中島箙多様体

前提知識: 箙の表現, Dynkin図形, シンプレクティック多様体, 余接束

中島箙多様体（Nakajima quiver variety）とは、有限の箙 $Q$ と 2 つの次数付き複素ベクトル空間 $V,W$ から、$Q$ を二重化した箙の、$W$ で枠を付けた表現を運動量写像の零点に制限し、安定な点を群 $G_V=\prod_i\operatorname{GL}(V_i)$ で割って作る複素シンプレクティック多様体 $\mathfrak M(V,W)$ である。単に箙多様体ともいう。中島啓（Hiraku Nakajima）が導入した。文献によっては quiver variety の語を箙の表現のモジュライ一般に使うので、この記事の対象は「枠付きの前射影代数の表現のモジュライ」であることに注意する。
出発点は、Kronheimer と中島が 1989 年に調べた、アフィン ADE 型の箙の枠付き表現のモジュライである。これはゲージ理論に由来し、ALE 空間とよばれる 4 次元の超 Kähler 多様体の上のインスタントンのモジュライを与える。中島は、Ringel と Lusztig による量子群の構成に触発され、$\mathfrak M(V,W)$ の中心ファイバーのホモロジーの直和が Kac–Moody Lie 環の表現になることを見いだし、任意の箙についての構成として箙多様体と名付けた（Nak16 §1）。
小さな場合には、なじみの空間が現れる。$A_1$ 箙から Grassmann多様体 の余接束が、ループ 1 本の箙から平面上の点の Hilbertスキーム が、ADE 型の箙から単純特異点の極小解消が得られる。
この記事では、定義を述べ、安定な点での滑らかさと次元の公式、$A_1$ 箙とループの箙の場合の同定を証明する。Lagrange 性と Lie 環の作用の定理は、主張と証明の筋までを述べる。

定義

$Q=(Q_0,Q_1)$ を有限の箙とする（ループや多重の矢を許す）。矢 $h$ の始点を $s(h)$、終点を $t(h)$ と書く。各矢 $h$ に逆向きの矢 $\bar h$ を付け加えた箙を $Q^{\mathrm{dbl}}$ とし、$\bar{\bar h}=h$ と約束する。符号を $h\in Q_1$ で $\varepsilon(h)=1$、$\varepsilon(\bar h)=-1$ と定める。

$W=0$ のとき、$\mu=0$ は前射影代数 $\Pi(Q)$ の表現の関係式である。$\mathbf M(V,W)$ には非退化な交代形式
$$ \omega\bigl((B,I,J),(B',I',J')\bigr)=\sum_{h\in Q_1^{\mathrm{dbl}}}\varepsilon(h)\operatorname{tr}(B_hB'_{\bar h})+\sum_i\operatorname{tr}(I_iJ'_i-I'_iJ_i) $$
がある。$\mathfrak g_V=\bigoplus_i\mathfrak{gl}(V_i)$ の無限小作用を、点 $x=(B,I,J)$ で
$$ \iota_x(\xi)=\bigl(\xi_{t(h)}B_h-B_h\xi_{s(h)},\ \xi_iI_i,\ -J_i\xi_i\bigr) $$
と書く。

次に安定性を定める。一般には実数の組 $\zeta\in\mathbb R^{Q_0}$ に応じた安定性を考えるが（Nak16 Definition 6）、この記事では、すべての $i$ で $\zeta_i>0$ の場合だけを扱う。このとき条件は次の形になる。

$\mathfrak M_0(V,W)$ はアフィンスキームで、不変式環の有限生成は幾何学的不変式論による。幾何学的不変式論 の言葉では、$\mathfrak M(V,W)$ は安定な点の商である。不変式は $Q^{\mathrm{dbl}}$ の有向閉路に沿う合成のトレースと、$J$ と $I$ で挟んだ路の合成の成分で生成される（Nak16 §3.1）。$\pi$ は固有である（Nak16 (3.1)）。

滑らかさと次元

$v=(v_i)$、$w=(w_i)$ とし、$Q$ の Cartan 行列を $C_{ij}=2\delta_{ij}-\#\{h\in Q_1^{\mathrm{dbl}}\mid s(h)=i,\ t(h)=j\}$ で定める。ループ 1 本は $Q^{\mathrm{dbl}}$ で 2 本になるので、$C_{ii}$ から $2$ を引く。

