では、$M$ が向き付け可能なら $H_n(M;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$、そうでなければ $0$ であり、向き付け可能性によらず $H_n(M;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ である（Hat02 Theorem 3.26、p. 236）。コホモロジーの値は普遍係数定理の例「Klein の壺のコホモロジー」にあり、$\mathbb{Z}/2$ 係数では $H^q(K;\mathbb{Z}/2)$ と $H_q(K;\mathbb{Z}/2)$ の次元が各次数で一致する（普遍係数定理の系「体を係数とする場合」）。

基本群

Klein の壺の基本群

$\pi_1(K)\cong\Gamma$ であり、$\Gamma$ は表示
$$ \Gamma\cong\langle\alpha,\beta\mid\alpha\beta\alpha^{-1}\beta\rangle $$
をもつ。$\Gamma$ は可換でなく、アーベル化は $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$ である。

$\mathbb{R}^2$ は単連結で $\Gamma$ は被覆空間作用で作用するので、thm-klein-models の 1 と被覆変換群の系「普遍被覆の被覆変換群」により $\pi_1(K)\cong\Gamma$ である。表示を示す。$\alpha^{-1}(x,y)=(x-\frac12,-y)$ なので $\alpha\beta\alpha^{-1}(x,y)=(x,y-1)$、すなわち $\alpha\beta\alpha^{-1}=\beta^{-1}$ である。$G:=\langle a,b\mid aba^{-1}b\rangle$ とすると、$a\mapsto\alpha$、$b\mapsto\beta$ は全射準同型 $\varphi\colon G\to\Gamma$ を定める。$G$ では $ab^{\pm1}=b^{\mp1}a$、$a^{-1}b^{\pm1}=b^{\mp1}a^{-1}$ なので、どの元も $b^na^m$ の形に書ける。$\varphi(b^na^m)=\beta^n\alpha^m=g_{m,n}$ は $(m,n)$ が異なれば異なるので、$\varphi$ は単射である。$\alpha\beta\ne\beta\alpha$（$\alpha\beta\alpha^{-1}=\beta^{-1}\ne\beta$）なので可換でない。アーベル化では関係が $2b=0$ になるので $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$ である。$\square$

アーベル化が $H_1(K)$ と一致するのは、Hurewiczの定理の 1 次の場合（$H_1$ は基本群のアーベル化）の例である。$m$ が偶数の $g_{m,n}$ からなる指数 $2$ の部分群 $\Gamma_0\cong\mathbb{Z}^2$ は平行移動の群で、$\mathbb{R}^2/\Gamma_0$ はトーラスであり、$\mathbb{R}^2/\Gamma_0\to\mathbb{R}^2/\Gamma=K$ はトーラスから Klein の壺への 2 重被覆である（被覆変換群の例「トーラスから Klein の壺への 2 重被覆」）。

曲面としての性質

向き付け不可能性と連結和

$K$ は向き付け可能でない閉曲面である。
$K$ はトーラスと同相でない。
$K$ は、実射影平面 $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ から開円板を除いたもの 2 つを、縁の円周で貼り合わせた空間と同相である。すなわち $K\cong\mathbb{R}\mathrm{P}^2\#\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ である。

thm-klein-models の 3 により、$K$ は開いた Möbius の帯 $h_1(M^\circ)$ を開集合として含む。$M^\circ$ は滑らかな多様体として向き付け可能でなく（Möbiusの帯の注意「Möbius の帯は向き付け可能でない」）、向き付け可能多様体の命題「滑らかな向きと位相的な向きの一致」により位相多様体としても向き付け可能でない。位相多様体の向きは開集合へ制限でき（開集合 $U\ni x$ について切除により $H_2(U,U\setminus\{x\})\cong H_2(K,K\setminus\{x\})$ であり、局所整合性の開球は $U$ の中に小さくとり直せる）、同相写像で移せるので、$K$ が向き付け可能なら $h_1(M^\circ)$ も $M^\circ$ も向き付け可能になる。よって $K$ は向き付け可能でない。2. $H_1(T^2)\cong\mathbb{Z}^2$ は位数 $2$ の元をもたないが、$H_1(K)$ はもつ（prop-klein-homology）。3. Möbiusの帯の命題「射影平面は Möbius の帯に円板を貼ったもの」により、$\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ から、同命題の閉円板（北の極冠の像）の内部を除いた部分は $M$ と同相で、その縁は円板の境界である。よって thm-klein-models の 3 の $M\cup_{\partial M}M$ は、この形の 2 つの空間を縁で貼り合わせたものである。$\square$

閉曲面の分類定理では、記号列 $aba^{-1}b$ は射影型で $aabb$ に同値であり、Klein の壺は $P_2$（射影平面 2 つの連結和）にあたる（同記事の例「記号列から曲面を読む」）。トーラスと Klein の壺は Euler 標数がともに $0$ の閉曲面で、向き付け可能性によって区別される。

埋め込み

$\mathbb{R}^4$ への埋め込み

$\theta=2\pi t$、$\phi=2\pi s$ として
$$ F[s,t]:=\Bigl((2+\cos\theta)\cos\phi,\ (2+\cos\theta)\sin\phi,\ \sin\theta\cos\tfrac\phi2,\ \sin\theta\sin\tfrac\phi2\Bigr) $$
は、$K$ から $\mathbb{R}^4$ への埋め込み（像の上への同相写像）である。