商の多様体構造の証明は、自由かつ閉である作用の一般論によるので、この記事では証明しない。接空間の上の $\omega$ の非退化性は、lem-qv-moment の最後の主張 $\operatorname{Ker}d\mu|_x=(\operatorname{Im}\iota_x)^{\perp}$ から直ちに分かる。
$V=0$ のとき $\mathfrak M(0,W)$ は 1 点である。一方 $V\ne0$、$W=0$ のときは $J=0$ なので $S=V$ が条件をみたし、安定な点はない。枠 $W$ は単なる補助ではなく、商を空にしないために必要である。

例

$A_1$ 箙

頂点が 1 つで矢のない箙では、$V,W$ は $v,w$ 次元の空間で、$B$ はなく、$\mathbf M(V,W)=\operatorname{Hom}(W,V)\oplus\operatorname{Hom}(V,W)$、$\mu(I,J)=IJ$ である。安定性は $J$ の単射性にほかならない。

次元の公式では $C=(2)$ なので $d=2vw-2v^2=2v(w-v)$ で、$\dim T^*\operatorname{Gr}(v,w)$ と一致する。$v=1$、$w=2$ のとき、$A=\begin{pmatrix}z&x\\y&-z\end{pmatrix}$ と書くと $\mathfrak M_0$ は 2 次錐 $xy+z^2=0$ で、$\pi:T^*\mathbb P^1\to\mathfrak M_0$ はその原点の 特異点解消 である。

ループの箙

頂点が 1 つでループが 1 本の箙（Jordan 箙）を考える。$h$ と $\bar h$ に対応する $V$ の自己準同型を $B_1,B_2$ とし、$W=\mathbb C$ とすると、データは $(B_1,B_2,i,j)$（$i\in V$、$j\in V^*$）で、$\mu=[B_1,B_2]+ij$ である。頂点は 1 つなので、この項と次の ex-qv-affine では $i,j$ を枠の成分の記号に使う。$\dim V=n$ と書く。

ここでは点の対応だけを証明した。$\mathfrak M(V,\mathbb C)$ の次元は、$C=(0)$ より $d=2n$ で、$\operatorname{Hilb}^n(\mathbb C^2)$ の次元と一致する。

ADE 型とアフィン $A_1$ 箙

アフィン ADE 型の箙多様体は、一般に ALE 空間の上のインスタントン（ねじれのない層）のモジュライになり、場合によっては ALE 空間の上の点の Hilbert スキームと一致する（Nak01a 序）。

中心ファイバーと Lie 環の作用

この節では $Q$ にループがないとする。$Q$ の Dynkin 図形（矢の向きを忘れた図形）に対応する対称な Cartan 行列 $C$ から、生成元 $E_i,F_i,H_i$ と関係式で定まる Kac–Moody Lie 環を $\mathfrak g$ とする。$Q$ が ADE 型なら、$\mathfrak g$ は対応する複素単純 Lie環 である。

幾何的な証明によるので、この記事では証明しない。prop-qv-grassmann の零切断、ex-qv-an の射影直線の鎖、ex-qv-affine の $\mathbb P^1$ はいずれも半分の次元である。
定理により、複素係数の特異ホモロジー $H_{d(V,W)}(\mathfrak L(V,W))$ は最高次のホモロジーで、$\mathfrak L(V,W)$ の既約成分の基本類を基底にもつ。

Hecke 対応

$S_i$ を頂点 $i$ だけで 1 次元の表現（$B,I,J$ はすべて $0$）とする。$V=V'\oplus S_i$ とする。

$P_i(V,W)$ は積の中の半分の次元の滑らかな閉部分多様体で、その基本類が畳み込み積により、$V'$ と $V$ のホモロジーの間の作用素を与える（Nak16 §4.3、§4.4）。直和 $\bigoplus_VH_{d(V,W)}(\mathfrak L(V,W))$ の上で、この作用素を $F_i$（$V'$ から $V$ へ）とし、向きを逆にして符号を調節したものを $E_i$（$V$ から $V'$ へ）とする。$H_i$ は $w_i-\sum_jC_{ij}v_j$ 倍の作用素である。

この定理は中島の 1994 年と 1998 年の論文の主結果であり、この記事では全体を証明しない。ウェイト $w-Cv$ の空間の次元が、$\mathfrak L(V,W)$ の既約成分の個数である。証明の筋は次のとおりである（Nak16 §4.5、§4.6）。