$t\mapsto1-t$ で $\cos\theta$ は変わらず $\sin\theta$ は符号が変わり、$s=0$ と $s=1$ では $(\cos\frac\phi2,\sin\frac\phi2)$ が $(1,0)$ と $(-1,0)$ なので、$F(0,t)=F(1,1-t)=(2+\cos\theta,0,\sin\theta,0)$ である。$t=0,1$ でも値は等しい。よって $F$ は $K$ 上の連続写像である。単射性：$F(s,t)=F(s',t')$ とする。第 1・2 成分の長さ $2+\cos\theta>0$ と偏角から $\cos\theta=\cos\theta'$、$\phi\equiv\phi'\pmod{2\pi}$ で、$s=s'$ または $\{s,s'\}=\{0,1\}$ である。$s=s'$ なら第 3・4 成分から $\sin\theta=\sin\theta'$ で、$t=t'$ か $\{t,t'\}=\{0,1\}$ である。$s=0$、$s'=1$ なら第 3 成分から $\sin\theta=-\sin\theta'$ で、$\theta'\equiv-\theta$、すなわち $t'=1-t$（または $t,t'\in\{0,1\}$）である。どの場合も $[s,t]=[s',t']$ である。$K$ はコンパクトなので $F$ は埋め込みである。$\square$

一方、$K$ は $\mathbb{R}^3$ には埋め込めない。$\mathbb{R}^n$ のコンパクトで局所可縮な部分空間の $H_{n-2}$ には捩れがない（Hat02 Corollary 3.46、p. 256。Alexander 双対定理による。この記事では証明しない）が、$H_1(K)$ は位数 $2$ の元をもつからである。$\mathbb{R}^3$ で描かれる壺の絵は、自己交差を許した像である。
滑らかな埋め込みに限れば、ホモロジーの捩れを使わない理由もある。$K$ に滑らかな多様体の構造を 1 つ入れると、$K$ は向き付け不可能で境界をもたないコンパクトな $2$ 次元の多様体である（滑らかな向きと位相的な向きは一致する。向き付け可能多様体の命題「滑らかな向きと位相的な向きの一致」）。$\mathbb{R}^3$ は単連結なので、その中の空でない連結な閉超曲面は向き付け可能であり、$K$ から $\mathbb{R}^3$ への滑らかな埋め込みは存在しない（単連結多様体の閉超曲面の分離の系「余次元 1 の埋め込みの障害」）。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
向き付け可能であること（向き付け可能な閉曲面は Euler 標数で決まる）	Klein の壺とトーラス	Euler 標数が等しい閉曲面が同相であること
向き付け可能であること（連結な閉 $n$ 多様体では $H_n\cong\mathbb{Z}$）	Klein の壺	$H_2(K)\cong\mathbb{Z}$（実際は $0$）
写像トーラスの貼り合わせ写像が恒等写像であること（このとき $S^1\times S^1$）	反転 $\rho$ の写像トーラス $T_\rho\cong K$	全空間が直積 $S^1\times S^1$ と同相であること
$\mathbb{R}^3$ の中にあること（$\mathbb{R}^n$ で $n=3$）	prop-klein-r4 の $F(K)\subset\mathbb{R}^4$	$H_1$ に捩れがないこと（$\mathbb{R}^4$ の中で捩れがないと保証されるのは $H_2$・$H_3$）

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1 行目：$\chi(K)=\chi(T^2)=0$ で、cor-klein-surface の 2 により同相でない。向き付け可能な閉曲面が Euler 標数で決まることは閉曲面の分類定理の定理「Euler 標数と型による判定」による。

2 行目：連結な閉 $n$ 多様体の $H_n(M;\mathbb{Z})$ は向き付け可能なら $\mathbb{Z}$、そうでなければ $0$ である（Hat02 Theorem 3.26、p. 236。向き付け可能多様体の定理「最高次のホモロジーと向き」）。$K$ は cor-klein-surface の 1 により向き付け可能でなく、prop-klein-homology により $H_2(K)=0$ である。

3 行目：$T_{\mathrm{id}}=(I\times S^1)/((0,z)\sim(1,z))$ は $S^1\times S^1$ である。$T_\rho$ は thm-klein-models の 2 により $K$ と同相で、cor-klein-surface の 2 によりトーラスと同相でない。

4 行目：Hat02 Corollary 3.46 の結論は $\mathbb{R}^n$ の中の空間の $H_{n-1}$・$H_{n-2}$ についてで、$n=4$ では $H_1$ は対象外である。$F(K)$ は $K$ と同相なので $H_1(F(K))\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$ は捩れをもつ。

補足

呼び名：日本語では「クラインの壺」「クラインのつぼ」とも書く。F. Klein にちなむ。
束として：thm-klein-models の 2 の束では、底空間の円周を一周するとファイバーの円周の向きが反転する。Hat02 p. 442 は、これを向き付け不可能な球面束（ファイバーが $S^1$）の例として挙げている。
関係する記事：Möbius の帯の側から見た分解は Möbiusの帯の注意「Klein の壺」、トーラスとの 2 重被覆は被覆変換群の例「トーラスから Klein の壺への 2 重被覆」、Euler 標数による区別の限界は Euler標数の例「反例：トーラスと Klein の壺」にある。