• 最も難しい関係式は $[E_i,F_i]=H_i$ である。鍵は $P_i(V,W)$ の 2 つの射影のファイバーで、$\mathfrak M(V,W)$ への射影のファイバーは $(B,I,J)$ から $S_i$ への準同型の空間の射影化、$\mathfrak M(V',W)$ への射影のファイバーは $S_i$ による $(B',I',J')$ の拡大の空間の射影化である。
• これらの空間は、$S_i$ と枠付き表現から作る複体 $V_i\to\bigoplus_{j\ne i}V_j^{\oplus(-C_{ij})}\oplus W_i\to V_i$ のコホモロジーとして現れる。安定性から最初のコホモロジーが消えるので、残る 2 つの次元の差は Euler 標数 $w_i-\sum_jC_{ij}v_j$ である。射影空間 $\mathbb{CP}^n$ の Euler 数が $n+1$ であることと合わせて、この値が固有値として現れる。
• $E_i$ の局所冪零性は $\dim V_i$ が負にならないことから、$F_i$ の局所冪零性は上の複体の最初の写像が単射であることの次元の比較から従う。
• $(B,I,J)$ から $S_i$ への準同型の核をとる操作により既約成分を帰納的に構成し、ホモロジーが $[\mathfrak M(0,W)]$ から $F_i$ で生成されることを示す。

量子化と結晶

箙多様体の幾何は、Lie 環の表現より深い構造を持つ。

柏原の結晶基底 で調べられる組合せ論的な対象が、ここでは既約成分の集合として実現されている。

$U_q(L\mathfrak g)$ は 量子群 のアフィン版（中心拡大と次数作用素を除いたもの）である。$q$ を 1 の冪根でない値 $\varepsilon$ とし、半単純元 $a=(s,\varepsilon)\in G_w\times\mathbb C^\times$ を固定すると、$\mathfrak M_0$ の $a$ による固定点の点 $x$ ごとに標準加群が定まり、その単純商として有限次元単純加群が得られる。標準加群の中の単純加群の重複度は、固定点集合を階層に分けたときの各階層の閉包の、定数層を係数とする交叉コホモロジー複体（偏屈層）を点 $x$ へ制限したコホモロジーの全次元で与えられる（Nak01a Theorem 14.3.2、Theorem 14.3.10）。
テンソル積についても、$\lambda_1+\dots+\lambda_N$ に対応する $W$ の箙多様体の中の Lagrange 部分多様体のホモロジーと既約成分から、既約表現のテンソル積 $V(\lambda_1)\otimes\dots\otimes V(\lambda_N)$ とその結晶が実現される（Nak01b 序）。

箙の不変量との関係

$\mathfrak M_0(V,W)$ は被約な構造について正規である。実際、$W$ を頂点 $\infty$ の追加（$\infty$ から $i$ への矢 $w_i$ 本）に置き換える Crawley-Boevey の手法（Nak16 Remark 1）で枠のない場合に帰着でき、枠のない $\mu^{-1}(0)/\!/G$ は正規代数多様体である（CB01 Theorem 1.1）。
Kac 多項式 $A_v(q)$ は、有限体 $\mathbb F_q$ 上の次元ベクトル $v$ の絶対直既約表現の同型類の個数である。その係数が非負であるという Kac の予想は、箙多様体のコホモロジーを通して解かれた。$v$ が原始的なときは Crawley-Boevey と Van den Bergh により、$A_v(q)$ の係数は一般の位置に変形した箙多様体のコンパクト台コホモロジーの次元で与えられる。一般の $v$ では Hausel、Letellier、Rodriguez-Villegas により、拡張した箙の同様の箙多様体のコホモロジーの符号成分の次元で与えられる（HLR12 (1.2)、Corollary 1.6）。

条件を外したときの反例

各行で外すのは 1 つの条件だけである。

関連項目

• 前提: 箙の表現
• 前提: Dynkin図形
• 前提: シンプレクティック多様体
• 前提: 余接束
• 前提: Grassmann多様体
• 関連: Gabrielの定理(箙)
• 関連: 量子群
• 関連: 柏原の結晶基底
• 関連: Hilbertスキーム
• 関連: Cartan行列
• 関連: 偏屈層
• 関連: 幾何学的不変式論